1.等腰三角形 -2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版）

1. 等腰三角形 一、等腰三角形的定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。 二、等腰三角形的性质 1.等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”。 2.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称“等腰三角形三线合一”。 3.等腰三角形的两底角的平分线（两腰上的高、两腰上的中线）相等。 三、等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，可以简单地说成：在一个三角形中，等角对等边。 四、等腰三角形的相关计算 在等腰三角形中，若已知一条边的长度和一个角度，可以利用等腰三角形的性质和三角形内角和为180度的定理，计算出其他边和角的大小。 五、等腰三角形的轴对称性 等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（底边上的高线或中线）所在的直线是它的对称轴。 六、反证法在等腰三角形中的应用 在证明等腰三角形的某些性质或命题时，可以采用反证法，即先假设命题的结论不成立，然后推导出与已知条件或已证明的定理相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。 七、等边三角形的性质 1.三边相等：等边三角形的三条边长都相等。 2.三角相等：等边三角形的三个角都相等，且每个角都是60度。 3.三线相等（中线、高线、角平分线）：在等边三角形中，中线、高线和角平分线互相重合，并且都相等。 4.对称性：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，分别是三条中线。 八、等边三角形的判定 1.三边相等：如果一个三角形的三条边长都相等，那么这个三角形是等边三角形。 2.三角相等：如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形。 3.两角相等且一边相等：如果一个三角形有两个角相等，且这两个角所夹的一边与另一边的两边相等（即满足ASA条件），那么这个三角形是等边三角形。 九、直角三角形中的30°角 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 巩固课内例1:等腰三角形的性质 1．一个等腰三角形的两条边分别是9厘米、4厘米，它的周长是（    ）厘米． A．22 B．17 C．22或17 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边长的关系，掌握等腰三角形的定义和性质是解题的关键． 根据等腰三角形的定义和性质，分类讨论：当腰是9厘米，底是4厘米时，周长为22厘米；当腰是4厘米，底是9厘米时，根据三角形三边关系判定此种情况不符合题意，由此即可求解． 【详解】解：当腰是厘米，底是厘米，即等腰三角形的三边长为：厘米，厘米，厘米， ∴周长为（厘米）； 当腰是厘米，底厘米，即等腰三角形的三边长为：厘米，厘米，厘米， ∵，不能构成三角形， ∴此种情况不符合题意，舍去； ∴等腰三角形的周长为22厘米， 故选：A ． 2．如图，在中，，交于点，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据，，可求出的度数，得等腰三角形，在根据含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，且， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查等腰三角形，含角的直角三角形的综合，掌握等腰三角形的性质，含角的直角三角形的角与边的关系是解题的关键． 3．如图，在中，，D是的中点，E是边上一点，连接，，且． 若，求的度数．    【答案】 【分析】利用等腰三角形的判定及性质及可求解． 【详解】解：，， ， 是的中点，， 是的垂直平分线， ， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键． 巩固课内例2:等腰三角形的判定 1．如图，是等边三角形，点D、E、F在内部，点D在上，点E在上，点F在上，且，则的形状是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】此题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定， 根据题意设，则，，然后根据等边三角形的性质得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵ ∴设，则， ∵是等边三角形， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴的形状是等腰三角形． 故选：A． 2．如图，是的边上的中线，由下列条件中的某一个就能推出是等腰三角形的是 （把所有正确的序号都填在横线上）． ①；②；③． 【答案】①② 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，全等三角形的性质和判定，注意充分利用所学知识求解． 可根据全等三角形的性质和判定判断①②③是否正确； 【详解】解：①当时，且是的边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ②当时， 过点作，， ∴， ∴， ∴， ∵是的边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ③∵，是的边上的中线， ∴， ∴不能证明和全等，无法判定； 故答案为：①②． 3．在中，的平分线交于点，于点，， (1)试判断的形状，并说明理由． (2)若，求的长． 【答案】(1)是等腰三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查等腰三角形的判定，与角平分线有关的计算，含30度角的直角三角形的性质： （1）角平分线求出的度数，三角形的内角和求出的度数，根据等角对等边即可得出结论； （2）根据含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下： ∵的平分线交于点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）∵， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴． 巩固课内例3:反证法 1．已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①∴，这与三角形内角和为矛盾 ②因此假设不成立，∴ ③假设在中， ④由，得，即 这四个步骤正确的顺序应是（    ） A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①② 【答案】D 【分析】本题考查反证法，解题的关键是掌握反证法的一般步骤：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．据此进行判断即可．也考查了等边对等角． 【详解】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤： ③假设在中，， ④由，得，即， ①∴，这与三角形内角和为矛盾， ②因此假设不成立，∴， ∴这四个步骤正确的顺序应是③④①②． 故选：D． 2．命题“若中，，则”的结论是 ，若用反证法证明此命题时应假设 ． 【答案】 【分析】根据反证法，从命题的结论反面出发进行假设进而得出答案． 【详解】命题“若中，，则”的结论是， 若用反证法证明此命题时应假设． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了反证法，熟练掌握反证法的第一步是解题的关键． 3．用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角． 已知：． 求证：中不能有两个角是直角． 【答案】证明见解析 【分析】根据反证法的证法步骤知：第一步反设，假设三角形的三个内角、、中有两个直角，不妨设，第二步得出矛盾：，这与三角形内角和为相矛盾，不成立；第三步下结论：所以一个三角形中不能有两个直角，从而得出原命题正确． 【详解】证明：假设三角形的三个内角、、中有两个直角，不妨设， 则，这与三角形内角和为相矛盾， 不成立； ∴一个三角形中不能有两个直角． 【点睛】此题主要考查了反证法的应用，反证法是一种简明实用的数学证题方法，也是一种重要的数学思想．相对于直接证明来讲，反证法是一种间接证法．它是数学学习中一种很重要的证题方法．其实质是运用“正难则反”的策略，从否定结论出发，通过逻辑推理，导出矛盾． 巩固课内例4:腰上的高与另一个腰夹角问题 1．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，分高在三角形的内部和外部，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：如图，当高在三角形的内部时： 由题意，得：，， ∴； 当高在三角形的外部时，如图： 由题意，得：， ∴， ∴； 故选D． 2．等腰三角形有一个角的度数为，则它一条腰上的高与另一条腰的夹角的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，分的角分别为顶角和底角两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当的角为顶角时，如下图， ∴一腰上的高与另一条腰所夹的角为， 当的角为底角时，则：顶角， ∴一腰上的高与另一条腰所夹的角为； 故答案为：或． 3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，求这个三角形的底角的度数． 解：（1）当等腰三角形的顶角是锐角时， 【作图区】 【解答区】 （2）当等腰三角形的顶角是钝角时， 【作图区】 【解答区】 【答案】（1）见解析，；（2）见解析， 【分析】先知三角形有两种情况（1）（2），求出每种情况的顶角的度数，再利用等边对等角的性质（两底角相等）和三角形的内角和定理，即可求出底角的度数． 【详解】解：（1）当等腰三角形的顶角是锐角时， [作图区] 如图①，过点作于点．    [解答区] 因为，所以． 因为， 所以． （2）当等腰三角形的顶角是钝角时， [作图区] 如图②，过点作交的延长线于点．    [解答区] 因为，所以． 因为， 所以． 【点睛】本题考查了三角形有关高问题有两种情况的理解和掌握，能否利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质，知三角形的一个角能否求其它两角． 类型一、等腰三角形的定义 1．若等腰三角形的两边长分别是4和9，则它的周长是（    ） A．17 B．22 C．17或22 D．13 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的定义、三角形的三边关系，分类讨论是解答的关键．由题意分该等腰三角形的腰长分别为4和9两种情况，结合三角形三边间的关系进行讨论，然后再根据三角形的周长公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，分以下两种情况进行讨论： （1）当该等腰三角形的腰长为4时，因为，不组成三角形，所以这种情况不成立； （2）当该等腰三角形的腰长为9时，因为，组成三角形，此时该等腰三角形的周长． 综上所述，该等腰三角形的周长为22． 故选：B． 2．等腰三角形中一个角为，则这个等腰三角形的顶角的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，根据等腰三角形的底角相等，内角和等于180度，可判断出的角只能为等腰三角形的顶角． 【详解】解：， 的角只能为等腰三角形的顶角， 这个等腰三角形的顶角的度数为， 故答案为：． 3．一个等腰三角形的周长为18，其中一边长是8，求出其他两边的长． 【答案】8，2或5，5 【分析】依题意，根据等腰三角形的性质，已知一条边长为，不明确具体名称，故可分情况讨论腰长的值，还要依据三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：当腰为8时，三边为8，8，2能构成三角形； 当底为8时，腰为5，5，也能构成三角形， 所以这个等腰三角形的其它两条边的长分别为：8，2或5，5． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 类型二、等边对等角 1．等腰三角形的一个内角是，则它的底角是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分的角是底角和顶角两种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：当的角是底角时，底角即为； 当的角是顶角时，底角为； ∴它的一个底角的度数是或， 故选：C． 2．若等腰三角形的一个内角为，则它的底角的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的定义、三角形内角和定理，解题的关键是注意分情况讨论，避免漏解． 分是等腰三角形的底角或顶角两种情况，利用三角形内角和定理求解． 【详解】解：①是等腰三角形的底角， ②当是等腰三角形的顶角时， 它的底角的度数为：，符合要求； 故答案为：或． 3．如图，在中，点D在边上，．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查等边对等角，三角形的外角的性质，先根据等边对等角得出，，再根据三角形的外角得出，进而可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， 是的外角， ， ． 类型三、三线合一 1．如图，在中，，，垂足为D，，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，掌握此性质是关键；由，得，则即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故选：D． 2．如图，在中，是的高线．若，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，掌握这一性质是关键；由是等腰底边上的高，则D点是底边的中点，则，从而可求解． 【详解】解：∵是的高线， ∴， ∴， 故答案为：2． 3．如图，在中，平分，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使得成立，并证明． 条件①于点，于点； 条件②． 【答案】见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定和等腰三角形三线合一，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答本题的关键．条件①：根据题干可证，再利用三角形三线合一可证明垂直；条件②：根据题干过点作于点，过点作于点，可证，，再得，易得，再利用三角形三线合一可证明垂直． 【详解】解：选择①，证明：于点，于点， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， 又平分， ； 选择②，证明：如图，过点作于点，过点作于点， ， 又平分， ， 在和中， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 即， 又平分， ． 类型四、等腰三角形的个数 1．如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°图中的等腰三角形个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】先计算出∠BDC，再计算出∠ABC，然后等腰三角形的判定方法对图形中的三角形进行判断． 【详解】∵∠A=36°，∠DBC=36°， ∴△ABD为等腰三角形， ∵∠BDC=∠A+∠DBC=26°+36°=72°， 而∠C=72°， ∴∠BDC=∠C， ∴△BDC为等腰三角形， ∵∠ABC=180°-∠A-∠C=72°， ∴∠ABC=∠C， ∴△ABC为等腰三角形． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等． 2．如图，在3×3的网格中有A、B两点，任取一个格点E，则满足△EAB是等腰三角形的点E有 个． 【答案】5 【分析】根据等腰三角形的判定可得答案． 【详解】解：如图， 满足△EAB是等腰三角形的点E有5个， 故答案为5． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定，解题的关键是学会分类讨论，注意不能漏解． 3．如图，点D在AC上，，．你能在图中找到几个等腰三角形？分别说出每个等腰三角形的腰、底边和顶角． 【答案】见解析 【分析】根据等腰三角形的定义，即可进行解答． 【详解】解：∵， ∴为等腰三角形， 中，腰：和，底边：，顶角为； ∵， ∴为等腰三角形， 中，腰：和，底边：，顶角为． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的相关定义，解题的关键是掌握在等腰三角形中，相等的两条边为腰，另外一条边为底边，底边所对的角为顶角． 类型五、等边三角形的性质 1．已知等边的一边长为2，则它的周长是（   ） A．2 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键；因此此题可根据等边三角形的三条边都相等进行求解即可． 【详解】解：由等边的一边长为2，可知：该等边三角形的三条边都为2，所以它的周长为6； 故选C． 2．若等边的周长为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，牢记等边三角形的性质是解题的关键：等边三角形的三边都相等，三个内角都相等，并且每一个内角都等于． 根据等边三角形的性质及已知条件即可直接得出答案． 【详解】解：是等边三角形， ， 又等边的周长为， ， ， 故答案为：． 3．如图，已知是等边三角形，是中线，延长到E，使． (1)若，求的长； (2)求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据等边三角形三边相等的性质及中线性质，可得，再由题意，解得的长，最后由线段和，据此解题即可； （2）由等边三角形的性质可得，结合可得，再根据“三角形的一个外角等于其不相邻两个内角的和”可得，即可求解． 【详解】（1）∵是等边三角形， 是中线， ， ∴， ∴； （2）∵是等边三角形， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、中线的性质、三角形的一个外角等于其不相邻的两个内角的和、以及等边对等角；熟练掌握相关知识是解题关键． 类型一、等腰三角形的性质与判定 1．如图，在中，，，，垂足为A，若，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．先利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形内角和定理可得，再根据垂直定义可得，然后利用含30度角的直角三角形的性质可得，再利用角的和差关系可得，从而可得，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．如图，在中，，高交于点．若，，则 ．    【答案】3 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定、全等三角形对应边相等的性质．先由已知证明可得，进而证明，即可求得继而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 3．如图，是的角平分线，是的中点，，交于点，交于点． (1)若，，则___________度； (2)若，求的长． 【答案】(1)35 (2) 【分析】本题主要考查了平行线性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握平行线是性质，等腰三角形的判定是解决问题的关键． （1）由平行线的性质得到，，根据三角形内角和定理和角平分线的定义即可求得答案； （2）根据角平分线的定义和平行线的性质证得，根据等腰三角形的判定即可求得答案． 【详解】（1）解：，， ，， ， ， 平分， ， ， 故本题答案为：35； （2）是的中点，， ， ， ， ， ， ． 类型二、等角对等边 1．如图，的两个角平分线交于点，过点作的平行线交、于点、，已知，，则的周长为（   ） A．15 B．12 C．9 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边判定等腰三角形，掌握角平分线的定义，等角对等边的性质是解题的关键． 根据角平分线的定义，平行线的性质可得，则的周长为，由此即可求解． 【详解】解：∵的两个角平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为， 故选：A ． 2．如图，中，是角平分线，交于E，交于D，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等角对等边，角平分线的定义和平行线的性质，根据角平分线的定义和平行线的性质可推出，则由等边对等角得到，据此根据线段的和差关系可得答案． 【详解】解：∵是角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．如图，在中，，高，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定、全等三角形对应边相等的性质．解决本题的关键是证明． （1）先由已知得到，即可证明，即可求得； （2）由（1）得，，从而，再利用线段的和差即可得解． 【详解】（1）证明：∵高，交于点， ∴，， ， ∴是等腰直角三角形， ， ∵，， ∴，，， ， 在和中， ， ， ∴； （2）解：由（1）得，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 类型三、等边三角形的判定 1．给出下列三角形：①有两条边相等的三角形；②有一个角等于的等腰三角形；③有两个外角相等的三角形；④一条腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（   ） A．①② B．②④ C．①③ D．②③ 【答案】B 【分析】此题主要考查了等边三角形的判定，等腰三角形的定义，三角形的外角，熟练掌握等边三角形的判定是解决问题的关键． 根据等边三角形的判定定理，对题目中给出的四个三角形逐一进行甄别即可得出答案． 【详解】解：①有两条边相等的三角形是等腰三角形，证明不出等边三角形，故错误； ②有一个角等于的等腰三角形是等边三角形，正确； ③有两个外角相等的三角形不一定是等边三角形，因为两个外角相等，则两个内角相等，只能证明为等腰三角形，故错误； ④由题意得，如图， 则，而， ∴， ∴， ∴， 故为等边三角形， 故④正确， 故选：B． 2．在中，，，的对边分别是a，b，c，且满足，则是 三角形． 【答案】等边 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，绝对值和完全平方式的非负性， 根据绝对值和完全平方公式的非负性求出a，b，c的关系，可得答案． 【详解】解：， ，且， ， 是等边三角形， 故答案为：等边． 3．如图，在中，是的延长线上一点，分别交，于点，，，，是中点，．试判断的形状，并说明理由． 【答案】是等边三角形，详见解析 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定及等边三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质及等边三角形的判定是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而根据等边三角形的判定可进行求解． 【详解】解：是等边三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵，是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 类型四、含30°角的直角三角形 1．如图，在中，，，，则的长是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查含30度角直角三角形的性质，熟悉含30度角直角三角形的性质是解答本题的关键． 根据含30度角直角三角形的性质，可得，即可求出． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴． 故选：C． 2．如图，已知中，，，平分，且交于点D，，那么的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质、角平分线定义以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握含角的直角三角形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键．由直角三角形的性质和角平分线定义得，则，，得，再求出，即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 3．如图，在等边中，点在边上，过点作交于点，过点作，交的延长线于点．已知，求线段的长度． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，30度角所对的直角边是斜边的一半，先得出，结合30度角所对的直角边是斜边的一半，则，最后运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ， ， ， 在中，． 类型一、两圆一线画等腰三角形 1．在平面直角坐标系中，已知点 ，Q是y轴上一点，则使 为等腰三角形的点的个数为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定与性质；分情况进行分析是正确解答本题的关键． 由于点的位置不确定，所以应当讨论，当时，可得到点，当时，可得到一点．当时， 【详解】如图所示： ， 分三种情况： 当时，分别以为圆心，以长为半径作圆，与 y 轴交点点，，； 当时，分别以为圆心，以长为半径作圆，与 y 轴交与另一点，； 当时，作线段的垂直平分线，与 y 轴的交点可得到一点，． 综上所述：使 为等腰三角形的点的个数为4 个， 故选：B． 2．已知点A在直线上，点A横坐标为2，点P 在x轴上，使是等腰三角形则P的坐标为 ． 【答案】或或或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，两点间距离公式，和正比例函数的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先求出，设，则，再分类讨论，解方程即可． 【详解】解：由题意得，把代入得， ∴， 设， ∴， 当，则，∴， 解得：或（舍）， ∴； 当，则，∴, 解得：， ∴； 当，即，∴， 解得：， ∴或， 综上所述：是等腰三角形，P的坐标为或或或， 故答案为：或或或． 3．如图所示，在平面直角坐标系中，点，点，且    (1)求点，的坐标； (2)若直线交轴负半轴于点，求的面积； (3)在轴上是否存在点，使以，，三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在．请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或或或 【分析】本题是三角形综合题，考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，三角形的面积，非负数等，分类求解是解题的关键． （1）根据题意求出，，进而即可求解； （2）由勾股定理得出，设，则，求出m得到，即可求解； （3）当时，列出方程，解方程即可求解；当或时，同理可解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，； （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴的面积； （3）解：设点， 由点A、B、P的坐标得，，，， 当时，，则，解得：（舍去）或，即点； 当时，，则，解得：，即点或， 当时，，则，解得：，即点， 综上，或或或． 类型二、尺规作图——等腰三角形 1．如图是一个直角三角形，若以这个直角三角形的一边为边画一个等腰三角形，使它的第三个顶点在这个直角三角形的其他边上，那么这样的等腰三角形在图中能够作出的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】1、以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD即可；2、以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于D，连接CD即可；3、作AB的垂直平分线，交AC于D，连接BD即可；4、以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于D，连接CD即可；5、以C为圆心，BC长为半径画弧，交AB于D，连接CD即可；6、作AC的垂直平分线，交AB于D，连接CD即可． 【详解】解：如图所示： ∴这样的等腰三角形在图中能够作出的个数为6种； 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是作图-应用与设计作图，判断出等腰三角形的腰长是解题的关键． 2．如图，．分别以点A、B为圆心，长为半径画圆弧−两圆弧交于点C，再以点C为圆心，以长为半径画圆弧交的延长线于点D，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】由作图步骤可得为等边三角形，，然后得到，根据勾股定理列式，并代入数据计算即可； 【详解】解：由分别以点A、B为圆心，长为半径画圆弧，两圆弧交于点C， 得：， 为等边三角形， ， 由以点C为圆心，以长为半径画圆弧交的延长线于点D， 得：， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了尺规作图，等腰三角形以及等边三角形的性质与判定、解直角三角形等知识点，尺规作图的准确理解是解题关键． 3．在如图的三角形中，若，哪些能被过一个顶点的一条直线分成两个小等腰三角形？能被过一个顶点的一条直线分为两个小等腰三角形的请作出这条直线． 【答案】①③④能被过一个顶点的一条直线分为两个小等腰三角形，②不能，图见解析． 【分析】此题考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，根据等腰三角形的判定对个选项逐一分析，只有不能被一条直线分成两个小等腰三角形，此题的4个选项中只有图有点难度． 【详解】解：如图所示： ①作的角平分线，则分为两个小等腰三角形； ②不能过一个顶点的一条直线分为两个小等腰三角形； ③过点作的垂线，则分为两个小等腰三角形； ④以为顶点，为一边在三角形内部作一个度角，则分为两个小等腰三角形． 类型三、手拉手模型 1．如图，C是线段上一点，以、为边，在的同侧作等边和，交于F，交于G，与相交于H，则下列结论：①；②；③；④；⑤⑥，其中正确的结论有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．根据等边三角形的性质可得，从而可得，，利用定理可证，即结论①正确；根据全等三角形的性质可得，利用定理可证，即结论②正确；根据全等三角形的性质可得，即结论④正确；利用定理可证，即结论③正确；根据对顶角相等可得，再根据三角形的内角和定理即可得结论⑤正确；因为题中没有告知等边和的边长关系，所以不能证明，即结论⑥错误． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴，则结论①正确； ∴， 在和中， ， ∴，则结论②正确； ∴，则结论④正确； 在和中， ， ∴，则结论③正确； 又∵，， ∴ ，则结论⑤正确； 因为题中没有告知等边和的边长关系，所以不能证明，则结论⑥错误； 综上，正确的结论有5个， 故选：D． 2．如图，在中，，，分别以，为边在外作等边和等边，连结，． （1），则 ； （2）若，则的长为 ． 【答案】 /36度 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，然后根据三角形的内角和定理解题即可； （2）根据等边三角形的性质可以证明，即可得到，过点E作于点F，然后利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 过点E作于点F， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 3．数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． (1)【模型探究】如图1，和中，，，且，连接，．这一图形称为“手拉手模型”． 求证：，请你完善下列过程． 证明：∵， ∴即 在和中， ∴（    ）③ (2)【模型应用】如图2，中，，，以为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点D，使，求：的度数．小颖同学通过观察，联想到手拉手模型，在上找一点E，使，最后使问题得到了解决．请你帮她写出解答过程． (3)【拓展延伸】如图，中，，为任意角度，若射线不与腰相交，而是从端点向右下方延伸．仍在射线上取点，使，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)，， (2)，过程见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解本题的关键． （1）由全等三角形的判定可得出结论； （2）在上取一点，使，证明，由全等三角形的性质得出，由三角形内角和定理可得出答案； （3）在延长线上取一点，使得，由全等三角形的性质可得出结论． 【详解】（1）证明：， ，即， 在和中， ， ， 故答案为：，； （2）解：如图，在上取一点，使， ，， ，， ， ， ， ， 又，，， ， ， 设和交于点， ， ； （3）解：， 理由：如图，在延长线上取一点，使得， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 类型四、等腰三角形的动点求t 1．如图，等边的边长为，动点、分别从、两点出发，沿、方向匀速运动，它们的速度都是厘米/秒，当点到达点时，、两点停止运动，设、两点运动的时间为秒，若为直角三角形时，则的值是（    ） A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．秒 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识．分两种情况：①当时，②当时，根据含的直角三角形的性质，得到关于的方程即可求解． 【详解】解：分两种情况： ①当时，如图所示： 由题意可得：，， 为等边三角形， ， ， ，即， 解得：； ②当时，如图所示： 由题意可得：，， 为等边三角形， ， ， ，即 解得：， 综上，的值是秒或秒． 故选：C． 2．如图，，是延长线上一点，，动点从点出发沿以的速度运动，动点从点出发沿以的速度移动，如果点、同时出发，用表示移动的时间，当 时，是等腰三角形． 【答案】或10 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，等边三角形的性质和判定；解题时把几何问题转化为方程求解，是常用的方法，注意要分类讨论，当点在点的左侧还是在右侧是解答本题的关键． 根据等腰三角形的判定，分两种情况：（1）当点在线段上时；（2）当点在的延长线上时．分别列式计算即可求． 【详解】解：分两种情况：（1）当点在线段上时， 设时后是等腰三角形， 有， 即， 解得，； （2）当点在的延长线上时，此时经过时的时间已用， 当是等腰三角形时，， 是等边三角形， ， 即， 解得， 故答案为：或10． 3．如图，点P和点Q分别是平面直角坐标系中x轴和y轴上的两个动点，点A的坐标为，点P从点A开始沿射线方向运动，速度为每秒2个单位长度，点Q从原点开始沿y轴正方向运动，速度为每秒1个单位长度，它们同时出发，设运动时间为t秒． (1)当时，的面积为________，当时，的面积为________； (2)当是等腰三角形时，求t值； (3)若和的角平分线所在的直线交于点B，直接写出的度数． 【答案】(1)6；14 (2)t的值为或10 (3)的度数为或 【分析】本题主要考查三角形面积公式、等腰三角形的性质、角平分的性质、三角形的内角和定理及外角性质、坐标与图形，解题的关键是熟悉动态思想和分类讨论思想的应用． （1）由题意可知，当时，，，则可知，再根据三角形面积公式求解即可，同理求出当时，三角形的面积． （2）由可得出，然后分两种情况，当点P在线段上时和当点P在线段的延长线上时分别求解即可． （3）当点P在线段上时，根据角平分得，，结合三角形的外角性质得和，即可求得；当点P在线段的延长线上时，利用三角形内角和定理和外角性质同理可得． 【详解】（1）解：∵ ∴， 当时，，， ∴， ∴； 当时，，， ∴， ∴， 故答案为：6，14． （2）解：∵是直角三角形，， ∴当是等腰三角形时，， ∵， ∴当点P在线段上时，即， 则， 解得：； 当点P在线段的延长线上时，即， 则， 解得； ∴t的值为或10． （3）解：当点P在线段上时，如图， ∵和的角平分线所在的直线交于点B， ∴，， ∵，， ∴，即， ∵， ∴； 当点P在线段的延长线上时， 如图， 则， ∵和的角平分线所在的直线交于点B， ∴，， ∴， ∵， ∴； 综上所述，的度数为或． 1．大观公园是国家4A级旅游景区，始建于明朝洪武元年（公元1368年），位于昆明市以西约2公里的滇池湖畔，完好保存着许多古典园林建筑群，既反映中国清代古建筑的风格，又具有云南地方民族建筑的特色，是云南清代园林建筑的博览苑．如图，建筑的顶端可看作等腰三角形，，是的中点．下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质，根据等腰三角形的等边对等角可判断选项A，根据三线合一可判断选项B、C，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴，故选项A正确； ∵，是的中点， ∴，，故选项B、C正确． 由已知得不到，故D不正确； 故选：D 2．下列命题为真命题的是（   ） A．每个定理都有逆定理 B．三个角对应相等的两个三角形全等 C．等腰三角形的底角必为锐角 D．等腰三角形的顶角一定是锐角 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定定理，定理的定义，根据等腰三角形的性质，全等三角形的判定定理，定理的定义，逐一判断各个选项即可． 【详解】解：A．每个定理都有逆命题，但不一定有逆定理，故不正确，是假命题； B．三个角对应相等的两个三角形不一定全等，故不正确，是假命题； C．等腰三角形的底角必为锐角，正确，是真命题； D．等腰三角形的顶角不一定是锐角，故不正确，是假命题； 故选C． 3．如图，在等腰中，，点是边上的中点，，交于点．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质等知识，先根据等边对等角求出，然后根据三角形内角和定理求出，再根据三线合一的性质求出，最后根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，点是边上的中点， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 4．如图，在中，，，则的长是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，掌握其性质是解题的关键． 根据含角的直角三角形的性质“直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半”即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴， 故答案为：4 ． 5．在中，，当 度时，是等腰三角形． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理．根据等角对等边以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：在中，，是等腰三角形， 当为顶角时，则； 当为底角时，则，不存在这种情况； ∴当时，是等腰三角形， 故答案为：． 6．如图，在中，，于点，，，则的长度是 ． 【答案】6 【分析】本题考查直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，同角的余角相等的性质，熟记相关性质是解题关键． 根据同角的余角相等求出，再根据角所对的直角边等于斜边的一半求出、的长，然后根据计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴． 故答案为：6． 7．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，请在如图的网格中画出两个以为边的，使是等腰直角三角形．（要求：点C在格点上） 【答案】见解析 【分析】本题考查作图—应用与设计，等腰直角三角形等知识，根据等腰直角三角形的定义以及数形结合的思想解决问题即可． 【详解】解：如图，三角形即为所作． ． 8．如图：在中，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形的外角性质． （）根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质解答即可； （）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理以及外角的性质，得出数量关系解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 9．【问题提出】 （1）如果三角形的外角等于与它不相邻的其中一个内角的2倍，那么这个三角形是等腰三角形． 小明通过思考，画出图1，是的外角，已知，请你通过图1对上述命题进行证明； 【初步应用】 （2）如图2，在中，于，，求证：． 【拓展提升】 （3）如图3，中，，平分交于点，的周长为10，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据外角的性质得到，然后结合得到，即可证明出是等腰三角形； （2）如图1，延长至，使得，连接，得到，证明出，然后结合得到； （3）如图2，中，延长到点，使得，连接，根据题意证明出，得到，进而求解即可． 【详解】（1）证明：是的外角， ， 又， ， ， 是等腰三角形； （2）证明：如图1，延长至，使得，连接， 则， ， 又， ， ， 又于， ； （3）解：如图2，中，延长到点，使得，连接， 则， ， 又， ， 又平分， ， 又， ， ，即， 又的周长为10，， ，即， ． 【点睛】此题考查了三角形外角的性质，等边对等角性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 10．等腰直角和直角顶点重合，，，． (1)如图1，连接，，判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，连接，，若是中点，判断与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，延长至点，满足，然后连接，，当，，绕点旋转得到，，三点共线时，求线段的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)或 【分析】（1）用证明，即可判断； （2）过点作交的延长线于点，先证明，得到，，再证明，得到，从而得到和的数量关系； （3）过点作与，利用旋转的性质和勾股定理，可得，，利用可计算出答案；过点作于，同理可得，，，利用可得答案． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ，， ， ； （2）解：，理由如下： 过点作交的延长线于点，如图所示： ， ， ， 是中点， ， ， ， ，， ， ， ∵， ， ， ，， ， ， ， ； （3）解：绕点旋转得到，，三点共线； ①如图所示：过点作于， ，是等腰直角三角形，，， ，， 在中， ， ； ②如图所示：过点作于， 同理可得，，， ， 此时； 综上，的长为或． 【点睛】本题主要考查三角形的全等的判定和性质，旋转的性质，勾股定理及等腰三角形的性质，理解图示中旋转的规律，掌握三角形全等的判定和性质，直角三角形中勾股定理的运算是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1. 等腰三角形 一、等腰三角形的定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。 二、等腰三角形的性质 1.等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”。 2.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称“等腰三角形三线合一”。 3.等腰三角形的两底角的平分线（两腰上的高、两腰上的中线）相等。 三、等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，可以简单地说成：在一个三角形中，等角对等边。 四、等腰三角形的相关计算 在等腰三角形中，若已知一条边的长度和一个角度，可以利用等腰三角形的性质和三角形内角和为180度的定理，计算出其他边和角的大小。 五、等腰三角形的轴对称性 等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（底边上的高线或中线）所在的直线是它的对称轴。 六、反证法在等腰三角形中的应用 在证明等腰三角形的某些性质或命题时，可以采用反证法，即先假设命题的结论不成立，然后推导出与已知条件或已证明的定理相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。 七、等边三角形的性质 1.三边相等：等边三角形的三条边长都相等。 2.三角相等：等边三角形的三个角都相等，且每个角都是60度。 3.三线相等（中线、高线、角平分线）：在等边三角形中，中线、高线和角平分线互相重合，并且都相等。 4.对称性：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，分别是三条中线。 八、等边三角形的判定 1.三边相等：如果一个三角形的三条边长都相等，那么这个三角形是等边三角形。 2.三角相等：如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形。 3.两角相等且一边相等：如果一个三角形有两个角相等，且这两个角所夹的一边与另一边的两边相等（即满足ASA条件），那么这个三角形是等边三角形。 九、直角三角形中的30°角 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 巩固课内例1:等腰三角形的性质 1．一个等腰三角形的两条边分别是9厘米、4厘米，它的周长是（    ）厘米． A．22 B．17 C．22或17 D．无法确定 2．如图，在中，，交于点，，，则的长为 ． 3．如图，在中，，D是的中点，E是边上一点，连接，，且． 若，求的度数．    巩固课内例2:等腰三角形的判定 1．如图，是等边三角形，点D、E、F在内部，点D在上，点E在上，点F在上，且，则的形状是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 2．如图，是的边上的中线，由下列条件中的某一个就能推出是等腰三角形的是 （把所有正确的序号都填在横线上）． ①；②；③． 3．在中，的平分线交于点，于点，， (1)试判断的形状，并说明理由． (2)若，求的长． 巩固课内例3:反证法 1．已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①∴，这与三角形内角和为矛盾 ②因此假设不成立，∴ ③假设在中， ④由，得，即 这四个步骤正确的顺序应是（    ） A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①② 2．命题“若中，，则”的结论是 ，若用反证法证明此命题时应假设 ． 3．用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角． 已知：． 求证：中不能有两个角是直角． 巩固课内例4:腰上的高与另一个腰夹角问题 1．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为（    ） A． B．或 C．或 D．或 2．等腰三角形有一个角的度数为，则它一条腰上的高与另一条腰的夹角的度数是 ． 3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，求这个三角形的底角的度数． 解：（1）当等腰三角形的顶角是锐角时， 【作图区】 【解答区】 （2）当等腰三角形的顶角是钝角时， 【作图区】 【解答区】 类型一、等腰三角形的定义 1．若等腰三角形的两边长分别是4和9，则它的周长是（    ） A．17 B．22 C．17或22 D．13 2．等腰三角形中一个角为，则这个等腰三角形的顶角的度数为 ． 3．一个等腰三角形的周长为18，其中一边长是8，求出其他两边的长． 类型二、等边对等角 1．等腰三角形的一个内角是，则它的底角是（    ） A． B． C．或 D．或 2．若等腰三角形的一个内角为，则它的底角的度数为 ． 3．如图，在中，点D在边上，．若，求的度数． 类型三、三线合一 1．如图，在中，，，垂足为D，，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．如图，在中，是的高线．若，则的长为 ． 3．如图，在中，平分，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使得成立，并证明． 条件①于点，于点； 条件②． 类型四、等腰三角形的个数 1．如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°图中的等腰三角形个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．如图，在3×3的网格中有A、B两点，任取一个格点E，则满足△EAB是等腰三角形的点E有 个． 3．如图，点D在AC上，，．你能在图中找到几个等腰三角形？分别说出每个等腰三角形的腰、底边和顶角． 类型五、等边三角形的性质 1．已知等边的一边长为2，则它的周长是（   ） A．2 B．5 C．6 D．8 2．若等边的周长为，则 ． 3．如图，已知是等边三角形，是中线，延长到E，使． (1)若，求的长； (2)求的度数． 类型一、等腰三角形的性质与判定 1．如图，在中，，，，垂足为A，若，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．如图，在中，，高交于点．若，，则 ．    3．如图，是的角平分线，是的中点，，交于点，交于点． (1)若，，则___________度； (2)若，求的长． 类型二、等角对等边 1．如图，的两个角平分线交于点，过点作的平行线交、于点、，已知，，则的周长为（   ） A．15 B．12 C．9 D．6 2．如图，中，是角平分线，交于E，交于D，若，，则 ． 3．如图，在中，，高，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 类型三、等边三角形的判定 1．给出下列三角形：①有两条边相等的三角形；②有一个角等于的等腰三角形；③有两个外角相等的三角形；④一条腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（   ） A．①② B．②④ C．①③ D．②③ 2．在中，，，的对边分别是a，b，c，且满足，则是 三角形． 3．如图，在中，是的延长线上一点，分别交，于点，，，，是中点，．试判断的形状，并说明理由． 类型四、含30°角的直角三角形 1．如图，在中，，，，则的长是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．如图，已知中，，，平分，且交于点D，，那么的长是 ． 3．如图，在等边中，点在边上，过点作交于点，过点作，交的延长线于点．已知，求线段的长度． 类型一、两圆一线画等腰三角形 1．在平面直角坐标系中，已知点 ，Q是y轴上一点，则使 为等腰三角形的点的个数为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．已知点A在直线上，点A横坐标为2，点P 在x轴上，使是等腰三角形则P的坐标为 ． 3．如图所示，在平面直角坐标系中，点，点，且    (1)求点，的坐标； (2)若直线交轴负半轴于点，求的面积； (3)在轴上是否存在点，使以，，三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在．请说明理由． 类型二、尺规作图——等腰三角形 1．如图是一个直角三角形，若以这个直角三角形的一边为边画一个等腰三角形，使它的第三个顶点在这个直角三角形的其他边上，那么这样的等腰三角形在图中能够作出的个数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，．分别以点A、B为圆心，长为半径画圆弧−两圆弧交于点C，再以点C为圆心，以长为半径画圆弧交的延长线于点D，连接，则的长为 ． 3．在如图的三角形中，若，哪些能被过一个顶点的一条直线分成两个小等腰三角形？能被过一个顶点的一条直线分为两个小等腰三角形的请作出这条直线． 类型三、手拉手模型 1．如图，C是线段上一点，以、为边，在的同侧作等边和，交于F，交于G，与相交于H，则下列结论：①；②；③；④；⑤⑥，其中正确的结论有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．如图，在中，，，分别以，为边在外作等边和等边，连结，． （1），则 ； （2）若，则的长为 ． 3．数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． (1)【模型探究】如图1，和中，，，且，连接，．这一图形称为“手拉手模型”． 求证：，请你完善下列过程． 证明：∵， ∴即 在和中， ∴（    ）③ (2)【模型应用】如图2，中，，，以为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点D，使，求：的度数．小颖同学通过观察，联想到手拉手模型，在上找一点E，使，最后使问题得到了解决．请你帮她写出解答过程． (3)【拓展延伸】如图，中，，为任意角度，若射线不与腰相交，而是从端点向右下方延伸．仍在射线上取点，使，请直接写出与的数量关系． 类型四、等腰三角形的动点求t 1．如图，等边的边长为，动点、分别从、两点出发，沿、方向匀速运动，它们的速度都是厘米/秒，当点到达点时，、两点停止运动，设、两点运动的时间为秒，若为直角三角形时，则的值是（    ） A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．秒 2．如图，，是延长线上一点，，动点从点出发沿以的速度运动，动点从点出发沿以的速度移动，如果点、同时出发，用表示移动的时间，当 时，是等腰三角形． 3．如图，点P和点Q分别是平面直角坐标系中x轴和y轴上的两个动点，点A的坐标为，点P从点A开始沿射线方向运动，速度为每秒2个单位长度，点Q从原点开始沿y轴正方向运动，速度为每秒1个单位长度，它们同时出发，设运动时间为t秒． (1)当时，的面积为________，当时，的面积为________； (2)当是等腰三角形时，求t值； (3)若和的角平分线所在的直线交于点B，直接写出的度数． 1．大观公园是国家4A级旅游景区，始建于明朝洪武元年（公元1368年），位于昆明市以西约2公里的滇池湖畔，完好保存着许多古典园林建筑群，既反映中国清代古建筑的风格，又具有云南地方民族建筑的特色，是云南清代园林建筑的博览苑．如图，建筑的顶端可看作等腰三角形，，是的中点．下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列命题为真命题的是（   ） A．每个定理都有逆定理 B．三个角对应相等的两个三角形全等 C．等腰三角形的底角必为锐角 D．等腰三角形的顶角一定是锐角 3．如图，在等腰中，，点是边上的中点，，交于点．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，则的长是 ． 5．在中，，当 度时，是等腰三角形． 6．如图，在中，，于点，，，则的长度是 ． 7．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，请在如图的网格中画出两个以为边的，使是等腰直角三角形．（要求：点C在格点上） 8．如图：在中，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 9．【问题提出】 （1）如果三角形的外角等于与它不相邻的其中一个内角的2倍，那么这个三角形是等腰三角形． 小明通过思考，画出图1，是的外角，已知，请你通过图1对上述命题进行证明； 【初步应用】 （2）如图2，在中，于，，求证：． 【拓展提升】 （3）如图3，中，，平分交于点，的周长为10，，求的长． 10．等腰直角和直角顶点重合，，，． (1)如图1，连接，，判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，连接，，若是中点，判断与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，延长至点，满足，然后连接，，当，，绕点旋转得到，，三点共线时，求线段的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$