江西省鹰潭市2024-2025学年高二上学期期末质量检测数学试卷

鹰潭市2024一2025学年度上学期期末质量检测 高二数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 答案 A D A D B B C C BD ACD 题号 11 答案 ABD 8.C【解析】【详解】如图所示，延长FN,交PF的延长线于点N,因为PH为 ∠FPF的平分线，PH⊥FN,由三线合一得△PFN为等腰三角形，即F,P=PN, H为FN的中点，因为O为FF的中点，所以OH为△NFF的中位线，故 FN=2OH=1,设FP=m,由椭圆定义知，FP=2a-FP=4-m,由 EP=PN得4-=m+1,解得m子，故EA-多川-子，在PFE中，由 余弦定理待es∠5PR-E+E-FE- ,故 2FP.FP 故sin∠FPF,= S所F5Psm∠EP5=方××名×故适：C 22252 11.ABD【解析】设P(x,y),则PA=(x+1)2+y2,PB上(x-3)2+y2, -3那+少方”则9x++9y=x-+,整理得+3x+y=0,A对， 所以A-r++y2y 3 由上C:+}+y= --2=0x=2 22 4 ,设对称圆的圆心为x,),则 31 y 20 B对 所以对称的曲线方程为x-2+--9。 由到圆心c的距离为d-得+-0-5，题c半径r号 所以（怎到圆C的最短距离为d-r=5-}子>3。放不存在D,使D到3的距离为3，C错： 22 由E,F中点为，4，且kr=6-名=-2，则EF的中垂线为y-4=-)三-2y+7=0, 0-2 人3 圆心C到x-2y+7=0的距离h20+7153故在C上不存在点M,使得ME=MF,D对 5 10 2 12.6.2 13.214.10【解析】延长Q5与双曲线交于点P,因为FP∥F,P, 根据对称性知FP=F,P,四边形FPF,P'为平行四边形， 设FP=1,则F=3t,FP=31,可得FP-FP=21=2a,即t=a, 所以Pg=4a,则0F=F,+2a=5a,F,P=3a, 即P'Q+EP=OF,可知∠FP'Q=∠FPF3=90', 在aP'FE中，由勾股定理得FP+Ep=EE,即(a)2+(3a2=4c2, 1 解得e=S.而 a 2 15解：(1)圆M的半径r=V1+22+(3+1)2=5,2分 二圆M的方程为x+22+(y+1)2=254分 直线1的方程为x+my+m=0,六x+m0+)=0,令1=0解得：16分 x=0 ∴定点2的坐标为(0，-1)：(0+2)2+(-1+12=4<25，点0在圆M的内部，8分 故直线1恒与周M相交又圆心M到直线1的距离d=上2-m+川。 2 ≤2， V1+m2 V1+m2 .1被圆M截得的弦长为2√2-d2=2√25-d,10分 当d取得最大值2时，弦长有最小值，最小值为221，此时m=0.13分 16【解】)在△44C中，由余弦定理可得cs∠44C=4C+A-AC 2·AC·AA 则cos60=2+-AC,解得AC=3,由AC2+AC2=44,则在△44C中，AC14C, 2×2×1 因为AC⊥AB,AC,ABC平面ABC,ACAB=A,所以AC⊥平面ABC .6分 (2)易知A,C,AC,BC两两相互垂直，分别以CA,CB,CA为x,,:轴建立空间直角坐标系，如下图： 设BC=kk>0,则4(0,0,5)，B(0,k,0，C(0,0,0),C-1,0,5, 取BA=(0,-k,5,CB=(0,k,0,CC=-1,0,5, 8分 iCB=0 设平面BCCA的法向量=(xy,2),则日-C=0 可得 k=0 -x+5z=0 令x=√5，则y=0,z=1,所以平面BCCB的一个法向量万=(5,0,1， .10分 BA. 设直线B4与平面BCC,B的夹角为O,则sin0= Ba同 可 4R+32 解得素=1,12分 易知BB=CC=(-1,0,5),设平面ABB的法向量m=(x,z, mBA =0 -%+V3z=0 ,可得 令=1，则x=5,=5, m·BB=0 -x+V3z=0 所以平面4BB的一个法向量m=(5,√5，， 13分 im3+0+12√万 设平面4BB与平面BCC,B,的夹角为a,则cosa= 网2×√7 7 15分 17【解析】(1)由题意n=6,则x=2之x=26,万-22=33， 6台 6后 立x-0-刃 6 551 偶-矿 84 6.6,…4s分 à=33-6.6×26=-138.6，… .6分 y关于x的线性回归方程为)=6.6x-138.6 7分 (2)()对于线性回归模型， ∑0y,-2=3930,∑0y,-)2=236.64, -) 相关指数为1-可 236.64 3930 1-0.0602=0.9398,11分 -元 因为0.9398<0.9522，所以用非线性回归模型拟合效果更好12分 (i)当x=35,时=0.06e02035=0.06×e65=0.06×3167=190.02=190(个) 所以温度为35C时，该种药用昆虫的产卵数估计为190个15分 2b=2√5 18.【解】(1)由题可得： a 2 解得： 公=多所以精国E的方程苦+5=：4分 a2=4 a2=b2+c1 (2)设直线1交E于M(xy),N(xy2)两点，点P0,小在椭圆E内， ①若直线I的斜率不存在，易得NP=√3+1，|MP=√5-1，不满足 NP =3PM, 故设直线I的方程为y=x+1, y=k+l 联立+ 1、。,·化简得：3+4k2）x2+8kx-8=0,1 -8k -8 所以x+名3+4歌，3计4状 (1), .6分 又NP=(-x2,1-2),PM=(x,片-1)，NP=3PM,所以-x,=3x(2), 由(1)(2)两式解得：k=±6 9分 所以直线1的方程为y=士6 x+1: 10分 2 ②当直线1的斜率不存在时，直线1与E的交点为M(-√5,0)，N(5,0),则 3w1x25=5, 44411分 当斜率为0时，直线1过点A(1,1),故不能构成三角形， 当斜率存在且不为0时， 由①知，MN=V1+kV:+x)}-4xx=+k2 8 8 -4× 3+4k7 3+4k2 =1+kex4i22+6 12分 3+4k2 点A(L,1)到直线：y=k+1的距离d= V1+k2 13分 所以5aw-wd=+x42t6x 16k+8k2 3+4k2 =5x V1+k2 (42+3到，14分 令3+4=1，则1>3,0< 3 t ，16分 因为0<行所以5 综上，aAMN的面积的取值范围为O,√3。 17分 19【解析】(1)如图，过E作EG⊥AD交AD于点G,连接EG,GF由PA⊥面ABCD,ADC面 ABCD,则PA⊥AD又EG,PAC面PAD,且EG,PA不共线，则EG∥PA1分 而EG丈平面PAB,PAC平面PAB,则EG∥平面PAB42分 由E为PD的中点，则G为AD中点，且F为BC的中点，则GF∥AB 同理GF∥平面PAB,又因EG∩GF=G,EG,GFc平面EGF 则平面EGF∥平面PAB,且EFC平面EGFn3分 故EF∥平面PAB4分 (2)设DM=tPD(0≤1≤1)，如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，可知 P(0,0,1),B(0,1,0),C(2√2,1,0)，D(2√2，-1,0)故PB=(0,1,-1),PC=(2√2,1，-1) PD=(2V2,-1,-1),CD=(0,-2,0) 6分 则CM=CD+DM=CD-1PD=(-221,1-2,) 设平面PBC的法向量万=(x,八，z)则万PB=y-z=0 PC=2x+y-:=0 取i=(0,l,1) 444444444 44444 8分 由lcos(元，CM 21-2 2xV-2V2+-2y+23 161+7=0,解得t=)或二（舍 2 10分 故当DM =一时，直线CM与平面PBC所成角的正弦值是 DP 2 3 12分 D (3)由(2)知，平面PBC的一个法向量元=(0,1,1) 点B(0,1,0),AD中点G、 ,0则G(5,0 则点G到平面PBC的距离d= BG32 13分 4 由HD.HA=0,即HD⊥HA 故H在以点G为球心，半径R=)4D=多的球面上，而d=3y5?=R 2 2 4元2 故H在面PBC内的轨迹是半径为 16分 故存在符合题意的H,此时H轨迹是半径为 3W2 的圆 ..17分高二数学试卷 第 1 页（共 4页） 第 2 页（共 4页） 鹰潭市 2024—2025学年度上学期期末质量检测 高二数学试卷 命题人：严银斌 单位：余江一中 审题人：祝翠华 单位：余江一中 本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共 4页。时量 120分钟．满分 150分． 第 I卷 选择题 一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂在答题卡上． 1．已知 ( )2,1, 3a = − r ， ( )4, 2,b x= − r ，且a b⊥ r r ，则 x的值为 A．－2 B．－1 C．0 D．2 2．设 a为实数，若直线 4 3 0ax y− + = 与 2 1 0x y− + = 平行，则它们之间的距离为 A． 3 5 10 B． 5 5 C． 2 5 5 D． 5 10 3．加工某种产品需要 5道工序，分别为 A，B，C，D，E，其中工序 A，B必须相邻，工序 C，D 不能相邻，那么不同加工方法种数为 A． 24 B． 32 C． 48 D． 64 4．已知抛物线 2 4x y= 的焦点为F ，点M 在抛物线上，且 3MF = ，则M 点到 y轴的距离为 A． 1 B．2 3 C．2 D．2 2 5．从 6人中选出 4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览， 每人只游览一个城市，且这 6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 A．300种 B．240种 C．144种 D．96种 6．在正四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D− 中， 1 2AA AB= ，E为棱 AB的中点，F为线段 1CC 上的一点， 且 1AC EF⊥ ，则直线 BF 与直线 1AC所成角的余弦值为 A． 3 15 B． 6 15 C． 1 5 D． 15 15 7．已知双曲线 ( )0,012 2 2 2 >>=− ba b y a x 的两条渐近线与抛物线 ( )022 >= ppxy 的准线分别交于 BA, 两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2， AOB∆ 的面积为 3，则 p = A．1 B． 3 2 C．2 D．3 8．已知点P为椭圆 2 2 : 1 4 3 x yC + = 上第一象限的一点，左、右焦点为F1， 2F ， 1 2F PF∠ 的平分线与 x轴 交于点M ，过点 1F 作直线PM的垂线，垂足为H，O为坐标原点，若 1| | 2 OH = ，则 1 2F PFV 面积为 A． 3 B．3 3 C． 3 2 D．3 二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目的要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9．关于二项式 6 2 1 2x x  −    的展开式，下列说法正确的是 A．展开式的所有项系数和为 64 B．展开式的第 4项二项式系数最大 C．展开式中不含 x3项 D．展开式的常数项为 240 10．如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1边长为 1，F是线段 AD1的中点，E是线段 AC上的动点，下列 结论正确的是 A． 12 1 2 1 AAADABCF +−−= B．三棱锥 111 DEAC − 的体积为定值 3 1 C．直线 BA1 与平面 ECB1 所成角的正弦值为 3 6 D．直线 1DB 与直线 EA1 所成角的余弦值的取值为       3 3 3 1 ， 11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点 A、 B 的距离之比为定值 ( )1λ λ ≠ 的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称 为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系 xOy中， ( )1,0A − ， ( )3,0B ．动点 P满 足 1 3 PA PB = ，设动点 P的轨迹为曲线C，下列结论正确的是 A．曲线C的方程为 2 2 3 0x y x+ + = B．曲线C关于直线 2 0x y+ − = 对称的曲线方程为 ( ) 2 2 7 92 2 4 x y − + − =    C．曲线在C上存在点D，使得D到点 5 ,3 2       的距离为 3 D．若 ( )0,6E ， ( )2,2F ，则在曲线C上不存在点M ，使得 ME MF= 第 II卷 非选择题 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分． 12．右表是某单位 1~4月份用水量（单位：百吨）的一组数据： 由散点图可知，用水量 y与月份 x之间具有较好的线性相关关系， 其线性回归方程是 3.05ŷ x= + ，则表中a的值为 ． 月份 x 1 2 3 4 用水量 y 4 5 a 7 高二数学试卷 第 3 页（共 4页） 第 4 页（共 4页） 13．若 4(1 )(2 ) ( )ax x a− + ∈ R 的展开式中 3x 的系数为 40，则a的值为 ． 14．已知 1F ， 2F 是双曲线 2 2 2 2: 1 x yC a b − = 的左、右焦点，P，Q为双曲线C上两点，满足 2 13F Q F P= uuuur uuur ， 且 2 2F Q F P= ，则双曲线C的离心率为 ． 四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题 13分) 已知圆心为 ( )2, 1M − − 的圆经过点 ( )1,3 ，直线 : 0l x my m+ + = ． （1）求圆M的方程； （2）写出直线 l恒过定点Q的坐标，并求直线 l被圆M所截得的弦长最短时m的值及最短弦长． 16．（本小题 15分） 如图，三棱柱 1 1 1ABC A B C− 中， 1 160 , ,A AC AC BC A C AB∠ = ⊥ ⊥ o ， 11, 2AC AA= = ． （1）求证： 1A C ⊥平面 ABC； （2）直线 1BA与平面 1 1BCC B 所成角的正弦值为 3 4 ，求平面 1 1A BB 与平 面 1 1BCC B 夹角的余弦值 17．（本小题 15分） 一只药用昆虫的产卵数 y与一定范围内的温度 x有关，现收集了该种药用昆虫的 6 组观测数 据如下表： 温度 / Cx o 21 23 24 27 29 32 产卵数 /y 个 6 11 20 27 57 77 ( )( ) ( ) ( ) 6 6 6 6 6 2 2 1 1 1 1 1 1 126, 33, 557, 84, 3930, 6 6i i i i i ii i i i i x x y y x x y y x x y y = = = = = = = = = − − = − = − =∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 线 性回归模型的残差平方和 ( ) 6 2 8.0605 1 236.64,e 3167ˆi i i y y = − = ≈∑ ，其中 ,i ix y 分别为观测数据中的温差 和产卵数， 1,2,3,4,5,6i = ． （1）若用线性回归方程，求 y关于 x的回归方程 ˆˆ ˆy bx a= + （精确到 0．1）； （2）若用非线性回归模型求得 y关于 x回归方程为 0.2303ˆ 0.06e xy = ，且相关指数 2R = 0.9522． （i）试与（1）中的回归模型相比，用 2R 说明哪种模型的拟合效果更好． （ii）用拟合效果好的模型预测温度为35 Co 时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）． 附：一组数据 ( ) ( ) ( )1 1 2 2, , , , , ,n nx y x y x y… ，其回归直线 ˆˆ ˆy bx a= + 的斜率和截距的最小二乘估计 为 ( )( ) ( ) 1 2 1 ˆ ˆˆ, n i i i n i i x x y y b a y bx x x = = − − = = − − ∑ ∑ ；相关指数 ( ) ( ) 2 2 1 2 1 ˆ 1 n i i i n i i y y R y y = = − = − − ∑ ∑ ． 18．（本小题 17分） 已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0) x yE a b a b + = > > 的短轴长为2 3，离心率为 12 ． （1）求椭圆E的方程； （2）过点 (0,1)P 的直线 l交E于M，N两点， ①若 3NP PM= uuur uuuur ，求直线 l的方程； ②若点 (1,1)A ，求 AMNV 的面积的取值范围． 19．（本小题 17分） 如图，在四棱锥 ABCDP − 中， ABCDPA 面⊥ ， CDAB // ，且 1,2 == ABCD ， ,1,22 == PABC BCAB ⊥ ， FE, 分别为 BCPD, 的中点． （1）证明：EF∥面 PAB； （2）在线段 PD上是否存在一点M，使得直线CM 与平面PBC 所成角的正弦值是 1 3 ？若存 在，求出 DM DP 的值，若不存在，说明理由； （3）在平面PBC 内是否存在点 H，满足 0HD HA⋅ = uuur uuur ，若不存在，请简单说明理由；若存 在，请描述点 H的轨迹形状．