北京市房山区2024-2025学年高三上学期学业水平调研（二）数学试卷

房山区2024-2025学年度第一学期学业水平调研（二） 高三数学 本试卷共6页，满分150分，考试时长120分钟.考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足i•z＝2+i，则z的共轭复数是 A. ﹣1﹣2i B. ﹣1+2i C. 1﹣2i D. 1+2i 3. 已知，，，且，，则（ ） A. B. C. D. 4. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数的图象中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，已知点，，则到直线的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知非零平面向量，则“”是“存在非零实数，使”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知正三棱锥的底面边长为2，侧面与底面所成角是，则三棱锥的体积等于（ ） A. B. C. 2 D. 1 9. 已知实数，满足，，给出下列三个结论： ①；②；③. 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ① B. ② C. ①③ D. ②③ 10. 已知由正整数组成的集合，表示集合中所有元素的和，表示集合中偶数的个数.若.则的最小值为（ ） A. 5 B. 7 C. 9 D. 10 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域为_____. 12. 在中，，，，则_____；若为边上一点，且，则_____. 13. 已知双曲线（）的渐近线方程为，则，的一组值依次为_____. 14. 《九章算术》是我国古代的优秀数学著作，内容涉及方程、几何、数列、面积、体积的计算等多方面.《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”由以上条件，该女子第5天织布_____尺；若要织布50尺，该女子所需的天数至少为_____. 15. 已知函数，，给出下列四个结论： ①当时，方程有且只有一个实数根； ②当时，对任意，或； ③当时，对任意，； ④存在，对任意，. 其中正确结论的序号是_____. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知函数，，且的最小值为. （1）求的值； （2）设，求函数在区间上的最大值及相应自变量的值. 17. 近年中国新能源汽车进入高速发展时期，2024年中国新能源汽车销售量已超过1100万辆，继续领跑全球.某市场部为了解广大消费者购买新能源汽车和燃油汽车的情况，从某市众多4S店中任意抽取8个作为样本，对其在12月份的新能源汽车、燃油汽车销售量（单位：辆）进行调查.统计结果如下： 1店 2店 3店 4店 5店 6店 7店 8店 新能源汽车销售量 10 8 16 23 20 18 22 11 燃油汽车销售量 14 11 13 19 21 25 23 26 （1）若从该市众多门店中随机抽取1个，估计该门店12月份新能源汽车销售量超过燃油汽车销售量的概率； （2）若从样本门店中随机抽取3个，其中12月份新能源汽车销售量不低于20辆的门店个数记为，求的分布列和数学期望； （3）新能源汽车销售量和燃油汽车销售量的样本方差分别记为和.试比较和的大小.（结论不要求证明） 18. 已知三棱柱中，侧面为菱形，侧面为正方形，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知. （ⅰ）求证：平面； （ⅱ）求与平面所成角的正弦值. 条件①：； 条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 19. 已知椭圆过点，离心率为，一条直线与椭圆交于、两点，线段的垂直平分线为，为直线与直线的交点. （1）求椭圆的方程； （2）若，直线是否过定点？如果是，求出该定点的坐标；如果不是，说明理由. 20. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若对任意，都有，求实数的取值范围； （3）求证：存在实数，使方程有正实根. 21. 已知和都是无穷数列.若存在正数，对任意的，均有，则称数列与具有关系. （1）分别判断下列题目中的两个数列是否具有关系，直接写出结论； ①，，； ②，，. （2）设，，，试判断数列与是否具有关系.如果是，求出的最小值，如果不是，说明理由； （3）已知是公差为的等差数列，若存在数列满足：与具有关系，且，，…，中至少有100个正数，求的取值范围. 房山区2024-2025学年度第一学期学业水平调研（二） 高三数学 本试卷共6页，满分150分，考试时长120分钟.考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】D 【10题答案】 【答案】B 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 ①. ②. 【13题答案】 【答案】1；（答案不唯一，满足即可） 【14题答案】 【答案】 ①. ## ②. 【15题答案】 【答案】①②③ 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 【16题答案】 【答案】（1） （2）当时，函数取最大值 【17题答案】 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 P （3） 【18题答案】 【答案】（1）连接交于点，连接， 在三棱柱中，四边形为平行四边形， 因为，则为的中点， 又因为为的中点，则， 因为平面，平面，故平面. （2）条件选择见解析；（i）证明见解析；（ii）. 【19题答案】 【答案】（1） （2）是，定点坐标为 【20题答案】 【答案】（1）； （2） ； （3） 由，，得， 令，求导得， 令，求导得， 函数在上单调递减，而， 则存在，使得，当时，，即， 函数在上单调递增，，取正数， 则直线与函数在上的图象有交点，此交点横坐标在区间， 所以存在实数，使方程有正实根. 【21题答案】 【答案】（1）①不具有关系；②具有关系. （2）是，A的最小值为1. （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $