专题16.8 二次根式（精选精练）（专项练习）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题16.8 二次根式（精选精练）（专项练习） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（24-25九年级上·吉林长春·期末）若在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·福建宁德·阶段练习）下列属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河南平顶山·阶段练习）若 ，则a的值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·广东河源·期中）下列二次根式化简后，与不是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·全国·假期作业）把中根号外的因式移到根号内，得（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·福建泉州·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·山东滨州·阶段练习）已知，则值为（   ） A． B． C． D． 8．（2024·云南昆明·三模）无理数像一首读不完的长诗，既不循环，也不枯竭，无穷无尽，数学家称其是一种特殊的数．若某矩形的长为，宽为，则这个矩形面积的值大约在（    ） A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间 9．（22-23八年级下·山东潍坊·期末）已知，那么等于（    ） A． B． C． D．0 10．（2023·贵州六盘水·二模）人们把这个数叫做黄金比，优选法中的“法”与黄金分割紧密相关，这种方法经著名数学家华罗庚的倡导在我国得到大规模推广，取得了很大的成果．设，，记，，，…依此规律，则的值为（    ） A． B．25 C． D．125 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（23-24九年级上·四川资阳·期末）若与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 12．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）的绝对值是 ，的倒数是 ． 13．（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）比较大小： ．（填“”、“”、“”）． 14．（24-25八年级上·山西晋中·期中）如图，若数轴上点对应的实数分别为和，用圆规在数轴上画点，则点对应的实数是 ． 15．（24-25八年级上·上海·假期作业）已知，则代数式的值是 ． 16．（24-25八年级上·上海·期中）不等式的解集是 ． 17．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）已知实数x、y满足，则的值等于 ． 18．（2023·山东菏泽·三模）对于实数P，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，，现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作后变为2．类比上述操作：对36只需进行 次操作后变为2 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25九年级上·吉林长春·期中）计算： (1) (2) 20．（本小题满分8分）（24-25九年级上·河南南阳·期中）计算： (1)； (2)． 21．（本小题满分10分）（24-25九年级上·四川眉山·期中） 化简求值：，其中，． 22．（本小题满分10分）（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）分母有理化应用： (1)填空：的有理化因式是________；将分母有理化得________； (2)化简：； (3)利用以上解题方法比较与的大小，并说明理由． 23．（本小题满分10分）（23-24八年级下·山东烟台·期中）【问题背景】 已知 ，求 的值． 【问题解决】 （1）小颖通过思考，形成如下解题思路：先将等式两边都除以x，得到 的值，再利用完全平方公式求出的值．请按照该思路，写出上述题目完整的求解过程； 【拓展应用】 （2）已知 ，求 的值； （3）已知，求 的值． 24．（本小题满分12分）（22-23八年级下·重庆梁平·期中）阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有． ，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：　　，　　； (2)利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：　+　=（　　+　； (3)若，且a、m、n均为正整数，求a的值？ (4)化简：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B B D D A C A D 1．B 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据在实数范围内有意义，得到，解不等式即可得到答案，熟记二次根式有意义的条件是解决问题的关键． 【详解】解：在实数范围内有意义， ，解得， 故选：B． 2．B 【分析】本题考查了二次根式的性质化简，分母有理化，最简二次根式的判定，理解最简二次根式的概念，掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据最简二次根式的定义进行判定即可求解． 【详解】解：，不是最简二次根式，不符合题意； B，是最简二次根式，符合题意； C，，不是最简二次根式，不符合题意； D，，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 3．B 【分析】本题考查的是二次根式的除法运算，根据乘法的意义可得. 【详解】解：∵， ∴， 故选：B 4．B 【分析】本题考查了同类二次根式，先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再看被开方数是否相同，判断即可，掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：、，与是同类二次根式，不合题意； 、，与不是同类二次根式，符合题意； 、，与是同类二次根式，不合题意； 、，与是同类二次根式，不合题意； 故选：． 5．D 【解析】略 6．D 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，完全平方公式等知识点，根据二次根式的运算法则进行计算，逐一判断即可解答，解题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法． 【详解】A、，不能相加，故A不符合题意； B、，不能相减，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D符合题意； 故选：D． 7．A 【分析】本题考查二次根式的化简求值，根据推出，再将化为，最后代入计算即可．掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴值为． 故选：A． 8．C 【分析】本题考查了二次根式的运用，无理数的估算，根据题意利用二次根式乘法求出矩形面积，再由无理数的估算方法估算即可． 【详解】解：根据题意，矩形面积为：， ，即， ， 这个矩形面积的值大约在4与5之间， 故选：C． 9．A 【分析】先将原式利用完全平方公式整理变形，再将代入计算即可． 【详解】解： ， 将代入 ， 故选A． 【点睛】本题考查了代数式求值，利用完全平方公式对代数式整理变形是解题的关键． 10．D 【分析】利用分式的加减法则以及二次根式的混合运算法则求得、，以及，代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ， ， …， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，解题的关键是找出相应的规律． 11．3 【分析】本题考查同类二次根式、最简二次根式，根据同类二次根式的定义（　一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．）进行解题即可． 【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， ∴． 故答案为：3． 12． 【分析】此题主要考查了二次根式分母有理化和二次根式比较大小，也考查了绝对值的性质和倒数的定义，正确掌握二次根式分母有理化是解题关键． 直接利用绝对值的性质和倒数的定义得出答案． 【详解】解：∵ ∴的绝对值是：． 的倒数是； 故答案为：，． 13． 【分析】本题考查了比较二次根式的大小，掌握二次根式的性质是解题的关键．先把化成，再进行比较即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 14． 【分析】由题意可得，，因为，所以，再根据点对应的数，求出点对应的实数．本题考查了二次根式的加减法，实数与数轴，数轴上两个点，对应的实数分别为，则线段．特别的，当点在点的右侧时，． 【详解】解：∵点，对应的实数分别为，． ． 由题图可知，． ． 设点对应的数为． ． 解得． ∴点对应的数为． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查二次根式的化简求值、分母有理化，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 根据，可以得到的值，然后将所求式子变形，再将的值整体代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了解一元一次不等式和二次根式分母有理化，注意最后要进行分母有理化． 按照解不等式的步骤进行即可． 【详解】解：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：， 即； 故答案为：． 17． 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的化简求值，解题的关键是利用完全平方公式的非负性进行求解及掌握二次根式化简的基本步骤及方法．先根据求出的值，再对进行化简代值计算可得． 【详解】解：， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 18．3 【分析】理解题中新定义运算的规则，对36进行运算即可． 【详解】解：由题意可得： 故答案为：3 【点睛】此题考查了二次根式的性质，解题的关键是理解新定义运算以及掌握二次根式的性质． 19．(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的加减混合运算，掌握二次根式的化简是解题的关键； （1）直接合并同类二次根式即可； （2）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 20．(1)； (2)． 【分析】本题考查了二次根式性质，二次根式的减法运算，以及二次根式的混合运算，解题的关键在于掌握相关运算法则． （1）利用二次根式性质化简各项，再利用二次根式的减法运算法则计算，即可解题； （2）利用二次根式性质化简各项，再根据先乘除，后加减，有括号的先算括号的运算顺序计算，即可解题． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 21． 【分析】此题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，解题的关键是正确把分式化简；根据分式的运算法则先化简分式，再根据分母有理化求出x，y，再代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ， ， ． 22．(1)， (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查了二次根式的混运算； （1）根据平方差公式以及二次根式的性质化简，即可求解； （2）分别分母有理化，然后再合并 二次根式，即可求解； （3）比较两数的倒数的大小，即可求解． 【详解】（1）解： ； 故答案为： ，； （2） ； （3）理由如下： 由题意得：，， ∵， ∴． 23．（1），见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查了完全平方公式的变形，二次根式的运算等知识．熟练掌握完全平方公式的变形，二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据题意可得，根据，代值求解即可； （2）同理（1）计算求解即可； （3）同理（1）可得，进而可求 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ， ∴的值为． （2）解： ， ∴， ∴的值为； （3）解：， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 24．(1)， (2)4、2、1、1 (3)或 (4) 【分析】（1）根据小明的方法，将按照完全平方公式展开，得到，再和的系数进行对比，即可求出和的值； （2）任意找出一组和的值，预设，代入（1）中探索的结论中即可求出和的值； （3）若要求、、的值，需要先求出、的值，根据题意可知，进而得出，再结合、均为正整数即可求出、的值，然后根据分类讨论即可求出的值． （4）根据题干所给方法可直接进行求解． 【详解】（1）解：若，则有， ，． 故答案为：；； （2）解：令，， 由（1）可知，，， 故答案为：4；2；1；1（答案不唯一）； （3）解：由（1）可知，，， 而、、均为正整数， ，或者，， 当，时，； 当，时，． 综上，或者． （4）解：由题意得： ． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式在二次根式混合运算中的应用，分类讨论思想是本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$