浙江省慈溪市2024-2025学年高三上学期期末测试数学试卷

数学试题 第 1页（共 4页） 2024 学年第一学期期末测试卷 高三数学学科试卷 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150分． 考试时间 120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卡上． 第Ⅰ卷 （选择题，共 58 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1．已知集合 2{ log ( 2) 1}A x x   ， { 2 0}B x x a   ，且 { 2 3}A B x x   ，则a A． 6 B．3 C． 3 D． 6 2．已知 2 i 1 2i z ，则 1z   A． 2 2 B．1 C． 2 D． 2 3．已知 a ， b 是两个不共线的向量，若向量 2 3a b， 9xa b共线，则 x A． 6 B． 4 C． 4 D． 6 4．我国 19 岁射击运动员盛李豪在 2024 年巴黎奥运会上夺得了男子 10 米气步枪金牌，他在决赛 的最后 10 枪成绩为10.9，10.7，10.4，10.0，10.5，9.8，10.7，9.9 ，10.5，10.6，则这 10 枪成绩的第 40 百分位数是 A．10.5 B．10.45 C．10.4 D．10.25 5．在 ABC 中，内角 A，B ，C 所对的边分别是 a，b，c ，若 2 24c b  4 sinab C ， 1b  ，则 ABC 的面积是 A． 1 8 B． 1 4 C． 1 2 D．1 6．已知函数 ( 1) 1f x 是奇函数，则 (0) (2)f f A． 2 B．1 C． 1 D． 2 7．已知正四面体 ABCD的棱长为 2 ，点 E 是 BC 的中点，点 P 在正四面体表面上运动，并且总 保持 PE BC ，则动点 P 的轨迹周长为 A． 4 B．3 3 C． 4 3 D． 2 2 3 8．已知 sin(2 ) cos 2cos( ) sin cos ，则 A． cos( ) 1 B． 1 sin( ) 2 C． sin( ) 0 D． 1 cos( ) 2 数学试题 第 2页（共 4页） 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9．已知直线 : 2 1 0l x y 和圆 :C 2 2( ) 1x a y ，则 A．当 l 与圆C 相切时， 5 1a B．当 l 为圆C 的一条对称轴时， 1a C．当 2a 时， l 与圆C 没有公共点 D．当 2a 时， l 被圆C 截得的弦长为 4 5 5 10．已知函数 2( ) 1 x f x x ，则 A．当 1ab 时， ( ) ( )f a f b B．当0 1a b 时， ( ) ( )f a f b C．当 1 0a 且 1 b a a 时， ( ) ( )f a f b D．当 1b 且 1 a b b 时， ( ) ( )f a f b 11．胆式瓶创于南宋龙泉窑，康熙时期以郎红釉胆式瓶为贵．如图是 18 世纪的窑变红釉胆瓶， 其优美的造型可看作图中曲线C 的一部分．已知曲线C 上的点到 (0,4)的距离与到 y 轴的距 离之积为 6 ，若曲线C 上的点 0 0( , )M x y 在第一象限，则 A． 0x 的最大值为 6 B． 0 0 6 4y x C．曲线C 的内接矩形的面积最大值为 24 D．一个胆式瓶的剖面图可近似看作曲线 (0 12)C y ， 若一正四面体可在胆式瓶内任意转动（忽略胆式瓶的厚 度），则该正四面体棱长的最大值为 4 第Ⅱ卷 （非选择题，共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．已知函数 ( ) tan( ) 2 3 f x x ，则 ( )f x 的最小正周期为 ▲ ． 13．已知 2 10 2 3 120 1 2 3 12(1 )(1 )x x x a a x a x a x a x ，则 3a ▲ ．（用数字作答） 14．已知 1F ， 2F 是双曲线 2 2 2 2 : 1( 0, 0) x y C a b a b 的左、右焦点，过 1F 作斜率为 1 2 的直线交C 于点 A，且 A在第一象限，若 1OA OF （O为坐标原点），则C 的离心率为 ▲ ． 数学试题 第 3页（共 4页） 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13 分）甲、乙两选手进行乒乓球比赛，采用 5 局 3 胜制，假设每局比赛甲获胜的概率为 2 3 ， 乙获胜的概率为 1 3 ，且每局比赛结果相互独立． （1）求赛完 4 局且乙获胜的概率； （2）若规定每局获胜者得 2 分，负者得 1分，记比赛结束时甲最终得分为 X ，求 X 的分布 列和数学期望． 16．（15 分）如图，在四棱锥 P ABCD 中，AB CD∥ ， 2 4AD CD AB   ， 90BAD  ，侧面 PAD 是正三角形，侧面 PAD 底面 ABCD ，M 是PD的中点． （1）求证： AM∥平面 PBC ； （2）求平面 PBC 与平面MBC 的夹角的余弦值． 17．（15 分）已知函数 ( ) ln ( 0)f x x a x a a ． （1）当 1a 时，求曲线 ( )y f x 在点 (2, (2))f 处的切线方程； （2）若 ( ) 0f x e ，求 a 的取值范围． 数学试题 第 4页（共 4页） 18．（17 分）已知点 3 ( 3, ) 2 A 是椭圆 2 2 2 2 : 1( 0) x y E a b a b     上一点， E 的焦距为 2 . （1）求 E 的方程； （2）过E 的右焦点作斜率不为 0 的直线 l ，交E 于P ，Q 两点， 1A ， 2A 是E 的左、右顶点， 记直线 1A P ， 2A Q的斜率分别为 1k ， 2k . （i）求 1 2 k k 的值； （ii）设G 为直线 1A P 与直线 2A Q的交点，记 GPQ 的面积为 1S ， 1 2GA A 的面积为 2S ，求 1 2 S S 的最小值. 19．（17 分）设a ， *b N ，定义：( , )a b 为 a ，b 的最大公约数，[ , ]a b 为a ，b 的最小公倍数， 且具有以下性质：① ( , )a b [ , ]a b ab ；②当b a时， ( , )a b b a . （1）已知数列 na ， nb 的通项公式分别为 12nna  ， 8 4nb n  ，其中 *n N ，令 [ , ]n n nc a b ，求数列 nc 的通项公式； （2）已知有限数列 na 满足 * na N ，且 1 2 31 na a a a t      （ t 为给定常数）.若 对 *i N  ，且1 1( 2i n n    ， *)n N 时，都有 1[ , ]i ia a t  . （i）当 12n na a 时，证明： 2t n ； （ii）证明：      1 2 2 3 1 1 1 1 1 , , , 2n na a a a a a     . （高二数学期末）参考答案 第 1 页 共 4 页 2024 学年第一学期期末考试 高三数学学科参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C D B B A D C 二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分；全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分， 部分选对的得部分分。 题号 9 10 11 答案 BCD AC ABD 三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 12． 2 ； 13．85 ； 14． 5 ； 四、解答题：本大题共 5小题，共 77 分。 15． (1) 设“赛完 4 局且乙获胜”为事件 A，则事件 A 发生就是乙前 3 局中获胜 2 局输 1 局，且第 4 局获胜 ……2 分 2 2 3 1 2 1 2 ( ) ( ) ( )( ) 3 3 3 27 P A C  . ……5 分 (2) X 的可能取值为 3， 1，1， 4 ，5 ， 6 . ……6 分 则 31 1( 3) ( ) 3 27 P X ， 1 2 3 2 1 1 2 ( 1) ( )( ) ( ) 3 3 3 27 P X C ， 2 2 2 4 2 1 1 8 ( 1) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 81 P X C ， 2 2 2 4 2 1 2 16 ( 4) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 81 P X C ， 1 2 3 1 2 2 8 ( 5) ( )( ) ( ) 3 3 3 27 P X C ， 32 8( 6) ( ) 3 27 P X ……9 分 X 的分布列如表所示 X -3 -1 1 4 5 6 P 1 27 2 27 8 81 16 81 8 27 8 27 ……11 分 所以 1 2 8 16 8 8 107 ( ) 3 ( 1) 1 4 5 6 27 27 81 81 27 27 27 E X ……13 分 16．(1)取 PC 中点 N ，连接 ,MN NB ， 因为M 为 PD中点，所以MN CD∥ ，且 1 2 MN CD= ， 又因为 AB CD∥ ， 1 2 AB CD= ，所以 AB MN∥ ， AB MN= ， 即四边形 ABNM 为平行四边形， ……3分 所以 AM BN∥ ， 因为 AM 平面 PBC ， BN 平面 PBC ， 所以 AM∥平面 PBC . ……6分 （高二数学期末）参考答案 第 2 页 共 4 页 (2)因为平面 PAD 平面 ABCD， AB AD， AB 平面 ABCD，平面 PAD 平面 ABCD AD ， 所以 AB 平面 PAD . 建立以 A为原点， AB ， AD 所在直线为 x 轴、 y 轴 的空间直角坐标系，则 (2,0,0)B ， (4,4,0)C ， (0,2,2 3)P (0,4,0)D ， (0,3, 3)M ……9分 所以 (2,4,0)BC ， ( 2,2,2 3)BP ， ( 2,3, 3)BM 设平面 PBC 的一个法向量 ( , , )m x y z 则 0 0 m BC m BP ，即 2 4 0 2 2 2 3 0 x y x y z ，取 (2, 1, 3)m ， 同理可得，平面MBC 的一个方向量 7 (2, 1, ) 3 n ， ……13 分 所以 4 1 7 3 6 cos , 864 8 3 m n m n m n ， 即平面 PBC 与平面MBC 的夹角的余弦值为 3 6 8 . ……15 分 17． (1) ( ) ln 1f x x x ， 1 ( ) 1f x x ，所以 1 (2) 2 f ，又 (2) 1 ln 2f ，……3分 所以 1 (1 ln 2) ( 2) 2 y x ，即 2 2ln 2 0x y ， 所以曲线 ( )y f x 在点 (2, (2))f 处的切线方程为 2 2ln 2 0x y ……6分 (2) 令 ( ) lng x x a x a e （ 0x ），则 ( ) 1 a x a g x x x ， （i）当 0a 时， ( ) 0g x ，所以 ( )g x 在 (0, ) 上单调递增， 但当 0x 时， ( )g x ，所以此时不满足题意； ……9分 （ii）当 0a 时， ( )g x 在 (0, )a 上单调递减，在 ( , )a 上单调递增， 所以 min( ) ( ) ln 0g x g a a a e ， 若 0 1a ，则 ( ) ln 0g a a a e 显然成立； ……11分 若 1a ，令 ( ) lnh a a a e ，则 ( ) 1 ln 0h a a ，所以 ( )h a 在[1, )上单调递 减，又 ( ) 0h e ，所以1 a e； 综上所述，0 a e . ……15 分 18．(1)由题意知 2 2 2 2 3 3 1 4 1 a b a b        ， ……2分 解得 2 2 4 3 a b     ， 所以椭圆 E 的方程为 2 2 1 4 3 x y   ……4分 (2)（i）设直线 l 的方程为 1x my  ， 1 1( , )P x y ， 2 2( , )Q x y ， （高二数学期末）参考答案 第 3 页 共 4 页 由 2 2 1 3 4 12 x my x y      得， 2 24) 6 9 0m y my（3     ， 所以 1 2 2 6 3 4 m y y m     ， 1 2 2 9 3 4 y y m    ， ……7分 所以 1 2 1 2 2 3 y y my y ， ……9分 因为 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 3 ( ) ( 2) ( 1) 3 12 3( 2) ( 3) 3 3 9 3 ( ) 3 2 y y y k y x y my my y y y y k y x y my my y y y y y y y . ……11分 (ii)设直线 1A P 的直线方程为 1( 2)y k x ，则直线 2A Q的方程为 13 ( 2)y k x ，联立 得G 的横坐标为 4 . ……12分 所以 1 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 sin 4 42 1 6 2 sin 2 GP GQ PGQ GP GQ GP GQ x xS S GA GA GA GA GA GA AGA 1 2 1 216 4( ) 12 x x x x ……14分 由（2）知， 1 2 1 2 2 8 ( ) 2 3 4 x x m y y m ， 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 4 12 ( 1)( 1) ( ) 1 3 4 m x x my my m y y m y y m ， 所以 2 2 1 2 1 21 2 2 12 28 16 16 4( ) 3 4 1 1 12 12 3 4 m x x x x mS S m ， 所以当 0m 时， 1 2 S S 的最小值为 3 4 . ……17 分 19. (1) 因为 12nna  ， 8 4nb n  ，所以   1, 2 (2 1)nn n nc a b n    ……5分 (2)（i）因为 1 2 31 na a a a t      ，且 * na N ， 所以 1 2a ， 2 3a ， ， 1na n， ……8分 所以 12 2n nt a a n ……10 分 (ii)因为    1 1 1 1 1 1 ,1 1 1 , i i i i i i i i i i i i a a a a a a a a a a a a            ……14分 （高二数学期末）参考答案 第 4 页 共 4 页 所以      1 2 2 3 1 1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , ,n n n n na a a a a a a a a a a a a a              又因为 1 2a ， 0na ， 所以      1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 , , , 2 2n n na a a a a a a       . ……17分 考试范围： 高考范围（2025.1考试）