2.直角三角形 -2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版）

2. 直角三角形 一、直角三角形的定义 直角三角形是有一个角是直角的三角形。 二、直角三角形的性质 1 角的性质：直角三角形的两个锐角互余，即它们的角度和为90度。 2 边的性质：直角三角形的三边满足勾股定理，即直角边的平方和等于斜边的平方。 3 斜边上的中线：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 4 斜边上的高：直角三角形斜边上的高等于两直角边的乘积除以斜边。 5 特殊直角三角形： 含30°角的直角三角形：30°角所对应的直角边是斜边的一半。 等腰直角三角形：两腰相等，底角相等，且顶角为直角。 三、直角三角形的判定 1 有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2 有两个锐角互余的三角形是直角三角形。 3 勾股定理的逆定理：在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 4 中线逆定理：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，且这边所对的角为直角，那么这个三角形是直角三角形。 巩固课内例1:直角三角形的判定 1．下列条件：①；②；③；④；⑤，其中能确定是直角三角形的条件有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的判定，三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和是和有两个角互余的三角形是直角三角形是解题的关键；根据直角三角形的判定，三角形的内角和定理逐项计算判定即可。 【详解】解：①，， ， ， 是直角三角形， 故本选项符合题意； ②， ， 是直角三角形， 故本选项符合题意； ③， ， 是直角三角形， 故本选项符合题意； ④，， ， 不是直角三角形， 故本选项不符合题意； ⑤， 设，则， ， ， 解得：， ， 不是直角三角形， 故本选项不符合题意； 能确定是直角三角形的条件有①②③，共有个， 故选：． 2．在中，，，的对边分别是a，b，c，下列条件： ①； ②； ③，，； ④，其中可以判定是直角三角形的有 个． 【答案】2 【分析】本题主要考查了直角三角形的判定，对于①④，求出各内角的度数，判断即可；对于②③，根据勾股定理逆定理判断即可． 【详解】∵，， ∴， ∴是直角三角形， 则①正确； ∵， ∴， 即， ∴是直角三角形， 则②正确； ∵，，， ∴， ∴不是直角三角形． 则③不正确； 设，根据三角形内角和定理，得 ， 解得， ∴，，， ∴不是直角三角形． 则④不正确． 正确的有2个． 故答案为：2． 3．如图，在中，是边上的高，E是边上一点，交于点M，且．求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了直角三角形的性质与判定；由是边上的高，得；再由，即可得结论成立． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴是直角三角形． 巩固课内例2:逆命题 1．下列命题的逆命题是假命题的是（    ） A．两直线平行，内错角相等 B．直角三角形的两个锐角互余 C．等腰三角形的两个底角相等 D．对顶角相等 【答案】D 【分析】此题考查了真假命题和逆命题，写出各选项的逆命题，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．两直线平行，内错角相等，逆命题是内错角相等，两直线平行，故选项的逆命题是真命题，不符合题意； B．直角三角形的两个锐角互余的逆命题是有两个内角互余的三角形是直角三角形，故选项的逆命题是真命题，不符合题意； C．等腰三角形的两个底角相等的逆命题是有两个角相等的三角形是等腰三角形，故选项的逆命题是真命题，不符合题意； D．对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，故选项的逆命题是假命题，符合题意． 故选：D． 2．下列命题中，其逆命题是真命题的有 ．（只填写序号）    ①四边形是多边形； ②线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等； ③如果两个实数相等，那么它们的平方相等； ④如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形； ⑤对顶角相等． 【答案】② 【分析】分别写出原命题的逆命题，然后判断真假即可． 【详解】解：①四边形是多边形的逆命题是多边形是四边形，错误，不成立，不符合题意； ②线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等的逆命题为到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，成立，符合题意； ③如果两个实数相等，那么它们的平方相等的逆命题是平方相等的两个实数相等，错误，不成立，不符合题意； ④如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形的逆命题为如果直角三角形的三边分别为a，b，c，那么这个三角形满足，不成立，不符合题意， ⑤对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，错误，不成立，不符合题意； 故答案为：②． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出一个命题的逆命题，难度不大． 3．“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是_________，请证明这个逆命题是真命题， 已知：_________ 求证：_________ 【答案】如果三角形有两个角互余，则三角形为直角三角形；如图，在中，；是直角三角形；证明见解析 【分析】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 【详解】解：“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是如果三角形有两个角互余，则三角形为直角三角形； 已知：如图，在中，， 求证：是直角三角形． 证明：∵在中，，， ∴， ∴是直角三角形． 故答案为：如果三角形有两个角互余，则三角形为直角三角形；如图，在中，；是直角三角形． 巩固课内例3:“HL”全等 1．如图，，，， 要根据“”证明，则还需要添加一个条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形的判定，根据“”的判定方法，结合题干条件判断，即可解题． 【详解】解： ，，， 要根据“”证明， 需添加条件为斜边相等，即， 故选：A． 2．如图，将两块大小完全相同的等腰直角三角板的直角边分别贴紧角的两边，角的顶点与的顶点互相重合，另外两条直角边相交于点，做射线，则射线是的角平分线，其中的原理利用了全等三角形的性质，那么判定的依据是 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定，等腰直角三角形，关键是掌握直角三角形全等的判定方法：．由判定，即可得到答案． 【详解】解：∵两块三角板是完全相同的等腰直角三角形， ， 在和中， ， ∴判定的依据是． 故答案为：． 3．如图，在四边形中，，是上的一点，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查等角对等边，证明三角形全等，由得到，再结合和即可利用证明三角形全等． 【详解】证明：∵， ∴． ∵， ∴和都是直角三角形， 在和中， ， ∴． 类型一、直角三角形的两个锐角互余 1．在一个直角三角形中，一个锐角是，另一个锐角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，掌握直角三角形的两个锐角互余是关键． 根据直角三角形的两个锐角互余即可解答． 【详解】解：直角三角形的一个锐角是，另一个锐角是． 故选：D． 2．如图，中，于点，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 由可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，然后根据即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．如图，中，，，，，求． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形内角的性质，熟练掌握直角三角形两锐角互余是本题的关键．根据平角的定义，求得，由于，，，根据直角三角形的性质求得，即可求得． 【详解】解：， ， ，，， ， ． 类型二、三边构成直角三角形 1．下列各组数中不能作为直角三角形三边的是（     ） A．3 ，4 ，5 B．5 ，12 ，14 C．6 ，8， 10 D．7 ，24 ，25 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的运用，掌握勾股定理判定直角三角形的方法是解题的关键． 运用勾股定理逆定理计算，满足两短边的平方和等于交长边的平方即可． 【详解】解：A、，能判定是直角三角形，不符合题意； B、，不能判定是直角三角形，符合题意； C、，能判定是直角三角形，不符合题意； D、，能判定是直角三角形，不符合题意； 故选：B ． 2．若三角形的三边之比为，则此三角形为 三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，能熟记勾股定理的内容是解此题的关键． 【详解】解：三角形的三边之比为， ， 此三角形是直角三角形， 故答案为：直角． 3．如图，在四边形中，，为对角线，已知，，，．求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理，解题的关键是掌握相关知识．先在中，求出，再利用勾股定理的逆定理即可证明． 【详解】证明：，，， ， ，， ， ， 是直角三角形． 类型三、网格中的直角三角形 1．如图，图中小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，则是（   ）    A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【答案】A 【分析】先根据勾股定理求出各边的长，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状即可． 【详解】解：由图形可知：；；， ∴， ∴是直角三角形． 故选：A． 【点睛】本题考查的是勾股定理及其逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键． 2．如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C均在格点上（即小正方形的顶点上），则图中的度数为 ． 【答案】90°/90度 【分析】先利用勾股定理求出AB2，BC2，AC2，再利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，即可解答． 【详解】解：由题意得：AB2=22+42=20， CB2=22+12=5， AC2=32+42=25， ∴AB2+BC2=AC2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠ABC=90°， 故答案为：90°． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的关键． 3．已知在平面直角坐标系中有三点，，，请回答如下问题： (1)在坐标系内描出点、、的位置，连接，，；是__________三角形； (2)画出关于x轴对称的． 【答案】(1)直角 (2)画图见解析 【分析】本题考查了点的坐标，三角形的分类，对称图形的画法及勾股定理的逆定理，理解点的坐标是解答关键． （1）根据点的坐标确定出三点，，，顺次连接这三点，根据勾股定理逆定理判断即可求解； （2）根据关于轴对称的特点画出图形即可． 【详解】（1）解：先确定出三点，，， 连接，，，画图如下， 由图可知：，,, , 所以是直角三角形． 答案为：直角形． （2）解：根据关于轴对称的特点画图如上图，为所求作． 类型四、添加条件证全等 1．如图，要根据“HL”判定 ，则需添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形全等的判定．根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，由此即可得到答案． 【详解】解：，， ， ∵， ∴， ∴， 要根据“”证明，还要添加一个条件是． 故选：A． 2．如图，，，若判断的依据是“”，还需要添加的一个条件是 ．（只要写出一种情况即可） 【答案】或（只要写出一种情况即可） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，已知，，可得，，为公共边，根据“”，添加一直角边即可证明，熟练掌握全等三角形的判定方法并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解：，， ，， ， ∴添加或，即可用“”证明， 故答案为：或（只要写出一种情况即可）． 3．如图，在中，、、的对边分别是、、，再添加一个条件就能够证明是直角三角形． (1)下面三个条件，依次按照难、中、易排列，请根据自己的认知水平，选择其中一个条件进行解答：①，，（、是正整数，且）；②；③．我选择的条件是_____（填序号）； (2)根据你选择的条件，求证：是直角三角形． 【答案】(1)①（答案不唯一） (2)证明见解析 【分析】此题考查了勾股定理逆定理、三角形内角和定理，熟记勾股定理逆定理及三角形内角和定理是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理求解判断即可； （2）根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理求解求证即可． 【详解】（1）解：可以选择的条件有①或②或③，理由见（2）， 故答案为：①（答案不唯一）； （2）证明：选①： ，，， ， ， ， 是直角三角形； 选②： 设，则，， ，， ， 是直角三角形； 选③： 设，则，， ， ， ， ， 是直角三角形． 类型一、全等的性质和HL综合 1．如图，在中，，点在边上，，于点，．若，，的面积是，则线段的长为（   ） A．13 B．15 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，根据题意证明，可得，根据三角形的面积公式可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∵， ∴， ∵ ∴ 解得： 故选：B． 2．如图，在和中，，垂足为，，且，．若，则的度数为 ． 【答案】/130度 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理等知识点，解题的关键是证明三角形全等． 证明，得出，再结合，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，于点，于点，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）先根据证明，则可得，再根据证明即可． （2）根据全等三角形对应边相等可得，,进而可得的长． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 在和中，， ∴； （2）解：∵，， ∴，, 又∵， ∴， ∴． 类型二、勾股定理的逆定理求解 1．如图，已知．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质．根据勾股定理可得，再由勾股定理的逆定理可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 2．已知：如图，四边形， ， ，，且．则四边形的面积为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查的是勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形．连接，由已知条件结合勾股定理求得、的面积，从而求得四边形的面积． 【详解】解：连接，    ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴是直角三角形， ∴， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 3．某校利用课后服务时间开设创意编程、模型设计打印、无人机等课程延伸科学教育，鼓励学生参与跨学科融合的项目式实践体验活动，现有一个模型设计的任务需要完成． 生活中的数学：确定模型零件平面图的面积 素材一 素材二 如图所示，四边形是模型零件平面图． 通过相应仪器扫描测量：已知，，，，． 问题解决：根据以上素材，请你求出该模型零件平面图的面积． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理，连接．由勾股定理得出，再由勾股定理逆定理得出是直角三角形且．再根据零件的面积，计算即可得出答案． 【详解】解：连接． ∵，，， ∴在中，， ∵，， ∴在中，，， ∴满足， ∴是直角三角形且． ∴零件的面积 ． 类型一、两线一圆画直角三角形 1．在平面直角坐标系中，已知点A（2，2），点B（2，-3）．在坐标轴上找一点C，使得△ABC为直角三角形，这样的点C共有（   ）个． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】试题解析：（1）∠BAP=90°易得P1（0，2）； （2）∠ABP=90°易得P2（0，-3）； （3）∠BAP=90°； （如图）以AB为直径画⊙O′与x轴，y轴分别交于P3、P4、P5、P6，AB与x轴交于C，过点O′作O′D⊥y轴， 在Rt△OO′p3中易知O′D=2，O′p3=，则P3D=， OP3=P3D-OD=-=1，则P3（0，1）易知P3D=P5D， 则P5（0，-2），连接O′P4，O′P6， 易求出P4（2-，0）P6（2+，0） 综上所述P1（0，2），P2（0，-3），P3（0，1），P4（2-，0），P5（0，-2），P6（2+，0）． 故选B. 考点：1.勾股定理；2.坐标与图形性质． 2．如图，已知直线与轴交于点与直线交于点，点为轴上的一点，若为直角三角形，则点的坐标为 ． 【答案】(2，0)或（5，0） 【分析】先求出A，再求出，解得，则点B（2，3），分类讨论直角顶点，当点C为直角顶点时，当点B为直角顶点时，根据△ABC为等腰直角三角形即可求出点C坐标． 【详解】与轴交于点， ∴y=0，x=-1， ∴A(-1，0)， 直线与直线交于点， ， 解得， ∴B（2，3）， 当点C为直角顶点时， ∴BC⊥AC， ∴BC∥y轴， B、C横坐标相同，C（2，0）， 当点B为直角顶点时， ∴BC⊥AB， ，k=1， ∴∠BAC=45°， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴AB=， AC==6， AO=1， CO=AC-AO=5， C（5，0）， C点坐标为（2，0）或（5，0）． 故答案为：（2，0）或（5，0）． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，掌握直角三角形的顶点分两种情况讨论解决问题是关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线AB：与轴交于点C，且点，. (1)点C的坐标为 (2)求原点O到直线的距离； (3)在x轴上是否存在一点P，使得是直角三角形?若存在，求出点P的坐标. 【答案】(1)； (2)； (3)存在，点的坐标为或 【分析】(1)令，即可求解； (2)首先可求得点A、B的坐标，根据两点间距离公式可求得的长，再根据，设原点到直线的距离为，列方程即可求解； (3)设点的坐标为，根据题意可知不为直角，分两种情况，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：令，则， 解得：， 所以点的坐标为； （2）解：代入A、两点可得：，， 解得：，， 故，， ， ， 设原点到直线的距离为， 则， 解得：， 故原点到直线的距离为； （3）解：存在， 设点的坐标为，根据题意可知不为直角， 所以当是直角三角形分两种情况： ①当时，此时点的坐标为； ②当，， 故， 解得：， 此时点的坐标为； 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 【点睛】本题考查了两点间距离公式，坐标与图形，求不规则图形的面积，直角三角形的判定，解答的关键是采用分类讨论的思想． 类型二、勾股定理逆定理的应用 1．城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．如图，某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街清理出了一块可以绿化的空地（阴影部分）．若，，，，则这块可以绿化的空地（阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，求阴影部分的面积，先根据勾股定理求出，再根据逆定理说明是直角三角形，然后根据得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴． ∵，， ∴，， ∴是直角三角形，， ∴． ∴这块可绿化的空地的面积为． 故选：C． 2．为了强化实践育人，开展劳动教育和综合实践活动，某中学现有一块四边形的空地，如图，学校决定开发该空地作为学生的综合实践基地．经学校课外实践小组测量得，米，米，米，米，则四边形的面积为 平方米． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解本题的关键．在中，利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理判断得到，最后利用即可解答． 【详解】解：在中， ∵，米，米， ∴（米）， 在中， ∵， ∴ ∴是直角三角形，且 ∴（平方米） 故答案为：． 3．如图，某居民小区有一块四边形空地，小道和把这块空地分成了和三个区域，分别摆放三种不同的花卉．已知米，米，米，米． (1)求四边形的面积； (2)小明和小林同时以相同的速度同时从点出发，分别沿和两条不同的路径散步，结果两人同时到达点，求线段的长度． 【答案】(1)平方米 (2)线段的长度为米 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用； （1）根据勾股定理求得，进而根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据三角形的面积公式，即可求解； （2）根据题意得出米，设米，则米，在中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵米，米 ∴米 ∵ ∴是直角三角形，且 ∴四边形的面积为平方米 （2）解：由（1）可得是直角三角形， 依题意，米， 设米，则米 在中， ∴ 解得：，即线段的长度为米． 类型三、最值问题 1．如图，中，，点 D为上一点，点E为上一点，当有最小值时，为（  ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题主要考查轴对称的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质，熟记轴对称的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质是解题关键．作出点B关于的对称点，过点作，垂足为点E，交于点D，连接，此时有最小值，由对称性质可得，得出，再由，可得，可得出，再由，可得，从而求解即可． 【详解】解：如图，作出点B关于的对称点，过点作，垂足为点E，交于点D，连接，此时有最小值， 点B关于的对称点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 2．如图，在长方形中，，，为边上的点，且．为边上的动点，以为边在其右侧作等腰直角三角形，．设中点为，则的最小值为 ．      【答案】 【分析】过点作于，过点作，证明，可得，可得点在平行且到距离为的直线上运动，则当点、、共线时，有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于，过点作， ∴， ∵四边形是长方形也就是矩形，，， ∴，， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在平行且到距离为的直线上运动， 当点、、共线时，，则，此时有最小值， 此时， ∴四边形是长方形， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：．      【点睛】本题考查长方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，等腰直角三角形的性质，垂线段最短，确定点的运动轨迹是解题的关键． 3．已知：在平面直角坐标系中，任意两点，，其两点之间的距离公式为．如：已知，则．同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点之间的距离公式可以简化为或．如：已知，，则． (1)若点A的坐标为，点B的坐标为，点的坐标为，则 ， ，AC= ； (2)若点A的坐标为，点B的坐标为，点是x轴上的动点，求出的最小值； (3)已知一个三角形各顶点坐标为，请判断此三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1)4，3，5 (2)5 (3)是直角三角形，理由见解析 【分析】（1）根据两点间的距离公式求解即可； （2）作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则此时取得最小值，，先求出，再根据两点间的距离公式求出即可； （3）根据两点间的距离公式分别求出，然后根据勾股定理逆定理即可判断． 【详解】（1）∵点A的坐标为，点B的坐标为，点的坐标为， ∴，，． 故答案为：4，3，5； （2）如图，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则此时取得最小值，， ∴． ∵点A的坐标为， ∴． ∵点B的坐标为， ∴． ∴的最小值为5； （3）∵， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形． 【点睛】本题考查了两点间的距离公式，轴对称的性质，坐标与图形变化－轴对称，以及勾股定理逆定理，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 类型四、直角三角形动点求t 1．如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从A点出发以2/秒的速度沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点E运动t秒时，与全等．则符合条件的t值有（  ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，一元一次方程的应用．利用分类讨论的思想，结合三角形全等的判定和性质列出方程求解即可；分类讨论：①当点E在线段上，且时，②当点E在线段延长线上，且时，③当点E在线段上，且时和④当点E在线段延长线上，且时，再分别列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：分类讨论：①当点E在线段上，且时，， ∵动点E的速度为2/秒， ∴， ∴， 解得：； ②当点E在线段延长线上，且时，， ∵动点E的速度为2/秒， ∴， ∴， 解得：； ③当点E在线段上，且时，， ∵动点E的速度为2/秒， ∴， ∴， 解得：； ④当点E在线段延长线上，且时，， ∵动点E的速度为2/秒， ∴， ∴， 解得：． 综上可知符合条件的t值有4个． 故选C． 2．如图，在三角形中，，点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点运动．点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动．两点同时出发，点停止时，点也随之停止．设点运动的时间为秒．当时，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元一次方程的几何应用，等边三角形的性质，含的直角三角形的性质，分点在边上，点在边 上，和点都在边上， 两种情况解答即可求解，应用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：当点在边上，点在边 上时，，如图， ∵， ∴为等边三角形，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 当点都在边上时， ，如图， 同理可得， ∴， ∴， 解得； ∴或， 故答案为：或． 3．已知长方形中，，，连结，点P从点A出发，以的速度沿的方向运动，设P点运动的时间为t（秒）（）． (1)当时，______；当时，_______． (2)若点P在上，用含t的代数式表示的面积． (3)在整个运动过程中，当的面积为长方形面积的时，求t的值． (4)若动点Q与点P同时从点A出发，以的速度沿的方向运动，当P、Q相遇时，他们同时停止运动．当为直角三角形时，直接写出t的值或取值范围． 【答案】(1)6；3； (2)； (3)当的面积为长方形面积的时，t的值为或或或； (4)当为直角三角形时，或或． 【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，三角形的面积，熟练掌握以上知识是解题的关键． （）直接把时间代入即可求解； （）点在上，先表示出，即可表示的面积； （）先求出四边形的面积，再让的面积为长方形面积的，求出点的运动路程，即可求出； （）当为直角三角形时，分情况讨论即可． 【详解】（1）当时，点在上， ∴， 当时，点在上， ∴的运动路程为， ∴， ∴， 故答案为：；； （2）∵点在上， ∴， ∴； （3）四边形的面积为， ∴的面积为长方形面积的时，， 当点在上时，， 解得； 当在上时，， ∴， 解得； 当在上时，， ∴， 解得； 当在上时，， ∴， 解得； 综上，当的面积为长方形面积的时，的值为或或或； （4）有三种情况： 当点在上时，是直角三角形， 此时， 当点在上，点在上时，是直角三角形， 即， ∴， 解得， 则后，都在上，不是直角三角形， ③当点Q在上，点P刚好运动到点D时，是直角三角形， 此时， ∴， 综上，当为直角三角形时，或或． 1．下列命题是假命题的是（   ） A．全等三角形的对应边相等 B．直角三角形的两个锐角互余 C．两点确定一条直线 D．三角形的外角和为 【答案】D 【分析】本题考查了判断命题的真假，熟练掌握全等三角形的性质，直角三角形的性质，多边形的外角和是解题的关键． 根据全等三角形的性质，直角三角形的性质，多边形的外角和等知识点逐项判断即可． 【详解】解：A、全等三角形的对应边相等是真命题，故该选项不符合题意； B、直角三角形的两个锐角互余是真命题，故该选项不符合题意； C、两点确定一条直线是真命题，故该选项不符合题意； D、∵三角形的外角和是，∴三角形的外角和为是假命题，故该选项符合题意； 故选：D． 2．如图，下列四个三角形均为正方形网格图中的格点三角形，其中不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理以及勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题关键． 先根据勾股定理求出边长，再根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、三边长分别为，∵， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意． B、同理可求三边长分别为，∵， ∴不是直角三角形，故本选项符合题意； C、同理可求三边长分别为，∵， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意； D、同理可求三边长分别为，， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：B． 3．如图，在中，，于点，平分，交于点．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，熟记直角三角形两锐角互余是解题的关键．先根据直角三角形的性质求出，再根据角平分线的定义求出，根据直角三角形的性质计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 平分， ， 在中，，， ， 故选：C． 4．如图，，，垂足为点，若，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，掌握直角三角形的性质是解题的关键． 根据，可得，再根据得到，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 5．若三角形的三边长、、满足，则这个三角形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．先根据完全平方公式对已知等式进行化简，再根据勾股定理的逆定理进行判定三角形是直角三角形，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：， ， ， 三角形是直角三角形． ∵， ∴， ∴这个三角形的面积是， 故答案为：． 6．如图，在中，，，平分，，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，角平分线的定义等知识，由和间角的关系可得,延长交于点,由证得,求出,再由证得,得到,从而即可求出的长，熟练掌握其性质并能正确延长,构造全等三角形是解决此题的关键． 【详解】解：如图，延长交于点, , , , ,即, 在和中 ， , 平分, , 在和中, , , , 故答案为：． 7．如图，在中，已知是边上的中线，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线的性质和勾股定理的逆定理，解此题的关键是注意数形结合思想的应用．已知是边上的中线，可求出的长度．由根据勾股定理可以确定为直角三角形，从而得出． 【详解】解： 是边上的中线，， ． ，， ． 为直角三角形． ． 8．如图，在五边形中，，连接．已知．求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，熟悉勾股定理及其逆定理是解答的关键． 先利用勾股定理求出，，再利用勾股定理的逆定理可证明是直角三角形． 【详解】证明：，，，，，． ， ，， ，， ， 是直角三角形． 9．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，线段的端点均在格点上（网格中每个小正方形的顶点叫做格点）．请只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求画图，使所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． 图①                     图② (1)在图①中以为边画一个等腰直角三角形，使它的三边长均是无理数； (2)在图②中以为边画一个直角三角形，使它的两直角边之比为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识． （1）根据要求作出图形即可，然后利用网格及勾股定理求出边长为无理数； （2）根据要求作出图形即可，然后利用网格及勾股定理求出边长即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， ，，三边均为无理数， ∵， ∴是等腰直角三角形； （2）解：如图，即为所求， ，，， ∵， ∴是直角三角形，两直角边之比为． 10．已知：中，，，为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． (1)如图1，当点D在线段上时，过点E作于H，连接，求证：； (2)如图2，当点D在线段的延长线上时，连接交的延长线于点M，探究与的数量关系，并说明理由； (3)当点D在直线上时，连接交直线于M，若，则的值为__________． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)或1 【分析】(1)由可证得,于是可得； (2)过点作,交的延长线于点,由可证得,于是可得,然后利用三角形的面积公式即可得出结论； (3)设,则,分三种情况：当点在线段上时；当点在线段的延长线上时；当点在的延长线上时，过点作,交的延长线于点，由全等三角形的判定与性质可求得相应线段的长，由三角形的面积公式可求解． 【详解】（1）证明：在中，,当点在线段上时，, , , , 在和中, , , ； （2）解：，理由如下， 当点在线段的延长线上时,，如图2，过点作,交的延长线于点, , , ,, , , 在和中, , , , , , ,, ； （3）解：当点在直线上时，交直线于,分三种情况讨论， 当点在线段上时，如图3： , 设,则， 由（1）得：, ,， ， , , ， ， , 在和中 , ， , ， ， ， ， ； 当点在线段的延长线上时，如图4， 由图可得:,不可能， 此种情况不存在； 当点在的延长线上时， 如图5，过点作,交的延长线于点， , 设,则, , , , ， , , 在和中， ， ， ，， , , , ， ， ， 在和中， , , ， ， , ， ， ， 综上所述，或, 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，利用邻补角互补求角度，三角形的面积公式，线段的和与差等知识点，熟练掌握其性质并能灵活添加恰当的辅助线构造全等三角形是解决此题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2. 直角三角形 一、直角三角形的定义 直角三角形是有一个角是直角的三角形。 二、直角三角形的性质 1 角的性质：直角三角形的两个锐角互余，即它们的角度和为90度。 2 边的性质：直角三角形的三边满足勾股定理，即直角边的平方和等于斜边的平方。 3 斜边上的中线：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 4 斜边上的高：直角三角形斜边上的高等于两直角边的乘积除以斜边。 5 特殊直角三角形： 含30°角的直角三角形：30°角所对应的直角边是斜边的一半。 等腰直角三角形：两腰相等，底角相等，且顶角为直角。 三、直角三角形的判定 1 有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2 有两个锐角互余的三角形是直角三角形。 3 勾股定理的逆定理：在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 4 中线逆定理：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，且这边所对的角为直角，那么这个三角形是直角三角形。 巩固课内例1:直角三角形的判定 1．下列条件：①；②；③；④；⑤，其中能确定是直角三角形的条件有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．在中，，，的对边分别是a，b，c，下列条件： ①； ②； ③，，； ④，其中可以判定是直角三角形的有 个． 3．如图，在中，是边上的高，E是边上一点，交于点M，且．求证：是直角三角形． 巩固课内例2:逆命题 1．下列命题的逆命题是假命题的是（    ） A．两直线平行，内错角相等 B．直角三角形的两个锐角互余 C．等腰三角形的两个底角相等 D．对顶角相等 2．下列命题中，其逆命题是真命题的有 ．（只填写序号）    ①四边形是多边形； ②线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等； ③如果两个实数相等，那么它们的平方相等； ④如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形； ⑤对顶角相等． 3．“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是_________，请证明这个逆命题是真命题， 已知：_________ 求证：_________ 巩固课内例3:“HL”全等 1．如图，，，， 要根据“”证明，则还需要添加一个条件是（ ） A． B． C． D． 2．如图，将两块大小完全相同的等腰直角三角板的直角边分别贴紧角的两边，角的顶点与的顶点互相重合，另外两条直角边相交于点，做射线，则射线是的角平分线，其中的原理利用了全等三角形的性质，那么判定的依据是 ． 3．如图，在四边形中，，是上的一点，，，求证：． 类型一、直角三角形的两个锐角互余 1．在一个直角三角形中，一个锐角是，另一个锐角是（    ） A． B． C． D． 2．如图，中，于点，则的度数是 ． 3．如图，中，，，，，求． 类型二、三边构成直角三角形 1．下列各组数中不能作为直角三角形三边的是（     ） A．3 ，4 ，5 B．5 ，12 ，14 C．6 ，8， 10 D．7 ，24 ，25 2．若三角形的三边之比为，则此三角形为 三角形． 3．如图，在四边形中，，为对角线，已知，，，．求证：是直角三角形． 类型三、网格中的直角三角形 1．如图，图中小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，则是（   ）    A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 2．如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C均在格点上（即小正方形的顶点上），则图中的度数为 ． 3．已知在平面直角坐标系中有三点，，，请回答如下问题： (1)在坐标系内描出点、、的位置，连接，，；是__________三角形； (2)画出关于x轴对称的． 类型四、添加条件证全等 1．如图，要根据“HL”判定 ，则需添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 2．如图，，，若判断的依据是“”，还需要添加的一个条件是 ．（只要写出一种情况即可） 3．如图，在中，、、的对边分别是、、，再添加一个条件就能够证明是直角三角形． (1)下面三个条件，依次按照难、中、易排列，请根据自己的认知水平，选择其中一个条件进行解答：①，，（、是正整数，且）；②；③．我选择的条件是_____（填序号）； (2)根据你选择的条件，求证：是直角三角形． 类型一、全等的性质和HL综合 1．如图，在中，，点在边上，，于点，．若，，的面积是，则线段的长为（   ） A．13 B．15 C．16 D．18 2．如图，在和中，，垂足为，，且，．若，则的度数为 ． 3．如图，于点，于点，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 类型二、勾股定理的逆定理求解 1．如图，已知．则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．已知：如图，四边形， ， ，，且．则四边形的面积为 ．    3．某校利用课后服务时间开设创意编程、模型设计打印、无人机等课程延伸科学教育，鼓励学生参与跨学科融合的项目式实践体验活动，现有一个模型设计的任务需要完成． 生活中的数学：确定模型零件平面图的面积 素材一 素材二 如图所示，四边形是模型零件平面图． 通过相应仪器扫描测量：已知，，，，． 问题解决：根据以上素材，请你求出该模型零件平面图的面积． 类型一、两线一圆画直角三角形 1．在平面直角坐标系中，已知点A（2，2），点B（2，-3）．在坐标轴上找一点C，使得△ABC为直角三角形，这样的点C共有（   ）个． A．5 B．6 C．7 D．8 2．如图，已知直线与轴交于点与直线交于点，点为轴上的一点，若为直角三角形，则点的坐标为 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线AB：与轴交于点C，且点，. (1)点C的坐标为 (2)求原点O到直线的距离； (3)在x轴上是否存在一点P，使得是直角三角形?若存在，求出点P的坐标. 类型二、勾股定理逆定理的应用 1．城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．如图，某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街清理出了一块可以绿化的空地（阴影部分）．若，，，，则这块可以绿化的空地（阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 2．为了强化实践育人，开展劳动教育和综合实践活动，某中学现有一块四边形的空地，如图，学校决定开发该空地作为学生的综合实践基地．经学校课外实践小组测量得，米，米，米，米，则四边形的面积为 平方米． 3．如图，某居民小区有一块四边形空地，小道和把这块空地分成了和三个区域，分别摆放三种不同的花卉．已知米，米，米，米． (1)求四边形的面积； (2)小明和小林同时以相同的速度同时从点出发，分别沿和两条不同的路径散步，结果两人同时到达点，求线段的长度． 类型三、最值问题 1．如图，中，，点 D为上一点，点E为上一点，当有最小值时，为（  ） A． B． C． D．不能确定 2．如图，在长方形中，，，为边上的点，且．为边上的动点，以为边在其右侧作等腰直角三角形，．设中点为，则的最小值为 ．      3．已知：在平面直角坐标系中，任意两点，，其两点之间的距离公式为．如：已知，则．同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点之间的距离公式可以简化为或．如：已知，，则． (1)若点A的坐标为，点B的坐标为，点的坐标为，则 ， ，AC= ； (2)若点A的坐标为，点B的坐标为，点是x轴上的动点，求出的最小值； (3)已知一个三角形各顶点坐标为，请判断此三角形的形状，并说明理由． 类型四、直角三角形动点求t 1．如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从A点出发以2/秒的速度沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点E运动t秒时，与全等．则符合条件的t值有（  ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，在三角形中，，点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点运动．点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动．两点同时出发，点停止时，点也随之停止．设点运动的时间为秒．当时，则的值为 ． 3．已知长方形中，，，连结，点P从点A出发，以的速度沿的方向运动，设P点运动的时间为t（秒）（）． (1)当时，______；当时，_______． (2)若点P在上，用含t的代数式表示的面积． (3)在整个运动过程中，当的面积为长方形面积的时，求t的值． (4)若动点Q与点P同时从点A出发，以的速度沿的方向运动，当P、Q相遇时，他们同时停止运动．当为直角三角形时，直接写出t的值或取值范围． 1．下列命题是假命题的是（   ） A．全等三角形的对应边相等 B．直角三角形的两个锐角互余 C．两点确定一条直线 D．三角形的外角和为 2．如图，下列四个三角形均为正方形网格图中的格点三角形，其中不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，于点，平分，交于点．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 4．如图，，，垂足为点，若，则 ． 5．若三角形的三边长、、满足，则这个三角形的面积是 ． 6．如图，在中，，，平分，，若，则的长为 ． 7．如图，在中，已知是边上的中线，若，求的度数． 8．如图，在五边形中，，连接．已知．求证：是直角三角形． 9．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，线段的端点均在格点上（网格中每个小正方形的顶点叫做格点）．请只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求画图，使所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． 图①                     图② (1)在图①中以为边画一个等腰直角三角形，使它的三边长均是无理数； (2)在图②中以为边画一个直角三角形，使它的两直角边之比为． 10．已知：中，，，为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． (1)如图1，当点D在线段上时，过点E作于H，连接，求证：； (2)如图2，当点D在线段的延长线上时，连接交的延长线于点M，探究与的数量关系，并说明理由； (3)当点D在直线上时，连接交直线于M，若，则的值为__________． 学科网（北京）股份有限公司 $$