专题01 重要的几何模型之中点模型（斜边中线、中位线、中点四边形）-2024-2025学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北京版）

专题01 重要的几何模型之中点模型（斜边中线、中位线、中点四边形） 中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义。 常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。本专题就中点模型的后三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 2 模型1.直角三角形斜边中线模型 2 模型2.中位线模型 21 模型3.中点四边形模型 50 76 模型1.直角三角形斜边中线模型 直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 1）直角三角形斜边中线模型（单中线模型） 条件：如图，若AD为斜边上的中线； 结论：（1）；（2），为等腰三角形；（3），． 证明：取AC的中点E，连接DE，∵AD是斜边BC的中线，∴BD=CD=， ∵E是AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE//AB，∴∠DEC=∠BAC=90°，∴DE垂直平分AC， ∴AD=CD，∴；∴，为等腰三角形； ∵AD=CD，∴，∵，∴，同理：． 2）直角三角形斜边中线模型（双中线模型） 条件：如图，在由两个直角三角形组成的图中，M为BC边的中点，（直角在BC的同侧和异侧两类） 结论：（1）；（2）． 证明：∵，M为BC边的中点，∴，，∴ ∴，∵，∴，同理： ∴，∴．（同侧和异侧证明一致） 模型运用条件：连斜边上的中线（出现斜边上的中点时） 例1．（23-24八年级下·北京丰台·期末）如图，在中，，，O为的中点，若，则点O与点B的距离是（    ） A．20 B．10 C． D．5 【答案】B 【详解】解：连接，在中，，，，， O为的中点，，故选B． 例2．（23-24八年级下·北京海淀·期末）如图，在中，，平分，点是的中点，，则 ． 【答案】20 【详解】∵平分，∴ ∵，平分，∴ ∵点是的中点，∴∴．故答案为：20． 例3．（23-24八年级下·北京东城·期末）如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接，若，，则菱形的面积为（   ） A．8 B．16 C．32 D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形是菱形，∴，，，∴， ∵，∴，∴， ∴菱形的面积为，故选：B． 例4．（23-24八年级上·吉林长春·期末）如图，四边形中，，，若，则 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，取的中点，连接， ∵，∴，∴， ∴，， ∵，∴，∴， ∴是等腰直角三角形，∴；故答案为：． 例5．（2023·浙江嘉兴·统考二模）在中，，点分别是的中点，点是上的一个动点，连结，作交于点，连结． 点从点向点运动的过程中，的最小值为 ．    【答案】/ 【详解】解：如图，作于，取中点，连接，，    ，，，，， 是中点，，，是中点，，， 是的中点，，，， ，， ，，的最小值是，故答案为： 例6．（2024八年级下·北京·专题练习）已知：中，于E，于D，连接，点M、N是、的中点．求证：． 【答案】详见解析 【详解】证明：连接，如图所示： ∵于E，于D，∴，∴与为直角三角形， ∵N是的中点，∴，，∴，∵点M是的中点，∴． 模型2.中位线模型 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。 中点三角形：三角形三边中点的连线组成的三角形，其周长是原三角形周长的一半，面积是原三角形面积的四分之一。 梯形中位线定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。 梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。 图1 图2 1）三角形的中位线模型： 条件：如图，在三角形ABC的AB，AC边的中点分别为D、E， 结论：（1）DE//BC且，（2）△ADE∽△ABC。 证明：如图1，过点C作交延长于点F，∴， ∵是的中位线，∴，∴，∴， ∴，又∵，∴四边形是平行四边形， ∴，，∴，； ∵，∴，，∴△ADE∽△ABC。 2）梯形的中位线模型： 条件：如图2，在梯形中，，、分别是两腰、的中点， 结论：（1），； （2）梯形的面积＝×2×中位线的长×高＝中位线的长×高。 证明：连接并延长，交延长线于点，，． 是的中点，．，． ，．点是的中点，又点是的中点， 是的中位线，，．． ，，．，． ∵梯形的面积=，∴梯形的面积==中位线的长×高。（为梯形的高） 模型运用条件：构造中位线（出现多个中点时）。 例1．（23-24八年级下·北京朝阳·期末）如图，是的中位线，若的周长为10，则的周长为 ．    【答案】5 【详解】解：是的中位线，， 的周长为；故答案为：5． 例2．（24-25九年级上·北京海淀·开学考试）如图，在平行四边形中，，E为上一动点，M，N分别为，的中点，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．不确定 【答案】A 【详解】解：在平行四边形中，，∴， ∵M，N分别为，的中点，∴是的中位线，∴．故选：A 例3．（23-24八年级下·广西南宁·阶段练习）如图，在矩形中，，顺次连结各边中点得到菱形，再顺次连接菱形各边中点，得到矩形，再顺次连接矩形各边中点，得到菱形，如此下去，四边形的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据中点四边形的性质可知，、是菱形，、是矩形，四边形的面积，四边形的面积四边形的面积， 四边形的面积，，四边形的面积， 四边形的面积为：．故选：C． 例4．（2024·北京西城·校考一模）如图，在中，D，E分别为的中点，点F在线段上，且．若，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵D，E分别为的中点，∴， ∵，D为的中点，∴，∴，故答案为：． 例5．（2023·广西·统考中考真题）如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是上的动点，M，N分别是的中点，则的最大值为 ．    【答案】 【详解】如图所示，连接，    ∵M，N分别是的中点，∴是的中位线，∴， ∵四边形是正方形，∴，∴， ∴当最大时，最大，此时最大， ∵点E是上的动点，∴当点E和点C重合时，最大，即的长度， ∴此时，∴，∴的最大值为．故答案为：． 例6．（2024·青海西宁·二模）在探索平面图形的性质时，往往需通过剪拼的方式帮助我们寻找解题思路． （1）【知识回顾】在证明三角形中位线定理时，就采用了如图①的剪拼方式，将三角形转化为平行四边形使问题得以解决，请写出已知，求证，并证明三角形中位线定理． （2）【数学发现】如图②，在梯形中，，是腰的中点，请你沿着将上图的梯形剪开，并重新拼成一个完整的三角形． 如图③，在梯形中，，、分别是两腰、的中点，我们把叫做梯形的中位线．请类比三角形的中位线的性质，猜想和、有怎样的位置和数量关系？ 【证明猜想】（3）证明（2）的结论，并在“，”的条件下，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）画图见解析，猜想：，；（3）证明见解析，6； 【详解】解：（1）已知：在中，分别是的中点，求证：： 证明：如图所示，过点C作交延长线与F， ∵分别是的中点，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴四边形是平行四边形， ∴，∴； （2）如图所示，延长交延长线于M，则把延剪开后放置到的位置，即为所求；猜想：，； （3）连接并延长，交延长线于点， ，．是的中点，． ，．，． 点是的中点，又点是的中点，是的中位线， ，．． ，，．，． ∵，，∴。 模型3.中点四边形模型 中点四边形：依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形。 中点四边形是中点模型中比较经典的应用。中点四边形不仅结合了常见的特殊四边形的性质，而且还会涉及中位线这一重要知识点，总体来说属于比较综合的几何模块。 推广与应用 1）中点四边形的周长：中点四边形的周长等于原四边形对角线之和。 2）中点四边形的面积：中点四边形的面积等于原四边形面积的。 结论1：顺次连结任意四边形各边中点组成的四边形是平行四边形． 条件：如图1，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，结论：四边形MNPQ为平行四边形。 证明：∵点M、N是AC、AB的中点，∴，， 同理：，，∴MN=PQ，，∴四边形是平行四边形， 图1 图2 结论2：顺次连结对角线互相垂直四边形各边中点组成的四边形是矩形．（特例：筝形与菱形） 条件：如图2，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC⊥DB，结论：四边形MNPQ为矩形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴， ∵AC⊥DB，∴MN⊥MQ，∴四边形MNPQ为矩形。 结论3：顺次连结对角线相等四边形各边中点组成的四边形是菱形．（特例：等腰梯形与矩形） 条件：如图3，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，结论：四边形MNPQ为菱形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴， ∵AC=DB，∴MN=MQ，∴四边形MNPQ为菱形。 图3 图4 结论4：顺次连结对角线相等且垂直的四边形各边中点组成的四边形是正方形． 条件：如图4，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，AC⊥DB， 结论：四边形MNPQ为正方形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴，，， ∵AC=DB，AC⊥DB，∴MN=MQ，MN⊥MQ，，∴四边形MNPQ为正方形。 例1．（2023·河南信阳·模拟预测）顺次连接四边形各边的中点得到四边形，要使四边形是菱形，可以添加的一个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】添加．如图，，、、、分别是线段、、、的中点， 则、分别是、的中位线，、分别是、的位线， ，， 当时，成立，则四边形是菱形．故选：C． 例2．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，在四边形中，E、F、G、H分别是边、、、的中点．请你添加一个条件，使四边形为矩形，应添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：应添加的条件是，理由为： 证明：、、、分别为、、、的中点， ，，，， ∴，，∴四边形为平行四边形， A、添加的条件是时，四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； B、添加的条件是，则，所以四边形为矩形，故此选项符合题意； C、添加的条件是，四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； D、添加的条件是， 、、、分别为、、、的中点，且，，，，，，则四边形为菱形，故此选项不符合题意；故选：B． 例3．（2023上·陕西西安·九年级校考阶段练习）如图，连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，还要添加 ，才能保证四边形EFGH是正方形． 【答案】AC⊥BD，AC=BD/ AC=BD， AC⊥BD 【详解】解：当AC⊥BD，AC=BD时，四边形EFGH为正方形． ∵点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点， ∴EF∥AC，EF=AC，GH∥AC，GH=AC，EH∥BD，EH=BD， ∴EF∥GH，EF=GH，∴四边形EFGH为平行四边形， 当AC⊥BD，AC=BD时，EF⊥EH，EF=EH， ∴四边形EFGH为正方形．故答案为：AC⊥BD，AC=BD． 例4．（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图，点A，B，C为平面内不在同一直线上的三点．点为平面内一个动点，线段，，，的中点分别为M，N，P，Q，在点的运动过程中，有下列结论：①存在无数个中点四边形是平行四边形；②存在无数个中点四边形是菱形； ③存在无数个中点四边形是矩形；④存在无数个中点四边形是正方形． 其中，所有正确的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【详解】①与不平行时，中点四边形是平行四边形，故存在无数个中点四边形是平行四边形，所以①正确；②与相等且不平行时，中点四边形是菱形，故存在无数个中点四边形是菱形，所以②正确；③与互相垂直（B，D不重合）时，中点四边形是矩形，故存在无数个中点四边形是矩形，所以③正确；④如图所示，当与相等且互相垂直时，中点四边形是正方形，故存在两个中点四边形是正方形，所以④错误．故选A． 例5．（23-24八年级下·江苏·期中）如图，在四边形中，点，，，分别是，，，边上的中点，则下列结论一定正确的是（　　） A．四边形是矩形 B．四边形的内角和小于四边形的内角和 C．四边形的周长等于四边形的对角线长度之和 D．四边形的面积等于四边形的面积的 【答案】C 【详解】解：A．如图，连接，， 在四边形中，点，，，分别是，，，边上的中点， ，，，，，， 四边形是平行四边形，但无法证明它是矩形，故A选项错误； B．四边形的内角和等于，四边形的内角和等于，故B选项错误； C．点，，，分别是，，，边上的中点， ，，，同理：， 四边形的周长等于四边形的对角线长度之和，故C选项正确； D．四边形的面积不等于四边形的面积的，故D选项错误．故选：C． 例6．（2023上·广东佛山·九年级校考阶段练习）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 【概念理解】：（1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是______． A．平行四边形    B．矩形    C．菱形    D．正方形 【性质探究】：（2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，直接写出四边形的对角线，的关系； 【问题解决】：（3）如图2．以锐角的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，，．求证：四边形是“中方四边形”； 【拓展应用】：如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点． （4）试探索与的数量关系，并说明理由．（5）若，求的最小值．    【答案】（1）D；（2），；（3）证明见解析；（4），理由见解析；（5）的最小值为 ． 【详解】解：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”， 理由如下：因为正方形的对角线相等且互相垂直，所以其中点四边形是正方形； （2），．理由如下： ∵四边形是“中方四边形”，∴四边形是正方形， ∴，， ∵E，F，G，H分别是，，，的中点， ∴，，，，∴，． （3）如图，设四边形的边的中点分别为M、N、R、L，连接交于P，连接交于K，          ∵四边形各边中点分别为M、N、R、L， ∴、，，分别是、、、的中位线， ∴，，，，，，，， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． ∴菱形是正方形，即原四边形是“中方四边形”． （4）如图，记、的中点分别为E、F， ∵四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵M，F分别是，的中点， ∴， ∴； （5）如图， 连接交于O，连接、， 当点O在上（即M、O、N共线）时，最小，最小值为的长， ∴的最小值， 由性质探究（1）知：， 又∵M，N分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴的最小值， 由拓展应用（4）知：； 又∵， ∴， ∴的最小值为． 1．（23-24八年级下·北京·期末）如图， 菱形的对角线交于点O， 点M为的中点，连接，若，，则的长为（     ） A． B．4 C．5 D．3 【答案】A 【分析】此题考查菱形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，根据勾股定理求出的长是解题的关键．由菱形的性质得，，，则，所以，由点为的中点，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是菱形，，， ，，， ，， 点为的中点，.故选：． 2．（24-25九年级上·北京西城·开学考试）如图，在中，，，，分别是角平分线和中线，过点C作于点F，连接，则线段的长为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形的中位线定理、等腰三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 延长交于G，根据等腰三角形的判定和性质得到，，进而求出，根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：延长交于G， ∵为的角平分线，，∴是等腰三角形， ∴，，∴， ∵为的中线，∴是的中位线，∴，故选：A． 3．（23-24八年级下·北京东城·期末）如图，在四边形中，P 是对角线的中点，点E，F 分别是的中点，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，根据三角形中位线定理得到，，得，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵P是的中点，E是的中点，∴是的中位线， ∴，,∴ ∴同理，， ∵，∴， ∴，故选：B． 4．（23-24八年级下·北京西城·期末）如图，在中，D，E分别是，的中点，交CB的延长线于点F．若，，则的长为（　　） A．2 B．3 C．3.5 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线性质，三角形中位线定理，掌握线段垂直平分线性质和三角形中位线定理是解题的关键．根据D是的中点，，可以得到，进而求出，再由三角形中位线定理，即可求出． 【详解】解： D是的中点，，，是的垂直平分线，, ，，， D，E分别是，的中点， 是的中位线，．故选：A． 5．（2024八年级下·北京·专题练习）如图，平行四边形的对角线、交于点O，平分交于点E，且，，连接．下列结论中不成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由四边形是平行四边形，得到，，根据平分，得到，推出是等边三角形，由于，得到，得到是直角三角形，于是得到，故A正确；由于，得到，故B正确；根据，，且，得到，故C错误；根据三角形的中位线定理得到，于是得到，故D正确． 【详解】∵四边形是平行四边形，，， 平分，．是等边三角形，， ，，，，故选项A不符合题意； ，，故选项B不符合题意； ，，，故选项C符合题意； ，，，，，， ，，故选项D不符合题意．答案：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的面积公式，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键． 6．（23-24八年级下·北京海淀·阶段练习）如图，某花木场有一块四边形ABCD的空地，其各边的中点为E、F、G、H，测得对角线AC＝11米，BD＝9米，现想用篱笆围成四边形EFGH场地，则需篱笆总长度是（　　） A．20米 B．11米 C．10米 D．9米 【答案】A 【分析】根据三角形中位线定理分别求出EF、FG、GH、HE，根据四边形的周长公式计算即可． 【详解】解：∵E、F、G、H分别为四边形ABCD各边的中点， ∴EF、FG、GH、HE分别为△ABC、△BCD、△CDA、△ABD的中位线， ∴EF＝AC＝（米），FG＝BD＝（米），HG＝AC＝（米），HE＝BD＝（米）， ∴四边形EFGH总长度＝EF+FG+GH+HE＝20（米），故选：A． 【点睛】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 7．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如图，在任意四边形中，M，N，P，Q分别是的中点．以下结论：①当时，四边形为正方形；②当时，四边形为菱形；③当时，四边形为矩形；④四边形一定为平行四边形．其中正确的结论有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查中点四边形，掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理、三角形中位线定理是解题的关键．连接，根据三角形中位线定理得到，根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可． 【详解】解：连接交于点O， ∵M，N，P，Q是各边中点，， ，∴四边一定为平行四边形，④说法正确； 时，四边形不一定为正方形，①说法错误； 时，四边形为菱形，②说法正确； 时，，四边形为矩形，③说法正确；故选：C． 8．（2022·浙江宁波·统考中考真题）如图，在中，D为斜边的中点，E为上一点，F为中点．若，，则的长为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】D 【分析】根据三角形中位线可以求得AE的长，再根据AE＝AD，可以得到AD的长，然后根据直角三角形斜边上的中线和斜边的关系，可以求得BD的长． 【详解】解：∵D为斜边AC的中点，F为CE中点，DF＝2，∴AE＝2DF＝4， ∵AE＝AD，∴AD＝4，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，∴BD＝AC＝AD＝4，故选：D． 【点睛】本题考查直角三角线斜边上的中线和斜边的关系、三角形的中位线，解答本题的关键是求出AD的长． 9．（2023上·北京海淀·九年级校考开学考试）如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD四条边AB，BC，CD，DA的中点，则关于四边形EFGH，下列说法正确的是（    ） A．不一定是平行四边形 B．当AC＝BD时，它为菱形 C．一定是轴对称图形 D．不一定是中心对称图形 【答案】B 【分析】先连接AC，BD，根据EF＝HG＝AC，EH＝FG＝BD，可得四边形EFGH是平行四边形，当AC⊥BD时，∠EFG＝90°，此时四边形EFGH是矩形；当AC＝BD时，EF＝FG＝GH＝HE，此时四边形EFGH是菱形，据此进行判断即可． 【详解】解：连接AC，BD，如图： ∵点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点， ∴EF＝HG＝AC，EH＝FG＝BD，∴四边形EFGH是平行四边形，故A错误； ∴四边形EFGH一定是中心对称图形，故D错误； 当AC⊥BD时，∠EFG＝90°，此时四边形EFGH是矩形， 当AC＝BD时，EF＝FG＝GH＝HE，此时四边形EFGH是菱形， ∴四边形EFGH可能是轴对称图形，故C错误；∴说法正确的是当AC＝BD时，它为菱形，故选：B． 【点睛】本题主要考查了中点四边形的运用，解题时注意：平行四边形是中心对称图形．解决问题的关键是掌握三角形中位线定理． 10．（2023·辽宁丹东·统考中考真题）如图，在四边形中，，，，，点和点分别是和的中点，连接，，，若，则的面积是 ．    【答案】． 【分析】由题可得△ACD为等腰直角三角形，CD=8，可求出AD=AC=，点和点分别是和的中点，根据中位线定理和直角三角形斜边中线定理可得到EF=AD，BE=AC，从而得到EF=EB，又，得∠CAB=15°，∠CEB=30°进一步得到∠FEB=120°，又△EFB为等腰三角形，所以∠EFB=∠EBF=30°，过E作EH垂直于BF于H点，在Rt△EFH中，解直角三角形求出EH，FH,以BF为底，EH为高，即可求出△BEF的面积． 【详解】解：∵，，∴△ADC为等腰直角三角，    ∵CD=8，∴AD=AC=CD=，∵E,F为AC，DC的中点， ∴FE∥AD，EF=AD=，∴BE=AC=，∵AD=AC，∴EF=EB，△EFB为等腰三角形， 又∵EF∥AD，∴EF⊥AC，∴∠FEC=90°，又EB=EA，∴∠EAB=∠EBA=105°－90°=15°， ∴∠CEB=30°，∴∠FEB=120°，∴∠EFB=∠EBF=30°，过E作EH垂直于BF于H点，∴BH=FH， 在Rt△EFH中，∵∠EFH=30°，∴EH=EF·sin30°=×= ， FH=EF·cos30°=×= ，∴BF=2×=，∴SBEF=BF·EH=××= ，故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边中线定理，解直角三角形。正确的运用解题方法求出相关线段长度是解题的关键． 11．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，在中，，、、分别为、、的中点，若，则 ． 【答案】5 【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得AC的长度，再根据题意判断DE为中位线，根据中位线的性质即可求出DE的长度． 【详解】∵在中，，、、分别为、、的中点，，则根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得AC＝10．根据题意判断DE为中位线，根据三角形中位线的性质，得DE∥AC且DE=AC，可得DE=5．故答案为DE=5 【点睛】本题掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半及中位线的性质是解答本题的关键． 12．（2022·江苏镇江·统考中考真题）如图，在和中，，、、分别为、、的中点，若，则 ． 【答案】1 【分析】由直角三角形斜边中线的性质得出AB=2DE，再由三角形中位线的性质可得FG的长； 【详解】解：∵Rt△ABC中，点E是AB的中点，DE=1，∴AB=2DE=2， ∵点F、G分别是AC、BC中点，∴，故答案为：1 【点睛】本题考查直角三角形的性质及三角形中位线的性质等知识；熟练掌握中位线定理是解题的关键． 13．（23-24八年级上·北京海淀·期末）如图，在Rt中，，， 是的中线，E是的中点，连接，，若，垂足为E，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，勾股定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键． 根据垂直定义可得，利用直角三角形斜边上的中线性质可得，，从而得到，最后利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】解：∵，， ∵是的中线，，∴是斜边上的中线，， ∵是的中点，∴，， 由勾股定理得．故答案为：． 14．（24-25九年级上·北京·期中）如图，在直角三角形中，，是上一点，，，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线性质，过作，使，取中点，连接，，先证明得到，即可得到，最后由，得到当，，三点共线时，最大，此时． 【详解】解：如图，过作，使，取中点，连接，， ∵，，∴， ∵，，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵中点，，∴，∴， ∵，∴当，，三点共线时，最大，此时，故答案为：． 15．（22-23八年级下·北京顺义·期末）如图，在中，，，D为的中点，则 ． 【答案】40 【详解】本题主要考查了直角三角形斜边上中线的性质，解题时注意：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 先根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，得出，进而得到，再根据，即可得出的度数． 【解答】解：中，，点D是斜边的中点，，， 又，，故答案为：40． 16．（23-24八年级下·北京·期中）如图，菱形的对角线，相交于点，点为边的中点，连接．若，，则的长为 ，菱形面积为 ． 【答案】 1 【分析】本题考查了菱形的性质，解题的关键是掌握菱形四边相等，对角线互相垂直平分，以及菱形的面积等于对角线乘积的一半． 先根据菱形的性质得出，根据直角三角形斜边上中线的性质，即可求出，根据菱形的性质推出为等边三角形，再根据勾股定理求出，最后根据菱形的面积公式，即可求出菱形的面积． 【详解】解：∵四边形是菱形，∴，， ∵点为边的中点，∴，∵，∴为等边三角形， ∴，∴，根据勾股定理可得：， ∴，∴菱形面积为，故答案为：1，． 17．（24-25九年级上·北京·开学考试）已知中，D、E、F分别是边的中点，若的周长为10，则的周长为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了三角形中位线的定义和性质“三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半”．利用三角形中位线的性质进行推导即可得到答案． 【详解】解：∵点、、分别是的中点， ∴、、是的三条中位线，∴、、， ∵的周长是10，∴∴ ∴的周长是20．故答案为：20． 18．（23-24八年级下·北京东城·期末）如图，中，点，分别是边，的中点，的角平分线交于点，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据三角形中位线定理得到，，根据角平分线，平行线的性质可得，由即可求解． 本题主要考查三角形的中位线，平行线，角平分线的性质，掌握中位线定理是解题的关键． 【详解】解：∵点、分别为边、的中点， ∴，，，∴， ∵平分，∴，∴， ∴，故答案为：． 19．（23-24八年级下·北京·期中）已知四边形ABCD为凸四边形，点M、N、P、Q分别为AB、BC、CD、DA上的点（不与端点重合），下列说法正确的是 （填序号） ①对于任意凸四边形ABCD，一定存在无数个四边形MNPO是平行四边形； ②如果四边形ABCD为任意平行四边形，那么一定存在无数个四边形MNPQ是矩形； ③如果四边形ABCD为任意矩形，那么一定存在一个四边形为正方形； ④如果四边形ABCD为任意菱形，那么一定存在一个四边形为正方形． 【答案】④ 【分析】根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定和性质，逐一判断各个选项，即可． 【详解】解：①对于任意凸四边形ABCD，当点M、N、P、Q分别为AB、BC、CD、DA上的中点时，四边形MNPO是平行四边形，故原说法错误； ②如果四边形ABCD为任意平行四边形，那么一定存在无数个四边形MNPQ是平行四边形，故原说法错误；③如果四边形ABCD为任意矩形，不一定存在一个四边形为正方形，故原说法错误； ④如果四边形ABCD为任意菱形，那么一定存在一个四边形为正方形，原说法正确．故答案是：④. 【点睛】本题考查四边形综合，熟练掌握平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定和性质，是解题关键． 20．（24-25九年级上·北京·期中）如图，在中，点，分别在，上，，连接与对角线相交于点． (1)求证：；(2)连接，为的中点，连接．若，求的长． 【答案】(1)证明见解析(2)4 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．（1）由“”可证，可得； （2）由三角形中位线定理可求的长． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，，，，， 又，∴，； （2）解：∵，∴，即点O是的中点， 又点为的中点，∴是的中位线，∴． 21．（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图，四边形中，，，、分别是、的中点，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，勾股定理，连接，根据三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线推知，再由等腰三角形的性质和平行线的性质求得，利用勾股定理即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵分别是的中点，∴且，∴， ∵，是的中点，∴，∴， ∴，∴， ∴． 22．（23-24八年级下·北京·期中）小凡同学在学习了三角形中位线定理后，重新组合题设和结论，得到如下命题：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线．即在中，若D为中点，，则E为中点． (1)请你完成这一命题的证明．(2)小凡同学发现由这个命题可以得到一种作线段中点的方法： 如图，要作线段的中点：①作射线；②以A为圆心，适当长为半径画弧，交射线于点E，再以E为圆心，以长为半径画弧，交射线于点C；③连接BC，过点E作交于点D，连接，则点D为线段的中点． 请你仿照小凡的方法，将线段五等分（不必证明，保留作图痕迹，平行线可通过三角尺、直尺完成，无需尺规作图）． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线等分线段，解题的关键是读懂题意，掌握全等三角形的判定定理．（1）证明过E作交于F，证明，可得，即E为的中点；（2）①作射线；②以A为圆心，适当长为半径画弧，交射线于点C，再以C为圆心，以长为半径画弧，交射线于点D，再以D为圆心，以长为半径画弧，交射线于点E，再以E为圆心，以长为半径画弧，交射线于点F，再以F为圆心，以长为半径画弧，交射线于点G；③连接，分别过C，D，E，F作的平行线，交于H，I，J，K，则H，I，J，K即为线段的五等分点． 【详解】（1）证明：过E作交于F，如图： ∵，∴，∵，∴四边形是平行四边形，，， ∴，，∵D为中点，∴，∴， 在和中，，∴∴，∴E为的中点； （2）解：①作射线；②以A为圆心，适当长为半径画弧，交射线于点C，再以C为圆心，以长为半径画弧，交射线于点D，再以D为圆心，以长为半径画弧，交射线于点E，再以E为圆心，以长为半径画弧，交射线于点F，再以F为圆心，以长为半径画弧，交射线于点G；③连接，分别过C，D，E，F作的平行线，交于H，I，J，K， 如图： 则H，I，J，K即为线段的五等分点． 23．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形” 【概念理解】（1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，_________是“中方四边形”（填序号）． 【性质探究】（2）如图1，若四边形是“中方四边形”，观察图形，线段和线段有什么关系，并证明你的结论． 【问题解决】（3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形连结，依次连接四边形的四边中点得到四边形．求证：四边形是“中方四边形”． 【答案】（1）④；（2）；（3）见解析 【分析】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质．（1）根据定义“中方四边形”，即可得出答案； （2）由四边形是“中方四边形”，可得是正方形且E、F、G、H分别是的中点，利用三角形中位线定理即可得出答案；（3）如图2，取四边形各边中点分别为P、Q、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得，推出是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可证得结论． 【详解】（1）解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由如下： 因为正方形的对角线相等且互相垂直，故答案为：④； （2）解：；理由如下：如图1，∵四边形是“中方四边形”， ∴是正方形且E、F、G、H分别是的中点， ∴，，，， ∴，故答案为：，； （3）证明：如图2，连接交于P，连接交于K， ∵四边形各边中点分别为M、N、R、L， ∴分别是的中位线， ∴，，， ∴，，∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形，∴， ∴，即， ∴，∴， ∴，∴平行四边形是菱形，∵，∴． 又∵∴，∴， 又∵，∴． ∴菱形是正方形，即原四边形是“中方四边形”． 24．（2023·山东东营·统考中考真题）（1）用数学的眼光观察． 如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，求证：． （2）用数学的思维思考．如图，延长图中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求证：． （3）用数学的语言表达．如图，在中，，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，试判断的形状，并进行证明． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）是直角三角形，证明见解析． 【分析】（1）根据中位线定理即可求出，利用等腰三角形的性质即可证明； （2）根据中位线定理即可求出和，通过第（1）问的结果进行等量代换即可证明；（3）根据中位线定理推出和从而求出，证明是等边三角形，利用中点求出，从而求出度数，即可求证的形状. 【详解】证明：（1）的中点，是的中点， .同理，. ，.. （2）的中点，是的中点， ，.同理，. 由（1）可知，. （3）是直角三角形，证明如下： 如图，取的中点，连接，， 是的中点，，.同理，，. ，.. ，，. ，. 又，是等边三角形，. 又，.， . 是直角三角形. 故答案为：是直角三角形. 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，等边三角形的性质以及直角三角形的判定，解题的关键在于灵活运用中位线定理. 2 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 重要的几何模型之中点模型（斜边中线、中位线、中点四边形） 中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义。 常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。本专题就中点模型的后三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 2 模型1.直角三角形斜边中线模型 2 模型2.中位线模型 21 模型3.中点四边形模型 50 76 模型1.直角三角形斜边中线模型 直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 1）直角三角形斜边中线模型（单中线模型） 条件：如图，若AD为斜边上的中线； 结论：（1）；（2），为等腰三角形；（3），． 证明：取AC的中点E，连接DE，∵AD是斜边BC的中线，∴BD=CD=， ∵E是AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE//AB，∴∠DEC=∠BAC=90°，∴DE垂直平分AC， ∴AD=CD，∴；∴，为等腰三角形； ∵AD=CD，∴，∵，∴，同理：． 2）直角三角形斜边中线模型（双中线模型） 条件：如图，在由两个直角三角形组成的图中，M为BC边的中点，（直角在BC的同侧和异侧两类） 结论：（1）；（2）． 证明：∵，M为BC边的中点，∴，，∴ ∴，∵，∴，同理： ∴，∴．（同侧和异侧证明一致） 模型运用条件：连斜边上的中线（出现斜边上的中点时） 例1．（23-24八年级下·北京丰台·期末）如图，在中，，，O为的中点，若，则点O与点B的距离是（    ） A．20 B．10 C． D．5 例2．（23-24八年级下·北京海淀·期末）如图，在中，，平分，点是的中点，，则 ． 例3．（23-24八年级下·北京东城·期末）如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接，若，，则菱形的面积为（   ） A．8 B．16 C．32 D． 例4．（23-24八年级上·吉林长春·期末）如图，四边形中，，，若，则 ． 例5．（2023·浙江嘉兴·统考二模）在中，，点分别是的中点，点是上的一个动点，连结，作交于点，连结． 点从点向点运动的过程中，的最小值为 ．    例6．（2024八年级下·北京·专题练习）已知：中，于E，于D，连接，点M、N是、的中点．求证：． 模型2.中位线模型 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。 中点三角形：三角形三边中点的连线组成的三角形，其周长是原三角形周长的一半，面积是原三角形面积的四分之一。 梯形中位线定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。 梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。 图1 图2 1）三角形的中位线模型： 条件：如图，在三角形ABC的AB，AC边的中点分别为D、E， 结论：（1）DE//BC且，（2）△ADE∽△ABC。 证明：如图1，过点C作交延长于点F，∴， ∵是的中位线，∴，∴，∴， ∴，又∵，∴四边形是平行四边形， ∴，，∴，； ∵，∴，，∴△ADE∽△ABC。 2）梯形的中位线模型： 条件：如图2，在梯形中，，、分别是两腰、的中点， 结论：（1），； （2）梯形的面积＝×2×中位线的长×高＝中位线的长×高。 证明：连接并延长，交延长线于点，，． 是的中点，．，． ，．点是的中点，又点是的中点， 是的中位线，，．． ，，．，． ∵梯形的面积=，∴梯形的面积==中位线的长×高。（为梯形的高） 模型运用条件：构造中位线（出现多个中点时）。 例1．（23-24八年级下·北京朝阳·期末）如图，是的中位线，若的周长为10，则的周长为 ．    例2．（24-25九年级上·北京海淀·开学考试）如图，在平行四边形中，，E为上一动点，M，N分别为，的中点，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．不确定 例3．（23-24八年级下·广西南宁·阶段练习）如图，在矩形中，，顺次连结各边中点得到菱形，再顺次连接菱形各边中点，得到矩形，再顺次连接矩形各边中点，得到菱形，如此下去，四边形的面积等于（    ） A． B． C． D． 例4．（2024·北京西城·校考一模）如图，在中，D，E分别为的中点，点F在线段上，且．若，则的长为 ． 例5．（2023·广西·统考中考真题）如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是上的动点，M，N分别是的中点，则的最大值为 ．    例6．（2024·青海西宁·二模）在探索平面图形的性质时，往往需通过剪拼的方式帮助我们寻找解题思路． （1）【知识回顾】在证明三角形中位线定理时，就采用了如图①的剪拼方式，将三角形转化为平行四边形使问题得以解决，请写出已知，求证，并证明三角形中位线定理． （2）【数学发现】如图②，在梯形中，，是腰的中点，请你沿着将上图的梯形剪开，并重新拼成一个完整的三角形． 如图③，在梯形中，，、分别是两腰、的中点，我们把叫做梯形的中位线．请类比三角形的中位线的性质，猜想和、有怎样的位置和数量关系？ 【证明猜想】（3）证明（2）的结论，并在“，”的条件下，求的长． 模型3.中点四边形模型 中点四边形：依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形。 中点四边形是中点模型中比较经典的应用。中点四边形不仅结合了常见的特殊四边形的性质，而且还会涉及中位线这一重要知识点，总体来说属于比较综合的几何模块。 推广与应用 1）中点四边形的周长：中点四边形的周长等于原四边形对角线之和。 2）中点四边形的面积：中点四边形的面积等于原四边形面积的。 结论1：顺次连结任意四边形各边中点组成的四边形是平行四边形． 条件：如图1，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，结论：四边形MNPQ为平行四边形。 证明：∵点M、N是AC、AB的中点，∴，， 同理：，，∴MN=PQ，，∴四边形是平行四边形， 图1 图2 结论2：顺次连结对角线互相垂直四边形各边中点组成的四边形是矩形．（特例：筝形与菱形） 条件：如图2，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC⊥DB，结论：四边形MNPQ为矩形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴， ∵AC⊥DB，∴MN⊥MQ，∴四边形MNPQ为矩形。 结论3：顺次连结对角线相等四边形各边中点组成的四边形是菱形．（特例：等腰梯形与矩形） 条件：如图3，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，结论：四边形MNPQ为菱形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴， ∵AC=DB，∴MN=MQ，∴四边形MNPQ为菱形。 图3 图4 结论4：顺次连结对角线相等且垂直的四边形各边中点组成的四边形是正方形． 条件：如图4，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，AC⊥DB， 结论：四边形MNPQ为正方形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴，，， ∵AC=DB，AC⊥DB，∴MN=MQ，MN⊥MQ，，∴四边形MNPQ为正方形。 例1．（2023·河南信阳·模拟预测）顺次连接四边形各边的中点得到四边形，要使四边形是菱形，可以添加的一个条件是（    ） A． B． C． D． 例2．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，在四边形中，E、F、G、H分别是边、、、的中点．请你添加一个条件，使四边形为矩形，应添加的条件是（    ） A． B． C． D． 例3．（2023上·陕西西安·九年级校考阶段练习）如图，连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，还要添加 ，才能保证四边形EFGH是正方形． 例4．（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图，点A，B，C为平面内不在同一直线上的三点．点为平面内一个动点，线段，，，的中点分别为M，N，P，Q，在点的运动过程中，有下列结论：①存在无数个中点四边形是平行四边形；②存在无数个中点四边形是菱形； ③存在无数个中点四边形是矩形；④存在无数个中点四边形是正方形． 其中，所有正确的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 例5．（23-24八年级下·江苏·期中）如图，在四边形中，点，，，分别是，，，边上的中点，则下列结论一定正确的是（　　） A．四边形是矩形 B．四边形的内角和小于四边形的内角和 C．四边形的周长等于四边形的对角线长度之和 D．四边形的面积等于四边形的面积的 例6．（2023上·广东佛山·九年级校考阶段练习）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 【概念理解】：（1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是______． A．平行四边形    B．矩形    C．菱形    D．正方形 【性质探究】：（2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，直接写出四边形的对角线，的关系； 【问题解决】：（3）如图2．以锐角的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，，．求证：四边形是“中方四边形”； 【拓展应用】：如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点． （4）试探索与的数量关系，并说明理由．（5）若，求的最小值．    1．（23-24八年级下·北京·期末）如图， 菱形的对角线交于点O， 点M为的中点，连接，若，，则的长为（     ） A． B．4 C．5 D．3 2．（24-25九年级上·北京西城·开学考试）如图，在中，，，，分别是角平分线和中线，过点C作于点F，连接，则线段的长为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24八年级下·北京东城·期末）如图，在四边形中，P 是对角线的中点，点E，F 分别是的中点，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·北京西城·期末）如图，在中，D，E分别是，的中点，交CB的延长线于点F．若，，则的长为（　　） A．2 B．3 C．3.5 D．4 5．（2024八年级下·北京·专题练习）如图，平行四边形的对角线、交于点O，平分交于点E，且，，连接．下列结论中不成立的是（　　） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·北京海淀·阶段练习）如图，某花木场有一块四边形ABCD的空地，其各边的中点为E、F、G、H，测得对角线AC＝11米，BD＝9米，现想用篱笆围成四边形EFGH场地，则需篱笆总长度是（　　） A．20米 B．11米 C．10米 D．9米 7．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如图，在任意四边形中，M，N，P，Q分别是的中点．以下结论：①当时，四边形为正方形；②当时，四边形为菱形；③当时，四边形为矩形；④四边形一定为平行四边形．其中正确的结论有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2022·浙江宁波·统考中考真题）如图，在中，D为斜边的中点，E为上一点，F为中点．若，，则的长为（    ） A． B．3 C． D．4 9．（2023上·北京海淀·九年级校考开学考试）如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD四条边AB，BC，CD，DA的中点，则关于四边形EFGH，下列说法正确的是（    ） A．不一定是平行四边形 B．当AC＝BD时，它为菱形 C．一定是轴对称图形 D．不一定是中心对称图形 10．（2023·辽宁丹东·统考中考真题）如图，在四边形中，，，，，点和点分别是和的中点，连接，，，若，则的面积是 ．    11．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，在中，，、、分别为、、的中点，若，则 ． 12．（2022·江苏镇江·统考中考真题）如图，在和中，，、、分别为、、的中点，若，则 ． 13．（23-24八年级上·北京海淀·期末）如图，在Rt中，，， 是的中线，E是的中点，连接，，若，垂足为E，则的长为 ． 14．（24-25九年级上·北京·期中）如图，在直角三角形中，，是上一点，，，则的最大值为 ． 15．（22-23八年级下·北京顺义·期末）如图，在中，，，D为的中点，则 ． 16．（23-24八年级下·北京·期中）如图，菱形的对角线，相交于点，点为边的中点，连接．若，，则的长为 ，菱形面积为 ． 17．（24-25九年级上·北京·开学考试）已知中，D、E、F分别是边的中点，若的周长为10，则的周长为 ． 18．（23-24八年级下·北京东城·期末）如图，中，点，分别是边，的中点，的角平分线交于点，，，则的长为 ． 19．（23-24八年级下·北京·期中）已知四边形ABCD为凸四边形，点M、N、P、Q分别为AB、BC、CD、DA上的点（不与端点重合），下列说法正确的是 （填序号） ①对于任意凸四边形ABCD，一定存在无数个四边形MNPO是平行四边形； ②如果四边形ABCD为任意平行四边形，那么一定存在无数个四边形MNPQ是矩形； ③如果四边形ABCD为任意矩形，那么一定存在一个四边形为正方形； ④如果四边形ABCD为任意菱形，那么一定存在一个四边形为正方形． 20．（24-25九年级上·北京·期中）如图，在中，点，分别在，上，，连接与对角线相交于点．(1)求证：；(2)连接，为的中点，连接．若，求的长． 21．（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图，四边形中，，，、分别是、的中点，，求的长． 22．（23-24八年级下·北京·期中）小凡同学在学习了三角形中位线定理后，重新组合题设和结论，得到如下命题：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线．即在中，若D为中点，，则E为中点． (1)请你完成这一命题的证明．(2)小凡同学发现由这个命题可以得到一种作线段中点的方法： 如图，要作线段的中点：①作射线；②以A为圆心，适当长为半径画弧，交射线于点E，再以E为圆心，以长为半径画弧，交射线于点C；③连接BC，过点E作交于点D，连接，则点D为线段的中点． 请你仿照小凡的方法，将线段五等分（不必证明，保留作图痕迹，平行线可通过三角尺、直尺完成，无需尺规作图）． 23．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”。【概念理解】（1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，_________是“中方四边形”（填序号）． 【性质探究】（2）如图1，若四边形是“中方四边形”，观察图形，线段和线段有什么关系，并证明你的结论． 【问题解决】（3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形连结，依次连接四边形的四边中点得到四边形．求证：四边形是“中方四边形”． 24．（2023·山东东营·统考中考真题）（1）用数学的眼光观察．如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，求证：． （2）用数学的思维思考．如图，延长图中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求证：．（3）用数学的语言表达．如图，在中，，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，试判断的形状，并进行证明． 12 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$