九年级数学开学摸底考（无锡专用）-2024-2025学年初中下学期开学摸底考试卷

2024-2025学年九年级下学期开学摸底考试卷（无锡专用） 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A A A D C B C B D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11．． 12．． 13．． 14．4． 15．． 16．． 17． 18．． 三、解答题（本大题共10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（8分） 解：（1）， ， 解得：，； （2）， ， ， ， ； （3）， ，，， △， ， ； （4）， ， ， 解得：，． 20．（10分） （1）证明：平分， ， 又， ， 在△和△中， ，， △△； （2）解：△为腰三角形，，平分， ， ， ，，， 点为的中点， ， 由（1）可知：△△， ， ， ， （舍去负值）． 21．（10分） 解：（1）根据题意得△， 解得， 即的取值范围为； （2）①不存在． 理由如下： 矩形的面积为10， ， 解得， 而， 不存在实数，使得矩形的面积为10； ②存在． 根据根与系数的关系得，， 矩形的对角线长为， 即， ， 即， 解得， 而， 的值为4． 22．（12分） 解：（1）①作的垂直平分线交于，以为圆心，为半径作，如图： 点，即为所求； ②过作的垂线交劣弧于，如图，则点即为所求； （2）连接，如图： 为直径， ， ， ， ， 由作图可知，为中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 23．（12分） 解：（1）把和代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为：； （2）当时，， 点的坐标为：， 连接、、，如图， ，，， 轴， ，点到的距离为， 的面积． 答：的面积为6． 24．（8分） （1）证明：如图，连接． 是的中点， ， ． ， ， ， ． ， ， 是的切线． （2）解：如图，连接． 为的直径， ． ， ． ， ， ． 25．（8分） 解：（1）设， 由题意得：， 解得：， ； （2）设总利润为元， 由题意得：； ，对称轴为直线：， 抛物线开口向下，在对称轴的左侧，随的增大而增大， 销售过程中要求走出的商品数不少于60件， ， 即， ， 当时，利润最大为：； 答：销售单价定为60元时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是1200元． 26．（10分） 解：（1）把，代入得： ， 解得， 故答案为：2，； （2）由（1）知抛物线解析式为； 令得，解得或， ， ， ， ， ， 设， ， 解得或， 的坐标为或； （3）存在最大值，理由如下： 过作轴交于，过作轴交延长线于，如图： 由，可知直线解析式为， 在中，令得， ， ， 设，则， ， ， △△， ， ， 当时，存在最大值， 此时， 的坐标为，． 27.（10分） （1）①证明：在▱ABCD中， ∵AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC， ∴△ADE∽△CPE，△ABE∽△CFE， ∴，， ∵P是线段BC中点， ∴， ∴， ∴， ∴F为CD中点； ②解：由①知， ∵， ∴， ∵BF⊥CD， ∴∠ABE＝∠BFC＝90°， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：连接AP，AP′，OP，PP′， 由旋转的性质得：AB＝AB′，AP＝AP′，BP＝BP′， ∴∠ABB′＝∠AB′B， ∵在▱ABCD中，对角线交于点O， ∴O点为BD的中点， ∵P是线段BC中点， ∴OP是△ABC的中线， ∴，OP∥AB， ∴∠BB′P＝∠ABB′，∠BPB′+∠ABP＝180°， ∴∠AB′B＝∠BB′P， ∵AB＝AB′，AP＝AP′，BP＝BP′， ∴△ABP≌△AB′P′（SSS）， ∴∠ABP＝∠AB′P′， ∵点B的对应点B′落在点O上， ∴O点与B′点重合， ∴∠AB′P′+∠AB′B＝180°， ∵∠ABP+∠AB′B＝180°， ∴∠AB′B＝∠BPB′， ∴∠BB′P＝∠BPB′， ∴BP＝BB′， ∴B′P′＝BB′，即点P′与点D重合， ∴AP＝AD＝BC， ∵∠AB′P＝∠BPB′＝∠AB′B＝∠ABB′， ∴△ABB′∽△BPB′， ∴， ∵，，， ∴，即， ∴， ∴． 28．（10分） 解：（1）把和代入，得： ，解得：， 抛物线对应的函数表达式为：， ， 顶点的坐标为； （2）①当时，， ． 当是以为底的等腰三角形时， 则， 又点在抛物线对称轴上， 点、点关于直线对称， ， 点的横坐标为， ， 解得：， ，， 由（1）得，， ； ②，，． 点在点的左侧， ， ， 顶点在图象上， ， ， 当点是最高点，即时， 则； 当点是最高点，即时，则， 综上，与之间的函数关系式为：或； （3）①点在直线上运动， 由，解得或， 当时，则，，如图： 此时矩形与抛物线有3个交点； 当时，有4个交点，不符合题意． ②当时，则，，如图： 此时矩形与抛物线有2个交点； ③当时，则，，如图： 此时矩形与抛物线有2个交点； ④当时，则，，如图： 此时矩形与抛物线有2个交点； ⑤当时，点在抛物线上，此时矩形与抛物线有3个交点； ⑥当时，则，，如图： 此时矩形与抛物线有4个交点； ⑦当时，则，，如图： 此时矩形与抛物线有3个交点经过抛物线的顶点）； ⑧当时，则，，如图： 此时矩形与抛物线有2个交点． 综上，当或或时，抛物线与矩形有3个交点． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级下学期开学摸底考试卷（无锡专用） 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1．（3分）下列方程是一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 2．（3分）抛物线的顶点坐标和开口方向分别是　　 A．，开口向上 B．，开口向下 C．，开口向上 D．，开口向下 3．（3分）如图，与交于点，，且，则　　 A． B． C．1 D． 4．（3分）如图，是的直径，点，在上，若，则的大小为　　 A． B． C． D． 5．（3分）半径等于8的圆中，垂直平分半径的弦长为　　 A． B． C． D． 6．（3分）在直角坐标系中，半径为4的的圆心坐标为，那么下列说法正确的是　　 A．轴与相交 B．轴与相切 C．原点到上任意点距离的最小值为1 D．轴上不存在到圆心为4的点 7．（3分）有下列几个命题：①长度相等的弧是等弧；②三点确定一个圆；③三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等；④平分弦的直径垂直于这条弦；⑤的圆周角所对的弦是直径，其中正确的命题个数有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（3分）已知△△，和是它们的对应角平分线，若，若，则　　 A．2 B．3 C．6 D．9 9．（3分）已知抛物线在自变量的值满足时，与其对应的函数值的最小值为，求此时的值为　　 A．1或 B．2或 C．3或 D．或 10．（3分）如图，已知，，，动点从向终点运动，线段的中垂线分别交、于点、，在整个运动过程中，点的运动路程长为　　 A．8 B．9 C．10 D．11 第二部分（非选择题 共120分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11．（3分）关于的方程是一元二次方程，则满足的条件是　　． 12．（3分）如果，且是和的比例中项，那么等于 　　． 13．（3分）如图，正方形的边长为，以点为圆心，为半径画圆弧，得到扇形（阴影部分，点在对角线上）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的全面积是 　　． 14．（3分）如图，是△的外接圆，的半径为4，，则的长是 　　． 15．（3分）如图，某小区有一块长为15米，宽为10米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为96米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．设人行通道的宽度为米，则所列方程是 　　． 16．（3分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，和的顶点都在网格线的交点上．设的周长为，的周长为，则的值等于　　． 17．（3分）如图所示，在平面直角坐标系中，的半径为2，动弦，是的中点，直线与轴交于，与轴交于，连接和，则的面积的最大值为 　　． 18．（3分）如图，正方形的边长为4，点是平面内一点，连接，，且，点是正方形的中心，连接，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则的最大值是 　　． 三、解答题（本大题共10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（8分）解下列方程： （1）； （2）； （3） ； （4）． 20．（10分）如图，在等腰三角形中，，点在平分线上，过点作线段分别交，于点，，已知． （1）求证：△△． （2）若，是的中点，求的值． 21．（10分）关于的一元二次方程有两个实数根、． （1）求的取值范围； （2）若、分别是一个矩形的长和宽． ①是否存在，使得矩形的面积为10，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； ②是否存在，使得矩形的对角线长为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 22．（10分）如图，已知△，． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图； ①在上求作点，使以为圆心的圆经过，两点； ②若交于，求作点，使为劣弧的中点．（不写作法，保留作图痕迹，标注相应的字母） （2） 在（1）的条件下，连接交于点，若，，则 　　． 23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过点，，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接、、，求的面积． 24．（8分）如图，已知为的直径，是的中点，垂直于过点的直线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，．求的长． 25．（8分）某超市经销一种商品，每千克成本为40元，试经销发现，该种商品的每天销售量（件与销售单价（元件）满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量的几组对应值如表所示： 销售单价（元件） 55 60 70 销售量（件 70 60 40 （1）求（件与（元件）之间的函数解析式； （2）销售过程中要求卖出的商品数不少于60件，求销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？ 26．（10分）如图①，二次函数的图象交轴于点和点，交轴于点． （1）填空： 　　， 　　； （2）如图②，已知点在抛物线上运动，连接、、，若，求点的坐标； （3）如图③，若点是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接交于点．连接，若△的面积记为，△的面积记为，则是否存在最大值？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 27．（10分）如图，在▱ABCD中，P是线段BC中点． （1）连接AC交DP于点E，连接BE并延长交CD于F． ①试说明F为CD中点； ②若BF恰好垂直CD，且，求的值； （2）▱ABCD的对角线交于点O，将线段BP绕着点A旋转，使点B的对应点B'落在点O上，此时点P的对应点P′落到BD所在直线上，求的值． 28．（10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线、是常数）经过点和，点在这个抛物线上，设点的横坐标为． （1）求此抛物线对应的函数表达式并写出顶点的坐标． （2）点在这个抛物线上（点在点的左侧），点的横坐标为． ①当是以为底的等腰三角形时，求的面积． ②将此抛物线、两点之间的部分（包括、两点）记为图象，当顶点在图象上，记图象最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为，求与之间的函数关系式． （3）设点的坐标为，点的坐标为，点在坐标平面内，以、、、为顶点构造矩形，当此抛物线与矩形有3个交点时，直接写出的取值范围． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年九年级下学期开学摸底考试卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题3分，共30分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10[A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共24分） 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14.____________________ 15.____________________ 16.____________________ 17．____________________ 18．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共96分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（8分） 20．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（10分） 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 28．（10分） 27．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ $$ 2024-2025学年九年级下下学期开学摸底考试卷（无锡专用） 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1．（3分）下列方程是一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 解：．，是一元一次方程，不是一元二次方程，该选项不符合题意； ．不是整式方程，该选项不符合题意； ．是一元二次方程，该选项正确，符合题意； ．，未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，该选项不符合题意； 故选：． 2．（3分）抛物线的顶点坐标和开口方向分别是　　 A．，开口向上 B．，开口向下 C．，开口向上 D．，开口向下 解：由，得 开口方向向上， 顶点坐标． 故选：． 3．（3分）如图，与交于点，，且，则　　 A． B． C．1 D． 解：， ， ， ， ，， ； ， 即， ， 即， ； 故选：． 4．（3分）如图，是的直径，点，在上，若，则的大小为　　 A． B． C． D． 解：连接，如图所示： 是的直径， ， ， ； 故选：． 5．（3分）半径等于8的圆中，垂直平分半径的弦长为　　 A． B． C． D． 解：如图， 由题意得：，弦垂直平分半径， 则，，， 根据勾股定理可得，， ． 故选：． 6．（3分）在直角坐标系中，半径为4的的圆心坐标为，那么下列说法正确的是　　 A．轴与相交 B．轴与相切 C．原点到上任意点距离的最小值为1 D．轴上不存在到圆心为4的点 解：如图， 观察图象可知，与轴相切，与轴相交，原点到上的点的距离的最小值为， 故选项，，错误， 故选：． 7．（3分）有下列几个命题：①长度相等的弧是等弧；②三点确定一个圆；③三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等；④平分弦的直径垂直于这条弦；⑤的圆周角所对的弦是直径，其中正确的命题个数有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：①在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故①不符合题意； ②不共线的三点确定一个圆，故②不符合题意； ③三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等，正确，故③符合题意； ④平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，故④不符合题意； ⑤的圆周角所对的弦是直径，正确，⑤符合题意． 其中正确的命题个数有2个． 故选：． 8．（3分）已知△△，和是它们的对应角平分线，若，若，则　　 A．2 B．3 C．6 D．9 解：△△，和是它们的对应角平分线， ， ， ， 故选：． 9．（3分）已知抛物线在自变量的值满足时，与其对应的函数值的最小值为，求此时的值为　　 A．1或 B．2或 C．3或 D．或 解：对于， 当时，， 当时，； ①当时， 抛物线在时，取得最小值， 即， 解得：（舍去）或， 故； ②当时， 当时， 抛物线在时，取得最小值， 即， 解得：（舍去）或（舍去）， 当时， 抛物线在时，取得最小值， 即， 解得：或2（舍去）； ③当时， 抛物线在时，取得最小值， 即， 解得：（舍去）或2， 即， 综上，或． 故选：． 10．（3分）如图，已知，，，动点从向终点运动，线段的中垂线分别交、于点、，在整个运动过程中，点的运动路程长为　　 A．8 B．9 C．10 D．11 解：当位于时，连，过作，如图： 为线段的中垂线， ， 设， ， ，， ，， ， ． ， ． 当运动到时，如图： 设， ， ， ， 为线段的中垂线， ， ， ， ， ， 当继续向运动时，点也会向运动， 则当和重合时，和也重合，为中点， 此时， 故的运动路程为：． 故选：． 第二部分（非选择题 共120分） 2、 填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11．（3分）关于的方程是一元二次方程，则满足的条件是　　． 解：方程是一元二次方程， ， 解得，， 故答案为：． 12．（3分）如果，且是和的比例中项，那么等于 　　． 解：，且是和的比例中项， 设，，则 ， 即， 解得：， ． 故答案为：． 13．（3分）如图，正方形的边长为，以点为圆心，为半径画圆弧，得到扇形（阴影部分，点在对角线上）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的全面积是 　　． 解：设该圆锥的底面圆的半径为 ， 四边形为正方形， ，， 根据题意得，解得． 圆锥的全面积． 故答案为：． 14．（3分）如图，是△的外接圆，的半径为4，，则的长是 　4　． 解：连接，， ， ， △是等边三角形． 的半径为4， ． 故答案为：4． 15．（3分）如图，某小区有一块长为15米，宽为10米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为96米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．设人行通道的宽度为米，则所列方程是 　　． 解：设人行道的宽度为米，根据题意得， ， 故答案为：． 16．（3分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，和的顶点都在网格线的交点上．设的周长为，的周长为，则的值等于　　． 解：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 17．（3分）如图所示，在平面直角坐标系中，的半径为2，动弦，是的中点，直线与轴交于，与轴交于，连接和，则的面积的最大值为 　　． 解：与轴交于，与轴交于， ，， ，，， 连接，． ， ， ， 点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆， 过点作于，交小圆于，则， 观察图象可知，当点与重合时，的面积最大，最大值． 18．（3分）如图，正方形的边长为4，点是平面内一点，连接，，且，点是正方形的中心，连接，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则的最大值是 　　． 解：连接，以为直径作圆，为圆心，连接，如图1所示： 则点为的中点， 点是平面内一点，且， 点在上运动， 四边形为正方形，点为正方形的中心，边长为4， 过点，且，，， 点为的中点，即， 为△的中位线， ，， ， 点在上， 线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， 由勾股定理得：， 当为最大时，则为最大， 点，都在上， 为弦， 根据圆内最大的弦为直径得：的最大值为的直径，即的最大值为4， 此时的最大值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（8分）解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 解：（1）， ， 解得：，； （2）， ， ， ， ； （3）， ，，， △， ， ； （4）， ， ， 解得：，． 20．（10分）如图，在等腰三角形中，，点在平分线上，过点作线段分别交，于点，，已知． （1）求证：△△． （2）若，是的中点，求的值． （1）证明：平分， ， 又， ， 在△和△中， ，， △△； （2）解：△为腰三角形，，平分， ， ， ，，， 点为的中点， ， 由（1）可知：△△， ， ， ， （舍去负值）． 21．（10分）关于的一元二次方程有两个实数根、． （1）求的取值范围； （2）若、分别是一个矩形的长和宽． ①是否存在，使得矩形的面积为10，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； ②是否存在，使得矩形的对角线长为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 解：（1）根据题意得△， 解得， 即的取值范围为； （2）①不存在． 理由如下： 矩形的面积为10， ， 解得， 而， 不存在实数，使得矩形的面积为10； ②存在． 根据根与系数的关系得，， 矩形的对角线长为， 即， ， 即， 解得， 而， 的值为4． 22．（10分）如图，已知△，． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图； ①在上求作点，使以为圆心的圆经过，两点； ②若交于，求作点，使为劣弧的中点．（不写作法，保留作图痕迹，标注相应的字母） （2）在（1）的条件下，连接交于点，若，，则 　　． 解：（1）①作的垂直平分线交于，以为圆心，为半径作，如图： 点，即为所求； ②过作的垂线交劣弧于，如图，则点即为所求； （2）连接，如图： 为直径， ， ， ， ， 由作图可知，为中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过点，，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接、、，求的面积． 解：（1）把和代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为：； （2）当时，， 点的坐标为：， 连接、、，如图， ，，， 轴， ，点到的距离为， 的面积． 答：的面积为6． 24．（8分）如图，已知为的直径，是的中点，垂直于过点的直线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，．求的长． （1）证明：如图，连接． 是的中点， ， ． ， ， ， ． ， ， 是的切线． （2）解：如图，连接． 为的直径， ． ， ． ， ， ． 25．（8分）某超市经销一种商品，每千克成本为40元，试经销发现，该种商品的每天销售量（件与销售单价（元件）满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量的几组对应值如表所示： 销售单价（元件） 55 60 70 销售量（件 70 60 40 （1）求（件与（元件）之间的函数解析式； （2）销售过程中要求卖出的商品数不少于60件，求销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？ 解：（1）设， 由题意得：， 解得：， ； （2）设总利润为元， 由题意得：； ，对称轴为直线：， 抛物线开口向下，在对称轴的左侧，随的增大而增大， 销售过程中要求走出的商品数不少于60件， ， 即， ， 当时，利润最大为：； 答：销售单价定为60元时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是1200元． 26．（10分）如图①，二次函数的图象交轴于点和点，交轴于点． （1）填空： 　2　， 　　； （2）如图②，已知点在抛物线上运动，连接、、，若，求点的坐标； （3）如图③，若点是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接交于点．连接，若△的面积记为，△的面积记为，则是否存在最大值？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）把，代入得： ， 解得， 故答案为：2，； （2）由（1）知抛物线解析式为； 令得，解得或， ， ， ， ， ， 设， ， 解得或， 的坐标为或； （3）存在最大值，理由如下： 过作轴交于，过作轴交延长线于，如图： 由，可知直线解析式为， 在中，令得， ， ， 设，则， ， ， △△， ， ， 当时，存在最大值， 此时， 的坐标为，． 27．（10分）如图，在▱ABCD中，P是线段BC中点． （1）连接AC交DP于点E，连接BE并延长交CD于F． ①试说明F为CD中点； ②若BF恰好垂直CD，且，求的值； （2）▱ABCD的对角线交于点O，将线段BP绕着点A旋转，使点B的对应点B'落在点O上，此时点P的对应点P′落到BD所在直线上，求的值． （1）①证明：在▱ABCD中， ∵AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC， ∴△ADE∽△CPE，△ABE∽△CFE， ∴，， ∵P是线段BC中点， ∴， ∴， ∴， ∴F为CD中点； ②解：由①知， ∵， ∴， ∵BF⊥CD， ∴∠ABE＝∠BFC＝90°， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：连接AP，AP′，OP，PP′， 由旋转的性质得：AB＝AB′，AP＝AP′，BP＝BP′， ∴∠ABB′＝∠AB′B， ∵在▱ABCD中，对角线交于点O， ∴O点为BD的中点， ∵P是线段BC中点， ∴OP是△ABC的中线， ∴，OP∥AB， ∴∠BB′P＝∠ABB′，∠BPB′+∠ABP＝180°， ∴∠AB′B＝∠BB′P， ∵AB＝AB′，AP＝AP′，BP＝BP′， ∴△ABP≌△AB′P′（SSS）， ∴∠ABP＝∠AB′P′， ∵点B的对应点B′落在点O上， ∴O点与B′点重合， ∴∠AB′P′+∠AB′B＝180°， ∵∠ABP+∠AB′B＝180°， ∴∠AB′B＝∠BPB′， ∴∠BB′P＝∠BPB′， ∴BP＝BB′， ∴B′P′＝BB′，即点P′与点D重合， ∴AP＝AD＝BC， ∵∠AB′P＝∠BPB′＝∠AB′B＝∠ABB′， ∴△ABB′∽△BPB′， ∴， ∵，，， ∴，即， ∴， ∴． 28．（10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线、是常数）经过点和，点在这个抛物线上，设点的横坐标为． （1）求此抛物线对应的函数表达式并写出顶点的坐标． （2）点在这个抛物线上（点在点的左侧），点的横坐标为． ①当是以为底的等腰三角形时，求的面积． ②将此抛物线、两点之间的部分（包括、两点）记为图象，当顶点在图象上，记图象最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为，求与之间的函数关系式． （3）设点的坐标为，点的坐标为，点在坐标平面内，以、、、为顶点构造矩形，当此抛物线与矩形有3个交点时，直接写出的取值范围． 解：（1）把和代入，得： ，解得：， 抛物线对应的函数表达式为：， ， 顶点的坐标为； （2）①当时，， ． 当是以为底的等腰三角形时， 则， 又点在抛物线对称轴上， 点、点关于直线对称， ， 点的横坐标为， ， 解得：， ，， 由（1）得，， ； ②，，． 点在点的左侧， ， ， 顶点在图象上， ， ， 当点是最高点，即时， 则； 当点是最高点，即时，则， 综上，与之间的函数关系式为：或； （3）①点在直线上运动， 由，解得或， 当时，则，，如图： 此时矩形与抛物线有3个交点； 当时，有4个交点，不符合题意． ②当时，则，，如图： 此时矩形与抛物线有2个交点； ③当时，则，，如图： 此时矩形与抛物线有2个交点； ④当时，则，，如图： 此时矩形与抛物线有2个交点； ⑤当时，点在抛物线上，此时矩形与抛物线有3个交点； ⑥当时，则，，如图： 此时矩形与抛物线有4个交点； ⑦当时，则，，如图： 此时矩形与抛物线有3个交点经过抛物线的顶点）； ⑧当时，则，，如图： 此时矩形与抛物线有2个交点． 综上，当或或时，抛物线与矩形有3个交点． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$