专题02 特殊的平行四边形中的最值模型之将军饮马、遛马、造桥模型-2024-2025学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北京版）

专题02 特殊的平行四边形中的最值模型之将军饮马、遛马、造桥模型 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。 将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马（即将军遛马、造桥或过桥），主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就特殊的平行四边形背景下的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值） 1 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值） 4 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型） 5 模型4.将军遛马、造桥（过桥）模型 7 11 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 例1．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在平行四边形中，，，平分，是对角线上的一个动点，点是边上的一个动点，则的最小值是 ． 例2．（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图，长和宽分别为8和6的矩形纸片ABCD中，点E是AD的中点，F是AB上一动点，将沿直线EF折叠，点A落在点处．在EF上任取一点G，连接，，则的最小值为 ． 例3．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在菱形中，，，点P，E，F分别为线段上的动点，则的最小值是 ． 例4．（24-25九年级上·北京·开学考试）如图，正方形的面积是4，点是的中点，点是上的动点，则的最小值为　　 A．2 B． C．4 D． 例5．（23-24八年级下·北京·期中）矩形中，点是上一点，，，，点是边上的动点，以为一边作菱形，使顶点落在上，连接，则的最小值为 ，面积的最小值为 ．    模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。 模型（1）：点A、B在直线m同侧： 模型（2）：点A、B在直线m异侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。 当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’， 当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。 例1．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，菱形的边长是10，，交于点，点P为直线上一点，点P与点关于对称，为中点，连接、，则的最大值是 ． 例2．（23-24八年级下·福建莆田·期中）如图，在矩形中，对角线上一动点E，连接，过点E作于点F，，求的最小值为 ．    例3．（2022·河南南阳·一模）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P为直线CD上的动点，则|PA－PB|的最大值为____． 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型） 模型（1）：两定点+两动点 条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 两个点都在直线外侧（图1-1）；内外侧各一点（图1-2）；两个点都在内侧（图1-3） 图1-1 图1-1 图1-1 图2 模型（2）：一定点+两动点 条件：如图2，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 图1-1 图1-1 图1-1 图2 模型（1-1）（两点都在直线外侧型） 如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（1-2）（直线内外侧各一点型） 如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（1-3）（两点都在直线内侧型） 如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 模型（2）：如图（2），作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 例1．（2023·四川广元·一模）如图，已知正方形边长为3，点E在边上且，点P，Q分别是边，的动点（均不与顶点重合），当四边形的周长取最小值时，四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 例2．（2023.无锡市初三数学期中试卷）方法感悟：如图①，在矩形中，是否在边上分别存在点G、H，使得四边形的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由． 例3．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图，在▱中，，，，对角线、相交于点，点、分别是边、上的点，连接、、． （1）点到直线的距离是 ；（2）周长的最小值是 ． 例4．（24-25八年级上·北京·阶段练习）如图，在边长为2的等边中，点，，分别是，，上的动点，则周长的最小值为 ． 模型4.将军遛马、造桥（过桥）模型 模型（1）：将军遛马模型：已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。 点A、B在直线m异侧（图1-1）；点A、B在直线m同侧 （图1-2）； 图1-1 图1-2 图2 模型（2）：将军造桥（过桥）模型 已知，如图2，将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？（即：AM+MN+NB的值最小）。 将军遛马模型（异侧型）：如图1-1，过A点作AC∥m,且AC=PQ，连接BC，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AC∥m，AC=PQ，得到四边形APQC为平行四边形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB， 再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB的最小值为CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB. 图1-1 图1-2 图2 将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过A点作AE∥m,且AE=PQ，作B关于m的对称点B’，连接B’E，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AE∥m，AE=PQ，得到四边形APQE为平行四边形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB， 根据对称，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’， 再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB’的最小值为EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。 将军造桥（过桥）模型：如图2，过A点作AA’∥MN，且AA’=MN，连接A’B， ∵AA’∥MN，且AA’=MN ∴四边形APQC为平行四边形，故AM=A’N， ∵MN为定值，∴求AM+MN+NB的最小值，即求AM+NB的最小值+MN。 再利用“两点之间线段最短”，可得AM+NB的最小值为A’B，故AM+MN+NB的最小值=A’B+MN。 例1．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）如图，在矩形中，，，点E为中点，P、Q为边上两个动点，且，则四边形周长的最小值为（     ） A． B． C． D． 例2．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图所示，菱形是无锡某乐园主题区域的平面示意图，分别是该区域的四个入口，两条主干道交于点．请你帮助苏州乐园的管理人员解决以下问题：乐园管理人员为提升游客游览的体验感，准备修建三条绿道，其中点M在上，点N在上，且，修建绿道每千米费用为4万元，请你计算修建这三条绿道投入资金的最小值为 万元． 例3．（23-24九年级下·山东泰安·期中）如图，在边长为1的菱形中，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，，则的最小值为 例4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在正方形中，，是对角线上两点点靠近点，且，当的最小值为时，的长为 ． 例5．（23-24八年级下·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC为矩形，边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点D、E在直线上，且点O、B分别是DE、AD的中点，点M、N分别是BC、OA上的动点，且MN⊥OA，若OA=6，则DM+MN+NE的最小值为 例6．（2024·陕西西安·二模）如图1，正方形的边长为4，点是对角线上两动点，且，将点沿的方向平移2个单位得到点，连接、． (1)①四边形的形状为_____________； ②连接、，当点，，共线时，的值为_____________． (2)自古以来，黄河就享有“母亲河”的美誉，是中华文明的发源地之一，也是中华民族生生不息、赖以生存的摇篮．如图2，某地黄河的一段出现了分叉，形成了“”字型支流，分叉口有一片三角形地带的湿地，在支流1的左上方有一村庄，支流2的右下方有一开发区，为促进当地的经济发展，经政府决定在支流1和支流2上分别修建一座桥梁、（支流1的两岸互相平行，支流2的两岸也互相平行，桥梁均与河岸垂直），你能帮助政府计算一下由村庄到开发区理论上的最短路程吗？（即和的最小值）．经测量，、两地的直线距离为2000米，支流1、支流2的宽度分别为米、250米，且与线段所夹的锐角分别为、． 1．（2024·四川广安·中考真题）如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为 ． 2．（2024·广东·二模）如图，菱形的一条对角线，，P是对角线上的一个动点，E，F分别为边，的中点，则的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D． 3．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，正方形的边长为6，E、F分别为、的中点，P是对角线上的动点，则四边形周长的最小值为（   ）    A．8 B．10 C．12 D．14 4．（2023·安徽合肥·校考三模）在边长为2的正方形中，点E、F是对角线上的两个动点，且始终保持，连接、，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 5．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在菱形中，，对角线交于点，，点为的中点，点为上一点，且，点为上一动点，连接，则的最大值为________．    6．（2023春·湖南永州·八年级统考期中）如图，在矩形中，，O为对角线的中点，点P在边上，且，点Q在边上，连接与，则的最大值为____________，的最小值为__________． 7．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在边长为2的菱形中，，将沿射线的方向平移，得到，则的最小值为______． 8．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，已知菱形的边长为2，，E为的中点，M、N是对角线上的两个动点，且，连接，，则的最小值为 ． 9．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，中，，，，，；垂足分别为点F和E．点G和H分别是和上的动点，，那么的最小值为______．    10．（2023·江苏苏州·校考二模）如图，在中，．如果在三角形内部有一条动线段，且，则的最小值为________．    11.（23-24八年级下·江苏南通·期中）如图，在矩形中，，，动点P满足，则周长的最小值为 ．    12．（24-25九年级上·北京·开学考试）如图，四边形中，和互相垂直，，，则的最小值为 ． 13．（23-24八年级下·北京·期中）如图：点在线段上，，，是等边三角形，四边形是正方形，点是上一个动点，连接则的最小值为 ． 14．（23-24八年级上·北京西城·期中）如图，中，，，D，E为边上的两个动点，且，连接，，若，则的最小值为 ．    15．（23-24八年级下·北京密云·期中）如图，平面直角坐标系中，正方形的顶点A与原点重合，点B在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，正方形边长为2，点E是的中点，点P是上一个动点，当取得最小值时，此时最小值是 ；P点的坐标是 ． 16．（23-24八年级下·北京·期中）在正方形ABCD中，，点E、F分别为AD、AB上一点，且，连接BE、CF，则的最小值是 ． 17．（23-24八年级下·北京昌平·期中）已知：如图，边长为4的正方形ABCD中，点E为边DC上一点，且DE＝1，在AC上找一点P，则DP+EP的最小值为 ． 18．（23-24八年级上·北京东城·期末）如图，等腰直角中，，D为的中点，，若P为上一个动点，则的最小值为 ． 19．（23-24八年级下·北京·阶段练习）如图，正方形的边长为4，点E在边上，，若点F是正方形边上一动点，连接，那么，的周长的最小值是 ． 20．（23-24八年级上·北京西城·期中）如图，在锐角中，，，，点，，分别为，，上的动点，则周长最小值为 . 21．（23-24八年级上·北京朝阳·期末）如图，中，，，D，E为边上的两个动点，且，连接，，若，则的最小值为 ． 22．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在正方形中，对角线与交于点，，是的中点，是对角线上的一条动线段，若的最大值为，则的长为 ． 23．（2024上·北京海淀·九年级校考开学考试）如图，中，，过A点作的平行线与的平分线交于点，连接．(1)求证：四边形是菱形；(2)过点作的平行线交直线于点，连接，，点是线段上的动点，若，请直接写出的最小值．    24．（23-24八年级下·广东深圳·期末）【综合实践活动】 【问题背景】如图，，表示两个村庄，要在，一侧的河岸边建造一个抽水站，使得它到两个村庄的距离和最短，抽水站应该修建在什么位置？ 【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题： 如图，，是直线同侧的两个点，点在直线上．在何处时，的值最小． 画图：如图，作关于直线的对称点，连结与直线交于点，点的位置即为所求． 证明：和关于直线对称 直线垂直平分 ________， 根据“________”（填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一列条直线．）可得最小值为________（填线段名称），此时P点是线段和直线的交点． 【问题拓展】如图4，村庄的某物流公司在河的对岸有一个仓库（河流两侧河岸平行，即），为了方便渡河，需要在河上修建一座桥（桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直），请问桥修建在何处才能使得到的路线最短？请你画出此时桥的位置（保留画图痕迹，否则不给分）． 【迁移应用】光明区某湿地公园如图5所示，四边形为花海景区，，米，米，长方形为人工湖景区，为了方便市民观景，公园决定修建一条步行观光路线（折线），为起点，终点在上，米，为湖边观景台，长度固定不变米），且需要修建在湖边所在直线上，步行观光路线的长度会随着观景台位置的变化而变化，请直接写出步行观光路线的最短长度． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 特殊的平行四边形中的最值模型之将军饮马、遛马、造桥模型 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。 将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马（即将军遛马、造桥或过桥），主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就特殊的平行四边形背景下的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值） 1 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值） 6 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型） 9 模型4.将军遛马、造桥（过桥）模型 14 21 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 例1．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在平行四边形中，，，平分，是对角线上的一个动点，点是边上的一个动点，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：四边形是平行四边形，，， 平分，，， ，平行四边形是菱形，连接，，过点作于点， 由菱形的对角线互相垂直平分，可得、关于对称，则， ，即就是的最小值，，， 在中，，，， 由勾股定理，得．的最小值为．故答案为：． 例2．（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图，长和宽分别为8和6的矩形纸片ABCD中，点E是AD的中点，F是AB上一动点，将沿直线EF折叠，点A落在点处．在EF上任取一点G，连接，，则的最小值为 ． 【答案】10 【详解】如图，连接交于H，连接， 由折叠性质可知：，∴∴、、三点共线时取得最小值 此时故答案为：10 例3．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在菱形中，，，点P，E，F分别为线段上的动点，则的最小值是 ． 【答案】/ 【详解】解：作出关于的对称点，再过作，交于点，此时最小，此时，过点作，于， ∵四边形是菱形，∵，，，， 由勾股定理可得，， ，，， 最小为，故答案为：． 例4．（24-25九年级上·北京·开学考试）如图，正方形的面积是4，点是的中点，点是上的动点，则的最小值为　　 A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】解：如图所示，连接，四边形是正方形，，， 又，，，， 当，，在同一直线上时，的最小值等于线段的长， 正方形的面积是4，点是边的中点，，， 在中，，的最小值为，故选：． 例5．（23-24八年级下·北京·期中）矩形中，点是上一点，，，，点是边上的动点，以为一边作菱形，使顶点落在上，连接，则的最小值为 ，面积的最小值为 ．    【答案】 【详解】解：∵四边形为菱形，∴，当时，取最小值， ∵四边形为矩形，∴，∴点重合，的值最小，即为的长， ∴的最小值为为，∴的最小值为； 延长相交于点，过点作的延长线于点，则，    ∵四边形为矩形，四边形为菱形，∴，，，， ∴，，∴，∴，∴， 当取最大时，取最大值，此时取最小，的面积取最小值， 当取最大时，点重合，此时， ∴，∴，∴， ∴；故答案为：，． 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。 模型（1）：点A、B在直线m同侧： 模型（2）：点A、B在直线m异侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。 当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’， 当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。 例1．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，菱形的边长是10，，交于点，点P为直线上一点，点P与点关于对称，为中点，连接、，则的最大值是 ． 【答案】 【详解】解：四边形是菱形，是菱形的一条对称轴， 取的中点为，则与F关于对称，连接 取点A关于的对称点，连接 在中，由三角形三边关系可得：， ，，， 当P、、在同一直线上时，有最大值连接交于点O， ，，∴ 过点作交于点N，如图所示： 则四边形为矩形，，，， ，， 在中，由勾股定理可得：， 的最大值为，故答案为：． 例2．（23-24八年级下·福建莆田·期中）如图，在矩形中，对角线上一动点E，连接，过点E作于点F，，求的最小值为 ．    【答案】2 【详解】过点A作的对称点，连接，则， ∴，∴当点，E，F共线时，最小，即最小， 此时，， 在中，，∴，， ∴，∴是等边三角形， ∴，∴，∴，∴，故答案为2．    例3．（2022·河南南阳·一模）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P为直线CD上的动点，则|PA－PB|的最大值为____． 【答案】6 【详解】如图，作A关于的对称点，连接并延长交延长线于点P，则点P就是使的值最大的点，，连接，∵为等腰直角三角形，， ∴，，∵，∴，∵点A与A′关于CD对称， ∴CD⊥AA′，，，∴， ∵AC=BC，∴，，∴， ∵，∴，∴是等边三角形，∴．故答案为：6 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型） 模型（1）：两定点+两动点 条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 两个点都在直线外侧（图1-1）；内外侧各一点（图1-2）；两个点都在内侧（图1-3） 图1-1 图1-1 图1-1 图2 模型（2）：一定点+两动点 条件：如图2，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 图1-1 图1-1 图1-1 图2 模型（1-1）（两点都在直线外侧型） 如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（1-2）（直线内外侧各一点型） 如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（1-3）（两点都在直线内侧型） 如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 模型（2）：如图（2），作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 例1．（2023·四川广元·一模）如图，已知正方形边长为3，点E在边上且，点P，Q分别是边，的动点（均不与顶点重合），当四边形的周长取最小值时，四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图1所示，作E关于BC的对称点，点A关于的对称点，连接，四边形的周长最小， ∵，，∴，． ∵，D是的中点，∴是的中位线， ∴，，∵，∴， ∴，即，，， ，故选：B． 例2．（2023.无锡市初三数学期中试卷）方法感悟：如图①，在矩形中，是否在边上分别存在点G、H，使得四边形的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】存在得四边形的周长最小，最小值为； 【详解】解：存在，理由：作E关于的对称点，作F关于的对称点，连接，交于G，交于H，连接，∴，则此时四边形的周长最小， 由题意得：，∴，     ∴， ∴四边形的周长的最小值2， ∴在边上分别存在点G、H，使得四边形的周长最小，最小值为； 例3．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图，在▱中，，，，对角线、相交于点，点、分别是边、上的点，连接、、． （1）点到直线的距离是 ；（2）周长的最小值是 ． 【答案】 3 【详解】解：（1）如图：过点作的垂线，交延长线于点， ∵四边形是平行四边形，∴， ，，∴ ，，∴点到直线的距离是3；故答案为：3； （2）如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，，， 则长为周长的最小值；由（1）知，在中，，， ，， 由对称性可知，，，是等腰三角形， 又，，， ∴周长的最小值；故答案为：. 例4．（24-25八年级上·北京·阶段练习）如图，在边长为2的等边中，点，，分别是，，上的动点，则周长的最小值为 ． 【答案】3 【详解】解：如图，连接，作点关于，的对称点，，连接，，，分别交，于点，，连接，，此时的周长最小，最小值的长．过点A作于点．，，， ，， ，∴，∴ ，，最小时，的值最小， 当时，的值最小，此时，∴， ∴的最小值为3，的周长的最小值为3，故答案为：3． 模型4.将军遛马、造桥（过桥）模型 模型（1）：将军遛马模型：已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。 点A、B在直线m异侧（图1-1）；点A、B在直线m同侧 （图1-2）； 图1-1 图1-2 图2 模型（2）：将军造桥（过桥）模型 已知，如图2，将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？（即：AM+MN+NB的值最小）。 将军遛马模型（异侧型）：如图1-1，过A点作AC∥m,且AC=PQ，连接BC，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AC∥m，AC=PQ，得到四边形APQC为平行四边形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB， 再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB的最小值为CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB. 图1-1 图1-2 图2 将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过A点作AE∥m,且AE=PQ，作B关于m的对称点B’，连接B’E，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AE∥m，AE=PQ，得到四边形APQE为平行四边形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB， 根据对称，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’， 再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB’的最小值为EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。 将军造桥（过桥）模型：如图2，过A点作AA’∥MN，且AA’=MN，连接A’B， ∵AA’∥MN，且AA’=MN ∴四边形APQC为平行四边形，故AM=A’N， ∵MN为定值，∴求AM+MN+NB的最小值，即求AM+NB的最小值+MN。 再利用“两点之间线段最短”，可得AM+NB的最小值为A’B，故AM+MN+NB的最小值=A’B+MN。 例1．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）如图，在矩形中，，，点E为中点，P、Q为边上两个动点，且，则四边形周长的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在上截取线段，作点关于的对称点，连接与交于一点即为点，过点作的平行线交于一点，即为点，过点作的平行线交的延长线于点. 则四边形是平行四边形，∴， ∵为边的中点，∴，∴ ∵，∴， ∴四边形的周长的最小值 ，故选C． 例2．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图所示，菱形是无锡某乐园主题区域的平面示意图，分别是该区域的四个入口，两条主干道交于点．请你帮助苏州乐园的管理人员解决以下问题：乐园管理人员为提升游客游览的体验感，准备修建三条绿道，其中点M在上，点N在上，且，修建绿道每千米费用为4万元，请你计算修建这三条绿道投入资金的最小值为 万元． 【答案】/ 【详解】解：如图，过点作，过点作，连接， ，，，， ，，当的值最小时，的值最小， ∵，，四边形是平行四边形， ，，当点，点，点共线时，， ，，，， 的最小值为，投入资金的最小值为：万元． 故答案为： 例3．（23-24九年级下·山东泰安·期中）如图，在边长为1的菱形中，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，，则的最小值为 【答案】 【详解】解：在边长为1的菱形中，，，， 将沿射线的方向平移得到，，， 四边形是菱形，，，，，， 四边形是平行四边形，，的最小值的最小值， 点在过点且平行于的定直线上，作点关于定直线的对称点，连接交定直线于， 则的长度即为的最小值，在中，，， ，，，， ，， ．故答案为：． 例4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在正方形中，，是对角线上两点点靠近点，且，当的最小值为时，的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，平移至，则，连接, ∴四边形是平行四边形，∴，，∵，∴ ∵在正方形中，，是对角线上两点 ∴∴ 在中， ∴故答案为：． 例5．（23-24八年级下·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC为矩形，边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点D、E在直线上，且点O、B分别是DE、AD的中点，点M、N分别是BC、OA上的动点，且MN⊥OA，若OA=6，则DM+MN+NE的最小值为 【答案】 【详解】作且，连接与的交点为，此时的值最小， ，的横坐标为，把代入求得，，， 分别是的中点，，， ，．故答案为． 例6．（2024·陕西西安·二模）如图1，正方形的边长为4，点是对角线上两动点，且，将点沿的方向平移2个单位得到点，连接、． (1)①四边形的形状为_____________； ②连接、，当点，，共线时，的值为_____________． (2)自古以来，黄河就享有“母亲河”的美誉，是中华文明的发源地之一，也是中华民族生生不息、赖以生存的摇篮．如图2，某地黄河的一段出现了分叉，形成了“”字型支流，分叉口有一片三角形地带的湿地，在支流1的左上方有一村庄，支流2的右下方有一开发区，为促进当地的经济发展，经政府决定在支流1和支流2上分别修建一座桥梁、（支流1的两岸互相平行，支流2的两岸也互相平行，桥梁均与河岸垂直），你能帮助政府计算一下由村庄到开发区理论上的最短路程吗？（即和的最小值）．经测量，、两地的直线距离为2000米，支流1、支流2的宽度分别为米、250米，且与线段所夹的锐角分别为、． 【答案】(1)①平行四边形；②6．(2)米 【详解】（1）解：①由平行的性质可得， ∴四边形是平行四边形，故答案为：平行四边形； ②∵四边形是正方形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，由正方形的对称性可得，由平行四边形的性质可得， ∴，故答案为：6； （2）解：如图所示，将点A沿着垂直于支流1的河岸的方向平移米得到，连接，将点B沿着垂直于支流2的河岸的方向平移米得到，连接， ∴四边形和四边形都是平行四边形，∴， ∴， ∴当四点共线时，最小，即此时最小； 如图所示， 分别延长交于H，∵支流1和支流2与线段所夹的锐角分别为、， ∴，∴，∴米， ∴米，∴米，米， ∴米， ∴的最小值为米． 1．（2024·四川广安·中考真题）如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，连接交于，则，，，∴当重合时，最小，最小值为， ∵，，在中，∴，，∴，， ∵，∴，故答案为： 2．（2024·广东·二模）如图，菱形的一条对角线，，P是对角线上的一个动点，E，F分别为边，的中点，则的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接，交于， ∵菱形，∴，，，， ∵∴，∴， ∴，∴，， 作点关于直线的对称点，连接， ∴， ∵点为边上的中点，则点也为边的中点， ∴当点、、在一条直线上时，有最小值， 连接交于，∴当重合时，为最小值， ∵为的中点，∴，∴四边形为平行四边形， ∴，∴的最小值是，故选：C． 3．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，正方形的边长为6，E、F分别为、的中点，P是对角线上的动点，则四边形周长的最小值为（   ）    A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【详解】解：作E点关于的对称点，连接，，    ∵四边形是正方形，E点是的中点，∴是的中点，∴， ∵正方形的边长为6，E、F分别为的中点， ∴四边形周长， ∴四边形周长的最小值为， ∵为的中点，F是的中点，∴四边形是矩形， ∴，∴四边形的周长最小值为12，故选：C． 4．（2023·安徽合肥·校考三模）在边长为2的正方形中，点E、F是对角线上的两个动点，且始终保持，连接、，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【详解】解：过点作使，则：四边形为平行四边形，    ∴，∴，∴当三点共线时，有最小值即为的长， ∵四边形为正方形，∴，，， ∴，，∴，即：的最小值为3．故选B． 5．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在菱形中，，对角线交于点，，点为的中点，点为上一点，且，点为上一动点，连接，则的最大值为________．    【答案】 【详解】解：作的对称点，连接并延长交于点，∴，∴， 当在同一条直线上时，有最大值， ∵在菱形中，，∴，， ∴是等边三角形，∴，，， ∵，∴，∵，∴， ∵点为的中点，∴为的中点，∴， ∴，∴是等边三角形，∴，故答案为；    6．（2023春·湖南永州·八年级统考期中）如图，在矩形中，，O为对角线的中点，点P在边上，且，点Q在边上，连接与，则的最大值为____________，的最小值为__________． 【答案】 【详解】解：①连接并延长交于点Q，则这个点Q满足使的值最大，最大值为的长度， ∵四边形是矩形，∴，，∴， ∵点O是的中点，∴， 又∵，∴，∴，， ∵，∴，过点P作于点P， ∵，∴四边形是矩形， ∴，，∴， ∴，∴； ②过点O作关于的对称点，连接交于点Q，的值最小， 的最小值为的长度，延长交于点G， ∵，点O是的中点，∴， ∴，，∴，， ∴，∴的最小值为：，故答案为：；． 7．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在边长为2的菱形中，，将沿射线的方向平移，得到，则的最小值为______． 【答案】 【详解】解：连接，∵在边长为2的菱形中，，∴， ∵将沿射线的方向平移，得到，∴， ∵四边形是菱形，∴，∴， ∴四边形是平行四边形，∴，∴的最小值的最小值， ∵点在过点A且平行于的定直线上，∴作点D关于定直线的对称点E，连接交定直线于，则的长度即为的最小值，在中，， ∴，∴，∴， ∵∴， ∴故答案为：． 8．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，已知菱形的边长为2，，E为的中点，M、N是对角线上的两个动点，且，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：取边、的中点F、G，连接交于N，连接，，，如图， ∵菱形， F为的中点，G为的中点，∴F与G关于对称， ∴，此时最小， 又∵E为的中点，∴， ∵∴，，∴四边形为平行四边形， ∴∴∴此时， 最小，最小值等于， ∵菱形，∴，，∴是等边三角形， ∵G为的中点，∴，∴∴∴ ∴∴的最小值为．故答案为：． 9．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，中，，，，，；垂足分别为点F和E．点G和H分别是和上的动点，，那么的最小值为______．    【答案】 【详解】解：如图，过点E作交于点I，连接．    ∵中，，，∴，∴， ∴，．∵，，∴． ∵，∴四边形为平行四边形，∴．同理可得出． ∵，，∴四边形为平行四边形， ∴，∴四边形为平行四边形，   ∴，∴，∴当最小时，最小． ∵当点I，H，C三点共线时，最小，∴此时最小，如图，    ∵，∴．∵∴四边形为平行四边形，∴，， ∵，，∴，∴，∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 10．（2023·江苏苏州·校考二模）如图，在中，．如果在三角形内部有一条动线段，且，则的最小值为________．    【答案】 【详解】解：在上取一点，使得，连接，如图所示：       ，，四边形是平行四边形，，， 将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作交的延长线于，如图所示： ，，是等边三角形，，， ，，，， ，，， ，，，，，， ，， ，的最小值为，故答案为：． 11.（23-24八年级下·江苏南通·期中）如图，在矩形中，，，动点P满足，则周长的最小值为 ．    【答案】 【详解】解：设中边上的高是h．    ∵，∴，∴， ∴动点P在与平行且与的距离是2的直线l上， 如图，作A关于直线l的对称点，连接，则就是周长的最小值， 在中，，，∴， 即， 即周长的最小值为．故答案为：． 12．（24-25九年级上·北京·开学考试）如图，四边形中，和互相垂直，，，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：方法一：设和的交点为，分别取的中点，连接，， 则，，∴，∴四边形是平行四边形， ∵，∴，∴，∴， ∵四边形是平行四边形，∴，∴， ∴ ，∴四边形是矩形，∴ ， ∵，∴ 三点共线时，取得最小值，最小值为， 在中，， ∵，，∴．∴； 方法二：如图所示，设和的交点为，过点作，取，连接，    ∴四边形是平行四边形，∴，∴，在中，， ∴当点三点共线时，，此时，的值最小， ∵，∴，且，， ∴在中，；故答案为：． 13．（23-24八年级下·北京·期中）如图：点在线段上，，，是等边三角形，四边形是正方形，点是上一个动点，连接则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：作点关于的对称点，连接与交点为， ∴ ，是等边三角形，四边形是正方形， ，，，，， 由轴对称的性质可得，，， 在中，， ， 的最小值为，故答案为：． 14．（23-24八年级上·北京西城·期中）如图，中，，，D，E为边上的两个动点，且，连接，，若，则的最小值为 ．    【答案】16 【详解】解：构造矩形，连接，，交于点，如图所示：则，，    ，，四边形为平行四边形，，， 中，，，，，，故答案为：16． 15．（23-24八年级下·北京密云·期中）如图，平面直角坐标系中，正方形的顶点A与原点重合，点B在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，正方形边长为2，点E是的中点，点P是上一个动点，当取得最小值时，此时最小值是 ；P点的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接交于，连接． ∵，∴，此时的值最小， 四边形为正方形，点E是的中点，，，，， ，设直线解析式为， ，，直线的解析式为，设直线的解析式为， 则有，解得，∴直线的解析式为， 由，解得，，故答案为，． 16．（23-24八年级下·北京·期中）在正方形ABCD中，，点E、F分别为AD、AB上一点，且，连接BE、CF，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，作D关于直线AB的对称点，连接，∴，， ∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=CD，∠ADC=90°， 又∵∠FAD=∠EAB，AF=AE，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴BE=DF，∴，∴， ∴当C、F、三点共线时，有最小值，即BE+CF有最小值，最小值为， 在Rt△中，，故答案为：． 17．（23-24八年级下·北京昌平·期中）已知：如图，边长为4的正方形ABCD中，点E为边DC上一点，且DE＝1，在AC上找一点P，则DP+EP的最小值为 ． 【答案】5 【详解】解：连接BE交AC于P′，如图， ∵四边形ABCD为正方形，∴点B、D关于AC对称， ∴，∴，∴此时的值最小， ∵CE＝CD﹣DE＝4﹣1＝3，BC＝4，∴，∴此时的最小值为5， 当P点与P′重合时，DP+EP的最小值为5．故答案为：5． 18．（23-24八年级上·北京东城·期末）如图，等腰直角中，，D为的中点，，若P为上一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：为的中点，    作点C关于AB对称点，交于，则，连接，交AB于P，连接． 此时的值最小． 由对称性可知    ∴∴，点C关于AB对称点，∴AB垂直平分， ∴ 根据勾股定理可得 故答案为：． 19．（23-24八年级下·北京·阶段练习）如图，正方形的边长为4，点E在边上，，若点F是正方形边上一动点，连接，那么，的周长的最小值是 ． 【答案】/ 【详解】解：延长至，使连接交于点如图： 正方形的边长为4，，在中：，， ，在中：， 的周长为：，的最小值为：， 的周长的最小值为：，故答案为： 20．（23-24八年级上·北京西城·期中）如图，在锐角中，，，，点，，分别为，，上的动点，则周长最小值为 . 【答案】 【详解】如图，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，交于D点，交 于点，连接，，， 由对称性可知，， ， ∴的周长， ∵，∴， ∵，∴，∴为等边三角形，∴∴ ∴当时，最短，此时的周长最小， ∵，的面积，∴，∴的周长最小值为，故答案为：． 21．（23-24八年级上·北京朝阳·期末）如图，中，，，D，E为边上的两个动点，且，连接，，若，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】过点，分别作的垂线和的垂线交于点，连接，， ，，， ，，， ，，，， ，，，， 当，，三点不共线时，；当，，三点共线时，． 的最小值是的长，，，， ，，，的最小值是．故答案为：． 22．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在正方形中，对角线与交于点，，是的中点，是对角线上的一条动线段，若的最大值为，则的长为 ． 【答案】1 【详解】解：如图，过点作的平行线，过点作的平行线，两平行线交于点，取关于的对称点，连接，，， ∵，，∴四边形是平行四边形，∴，， ∵关于的对称点是，是的中点，∴是的中点，即 在中，，∴， 当点运动到与点，在一条直线上的时候，即取到最大值，即， ∵，，∴，∴在中，，∴，∴．故答案为：1． 23．（2024上·北京海淀·九年级校考开学考试）如图，中，，过A点作的平行线与的平分线交于点，连接．(1)求证：四边形是菱形；(2)过点作的平行线交直线于点，连接，，点是线段上的动点，若，请直接写出的最小值．    【答案】(1)证明见解析部分；(2) 【详解】（1）证明：，平分，，，， 在和中，，，， ，四边形是平行四边形，，四边形是菱形； （2）解：延长交的延长线于点，连接，，过点作于点    四边形是菱形，，，， ，，，，，，， ，，， ，，， ，，，，的最小值为． 24．（23-24八年级下·广东深圳·期末）【综合实践活动】 【问题背景】如图，，表示两个村庄，要在，一侧的河岸边建造一个抽水站，使得它到两个村庄的距离和最短，抽水站应该修建在什么位置？ 【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题： 如图，，是直线同侧的两个点，点在直线上．在何处时，的值最小． 画图：如图，作关于直线的对称点，连结与直线交于点，点的位置即为所求． 证明：和关于直线对称 直线垂直平分 ________， 根据“________”（填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一列条直线．）可得最小值为________（填线段名称），此时P点是线段和直线的交点． 【问题拓展】如图4，村庄的某物流公司在河的对岸有一个仓库（河流两侧河岸平行，即），为了方便渡河，需要在河上修建一座桥（桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直），请问桥修建在何处才能使得到的路线最短？请你画出此时桥的位置（保留画图痕迹，否则不给分）． 【迁移应用】光明区某湿地公园如图5所示，四边形为花海景区，，米，米，长方形为人工湖景区，为了方便市民观景，公园决定修建一条步行观光路线（折线），为起点，终点在上，米，为湖边观景台，长度固定不变米），且需要修建在湖边所在直线上，步行观光路线的长度会随着观景台位置的变化而变化，请直接写出步行观光路线的最短长度． 【答案】【数学建模】， ① ，；【问题拓展】见解析【迁移应用】米 【详解】，①，； 解：【问题拓展】桥修建在如图所示的位置才能使得到的路线最短； 解：【迁移应用】如图所示，过作，使得，作关于直线对称点，延长交于，连接交直线于，此时使得最短， ∵，，∴四边形是平行四边形，∴， ∵关于直线对称点，∴，，, ∴， 在△中，由勾股定理得， ∴， 故步行观光路线的最短长度为米． 1 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $$