精品解析：湖南省株洲市渌口区第三中学2024-2025学年高一上学期期末质量检测考试数学试题

2024年高一第一学期期未质量检测考试 数学 时量：120分钟 满分：150分 得分：__________. 一､选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用交集的性质求解即可. 【详解】因为，解得， 因为，所以，故A正确. 故选：A. 2. 函数的定义域为（ ） A. （，+∞） B. ［1，+∞ C. （，1 D. （－∞，1） 【答案】C 【解析】 【分析】根据偶次根号下的被开方数大于等于零，对数的真数大于零，列出不等式组，进行求解再用集合或区间的形式表示出来． 【详解】要使函数有意义，则 ， 解得 则函数的定义域是 故选C． 【点睛】本题考查了函数定义域的求法，即根据函数解析式列出使它有意义的不等式组，最后注意要用集合或区间的形式表示出来，这是易错的地方． 3. 已知是第四象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式化简得，再根据平方关系求得，利用商数关系计算正切值即可. 【详解】化简得：， 是第四象限角， ， . 故选：B. 4. 若，设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数，对数函数，幂函数的单调性比较大小即可. 【详解】， 所以. 故选：C. 5. 若函数在区间上存在零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用零点存在性定理建立不等式组，求解参数范围即可. 【详解】因为在区间上单调递增，且存在零点， 所以，得到，解得，故B正确. 故选：B. 6. 若函数的图像的两个对称中心的最短距离为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由两个对称中心的最短距离为半个周期求得周期，然后得到的值，然后求得的值. 【详解】设函数的最小正周期为，由题意可知，可得，， 则， 故选：A. 7. 已知分别是定义在上的奇函数和偶函数，且为自然对数的底数，则下列命题中真命题的个数为（ ） ①的最大值为1； ②； ③； ④方程有唯一实数根. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】①利用函数的奇偶性得到方程组求出即可算出最大值；②由上一问求出的解析式，代入即可判断大小关系；③直接将方程组的两个式子相乘即可求得结果; ④代入求得的解析式中即可得到结果. 【详解】由题意可知又分别是定义在上的奇函数和偶函数， 则解得，故①错误； ，故②错误； ，故③正确； ， ，解得，故④正确. 故选：C. 8. 已知函数若存在最小值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数的单调性，并结合分段函数的性质求解， 【详解】在上单调递减，且， 而在上单调递增， 要使存在最小值， 结合分段函数的图象可得： ，即， 故选：D. 二､多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用不等式性质逐一判断，选项D则用作差法即可. 【详解】对于A，，但与不能比较大小，故A不一定成立； 对于B，，故B成立； 对于C，由题意得，故C成立； 对于D，由，但符号不确定，故D不一定成立. 故选：BC. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 的图象关于点对称 C. 若，则的最小值为 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正弦函数的图象与性质一一判定选项即可. 【详解】选项A：令，解得， 故的单调递增区间为， 取，则在区间上单调递增，故选项A正确； 选项B：令，则， 取，则有，因此的图象关于点对称，故选项B不正确； 选项C：若，则在和处分别取最大值和最小值， 因此，故，选项C正确； 选项D：若，则是函数的零点， 故，选项D正确. 故选：ACD. 11. 已知奇函数的定义域为，且，若对于任意的且，都有，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 4为函数的一个周期 C. 在区间上单调递减 D. 当且时，恒有 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用函数的对称性判断选项A；利用函数的周期性定义求出函数的周期判断选项B；利用函数单调性定义判断单调性即可知C正误；利用对称中心的性质知D正误. 【详解】选项A：因为是定义在上的奇函数，所以函数的图象关于原点对称， 由，得的图象关于直线对称，由对称性可知， 函数的图象关于点成中心对称，故A正确； 选项B：由与，得， 所以，则4为函数的一个周期，故B正确； 选项C：因为对于任意的且，都有， 所以在区间上单调递减，又函数的图象关于点中心对称， 则在上单调递减，所以在区间上单调递减， 因为的图象关于直线对称，则在区间上单调递增，故C错误； 选项D：由上可知点是的对称中心，又因为，所以，故D正确. 故选：ABD 三､填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 计算：__________. 【答案】6 【解析】 【分析】根据指数幂的运算性质和对数的运算性质可求代数式的值. 【详解】原式. 故答案为：6. 13. 鲁洛克斯三角形（又称勒洛三角形）是一种特殊三角形，具有神奇的性质，在机械加工业上有广泛的应用，它可以用来制作车轮、钻出方形孔等，分别以正三角形的顶点为圆心，边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形就是鲁洛克斯三角形.如图是一个鲁洛克斯三角形，其中的长度为，则中间正三角形的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意列出方程求出正三角形边长，利用三角形面积公式得解. 【详解】设中间正三角形的边长为， 则有，解得， 所以. 故答案为： 14. 已知函数若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围是__________，若这四个零点有如下关系，，则的取值范围是__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】要使函数有四个不同的零点，即方程有四个不同的解，则转化为函数与函数有四个不同的交点，数形结合求解即可；由二次函数的对称性可知，，由对数函数的图象及性质可知，然后转化为求解函数的值域即可. 【详解】由图象可知，要使函数有四个不同的零点， 即方程有四个不同的解，则需. 由二次函数的对称性可知，， 由对数函数的图象及性质可知，， 则. ，函数在上递减，在上递增， 所以，当时，. 故其值域为. 故答案为：； 四､解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知角，角的终边过点. （1）求与的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用诱导公式以及三角函数的定义即可求得结果. （2）利用二倍角公式与两角差的余弦公式即可求得结果. 【小问1详解】 . 由三角函数的定义，. 【小问2详解】 ， ， ， ， 所以. 16. 设函数. （1）若，证明：函数为奇函数； （2）若，对任意，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明：当时，函数， 因为，则，所以的定义域为， 对任意，有， 所以是奇函数. （2） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义证明即可； （2）先证明或说明函数的单调性，再利用单调性得出不等式恒成立，分类讨论，列出不等式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，在上单调递增，证明如下： 证明：（法一）当时，恒成立，故函数定义域为， 任取，且，则， 因为， 所以在上单调递增. 因为对任意恒成立，所以恒成立， ①当时，显然成立； ②当时，得. 综上所述，实数的取值范围为. （法二）当时，函数在上单调递增， 则函数在上单调递减，从而函数在上单调递增.下同法一. 17. 已知函数的图象关于点对称，且函数的图象的相邻两条对称轴间的距离为. （1）求函数的解析式； （2）求函数的值域； （3）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，记方程在区间上的根从小到大依次为，，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式化简，再根据周期性及对称中心求出的解析式； （2）令，利用二次函数性质求解最小值即可； （3）根据三角函数图像变换求得，（法一）利用三角函数的性质直接求出即可. （法二）利用换元法，结合三角函数图象的对称性求得的值. 【小问1详解】 由题意，函数， 因为图象的相邻两条对称轴间的距离为，所以最小正周期，可得， 因为函数的图象关于点对称，所以图象过点，可得， 所以，因为，所以，所以函数. 【小问2详解】 ， 令， 则，所以原函数可化为， 因为对称轴是直线，所以当时，， 当时，， 即的值域是. 【小问3详解】 将函数的图象向右平移个单位长度，可得， 再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数， （法一）由方程，可得，所以或， 即或，因为，且， 所以符合题意， 所以 （法二）对于方程，方程的根可以转化成在区间上的零点，由的图象可知函数有6个零点，且相邻的两个零点关于对称轴对称. 令，得， 因为，所以这五条对称轴分别为， 所以 . 18. 已知定义域为的函数，若存在实数，使得对任意，都存在满足，则称函数具有性质. （1）判断下列函数是否具有性质，并说明理由； ①；②. （2）若函数在区间上具有性质，求实数的取值范围； （3）若存在唯一的实数，使得函数，在区间上具有性质，求实数的值. 【答案】（1）①函数不具有性质.理由如下： 对于，取，对于任意，有，所以不存在满足，所以函数不具有性质. ②函数具有性质.理由如下： 因为的定义域与值域均为， 所以对于任意，有， 则必存在，使得，即成立. 所以函数具有性质. （2） （3）或 【解析】 【分析】小问（1）紧扣函数性质的定义进行判断，若不存在，举一反例即可，若存在，则需要说明对任意的，都存在满足；小问（2）函数在区间上具有性质，即对任意，都存在使得，即，可得，于是，又，所以，即可解得实数的取值范围. 小问（3）若函数具有性质，则对于任意，存在满足，所以，又因为，所以，只需是函数值域的子集即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为函数在区间上具有性质， 所以对任意，都存在使得，即，可得， 因为，所以，又，所以， 即解得， 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 由题意，对于任意，存在满足，所以， 由，则，设的值域为，则. （i）当时，的值域为，此时， 解得，不符合题意； （ii）当时，图象的对称轴为，开口向上且， 值域为，此时，解得，不符合题意； （iii）当时，的对称轴为，开口向下， ①当，即时， ，值域为， 所以，得到 由的唯一性，得，解得或（舍去）， ②当，即时， ，值域为， 所以，得到 由的唯一性，得，解得，不符合题意. ③当，即时， ，值域为， 所以，得到 由的唯一性，得，解得，符合题意. 综上所述，或. 【点睛】二次函数的最值问题求解策略：抓住“三点一轴”进行数形结合，三点是指区间的两个端点和中点，一轴是指对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年高一第一学期期未质量检测考试 数学 时量：120分钟 满分：150分 得分：__________. 一､选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. （，+∞） B. ［1，+∞ C. （，1 D. （－∞，1） 3. 已知是第四象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 若，设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 若函数在区间上存在零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数的图像的两个对称中心的最短距离为，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知分别是定义在上的奇函数和偶函数，且为自然对数的底数，则下列命题中真命题的个数为（ ） ①的最大值为1； ②； ③； ④方程有唯一实数根. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 已知函数若存在最小值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 的图象关于点对称 C. 若，则的最小值为 D. 若，则 11. 已知奇函数的定义域为，且，若对于任意的且，都有，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 4为函数的一个周期 C. 在区间上单调递减 D. 当且时，恒有 三､填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 计算：__________. 13. 鲁洛克斯三角形（又称勒洛三角形）是一种特殊三角形，具有神奇的性质，在机械加工业上有广泛的应用，它可以用来制作车轮、钻出方形孔等，分别以正三角形的顶点为圆心，边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形就是鲁洛克斯三角形.如图是一个鲁洛克斯三角形，其中的长度为，则中间正三角形的面积为__________. 14. 已知函数若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围是__________，若这四个零点有如下关系，，则的取值范围是__________. 四､解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知角，角的终边过点. （1）求与的值； （2）求的值. 16. 设函数. （1）若，证明：函数为奇函数； （2）若，对任意，使得成立，求实数的取值范围. 17. 已知函数的图象关于点对称，且函数的图象的相邻两条对称轴间的距离为. （1）求函数的解析式； （2）求函数的值域； （3）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，记方程在区间上的根从小到大依次为，，求的值. 18. 已知定义域为的函数，若存在实数，使得对任意，都存在满足，则称函数具有性质. （1）判断下列函数是否具有性质，并说明理由； ①；②. （2）若函数在区间上具有性质，求实数的取值范围； （3）若存在唯一的实数，使得函数，在区间上具有性质，求实数的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $