17.1 勾股定理（第2课时 勾股定理的应用）（教学课件）-2024-2025学年八年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版）

人教版八年级数学下册 第17章 勾股定理 17.1 勾股定理 第2课时 勾股定理的应用 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1. 会运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题. （重点） 2. 能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，利用勾 股定理建立已知边与未知边长度之间的联系，并进一步求出未知边长.（难点） 情景导入 勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2. 几何语言： 在Rt△ABC中，∠C=90°， ∴a2+b2=c2. 新知探究 在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在离地面6米处断裂，树的顶部落在离树根底部8米处.你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？ 8 米 6米 A C B 解：根据题意可以构建一直角三角形模型， 如图.在Rt△ABC中， AC=6米，BC=8米， 由勾股定理得 ∴这棵树在折断之前的高度是10+6=16（米）. 例题讲解 课本例题 例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长3 m，宽2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？ 分析：可以看出木板横着，竖着都不能通过，只能斜着.门框AC 的长度是斜着能通过的最大长度，只要AC 的长大于木板的宽就能通过. 解：在Rt△ABC中，根据勾股定理， AC2=AB2+BC2=12+22=5 因为AC大于木板的宽2.2m，所以木板能从门框内通过. 例题讲解 课本例题 例2 如图，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4 m.如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5 m，那么梯子底端B也外移0.5 m吗？ 解：可以看出，BD=OD－OB. 在Rt△AOB中，根据勾股定理得 OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1， ∴OB=1. 在Rt△COD中，根据勾股定理得 OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15, ∴梯子的顶端沿墙下滑0.5m时，梯子底端并不是也外移0.5m， 而是外移约0.77m. 例题讲解 补充例题 例3 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM＝CM，MP⊥ AB于点P.求证：BP2＝BC2＋AP2. 证明：如图，连接BM. ∵PM⊥AB，∴△BMP 和△AMP均为直角三角形． ∴BP2＋PM2＝BM2，AP2＋PM2＝AM2. ∵∠C＝90°，∴BC2＋CM2＝BM2， ∴BP2＋PM2＝BC2＋CM2. 又∵CM＝AM，∴CM2＝AM2＝AP2＋PM2. ∴BP2＋PM2＝BC2＋AP2＋PM2. ∴BP2＝BC2＋AP2. 例题讲解 补充例题 例4 如图，在平面直角坐标系中有两点A(-3,5)，B(1,2)求A，B两点间的距离. A 2 1 -4 -3 -2 -1 -1 2 3 1 4 5 y O x 3 B C 解：如图，过点A作x轴的垂线，过点B作x，y轴的垂线.相交于点C，连接AB. ∴AC=5-2=3，BC=3+1=4， 在Rt△ABC中，由勾股定理得 ∴A，B两点间的距离为5. 方法总结：两点之间的距离公式：一般地，设平面上任意两点 概念归纳 利用勾股定理解决实际问题的一般步骤： （1）读懂题意，分析已知、未知间的关系； （2）构造直角三角形； （3）利用勾股定理等列方程； （4）解决实际问题. 数学问题 直角三角形 勾股定理 实际问题 转化 构建 利用 决解 课堂练习 1.如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得BC=60 m，AC=20 m.求A，B两点间的距离（结果取整数）. 2.如图，在平面直角坐标系中有两点A（5，0）和B（0，4）.求这两点之间的距离. 解：在Rt△AOB中， ∵OA=5，OB=4， ∴AB2=OA2+OB2=52+42=41， ∴AB= . ∴A、B两点间的距离为 . 分层练习 1.[2024无锡期末]如图，长为2.5 m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.5 m，则梯子顶端的高度h是(　　) A．1.8 m B．2 m C．2.2 m D．2.4 m B 基础题 2. [2024吉安期末]如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9 cm，内壁高12 cm.若这支铅笔长为18 cm，则这支铅笔在笔筒外面部分的 长度不可能是(　　) A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．6 cm A （第1题） 3. 如图，做一个长、宽 的长方形木框，需在对角的顶点 间钉一根木条用来加固，则木条的长为( ) A A. B. C. D. 4. 小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子自然垂到 地面后还多了.当他把绳子的下端拉开 后，发现绳子下端 刚好接触地面，则旗杆高( ) B A.B.C. D. B 6. 图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在 位置的湖水深度，其示意图如图②，其中 ， 于点，尺（尺是我国传统长度单位）， 尺. 设的长度为 尺，可列方程为____________________. 7. 如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA′＝60°，则栏杆A端升高的高度为________米. 8.如图，一条小巷的左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯 子底端到左墙脚的距离为，梯子顶端到地面的距离为 . 若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙上，则梯子顶端到地面的 距离为，则小巷的宽度 为_______. （第6题） 9.如图，供给船要给岛运送物资，从海岸线 的港口出发向 北偏东 方向直线航行 到达岛.测得海岸线上的港口 在岛的南偏东 方向上.若，两港口之间的距离为 ， 则岛到港口的距离是____ . 25 10. 如图，走廊上有一梯子以45°的倾斜角斜靠在墙上，墙与地面垂直，梯子影响了行人的行走，工人将梯子挪动位置，使其倾斜角变为60°，如果梯子的长为4米，那么行走的通道拓宽了__________米．(结果保留根号) （第9题） 11.[2024·东莞月考] 如图，将一根长为 的筷子， 置于底面直径为，高 的圆柱形水杯中，设 筷子露在杯子外面的长度为，则 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 综合应用题 （第10题） 12.[2024·滨州邹平期末] 如图，钓鱼竿的长为 ， 露出水面上的鱼线长为.当钓鱼者把钓鱼竿 转到的位置时，露出水面上的鱼线长为 ， 则 的长为( ) C A. B. C. D. [解析] 点拨： ， ， . 13. 在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃(kǔn)一尺，不合二寸，问门广几何．”大意是说：如图，推开双门(AD和BC)，门边缘D，C两点到门槛AB的距离为1尺(1尺＝10寸)，双门间的缝隙CD为2寸，那么门的宽度(两扇门的和)AB为(　　) A．100寸 B．101寸 C．102寸 D．103寸 【答案】B 14. [2024河池期末]如图，货车车高AC＝4 m，卸货时后面挡板AB折落在地面A1处，已知点A，B，C在一条直线上，AC⊥A1C，经过测量得到A1C＝2 m，则BC＝________m. 1.5 【点拨】由题意得AB＝A1B，∠BCA1＝90°.设BC＝x m，则AB＝A1B＝(4－x)m.在Rt△A1BC中，A1C2＋BC2＝A1B2，即22＋x2＝(4－x)2，解得x＝1.5.∴BC＝1.5 m. 15.如图，有一架秋千，当它静止在 的位置时，踏板 离地面的垂直高度为，将秋千往前推送 ， 到达 的位置，此时秋千的踏板离地面的垂直高度为 ,秋千的绳索始终保持拉直的状态. （1）____，___，___ ； 1.6 3 1 （2）根据（1）中求得的数据，求秋千的长度； 解：, . 设秋千的长度为，则， . 在中，由勾股定理，得 , 即，解得 . 答：秋千的长度是 . （3）如果想要踏板离地面的垂直高度为，那么需要将秋千 往 前推送___ . 4 16.如图，∠AOB＝90°，OA＝25 m，OB＝5 m，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC的长度为________m. 13 【点拨】由题意得AC＝BC，设AC＝BC＝x m，则OC＝(25－x)m.在Rt△OBC中，OC2＋BO2＝BC2，即(25－x)2＋52＝x2，解得x＝13.∴BC＝13 m. 17. 综合与实践 【问题情境】 综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级 的长、宽、高分别为20，3，2，和 是这个台阶两个相对的端点. 创新拓展题 【探究实践】老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点 处 去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点 的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成 平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连接 ，经过计算得到 的长度为____，就是最短路程. 25 17. 综合与实践 【问题情境】 综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级 的长、宽、高分别为20，3，2，和 是这个台阶两个相对的端点. 【探究实践】老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点 处 去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点 的最短路程是多少？ 【变式探究】 （2）图③是一个圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是 ，高是 ，若蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点 ，则蚂蚁爬行的最短 路程为____ . 17 【拓展应用】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯的高为，底面周长为 ，在杯内 壁离杯底的点 处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，它 在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁 处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 解：如图，作出玻璃杯侧面展开图的 一半，作关于 的对称点，作 ，交的延长线于点，连接 ， 交于点，连接，易得,则 的长即为最短路程. . 底面周长为 ， ， ， 蚂蚁从外壁处到内壁 处所爬行 的最短路程为 . 由题意得, ， (1)求出B，C两岛的距离； (2)在岛屿B处产生了台风，风力影响半径为25 km(即以台风中心B为圆心，25 km为半径的圆形区域都会受到台风影响)，台风中心以20 km/h的速度由B向A移动，请判断岛屿C是否会受到台风的影响，若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出台风影响岛屿C持续时间有多长． 课堂小结 利用勾股定理解决实际问题的一般思路： ①正确理解实际问题的题意； ②建立对应的数学模型； ③解决相应的数学问题； ④将数学问题的结果“翻译”成实际问题的答案. 5.如图，正方体盒子的棱长为2，M为BC的中点，则一只蚂蚁从M点沿盒子的表面爬行到A点的最短距离为(　　) A．2 B． C． D． 2 (2－2) 【点拨】在Rt△ABO中，∠ABO＝45°，∴易知OB＝OA. ∵AB＝4米，∴OA2＋OB2＝AB2＝16.∴OB＝2米． 在Rt△CDO中，∠CDO＝60°，∴∠DCO＝30°. ∴OD＝CD＝2米．∴BD＝OB－OD＝(2－2)米． 【点拨】设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，如图，过D作DE⊥AB于点E，则DE＝10寸，OE＝CD＝1寸，∴AE＝ (r－1)寸．∴在Rt△ADE中，AE2＋DE2＝AD2，即(r－1)2＋102＝r2，解得r＝50.5.故门的宽度(两扇门 的和)AB为2×50.5＝101(寸)． 18.如图，A，B，C是我国南部的三个岛屿，已知岛屿C在岛屿A的东北方向，岛屿B在岛屿A的正东方向，A，C两岛的距离为20km，A，B两岛的距离为68 km. 【解】过点C作CD⊥AB于点D. 由题意知∠A＝45°， ∴∠ACD＝∠A＝45°.∴CD＝AD.在Rt△ACD中，AC＝20 km，由勾股定理得AD2＋CD2＝AC2，∴AD＝CD＝20 km. 在Rt△BCD中，BD＝AB－AD＝68－20＝48(km)，由勾股定理得BC＝＝＝52(km)． ∴B，C两岛的距离为52 km. 18.如图，A，B，C是我国南部的三个岛屿，已知岛屿C在岛屿A的东北方向，岛屿B在岛屿A的正东方向，A，C两岛的距离为20km，A，B两岛的距离为68 km. 【解】会受影响．以点C为圆心，25 km为半径画弧与AB交于点E，F，则EF＝2DE. 连接CE，在Rt△CDE中，由勾股定理，得DE＝＝＝15(km)，∴EF＝30 km. 30÷20＝1.5(h)．故台风影响岛屿C持续时间为1.5 h. $$