九年级数学开学摸底考（江苏苏州专用，苏科版）-2024-2025学年初中下学期开学摸底考试卷

( ) ( ) 2024-2025学年下学期开学摸底考试卷 九年级数学·答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 一、 单项 选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二 、 填空 题（每小题3分，共 24 分） 9 ． _________________ 10 ． ________________ 1 1 ． ____________________ 1 2 ． _________________ 1 3 ． _________________ 1 4 ． ____________________ 1 5 ． _________________ 1 6 ． ____________________ 三、解答题（本大题共11小题， 第17,18每小题5分，第19,20,21每小题6分，第22,23,24每小题8分，第25,26,27每小题10分， 共82分，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明） 1 7 ．（ 5 分） ) ( 1 8 ．（ 5 分） 1 9 ．（ 6 分） 20 ．（ 6 分） 21 ．（ 6 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 22 ．（ 8 分） 23 . （ 8 分） 24 . （ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 25. （ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 6 ． （ 1 0 分 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 7 ． （ 1 0 分 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级下学期开学摸底考试卷 参考答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A A C B C A C 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．/ 10． 11．/40度 12．， 13．3 14． 15．且 16． 三、解答题（本大题共11小题，第17,18每小题5分，第19,20,21每小题6分，第22,23,24每小题8分，第25,26,27每小题10分，共82分，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明） 17．11 【分析】本题考查特殊三角函数及实数的运算，熟知特殊角的三角函数值及实数的运算法则是正确解决本题的关键． 先计算乘方、零次幂、负整数指数幂及绝对值再合并即可． 【详解】解： ． 18．(1)， (2)9 【分析】本题考查了解一元二次方程、平行线分线段成比例，熟练掌握配方法解一元二次方程，平行线分线段成比例定理是解题的关键． （1）直接利用配方法解方程即可； （2）根据平行线分线段成比例定理，结合可得，得到的长，即可求出的长． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ，． （2）解：， ， 又， ， ， 的长为9． 19．(1)长为； (2)当时，矩形面积最大，最大面积为． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值． 设，根据矩形的面积为列出关于的一元二次方程，解方程求出的值，因为墙的长度为，把超过的解舍去； 根据矩形的面积公式得到矩形的面积与的长度之间的函数关系式为，配方法可得，从而可得当时，矩形面积最大，最大面积为． 【详解】（1）解：设，则 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，， 舍去， 长为； （2）解：设围成矩形的面积为 根据题意得： ， 抛物线开口向下， 当时，有最大值为， 又， 当时，矩形面积最大，最大面积为． 20．(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了根的判别式、三角形三边关系以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可证出方程有两个不相等的实数根； （2）利用因式分解法可求出，的长，分为直角边及为斜边两种情况，利用勾股定理可得出关于的一元一次方程或一元二次方程，解之即可得出值，取其正值（利用三角形的三边关系判定其是否构成三角形）即可得出结论． 【详解】（1）证明：， 方程有两个不相等的实数根． （2）解：， 即， 解得：，． 当为直角边时，， 解得：； 当为斜边时，， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：的值为或 21．(1)40；94；99 (2) (3)252 (4) 【分析】（1）根据题意和统计图中的数据、表格中的数据可以分别得到、、的值； （2）根据扇形统计图中的数据可以得到扇形统计图中“组”所对应的圆心角的度数； （3）总人数乘以样本中对应比例即可； （4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好选到甲，丁两位同学的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）解： 九年级10名学生的成绩在组的数据：94，90，94， 所占的百分比为：， ，即的值为40， 九年级成绩的中位数为， 八年级成绩的众数， 故答案为：40，94，99； （2）解：扇形统计图中“组”所对应的圆心角的度数为， 故答案为：； （3）解：（人， 答：估计九年级参加此次知识竞赛活动成绩在组的学生有252人； （4）解：画树状图为： 由树状图可知共有12种等可能的结果，其中刚好抽到甲和丁的有2种结果， 所以恰好选到甲，醒两位同学的概率为． 【点睛】本题考查扇形统计图、用样本估计总体、统计表、中位数、众数、方差，用列表法或树状图法求概率．解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 22．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆的切线的判定、角平分线的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键. （1）如图：连接，根据角平分线的判定定理可得，再结合等腰三角形的性质可得，可证明，利用平行线的性质可得，即可证明结论； （2）由角平分线的定义可得，进而得到，再运用角平分线的性质定理可得．再根据直角三角形的性质以及勾股定理可得、、，进而求得,最后根据求解即可. 【详解】（1）解：如图：连接， ∵，且， ∴是的平分线， ∴，        ∵， ∴， ∴， ∴，    ∴， ∴是的切线． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵于点E，， ∴， ∴在中，， ∴, ∵， ∴在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴,      ∴. 23．(1)，顶点坐标为 (2)或 (3) 【分析】本题考查二次函数的性质，将一般式化为顶点式； （1）将点，代入，即可求解； （2）将二次函数解析式化为顶点式求出顶点坐标，进而求解； （3）分别把，代入函数关系式得：，，根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵图象经过点，代入 ∴ 解得： ∴二次函数的解析式为 ∴顶点坐标为 （2）∵，抛物线的顶点在轴上， ∴， 解得 故答案为：或． （3）把，代入函数关系式得：，， ∵， ∴, 解得：， 故答案为：． 24．(1)的长为； (2)壁灯的高度是 【分析】（1）连接，则，由四边形是矩形得到，，由得到，在中，，则，再利用弧长公式计算即可； （2）连接，过点作，垂足为，求出，得到，则，即可求出答案． 【详解】（1）解：连接， ∵， ， ∵四边形是矩形， ，， ∵， ， 在中，， ， ， 即的长为； （2）连接，过点作，垂足为， ∵是半圆的直径， ， ∵， ， 在中，， ， 壁灯的高度， 壁灯的高度是． 【点睛】本题考查圆周角定理，解直角三角形，矩形的性质，弧长公式等知识．添加合适的辅助线是解题的关键． 25．（1）见解析；（2）＝；（3） 【分析】（1）证明，即可得证； （2）证明四边形是矩形，得出，，再证明，即可得解； （3）过点C作于点N，交的延长线于点M，连接，证明四边形是矩形，得出，，证明，得出，证明，得出．设，则，设，则，由勾股定理可得，再证明，即可得解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：过点N作于点H， ， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：过点C作于点N，交的延长线于点M，连接， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 设，则，设，则， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴， 解得 (舍去)， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 26．初步感知：；简单运用：，理由见解析；拓展延伸：四边形的面积为 【分析】初步感知：根据旋转的性质可得，则可得，再证明A，D，E三点在同一直线上，则可得的面积等于四边形的面积． 简单运用：将绕着A点逆时针旋转60°至，同（1）方法相同证明C、D、E三点共线，则可得是等边三角形，从而可得． 拓展延伸：由平分，可得，则．将绕着点C旋转90°至，再证A，D，E三点共线，进而可得为等腰直角三角形，由旋转得四边形的面积等于的面积，从而可求出四边形的面积． 【详解】解：初步感知：由旋转可知， ∴， ∵， ∴， 即， ∴A，D，E三点在同一直线上， ∴． 简单运用： 理由：将绕着A点逆时针旋转60°至， 则，，，， ∴， ∵，， ∴，即， ∴C、D、E三点共线． ∴是等边三角形， ∴． 拓展延伸：∵平分， ∴， ∴， 将绕着点C旋转90°至可得，，， ∵为直径， ∴， ∴，， ∴， ∴A，D，E三点共线， ∴为等腰直角三角形， 由旋转得四边形的面积等于的面积， ∴四边形的面积为． 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的性质、等边三角形的判定和性质、圆周角定理以及圆内接四边形的性质．熟练掌握以上知识是解题的关键． 27．【理解与运用】；【思考与探究】①；②或 【分析】本题考查二次函数图象及性质，二次函数与轴交点问题等． （1）根据题意信息列出，即可解出本题答案； （2）①先将抛物线一般式化为顶点式得出抛物线的顶点为再令，顶点为；，顶点为，列出，即可求出本题答案； ②分情况讨论：当抛物线的顶点在下方时和当抛物线的顶点在下方时，分别求出的取值范围即可． 【详解】解：【理解与运用】由题意：二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线， ； 【思考与探究】①由题意，， 抛物线的顶点为 又始终是的伴随抛物线， 令，顶点为；，顶点为， ， ； ②由①得：抛物线的顶点为，与轴交于两点， 当抛物线的顶点在下方时，抛物线与轴有两个不同的交点， 此时； 根据伴随抛物线的性质②可得，也是的伴随抛物线，即的顶点也在上， ∴在上， 当抛物线的顶点在下方时，抛物线与轴有两个不同的交点， 此时； 综上可得：或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级下学期开学摸底考试卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：130分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义逐一判断即可，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：A、是一元一次方程，不是一元二次方程，故选项不符合题意； B、在中，当时，不是一元二次方程，故选项不符合题意； C、是分式方程，故选项不符合题意； D、，是一元二次方程，故选项符合题意； 故选：D． 2．抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的对称轴．根据二次函数一般式的对称轴公式：直线计算即可． 【详解】解：由题意，抛物线的对称轴为直线， 故选：A． 3．已知的半径为4，，则点P与的位置关系是（    ） A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，熟练掌握若点与圆心的距离d，圆的半径为，则当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内是解题的关键．据此即可求解． 【详解】解：∵的半径为4，，且 ∴点P在内， 故选：A． 4．如图，点均在正方形网格的格点上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角函数，连接，由勾股定理及其逆定理可得为直角三角形，，进而根据正切的定义计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 由网格得，，，， ∵， ∴为直角三角形，， ∴， 故选：． 5．如图是我市某周内日层高气温的折线统计图，关于这7天的日最高气温的说法错误的是（   ） A．最大值与最小值的差是10 B．中位数是24 C．众数是28 D．平均数是 【答案】B 【分析】本题主要考查了中位数，众数，平均数，解题的关键是正确从图象中获取数据，熟练掌握求中位数，众数，平均数的方法．根据图象，分别求出最大值与最小值的差，中位数，众数，平均数，即可解答． 【详解】解：A、由图可知，这7日最高温度为，最低温度为， ∴最大值与最小值的差是，故A正确，不符合题意； B、将这7天的温度按大小排序为：， ∴中位数为，故B不正确，符合题意； C、∵出现了2次，出现次数最多， ∴众数为，故C正确，不符合题意； D、，故D正确，不符合题意； 故选：B． 6．如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交于点，交的延长线于点，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件，可设，则，，由平行四边形的性质可得，，，由两直线平行内错角相等及对顶角相等可得，，由三角形角平分线的定义可得，进而可得，由等角对等边可得，，由线段的和与差可得，由可得，由相似三角形的性质可得，于是得解． 【详解】解：， 可设， 则，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，两直线平行内错角相等，对顶角相等，三角形角平分线的定义，等角对等边，线段的和与差，相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 7．如图，是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知，，，阴影部分是的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理、三角形内切圆的性质、几何概率等知识点，根据三角形内切圆的性质求出圆的半径是解题关键． 先根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再根据三角形的面积公式、三角形内切圆的性质求出圆的半径，然后根据圆的面积公式求出阴影部分的面积，最后利用概率公式计算即可． 【详解】解：∵，，， ， ∴是直角三角形， 如图，设内切圆的半径为r，则， ∴， ∴，解得：， ∴的面积为，内切圆的面积为， ∴小鸟落在花圃上的概率为． 故选A． 8．已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如表： … 0 3 5 … … 0 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（    ） A．图象的开口向上 B．当时，的值随的值增大而增大 C．方程的一个解的取值范围是 D．图象的对称轴是直线 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，根据表格中所给数据，可求出抛物线的解析式，再对所给选项依次进行判断即可解决问题，能用待定系数法求出二次函数解析式及熟知二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：把带入函数解析式， 可得， 解得， 二次函数的解析式为． ， 抛物线的开口向下． 故A选项不符合题意． ， 当时，随的增大而减小． 故B选项不符合题意． 令得，， 解得，， 抛物线与轴的交点坐标为和． 方程的一个解的取值范围是． 故C选项符合题意． 二次函数解析式为， 抛物线的对称轴为直线． 故D选项不符合题意． 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．若，则 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了比例的性质，设，，然后代入即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质． 【详解】解：∵， ∴设，（）， ∴， 故答案为：． 10．冬季降水减少，很多河里河水枯竭，正是疏浚河道的好时机．如图是某河堤的横断面，堤高米，迎水坡的坡比是，则堤脚的长是 米．    【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题．在中，已知了坡面的坡比是铅直高度和水平宽度的比值，据此即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：（米）． 故答案为：． 11．如图，四边形内接于，若，则 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查了圆的内接四边形性质，掌握圆内接四边形对角互补是解题关键．根据圆的内接四边形性质求解即可． 【详解】解：四边形内接于，， ， 故答案为：． 12．已知抛物线与轴交于两点，则关于的一元二次方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了二次函数与x的交点问题．根据抛物线与轴的交点的横坐标即为方程的解，即可解答． 【详解】解：∵抛物线与轴交于两点， ∴一元二次方程的解是，， 故答案为：，． 13．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，代入求值，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则+． 根据题意得，，即可得． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：3． 14．若点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是 ．（用“＞”连接） 【答案】 【分析】本题主要考查对二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的对称性和增减性判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线对称轴为直线，开口向下， ∴时，随的增大而减小， ∵， ， 故答案为：． 15．关于x的一元二次方程有两个实数根，则a的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个实数根，即可得．同时考查了一元二次方程的定义．由关于的一元二次方程有有两个实数根及一元二次方程的定义，即可得判别式，继而可求得的范围． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个实数根， ， 解得：， 方程是一元二次方程， 的范围是：且， 故答案为：且． 16．如图，是半圆的直径，点C是上一点，，点D是的中点，连接交于点E，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，圆周角定理，垂径定理，勾股定理以及相似三角形的判定和性质．设，由余弦函数的定义结合勾股定理求得和的长，利用垂径定理求得，，推出，证明，据此求解即可． 【详解】解：设与交于点，， ∵是半圆的直径， ∴， ∵， ∴， 设 ∴，， ∵点D是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，第17,18每小题5分，第19,20,21每小题6分，第22,23,24每小题8分，第25,26,27每小题10分，共82分，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明） 17．计算：． 【答案】11 【分析】本题考查特殊三角函数及实数的运算，熟知特殊角的三角函数值及实数的运算法则是正确解决本题的关键． 先计算乘方、零次幂、负整数指数幂及绝对值再合并即可． 【详解】解： ． 18．(1)解方程：． (2)如图，直线，直线依次交于点A，B，C，直线依次交于点D，E，F．若，，求的长． 【答案】(1)， (2)9 【分析】本题考查了解一元二次方程、平行线分线段成比例，熟练掌握配方法解一元二次方程，平行线分线段成比例定理是解题的关键． （1）直接利用配方法解方程即可； （2）根据平行线分线段成比例定理，结合可得，得到的长，即可求出的长． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ，． （2）解：， ， 又， ， ， 的长为9． 19．如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙（墙长为）的矩形菜园． (1)当围成的矩形面积为时，求的长； (2)当长为多少时，围成的矩形面积最大?面积最大值是多少? 【答案】(1)长为； (2)当时，矩形面积最大，最大面积为． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值． 设，根据矩形的面积为列出关于的一元二次方程，解方程求出的值，因为墙的长度为，把超过的解舍去； 根据矩形的面积公式得到矩形的面积与的长度之间的函数关系式为，配方法可得，从而可得当时，矩形面积最大，最大面积为． 【详解】（1）解：设，则 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，， 舍去， 长为； （2）解：设围成矩形的面积为 根据题意得： ， 抛物线开口向下， 当时，有最大值为， 又， 当时，矩形面积最大，最大面积为． 20．已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若的两边，的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为，当是直角三角形时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了根的判别式、三角形三边关系以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可证出方程有两个不相等的实数根； （2）利用因式分解法可求出，的长，分为直角边及为斜边两种情况，利用勾股定理可得出关于的一元一次方程或一元二次方程，解之即可得出值，取其正值（利用三角形的三边关系判定其是否构成三角形）即可得出结论． 【详解】（1）证明：， 方程有两个不相等的实数根． （2）解：， 即， 解得：，． 当为直角边时，， 解得：； 当为斜边时，， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：的值为或 21．某校开展了以“不忘初心，牢记使命”为主题的知识竞赛，现从该校八、九年级各随机抽取10名学生的成绩进行整理、描述和分析（成绩用m表示），共分成四个组：A． ，B． ， C． ，D． ．另外给出了部分信息如下： 八年级10名学生的成绩： 99， 80，99，86， 99，96，90，100，89，82． 九年级10名学生的成绩在C组的数据：94，90，94． 八、九年级抽取学生成绩统计表 平均数 中位数 众数 方差 八年级 92 93 c 52 九年级 92 b 100 50.4 九年级抽取学生成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)上面图表中的a= ，b= ， c= ； (2)扇形统计图中“D组”所对应的圆心角的度数为 ； (3)该校九年级共有840名学生参加了知识竞赛活动，估计九年级参加此次知识竞赛活动成绩为较好（90≤m<95）的学生有多少人？ (4)现准备从九年级中D组中的甲、乙、丙、丁四个学生中随机选取两个参加市区的比赛，请用树状图或列表法求出恰好选中甲和丁的概率． 【答案】(1)40；94；99 (2) (3)252 (4) 【分析】（1）根据题意和统计图中的数据、表格中的数据可以分别得到、、的值； （2）根据扇形统计图中的数据可以得到扇形统计图中“组”所对应的圆心角的度数； （3）总人数乘以样本中对应比例即可； （4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好选到甲，丁两位同学的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）解： 九年级10名学生的成绩在组的数据：94，90，94， 所占的百分比为：， ，即的值为40， 九年级成绩的中位数为， 八年级成绩的众数， 故答案为：40，94，99； （2）解：扇形统计图中“组”所对应的圆心角的度数为， 故答案为：； （3）解：（人， 答：估计九年级参加此次知识竞赛活动成绩在组的学生有252人； （4）解：画树状图为： 由树状图可知共有12种等可能的结果，其中刚好抽到甲和丁的有2种结果， 所以恰好选到甲，醒两位同学的概率为． 【点睛】本题考查扇形统计图、用样本估计总体、统计表、中位数、众数、方差，用列表法或树状图法求概率．解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 22．如图，在中，是直径，是弦，点C在上，于点E，，交的延长线于点F，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆的切线的判定、角平分线的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键. （1）如图：连接，根据角平分线的判定定理可得，再结合等腰三角形的性质可得，可证明，利用平行线的性质可得，即可证明结论； （2）由角平分线的定义可得，进而得到，再运用角平分线的性质定理可得．再根据直角三角形的性质以及勾股定理可得、、，进而求得,最后根据求解即可. 【详解】（1）解：如图：连接， ∵，且， ∴是的平分线， ∴，        ∵， ∴， ∴， ∴，    ∴， ∴是的切线． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵于点E，， ∴， ∴在中，， ∴, ∵， ∴在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴,      ∴. 23．已知二次函数 (是常数)的图象是抛物线． (1)若图象经过点，求的值和图象的顶点坐标． (2)若抛物线的顶点在轴上，则 ； (3)若点，在抛物线上，且，则的取值范围是 ． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2)或 (3) 【分析】本题考查二次函数的性质，将一般式化为顶点式； （1）将点，代入，即可求解； （2）将二次函数解析式化为顶点式求出顶点坐标，进而求解； （3）分别把，代入函数关系式得：，，根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵图象经过点，代入 ∴ 解得： ∴二次函数的解析式为 ∴顶点坐标为 （2）∵，抛物线的顶点在轴上， ∴， 解得 故答案为：或． （3）把，代入函数关系式得：，， ∵， ∴, 解得：， 故答案为：． 24．如图，某隧道的横截面可以看作由半圆与矩形组成，所在直线表示地平面，点表示隧道内的壁灯，已知，从点观测点的仰角为，观测点的俯角为（参考数据的值取4）． (1)求的长； (2)求壁灯到地面的高度． 【答案】(1)的长为； (2)壁灯的高度是 【分析】（1）连接，则，由四边形是矩形得到，，由得到，在中，，则，再利用弧长公式计算即可； （2）连接，过点作，垂足为，求出，得到，则，即可求出答案． 【详解】（1）解：连接， ∵， ， ∵四边形是矩形， ，， ∵， ， 在中，， ， ， 即的长为； （2）连接，过点作，垂足为， ∵是半圆的直径， ， ∵， ， 在中，， ， 壁灯的高度， 壁灯的高度是． 【点睛】本题考查圆周角定理，解直角三角形，矩形的性质，弧长公式等知识．添加合适的辅助线是解题的关键． 25．【模型建立】 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别在边，上，且AE⊥DF，求证：； 【模型应用】 （2）如图2，在矩形中，，，点E在边上，点M，N分别在边，上，且，求的值； 【模型迁移】 （3）如图3，在四边形中，，，，，点E，F分别在边，上，且，垂足为G，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）＝；（3） 【分析】（1）证明，即可得证； （2）证明四边形是矩形，得出，，再证明，即可得解； （3）过点C作于点N，交的延长线于点M，连接，证明四边形是矩形，得出，，证明，得出，证明，得出．设，则，设，则，由勾股定理可得，再证明，即可得解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：过点N作于点H， ， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：过点C作于点N，交的延长线于点M，连接， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 设，则，设，则， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴， 解得 (舍去)， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 26．【初步感知】 学习了图形的旋转后，老师让学生们研究一些特殊四边形．如图1，在四边形中，，．小明同学连接，将绕点C旋转至．若四边形的面积为10，求的面积； 【简单运用】 如图2，在四边形中，，，，连接，试探究线段，，的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 如图3，四边形是的内接四边形，是的直径，平分，且，求四边形的面积． 【答案】初步感知：；简单运用：，理由见解析；拓展延伸：四边形的面积为 【分析】初步感知：根据旋转的性质可得，则可得，再证明A，D，E三点在同一直线上，则可得的面积等于四边形的面积． 简单运用：将绕着A点逆时针旋转60°至，同（1）方法相同证明C、D、E三点共线，则可得是等边三角形，从而可得． 拓展延伸：由平分，可得，则．将绕着点C旋转90°至，再证A，D，E三点共线，进而可得为等腰直角三角形，由旋转得四边形的面积等于的面积，从而可求出四边形的面积． 【详解】解：初步感知：由旋转可知， ∴， ∵， ∴， 即， ∴A，D，E三点在同一直线上， ∴． 简单运用： 理由：将绕着A点逆时针旋转60°至， 则，，，， ∴， ∵，， ∴，即， ∴C、D、E三点共线． ∴是等边三角形， ∴． 拓展延伸：∵平分， ∴， ∴， 将绕着点C旋转90°至可得，，， ∵为直径， ∴， ∴，， ∴， ∴A，D，E三点共线， ∴为等腰直角三角形， 由旋转得四边形的面积等于的面积， ∴四边形的面积为． 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的性质、等边三角形的判定和性质、圆周角定理以及圆内接四边形的性质．熟练掌握以上知识是解题的关键． 27．如图，记二次函数和的图象分别为抛物线和． 定义：若抛物线的顶点在抛物线上，则称是的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线；②若是的伴随抛物线，则也是的伴随抛物线，即的顶点在上．    【理解与运用】 若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，求和的值； 【思考与探究】 设函数的图象为抛物线，函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线． ①求的值； ②若抛物线与轴有两个不同的交点请直接写出的取值范围； 【答案】【理解与运用】；【思考与探究】①；②或 【分析】本题考查二次函数图象及性质，二次函数与轴交点问题等． （1）根据题意信息列出，即可解出本题答案； （2）①先将抛物线一般式化为顶点式得出抛物线的顶点为再令，顶点为；，顶点为，列出，即可求出本题答案； ②分情况讨论：当抛物线的顶点在下方时和当抛物线的顶点在下方时，分别求出的取值范围即可． 【详解】解：【理解与运用】由题意：二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线， ； 【思考与探究】①由题意，， 抛物线的顶点为 又始终是的伴随抛物线， 令，顶点为；，顶点为， ， ； ②由①得：抛物线的顶点为，与轴交于两点， 当抛物线的顶点在下方时，抛物线与轴有两个不同的交点， 此时； 根据伴随抛物线的性质②可得，也是的伴随抛物线，即的顶点也在上， ∴在上， 当抛物线的顶点在下方时，抛物线与轴有两个不同的交点， 此时； 综上可得：或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级下学期开学摸底考试卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：130分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 3．已知的半径为4，，则点P与的位置关系是（    ） A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．不能确定 4．如图，点均在正方形网格的格点上，则（   ） A． B． C． D． 5．如图是我市某周内日层高气温的折线统计图，关于这7天的日最高气温的说法错误的是（   ） A．最大值与最小值的差是10 B．中位数是24 C．众数是28 D．平均数是 6．如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交于点，交的延长线于点，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．如图，是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知，，，阴影部分是的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为（   ） A． B． C． D． 8．已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如表： … 0 3 5 … … 0 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（    ） A．图象的开口向上 B．当时，的值随的值增大而增大 C．方程的一个解的取值范围是 D．图象的对称轴是直线 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．若，则 ． 10．冬季降水减少，很多河里河水枯竭，正是疏浚河道的好时机．如图是某河堤的横断面，堤高米，迎水坡的坡比是，则堤脚的长是 米．    11．如图，四边形内接于，若，则 ． 12．已知抛物线与轴交于两点，则关于的一元二次方程的解是 ． 13．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 14．若点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是 ．（用“＞”连接） 15．关于x的一元二次方程有两个实数根，则a的取值范围是 ． 16．如图，是半圆的直径，点C是上一点，，点D是的中点，连接交于点E，则的值为 ． 三、解答题（本大题共11小题，第17,18每小题5分，第19,20,21每小题6分，第22,23,24每小题8分，第25,26,27每小题10分，共82分，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明） 17．计算：． 18．(1)解方程：． (2)如图，直线，直线依次交于点A，B，C，直线依次交于点D，E，F．若，，求的长． 19．如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙（墙长为）的矩形菜园． (1)当围成的矩形面积为时，求的长； (2)当长为多少时，围成的矩形面积最大?面积最大值是多少? 20．已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若的两边，的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为，当是直角三角形时，求的值． 21．某校开展了以“不忘初心，牢记使命”为主题的知识竞赛，现从该校八、九年级各随机抽取10名学生的成绩进行整理、描述和分析（成绩用m表示），共分成四个组：A． ，B． ， C． ，D． ．另外给出了部分信息如下： 八年级10名学生的成绩： 99， 80，99，86， 99，96，90，100，89，82． 九年级10名学生的成绩在C组的数据：94，90，94． 八、九年级抽取学生成绩统计表 平均数 中位数 众数 方差 八年级 92 93 c 52 九年级 92 b 100 50.4 九年级抽取学生成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)上面图表中的a= ，b= ， c= ； (2)扇形统计图中“D组”所对应的圆心角的度数为 ； (3)该校九年级共有840名学生参加了知识竞赛活动，估计九年级参加此次知识竞赛活动成绩为较好（90≤m<95）的学生有多少人？ (4)现准备从九年级中D组中的甲、乙、丙、丁四个学生中随机选取两个参加市区的比赛，请用树状图或列表法求出恰好选中甲和丁的概率． 22．如图，在中，是直径，是弦，点C在上，于点E，，交的延长线于点F，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 23．已知二次函数 (是常数)的图象是抛物线． (1)若图象经过点，求的值和图象的顶点坐标． (2)若抛物线的顶点在轴上，则 ； (3)若点，在抛物线上，且，则的取值范围是 ． 24．如图，某隧道的横截面可以看作由半圆与矩形组成，所在直线表示地平面，点表示隧道内的壁灯，已知，从点观测点的仰角为，观测点的俯角为（参考数据的值取4）． (1)求的长； (2)求壁灯到地面的高度． 25．【模型建立】 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别在边，上，且AE⊥DF，求证：； 【模型应用】 （2）如图2，在矩形中，，，点E在边上，点M，N分别在边，上，且，求的值； 【模型迁移】 （3）如图3，在四边形中，，，，，点E，F分别在边，上，且，垂足为G，求的值． 26．【初步感知】 学习了图形的旋转后，老师让学生们研究一些特殊四边形．如图1，在四边形中，，．小明同学连接，将绕点C旋转至．若四边形的面积为10，求的面积； 【简单运用】 如图2，在四边形中，，，，连接，试探究线段，，的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 如图3，四边形是的内接四边形，是的直径，平分，且，求四边形的面积． 27．如图，记二次函数和的图象分别为抛物线和． 定义：若抛物线的顶点在抛物线上，则称是的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线；②若是的伴随抛物线，则也是的伴随抛物线，即的顶点在上．    【理解与运用】 若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，求和的值； 【思考与探究】 设函数的图象为抛物线，函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线． ①求的值； ②若抛物线与轴有两个不同的交点请直接写出的取值范围； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$