解三角形专项训练-2025届高三数学一轮复习

解三角形专项训练 姓名___________ 班级_________ 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．在中，内角，，的对边分别为，，，，，，为边上一点，且，则的面积为（   ） A． B． C． D． 2．在锐角中，，则的范围是（   ） A． B． C． D． 3．在中，为边的中点，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．的内角，，的对边分别为，，，的面积为，且，，则边（   ） A． B． C． D． 5．在中，内角，，的对边分别为，，，已知，则（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 6．在△中，内角的对边分别为，已知向量共线，则△的形状为（    ） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．有一个内角是的直角三角形 D．等腰直角三角形 7．已知是锐角三角形，角所对的边分别为为的面积，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．在 中，角 的对边分别为，若 ，则 （    ） A． B． C． D． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．在中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则是锐角三角形 B．若为锐角三角形，则 C．若，则是直角三角形 D．若，则是等边三角形 10．已知的内角，，所对的边分别为，，，下列四个命题中正确的是（    ） A．若为锐角三角形，则 B．若，，则是等边三角形 C．若，则是等腰三角形 D．若为钝角三角形，且，，，则的面积为 11．在锐角中，，角A、B、C对边分别为a，b，c，则下列式子不正确的是（    ） A． B． C． D．若上有一动点P，则最小值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．在中，若，且AB边上的中线长为2，则面积的最大值为 ． 13．如图，为测量某大厦的高度，小明选取了大厦的一个最高点，点在大厦底部的射影为点，两个测量基点与在同一水平面上，他测得米，，在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，则该大厦的高度 米． 14．已知△的三个内角所对的边分别为，则下列条件能推导出△一定为锐角三角形的是 ． ①；②；③；④. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本小题13分） ．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知角B为钝角，，． (1)求角B； (2)若过B作BH垂直AC于点H，求BH的最大值． 16.（本小题15分） △的内角的对边分别为．已知． (1)求的值； (2)求△周长的最大值． 17.（本小题15分） 在中，角、、的对边分别为、、．已知． (1)求角的大小； (2)设为边的中点，若，，求的大小． 18.（本小题17分） 如图，半圆的直径为，为直径延长线上的点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形.设. (1)问：在什么位置时，四边形的面积最大，并求出面积的最大值. (2)克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段的长取最大值时，求. (3)求面积的最大值. 19.（本小题17分） 在中，角所对的边分别是，． (1)求角B的大小； (2)若，且边上的两条中线相交于点G，求的余弦值； (3)若为锐角三角形，且，记的外心和垂心分别为，连接的直线与线段都相交，求证：线段的长度为． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 解三角形专项训练解析版 姓名___________ 班级_________ 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．在中，内角，，的对边分别为，，，，，，为边上一点，且，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为在中，，又为边上一点，且， 所以， 又，所以， 所以，解得， 所以. 故选：D. 2．在锐角中，，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在锐角中，，因为，，， 所以，，解得， 所以，， 而， 所以 可得， 所以由正弦定理可知： ， 因为，所以， 所以，即. 故选：A. 3．在中，为边的中点，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，如图AM 中点为N，过N做AB垂线NO，使，以O为圆心， OA为半径做圆O.由题可得，则，即C点部分轨迹为优弧 （还有部分轨迹为优弧关于AM的对称优弧）.如图，设CB与圆O交于D，连接AD， 由外角定理，，当且仅当C与D重合，即CB与圆O相切时取等号. 由圆幂定理，当CB与圆O相切时可知， 由弦切角定理可知，设. 在中，由正弦定理可得， 又注意到， 则， 解得，结合图形可得，则此时． 故选：B    4．的内角，，的对边分别为，，，的面积为，且，，则边（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，解得， 由余弦定理得，所以. 故选：C. 5．在中，内角，，的对边分别为，，，已知，则（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】 , 故选：B． 6．在△中，内角的对边分别为，已知向量共线，则△的形状为（    ） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．有一个内角是的直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【详解】因为向量，共线， 则，由正弦定理可得：， 则， 因为，则，可知，，，均不为， 可得，则，即； 同理由向量，共线可得：； 综上所述：. 所以的形状为等边三角形. 故选：A 7．已知是锐角三角形，角所对的边分别为为的面积，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由， 得，所以， 所以，又，所以， 由正弦定理得， 由，得， 所以，所以， 所以. 故选：B. 8．在 中，角 的对边分别为，若 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵，∴， ∵，∴，即， ∴， ∴. 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．在中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则是锐角三角形 B．若为锐角三角形，则 C．若，则是直角三角形 D．若，则是等边三角形 【答案】BCD 【详解】由正弦定理得，所以， 所以为锐角，但不能断定是否为锐角三角形，故A错误； 在锐角中，由，可得，且，. 由函数在上单调递增， 得，即，故B正确； ，由正弦定理得， 所以 ，得， 因为，，所以，，所以， 因为，所以，为直角三角形，故C正确； ，，， 故，同理可得， ，要使，则需， 所以，，， 所以，是等边三角形，故D正确. 故选：BCD. 10．已知的内角，，所对的边分别为，，，下列四个命题中正确的是（    ） A．若为锐角三角形，则 B．若，，则是等边三角形 C．若，则是等腰三角形 D．若为钝角三角形，且，，，则的面积为 【答案】ABC 【详解】对于A，若为锐角三角形，则， 所以，所以即，故A正确； 对于B，若，， 则，所以， 所以，所以，所以即， 所以，即是等边三角形，故B正确； 对于C，由余弦定理可得， 若，则，即是等腰三角形，故C正确； 对于D，因为为钝角三角形，且，，， 所以， 所以由余弦定理得即， 整理得，解得或， 当时，，故A为钝角，满足题意； 当时，，故B为钝角，满足题意， 的面积为或.故D错误. 故选：ABC. 11．在锐角中，，角A、B、C对边分别为a，b，c，则下列式子不正确的是（    ） A． B． C． D．若上有一动点P，则最小值为 【答案】ABD 【详解】对于A，，则，即， ，即, 又，, 由正弦定理得，，故A错； 对于B，由及余弦定理，可得， 即， 由基本不等式知，， 当且仅当，即时等号成立， 所以，故B项错误； C项，在锐角中，由，且， 由基本不等式可得，， 整理得 当且仅当时，等号成立，又由， 可得＝，故C项正确； 对于D，过作，则， 又在之间运动时，与的夹角为钝角， 因此要求的最小值，应在之间运动，即， 又 当时，取最小值为,故D错误. 故选：ABD． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．在中，若，且AB边上的中线长为2，则面积的最大值为 ． 【答案】 【详解】因，由正弦定理可得， 即，所以，又， 所以，，设边上的中线为， 则，则， 所以，当且仅当时等号成立， 所以. 故答案为：. 13．如图，为测量某大厦的高度，小明选取了大厦的一个最高点，点在大厦底部的射影为点，两个测量基点与在同一水平面上，他测得米，，在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，则该大厦的高度 米． 【答案】204 【详解】设米，因为在点处测得点的仰角为，所以， 所以米． 因为在点处测得点的仰角为，所以米． 在中，由余弦定理可得， 即，解得． 故答案为：204. 14．已知△的三个内角所对的边分别为，则下列条件能推导出△一定为锐角三角形的是 ． ①；②；③；④. 【答案】②④ 【详解】对于①，若，由余弦定理可知， 即角为锐角，不能推出其他角均为锐角，故①错误； 对于②，因为，则， 由正弦定理得，设，，，， 可得为最大边，为三角形最大角， 根据余弦定理得， 则为锐角，可得一定是锐角三角形，故②正确； 对于③，因为， 则，整理可得， 由正弦定理可得，可得为直角，故③错误； 对于④，因为由于， 则， 故， 由于，故， 故，，均为锐角，为锐角三角形，故④正确． 故答案为：②④． 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本小题13分） ．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知角B为钝角，，． (1)求角B； (2)若过B作BH垂直AC于点H，求BH的最大值． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）由可得，， 因为角B为钝角，所以，所以，即， 根据正弦定理可得，因为，所以， 又角B为钝角，所以． （2）根据题意可知，，可得， 根据余弦定理可得，，即， 可得，可得， 当且仅当时等号成立，所以BH的最大值为． 16.（本小题15分） △的内角的对边分别为．已知． (1)求的值； (2)求△周长的最大值． 【答案】(1) (2)3 【详解】（1）（方法一）因为，，所以， 则． 又，所以． 因为，所以． 又，所以， （方法二）由余弦定理得， 因为，所以，则． ． 因为，所以． （2）由（2）可得， 从而． 因为，当且仅当时，等号成立，所以， 从而，则周长的最大值为3． 17.（本小题15分） 在中，角、、的对边分别为、、．已知． (1)求角的大小； (2)设为边的中点，若，，求的大小． 【答案】(1) (2)2 【详解】（1）, , , , ， . （2）在中, 由余弦定理得, , 又因为， 所以， 联立解得， 因为为边的中点，所以, 所以， 即， 所以.    18.（本小题17分） 如图，半圆的直径为，为直径延长线上的点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形.设. (1)问：在什么位置时，四边形的面积最大，并求出面积的最大值. (2)克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段的长取最大值时，求. (3)求面积的最大值. 【答案】(1)时，四边形的面积取得最大值为 (2) (3) 【详解】（1）在中由余弦定理得 ， 所以，， 于是四边形的面积为 ， 当，即时，四边形的面积取得最大值为. （2）因为， 且为等边三角形，，， 所以，所以， 即的最大值为，取等号时， 所以，不妨设， 则，解得， 所以，所以. （3）设，（，所以为锐角）， 在中，由正弦定理得，， ， 当，即时，的面积取得最大值为. 19.（本小题17分） 在中，角所对的边分别是，． (1)求角B的大小； (2)若，且边上的两条中线相交于点G，求的余弦值； (3)若为锐角三角形，且，记的外心和垂心分别为，连接的直线与线段都相交，求证：线段的长度为． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由可得,故， 由于,故，所以, 由于,故 （2）由余弦定理可得， 解得（负值舍去）， 因为即为向量与的夹角， 设，， 则， 因为，， 所以，， 故，， 所以， 故． （3）先证明：设的外心为（三角形外接圆的圆心），以线段、为邻边作平行四边形，第四个顶点为，再以，为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为．若，则点为的垂心； 证明：由题意可知 则 因为为外心，所以 则，即 同理可得： 所以，点为的垂心得证， 因此由于为的垂心，为的外心， 故，其中， 设外接圆半径为，则, , 由于， 故由于，故 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$