精品解析：黑龙江省绥化市明水县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

明水县2024—2025学年度第一学期期末考试 九年级数学试题 考生注意： 1．考试时间为90分钟． 2．全卷分选择题、填空题和解答题三道大题，总分为120分． 一．选择题（共10小题，每题3分，本题共计30分） 1. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 不透明袋子中有个红球和个蓝球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出个球是红球的概率是（　　） A. B. C. D. 3. 关于x的一元二次方程用配方法可变形为（ ） A. B. C. D. 4. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图像与轴的交点坐标为 B. 图像的对称轴在轴的右侧 C. 当时，的值随值的增大而减小 D. 的最小值为-3 5. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 6. 某中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，该中学计划在这块空地上划出三分之二的区域种花，设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，切于点B，连接交于点C，交于点D，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 函数和（是常数，且在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是等边的外接圆，点是弧上一动点（不与，重合），下列结论：①；②；③当最长时，；④，其中一定正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，矩形的顶点为坐标原点，，对角线在第一象限的角平分线上．若矩形从图示位置开始，绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，则当第秒时，矩形对角线的交点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共10小题，每题3分，本题共计30分） 11. 若关于的方程是一元二次方程，则__________． 12. 若点与点关于原点对称，则________． 13. 以原点为中心，把点A(4，5)逆时针旋转90°后得点B，则B的坐标是_________． 14. 如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为_______． 15. 已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围为_____． 16. 如图，用一个圆心角为，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为______． 17. 要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管高度应为______． 18. 如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为 ________ ． 19. 如图，在中，．点在BC上且．连接，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．则的面积是 __________________． 20. 如图，是正方形内一点，满足，连接，若，则长的最小值为_____． 三．解答题（本题共8小题，共计60分） 21. 已知，如图所示． （1）用无刻度直尺和圆规作出内切圆的圆心O．（保留作图痕迹，不写作法和证明） （2）如果的周长为，内切圆的半径为，求的面积． 22. 关于x的一元二次方程． （1）如果方程有两个不相等的实数根，求k的范围； （2）如果方程的一个根是2，求k的值和方程的另一个根； （3）如果x1，x2是这个方程的两个根，且，求k的值． 23. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形 将先向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度得到点A、B、过C的对应点分别为点、、，画出平移后的； 将绕着坐标原点O顺时针旋转得到点、、的对应点分别为点、、，画出旋转后的； 求在旋转过程中，点旋转到点所经过的路径的长结果用含的式子表示 24. 如图，在等腰中，，点D是上一点，以为直径的过点A，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径． 25. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 26. 如图，在等边三角形中，，点为边上一点，点为边上一点，连接． （1）如图①，过点E作交于点，延长交延长线于点，若，求的长； （2）如图②，将绕点逆时针旋转60°得到，连接，请猜想、、的数量关系并证明． 27. 已知四边形内接于，对角线是的直径． （1）如图1，连接，若，求证；平分； （2）如图2，为内一点，满足，若，，求弦的长． 28. 如图，已知抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）求、、三点的坐标； （2）如图1，若点是线段上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交抛物线于点，连接，当线段长度最大时，判断四边形的形状，并说明理由； （3）如图2，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线与抛物线交于点，且．在轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 明水县2024—2025学年度第一学期期末考试 九年级数学试题 考生注意： 1．考试时间为90分钟． 2．全卷分选择题、填空题和解答题三道大题，总分为120分． 一．选择题（共10小题，每题3分，本题共计30分） 1. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据定义逐项判断即可．将一个图形沿某直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这样的图形是轴对称图形；将一个图形绕某点旋转，能与本身重合，这样的图形是中心对称图形． 【详解】因为图A是轴对称图形，不是中心对称图形，所以不符合题意； 因为图B是中心对称图形，不是轴对称图形，所以不符合题意； 因为图C是轴对称图形，又是中心对称图形，所以符合题意； 因为图D是轴对称图形，不是中心对称图形，所以不符合题意． 故选：C． 2. 不透明袋子中有个红球和个蓝球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出个球是红球的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据红球的个数以及球的总个数，直接利用概率公式求解即可. 【详解】因为共有个球，红球有个， 所以，取出红球的概率为， 故选A. 【点睛】本题考查了简单的概率计算，正确把握概率的计算公式是解题的关键. 3. 关于x的一元二次方程用配方法可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程是解题关键． 常数项移到方程的右边，两边再配上一次项系数的一半的平方，写成完全平方公式即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 4. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图像与轴的交点坐标为 B. 图像的对称轴在轴的右侧 C. 当时，的值随值的增大而减小 D. 的最小值为-3 【答案】D 【解析】 【详解】∵y=2x2+4x-1=2（x+1）2-3， ∴当x=0时，y=-1，故选项A错误， 该函数的对称轴是直线x=-1，故选项B错误， 当x＜-1时，y随x的增大而减小，故选项C错误， 当x=-1时，y取得最小值，此时y=-3，故选项D正确， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 5. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象的平移“左加右减，上加下减”可进行求解． 【详解】解：由二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为； 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键． 6. 某中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，该中学计划在这块空地上划出三分之二的区域种花，设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空白区域的面积=矩形空地的面积可得． 【详解】解：设花带的宽度为xm，则可列方程为， 故选：B． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据图形得出面积的相等关系． 7. 如图，切于点B，连接交于点C，交于点D，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，连接，证明，，可得，从而可得． 【详解】解：如图，连接， ∵切于点B， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴； 故选C 【点睛】本题考查的是切线的性质，圆周角定理的应用，三角形的内角和定理的应用，掌握基本图形的性质是解本题的关键． 8. 函数和（是常数，且在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象性质：可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项错误； B、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项错误； C、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴，故选项正确； D、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的对称轴，故选项错误． 故选：． 9. 如图，是等边的外接圆，点是弧上一动点（不与，重合），下列结论：①；②；③当最长时，；④，其中一定正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质可得，从而得到∠ADB=∠BDC，故①正确；根据点是上一动点，可得不一定等于，故②错误；当最长时，DB为圆O的直径，可得∠BCD=90°，再由是等边的外接圆，可得∠ABD=∠CBD=30°，可得，故③正确；延长DA至点E，使AE=AD，证明△ABE≌△CBD，可得BD=AE，∠ABE=∠DBC，从而得到△BDE是等边三角形，可得到DE=BD，故④正确；即可求解． 【详解】解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC，∠ABC=60°， ∴， ∴∠ADB=∠BDC，故①正确； ∵点是上一动点， ∴不一定等于， ∴DA=DC不一定成立，故②错误； 当最长时，DB为圆O的直径， ∴∠BCD=90°， ∵是等边的外接圆，∠ABC=60°， ∴BD⊥AC， ∴∠ABD=∠CBD=30°， ∴，故③正确； 如图，延长DA至点E，使AE=DC， ∵四边形ABCD为圆O的内接四边形， ∴∠BCD+∠BAD=180°， ∵∠BAE+∠BAD=180°， ∴∠BAE=∠BCD， ∵AB=BC，AE=CD， ∴△ABE≌△CBD， ∴BD=BE，∠ABE=∠DBC， ∴∠ABE+∠ABD=∠DBC+∠ABD=∠ABC=60°， ∴△BDE是等边三角形， ∴DE=BD， ∵DE=AD+AE=AD+CD， ∴，故④正确； ∴正确的有3个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，三角形的外接圆，圆内接四边形的性质，垂径定理，等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆周角定理，三角形的外接圆，圆内接四边形的性质，垂径定理，等边三角形的判定和性质等知识是解题的关键． 10. 如图，矩形的顶点为坐标原点，，对角线在第一象限的角平分线上．若矩形从图示位置开始，绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，则当第秒时，矩形对角线的交点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转变换，矩形的性质，由矩形的性质可得，再由可得秒一个循环，又由可得当第秒时，点与第秒时的点的坐标相同，据此解答即可求解，找到点坐标的变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∴ ， ∵每秒旋转，， ∴秒一个循环， ∵， ∴当第秒时，点与第秒时的点的坐标相同， ∵旋转第秒时点正好在轴的正半轴上， ∴此时点的坐标为， 故选：． 二．填空题（共10小题，每题3分，本题共计30分） 11. 若关于的方程是一元二次方程，则__________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程进行计算解答即可． 【详解】解：根据题意可得，， 解得， 故答案为：0． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 12. 若点与点关于原点对称，则________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征， 根据关于原点对称的点的坐标特征列方程求出，m，n的值，然后在代入代数式求值即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， 解得：，， ∴， 故答案为：5． 13. 以原点为中心，把点A(4，5)逆时针旋转90°后得点B，则B的坐标是_________． 【答案】（-5，4） 【解析】 【分析】分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，可证明△AOC≌△OBD，可求得BD和OD的长，则可求得B点坐标． 【详解】解：如图，分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D， ∵A（4，5）， ∴OC=4，AC=5， ∵把点A（4，5）逆时针旋转90°得到点B， ∴OA=OB，且∠AOB=90°， ∴∠BOD+∠AOC=∠AOC+∠CAO=90°， ∴∠BOD=∠CAO， 在△AOC和△OBD中，， ∴△AOC≌△OBD（AAS）， ∴OD=AC=5，BD=OC=4， ∴B（-5，4）， 故答案为：（-5，4）． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，构造三角形全等求得线段的长度是解题的关键，注意旋转前后对应线段相等． 14. 如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为_______． 【答案】10 【解析】 【分析】连接AO,BO，根据圆周角定理得到∠AOB=36°，根据中心角的定义即可求解． 【详解】如图，连接AO,BO， ∴∠AOB=2∠ADB=36° ∴这个正多边形的边数为=10 故答案为：10． 【点睛】此题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理． 15. 已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，根据解析式，得抛物线的对称轴为，开口向上，抛物线与x轴的另一个交点为，结合图形即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为，开口向上，抛物线与轴的一个交点为， 则关于对称的点为，即抛物线与轴另一个交点为， 所以时，的取值范围是． 故答案为：． 16. 如图，用一个圆心角为，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据弧长公式先计算出扇形的弧长，再利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长求解． 【详解】解：扇形的弧长， 设圆锥的底面半径为R，则， 所以． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 17. 要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管高度应为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用．设抛物线的解析式为，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令，求得的值，即可得出答案． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 由题意可知抛物线的顶点坐标为，与轴的一个交点为， ， 解得：， 抛物线的解析式为：， 当时，， 水管的高度为， 故答案为：． 18. 如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为 ________ ． 【答案】##20度 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、三角形内角和定理； 连接，由点I是的内心可得平分，根据角平分线的定义可得，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵点I是的内心， ∴平分， ∵， ∴， ∵点O是外接圆的圆心， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 19. 如图，在中，．点在BC上且．连接，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．则的面积是 __________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，根据证明是解题的关键． 据旋转的性质得出，再根据证明得出，得出，再根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵线段绕点A顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 20. 如图，是正方形内一点，满足，连接，若，则长的最小值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了正方形的性质，勾股定理和圆周角定理，根据题意得到点的运动轨迹，结合圆的性质得到最小时的情形，再利用正方形的性质和勾股定理求解，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，勾股定理和圆周角定理的应用． 【详解】如图， ∵， ∴点在以中点为圆心，为直径的圆上， 则长的最小时，点三点共线， ∵四边形是正方形， ∴，， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 三．解答题（本题共8小题，共计60分） 21. 已知，如图所示． （1）用无刻度直尺和圆规作出内切圆的圆心O．（保留作图痕迹，不写作法和证明） （2）如果的周长为，内切圆的半径为，求的面积． 【答案】（1） 解：如下图所示，O为所求作点， （2） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质可知角平分线的交点为三角形内切圆的圆心，故只要作出两个角的角平分线即可； （2）利用割补法，连接，作，这样将分成三个小三角形，这三个小三角形分别以的三边为底，高为内切圆的半径，利用提取公因式可将周长代入，进而求出三角形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，连接，作， ∵内切圆的半径为， ∴， ∵的周长为， ∴， 则 故的面积为． 【点睛】本题考查三角形的内切圆，角平分线的性质，割补法求几何图形的面积，能够将角平分线的性质与三角形的内切圆相结合是解决本题的关键． 22. 关于x的一元二次方程． （1）如果方程有两个不相等的实数根，求k的范围； （2）如果方程的一个根是2，求k的值和方程的另一个根； （3）如果x1，x2是这个方程的两个根，且，求k的值． 【答案】（1）k的取值范围为 （2）k的值为8，方程的另一个根为4 （3）k的值为 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． （1）利用根的判别式的意义得到△，然后解不等式； （2）设方程的另一个根为，根据根与系数的关系得，，然后解方程组即可； （3）根据根与系数的关系得，，再由得到，所以，然后解一次方程即可． 【小问1详解】 根据题意得△， 解得， 即的取值范围为； 【小问2详解】 设方程的另一个根为， 根据根与系数的关系得，， 解得，， 即的值为8，方程的另一个根为4； 【小问3详解】 根据根与系数的关系得，， ， ， ， 解得， 即的值为． 23. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形 将先向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度得到点A、B、过C的对应点分别为点、、，画出平移后的； 将绕着坐标原点O顺时针旋转得到点、、的对应点分别为点、、，画出旋转后的； 求在旋转过程中，点旋转到点所经过的路径的长结果用含的式子表示 【答案】 如下图： 利用网格和旋转的性质画出如上图所示； （． 【解析】 【分析】分别将点A、B、C的纵坐标加2，横坐标加4，即可得到、、的坐标，连接，，即可， 利用网格和旋转的性质画出即可， 利用勾股定理求出的长，再根据弧长公式即可求得答案． 【详解】根据题意得：，，， 连接，，； 略 ， ， 点旋转到点所经过的路径的长为：． 【点睛】本题考查了作图-旋转变换、平移变换，弧长公式，正确掌握平移作图的方法以旋转作图的方法是解题的关键. 24. 如图，在等腰中，，点D是上一点，以为直径的过点A，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径． 【答案】 （1）证明：如图：连接OA ∵OA=OB ∴∠OBA=∠OAB ∵AB=AC ∴∠OBA=∠C ∴∠OAB=∠C ∵ ∴∠OAB=∠CAD ∵BD是直径 ∴∠BAD=90° ∵∠OAC=∠BAD-∠OAB+∠CAD=90° ∴是的切线； （2）． 【解析】 【分析】（1）连接OA，由圆的性质可得OA=OB，即∠OBA=∠OAB；再由AB=AC，即∠OBA=∠C，再结合，可得∠OAB=∠CAD,然后由∠BAD=90°说明∠OAC=90°即可完成证明； （2）根据等腰三角形的性质和圆的性质即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知AC是⊙O的切线， ∴∠OAC=90°，∠AOD=2∠B， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∴∠AOC+∠C=2∠B+∠C=3∠C=90°， ∴∠B=∠C=30°， 在Rt△ABD中， ∴ ∴⊙O的半径为 【点睛】本题考查了圆的切线的判定，证得∠OAC=90°是解答本题的关键． 25. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）该品牌头盔的实际售价应定为元/个 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键： （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据4月份销售150个，6月份销售216个，列出方程进行求解即可； （2）设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，由题意，得：， 解得：或（舍去）； 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，由题意，得： ， 解得：， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴； 答：该品牌头盔的实际售价应定为元/个． 26. 如图，在等边三角形中，，点为边上一点，点为边上一点，连接． （1）如图①，过点E作交于点，延长交延长线于点，若，求的长； （2）如图②，将绕点逆时针旋转60°得到，连接，请猜想、、的数量关系并证明． 【答案】（1） （2） 解：，证明如下： 过点作，交于点， 由（1）可知是等边三角形， ∴， 由旋转可知，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）证明是等边三角形，，证明，再利用全等三角形的性质可得答案； （2）过点作，交于点，由（1）可知是等边三角形，由旋转可知，，证明是等边三角形，再证明，， 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，作出合适的辅助线构建全等三角形是解本题的关键． 27. 已知四边形内接于，对角线是的直径． （1）如图1，连接，若，求证；平分； （2）如图2，为内一点，满足，若，，求弦的长． 【答案】（1）证明：∵对角线是的直径， ∴， ∴， ∴平分． （2） 【解析】 【分析】（1）利用垂径定理的推论和圆周角的性质证明即可． (2)证明四边形平行四边形，后用勾股定理计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵对角线是的直径， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴四边形平行四边形， ∴， 又∵， ∴． 28. 如图，已知抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）求、、三点的坐标； （2）如图1，若点是线段上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交抛物线于点，连接，当线段长度最大时，判断四边形的形状，并说明理由； （3）如图2，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线与抛物线交于点，且．在轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），， （2） 四边形为平行四边形，理由如下： ，， 设直线的表达式为， 则， 解得：， 故直线的表达式为， 设点的坐标为，则点的坐标为， 则， ，故有最大值，当时，的最大值为， ，， 四边形为平行四边形； （3）存在，点的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）在中，分别令和，解方程可求解； （2）先求出直线的表达式为，设点的坐标为，则点的坐标为，则，进而求解； （3）过点作轴于点，设直线与轴交于点，则，，故，当，则，则直线和直线关于直线对称，进而求出点的坐标为，再分、、三种情况，分别求解即可． 【小问1详解】 解：在中，令，则， 解得：，， 点，点， 令，则， 点； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 是的中点，点， 点， 由（2）知，当时，的最大值为， 当时，， ， 设直线的表达式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的表达式为， 过点作轴于点，设直线与轴交于点， 则，，故， 而， ， 则直线和直线关于直线对称， ， ，， ，， ， ， 设直线的表达式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的表达式为， 联立， 解得：或（不合题意，舍去）， 点， 设点， ，， ，，， 当时，， 解得：； 当时，即，方程无解； 当时，即， 解得； 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】此题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数图象与性质，一次函数图象的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，函数的最值，平行四边形的判定，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $