第01讲 平方根（2个知识点+3类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（人教版2024）

第01讲 平方根 课程标准 学习目标 ①平方根的概念 ②平方根的性质 1. 掌握平方根的定义并能够熟练的求一个数的平方根。 2. 掌握平方根的性质，并能够熟练的利用平方根的相关性质解决相应的题目。 知识点01 平方根的概念 1. 平方根的概念： 如果一个数的平方等于，则这个数就叫做的 平方根 ，也叫做的二次方根。表示为 。其中叫做根号，叫做被开方数。读作 根号 ； 2. 求一个数的平方根： 求一个数的平方根的运算就做开平方，与平方预算互为逆运算。 即，则。可表示为，。 【即学即练1】 1．求下列各数的平方根： （1）121； （2）0.01； （3）； （4）（﹣13）2． 【分析】（1）根据平方根的定义，进行求解即可； （2）根据平方根的定义，进行求解即可； （3）根据平方根的定义，进行求解即可； （4）根据平方根的定义，进行求解即可． 【解答】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 【即学即练2】 2．一元二次方程x2﹣25＝0的解是（　　） A．x1＝5，x2＝0 B．x＝﹣5 C．x＝5 D．x1＝5，x2＝﹣5 【分析】根据平方根的定义进行解题即可． 【解答】解：x2﹣25＝0 ∴x2＝25， 解得：x1＝5，x2＝﹣5， 故选：D． 知识点02 平方根的性质 1. 平方根的性质： ①正数的平方根有 2 个，分别是 与 ，他们互为 相反数 。 ②规定0的平方根是 0 。所以0的平方根只有一个，就是它本身。 ③负数没有平方根。 【即学即练1】 3．下列各数中，没有平方根的是（　　） A．65 B．（﹣2）2 C．﹣22 D． 【分析】根据平方都是非负数，可得负数没有平方根． 【解答】解：A、B、D都是正数，故都有平方根； C是负数，故C没有平方根； 故选：C． 【即学即练2】 4．已知一个正数x的两个平方根分别是2a﹣3和5﹣a，求a和x的值． 【分析】正数x有两个平方根，分别是2a﹣3与5﹣a，所以2a﹣3与5﹣a互为相反数，可求出a；根据x＝（2a﹣3）2，代入可求出x的值． 【解答】解：依题意可得 2a﹣3+5﹣a＝0 解得：a＝﹣2， ∴x＝（2a﹣3）2＝49， ∴a＝﹣2，x＝49． 题型01 求一个数的平方根 【典例1】16的平方根是（　　） A．﹣4 B．±4 C．4 D．±2 【分析】根据平方根的定义进行计算． 【解答】解：16的平方根是±4． 故选：B． 【变式1】36的平方根是（　　） A．6 B．18 C．±18 D．±6 【分析】如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，由此即可得到答案． 【解答】解：∵（±6）2＝36， ∴36的平方根是±6． 故选：D． 【变式2】（﹣0.7）2的平方根是（　　） A．﹣0.7 B．±0.7 C．0.7 D．0.49 【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根． 【解答】解：∵（﹣0.7）2＝0.49， 又∵（±0.7）2＝0.49， ∴0.49的平方根是±0.7． 故选：B． 【变式3】一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（　　） A．± B．a+1 C．a2+1 D．± 【分析】先用a表示该自然数，然后再求出这个自然数相邻的下一个自然数的平方根． 【解答】解：由题意可知：该自然数为a2， ∴该自然数相邻的下一个自然数为a2+1， ∴a2+1的平方根为±． 故选：D． 题型02 利用平方根的关系求字母的值 【典例1】已知一个正数的两个平方根分别为a+3和2a﹣12．求a的值，并求这个正数． 【分析】根据平方根、解一元一次方程解决此题． 【解答】解：由题意得：a+3+2a﹣12＝0． ∴a＝3． ∴a+3＝3+3＝6． ∴这个正数为36． 【变式1】已知2m+3和4m+9是一个正数的两个平方根，求m的值和这个正数的平方根． 【分析】正数有两个平方根，它们互为相反数，从而得到2m+3+4m+9＝0，可求得m的值，然后利用平方根的定义即可求得这个正数的平方根． 【解答】解：∵2m+3和4m+9是一个正数的两个平方根， ∴2m+3+4m+9＝0， 解得：m＝﹣2， 当m＝﹣2时，2m+3＝﹣1，4m+9＝1． 故m的值为﹣2，这个正数的平方根是±1． 【变式2】已知：2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，求m+2n的值． 【分析】根据开方与平方是互逆运算，求出2m+2的值，与3m+n+1的值，然后两式联立求出m、n的值，再代入进行计算即可求解． 【解答】解：∵2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5， ∴2m+2＝16，3m+n+1＝25， 联立解得，m＝7，n＝3， ∴m+2n＝7+2×3＝13． 故答案为：13． 【变式3】已知2x﹣y的平方根为±3，﹣4是3x+y的一个平方根，求x﹣y的平方根． 【分析】根据平方根的意义可知2x﹣y＝9，3x+9＝16，进而求出x、y的值，代入求出x﹣y的值，最后求出其平方根． 【解答】解：∵2x﹣y的平方根为±3， ∴2x﹣y＝9， 又∵﹣4是3x+y的一个平方根， ∴3x+y＝16， ∴x＝5，y＝1， 因此x﹣y＝5﹣1＝4， 所以4的平方根为±2， 答：x﹣y的平方根为±2． 【变式4】已知2a﹣1的平方根是±3，2a+b﹣1的平方根是±4，求a+2b的平方根． 【分析】根据平方根的定义，即可得到2a﹣1＝32，然后即可求得a的值；同理可以得到2a+b﹣1＝42，即可得到b的值，进而求得a+2b的平方根． 【解答】解：∵2a﹣1的平方根是±3， ∴2a﹣1＝（±3）2＝9， ∴a＝5． ∵2a+b﹣1的平方根是±4， ∴2a+b﹣1＝（±4）2＝16， 则2×5+b﹣1＝16， 解得b＝7． ∴a+2b＝19， ∵19的平方根为， ∴a+2b的平方根为． 题型03 利用平方根解方程 【典例1】如果x2＝3，那么x＝（　　） A． B． C． D． 【分析】根据平方根的定义进行解答即可． 【解答】解：x2＝3即x是3的平方根， 所以x＝±， 故选：C． 【变式1】求下列各式中x的值． （1）x2﹣25＝0； （2）（x﹣1）2＝64． 【分析】运用平方根知识进行求解． 【解答】解：（1）移项，得x2＝25， 开平方，得x＝±5； （2）开平方，得x﹣1＝±8， 解得x＝9或x＝﹣7． 【变式2】求下列各式中x的值： （1）4x2﹣9＝0； （2）（2x﹣1）2＝4． 【分析】（1）先移项，再利用平方根的性质解答即可； （2）先根据平方根的性质化为一元一次方程，再解方程即可． 【解答】解：（1）4x2﹣9＝0， 4x2＝9， x2＝， ∴x＝； （2）（2x﹣1）2＝4， 2x﹣1＝2或2x﹣1＝﹣2， ∴x＝或﹣． 1．下列说法正确的是（　　） A．9的平方根是3 B．﹣9的平方根是﹣3 C．（﹣2）2没有平方根 D．2是4的一个平方根 【分析】根据平方根的定义进行解题即可． 【解答】解：A．9的平方根是±3，选项错误，不符合题意； B．﹣9没有平方根，选项错误，不符合题意； C． （﹣2）2的平方根为±2，选项错误，不符合题意； D．2是4的一个平方根，选项正确，符合题意． 故选：D． 2．“的平方根是”用数学式子表示为（　　） A．＝± B．＝ C．±＝± D．﹣＝﹣ 【分析】根据平方根的定义解答即可． 【解答】解：“的平方根是”用数学式子表示为， 故选：C． 3．（﹣25）2的平方根是（　　） A．±5 B．25 C．±25 D．5 【分析】根据平方根的定义进行计算即可得解． 【解答】解：±＝±25． 故选：C． 4．下列说法正确的是（　　） A．平方根是本身的数是0和1 B．1的平方根是1 C．﹣1 的平方根是﹣1 D．0.1是0.01的一个平方根 【分析】根据平方根的定义及性质逐项判断即可． 【解答】解：平方根是本身的数是0，则A不符合题意； 1的平方根是±1，则B不符合题意； ﹣1没有平方根，则C不符合题意； 0.1是0.01的一个平方根，则D符合题意； 故选：D． 5．如果x2＝9，那么x的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．±3 D． 【分析】根据平方根的定义解决此题． 【解答】解：如果x2＝9，那么x＝±3． 故选：C． 6．下列数中能使（x﹣2）2＝0成立的x的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】利用开平方法求出方程的解即可判断求解． 【解答】解：由条件可知x﹣2＝0， 解得x＝2． 故选：B． 7．若2m﹣5与3m﹣15是同一个数的两个不相等的平方根，则这个数是（　　） A．3 B．﹣3 C．16 D．9 【分析】根据平方根的定义可得出关于m的方程，据此可求出m，进而可求出这个数． 【解答】解：因为2m﹣5与3m﹣15是同一个数的两个不相等的平方根， 所以2m﹣5+3m﹣15＝0， 解得m＝4， 所以2m﹣5＝3，3m﹣15＝﹣3， 所以这个数是9． 故选：D． 8．下列有关平方根的叙述，正确的个数是（　　） ①如果a存在平方根，那么a＞0； ②如果a有两个不相等的平方根，那么a＞0； ③如果a没有平方根，那么a＜0； ④如果a＞0，那么a的平方根也大于0． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】利用平方根定义判断即可． 【解答】解：①如果a存在平方根，那么a≥0，不符合题意； ②如果a有两个不相等的平方根，那么a＞0，符合题意； ③如果a没有平方根，那么a＜0，符合题意； ④如果a＞0，那么a的平方根不一定大于0，不符合题意． 故选：B． 9．已知3.142＝9.8596，若x2＝985.96，则x的值为（　　） A．3.14 B．31.4 C．±3.14 D．±31.4 【分析】先求出9.8596的平方根，再求出985.96的平方根即可． 【解答】解：∵3.142＝9.8596， ∴， ∴， ∵x2＝985.96， ∴x＝±31.4， 故选：D． 10．一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的上一个自然数的平方根是（　　） A．± B．a﹣1 C．a2﹣1 D．± 【分析】由一个自然数的一个平方根是a，可得出这个自然数是a2，进而得到与这个自然数相邻的上一个自然数是a2﹣1，再根据平方根的定义得出答案即可． 【解答】解：∵一个自然数的一个平方根是a， ∴这个自然数是a2， ∴与这个自然数相邻的上一个自然数是a2﹣1， ∴与这个自然数相邻的上一个自然数的平方根是±， 故选：D． 11．已知某数的一个平方根为，它的另一个平方根是　　． 【分析】根据一个正数有两个平方根，并且它们互为相反数解答即可． 【解答】解：已知某数的一个平方根为，它的另一个平方根是， 故答案为：． 12．已知一个正数的两个平方根分别是1﹣3a和a﹣5，则a的值是　﹣2　． 【分析】根据一个正数有两个平方根，且互为相反数列方程求解即可． 【解答】解：由条件可知1﹣3a+a﹣5＝0， 解得a＝﹣2， 故答案为：﹣2． 13．若a+2和2a﹣11都是同一个正数的平方根，则这个正数是 　25　． 【分析】根据正数的平方根互为相反数，两平方根相加等于0求出a值，再求出一个平方根，平方就可以得到这个正数． 【解答】解：由题可知， a+2+2a﹣11＝0， 解得a＝3， 这个正数为（3+2）2＝25． 故答案为：25． 14．若m﹣4没有平方根，则|m﹣5|＝ 　5﹣m　． 【分析】根据负数没有平方根得出m﹣4＜0，即可求出m的取值范围，再判断m﹣5的取值范围，最后根据绝对值的性质化简即可． 【解答】解：∵m﹣4没有平方根， ∴m﹣4＜0， ∴m＜4， ∴m﹣5＜0， ∴|m﹣5|＝5﹣m， 故答案为：5﹣m． 15．若﹣2xmy2与3x4y2m﹣n是同类项，则2m﹣n的平方根是 　　． 【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）直接得2m﹣n的值，从而得最后结果． 【解答】解：根据题意，得：2m﹣n＝2， ∴2m﹣n的平方根是±． 故答案为：． 16．一个正数x的两个不同的平方根分别是2a﹣1和﹣a+2． （1）求a和x的值； （2）求3x+2a的平方根． 【分析】（1）根据正数的平方根有两个，他们互为相反数可得出2a﹣1+（﹣a+2）＝0即可求出a的值，然后求出x的值即可； （2）将（1）中的x，a的值代入3x+2a中求出平方根即可． 【解答】解：（1）∵一个正数x的两个不同的平方根分别是2a﹣1和﹣a+2， ∴2a﹣1+（﹣a+2）＝0， 解得：a＝﹣1， ∴x＝（2a﹣1）2＝9； （2）将x＝9，a＝﹣1代入3x+2a中得， 3x+2a＝3×9﹣2＝25， ∵25的平方根为±5， ∴3x+2a的平方根为±5． 17．小华解方程（x+6）2﹣9＝0的过程如下： 解：移项，得（x+6）2＝9． 第一步 根据平方根的意义，得x+6＝3． 第二步 由此可得x＝﹣3． 第三步 小华的解答从第 　二　步开始出错，请写出正确的解答过程． 【分析】先把﹣9移到右边，再根据平方根的意义开方，最后求出方程的解即可． 【解答】解：小华的解答从第二步开始出错， 故答案为：二， 正确的解答过程为： 移项，得（x+6）2＝9， 根据平方根的意义，得， 即x+6＝±3， x+6＝3或x+6＝﹣3， 由此可得x＝﹣3或x＝﹣9． 18．已知一个正数的两个不相等的平方根是a+6与2a﹣9． （1）求a的值及这个正数； （2）求关于x的方程ax2﹣16＝0的解． 【分析】（1）根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数解答； （2）根据平方根的定义解答即可． 【解答】解：（1）由题意得，a+6+2a﹣9＝0， 解得a＝1， 所以（a+6）2＝72＝49， 所以这个正数是49； （2）当a＝1时，方程ax2﹣16＝0为 x2﹣16＝0， x2＝16， x＝±4， 所以关于x的方程ax2﹣16＝0的解是x＝4或x＝﹣4． 19．求下列各式中x的值： （1）9x2﹣25＝0； （2）4（2x﹣1）2＝36． 【分析】（1）根据等式的性质和平方根的定义进行计算即可． （2）根据等式的性质和平方根的定义进行计算即可． 【解答】解：（1）9x2﹣25＝0， 移项得，9x2＝25， 两边都除以9得，， 由平方根的定义得，； 即，或； （2）4（2x﹣1）2＝36， 两边都除以4得，（2x﹣1）2＝9， 由平方根的定义得，2x﹣1＝±3， 即x＝2或x＝﹣1． 20．已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+6与2a﹣9． （1）求a的值； （2）求这个正数m； （3）求关于x的方程mx2﹣a＝8的解． 【分析】（1）根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数解答即可； （2）将a代入m＝（a+6）2中，解得即可； （3）根据平方根的定义解方程即可． 【解答】解：（1）由题意得，a+6+2a﹣9＝0， 解得a＝1； （2）∵a＝1， ∴m＝（1+6）2＝49； （3）由（1）（2）得49x2﹣1＝8，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 平方根 课程标准 学习目标 ①平方根的概念 ②平方根的性质 1. 掌握平方根的定义并能够熟练的求一个数的平方根。 2. 掌握平方根的性质，并能够熟练的利用平方根的相关性质解决相应的题目。 知识点01 平方根的概念 1. 平方根的概念： 如果一个数的平方等于，则这个数就叫做的 ，也叫做的二次方根。表示为 。其中叫做根号，叫做被开方数。读作 ； 2. 求一个数的平方根： 求一个数的平方根的运算就做开平方，与平方预算互为逆运算。 即，则。可表示为，。 【即学即练1】 1．求下列各数的平方根： （1）121； （2）0.01； （3）； （4）（﹣13）2． 【即学即练2】 2．一元二次方程x2﹣25＝0的解是（　　） A．x1＝5，x2＝0 B．x＝﹣5 C．x＝5 D．x1＝5，x2＝﹣5 知识点02 平方根的性质 1. 平方根的性质： ①正数的平方根有 个，分别是 与 ，他们互为 。 ②规定0的平方根是 。所以0的平方根只有一个，就是它本身。 ③负数没有平方根。 【即学即练1】 3．下列各数中，没有平方根的是（　　） A．65 B．（﹣2）2 C．﹣22 D． 【即学即练2】 4．已知一个正数x的两个平方根分别是2a﹣3和5﹣a，求a和x的值． 题型01 求一个数的平方根 【典例1】16的平方根是（　　） A．﹣4 B．±4 C．4 D．±2 【变式1】36的平方根是（　　） A．6 B．18 C．±18 D．±6 【变式2】（﹣0.7）2的平方根是（　　） A．﹣0.7 B．±0.7 C．0.7 D．0.49 【变式3】一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（　　） A．± B．a+1 C．a2+1 D．± 题型02 利用平方根的关系求字母的值 【典例1】已知一个正数的两个平方根分别为a+3和2a﹣12．求a的值，并求这个正数． 【变式1】已知2m+3和4m+9是一个正数的两个平方根，求m的值和这个正数的平方根． 【变式2】已知：2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，求m+2n的值． 【变式3】已知2x﹣y的平方根为±3，﹣4是3x+y的一个平方根，求x﹣y的平方根． 【变式4】已知2a﹣1的平方根是±3，2a+b﹣1的平方根是±4，求a+2b的平方根． 题型03 利用平方根解方程 【典例1】如果x2＝3，那么x＝（　　） A． B． C． D． 【变式1】求下列各式中x的值． （1）x2﹣25＝0； （2）（x﹣1）2＝64． 【变式2】求下列各式中x的值： （1）4x2﹣9＝0； （2）（2x﹣1）2＝4． 1．下列说法正确的是（　　） A．9的平方根是3 B．﹣9的平方根是﹣3 C．（﹣2）2没有平方根 D．2是4的一个平方根 2．“的平方根是”用数学式子表示为（　　） A．＝± B．＝ C．±＝± D．﹣＝﹣ 3．（﹣25）2的平方根是（　　） A．±5 B．25 C．±25 D．5 4．下列说法正确的是（　　） A．平方根是本身的数是0和1 B．1的平方根是1 C．﹣1 的平方根是﹣1 D．0.1是0.01的一个平方根 5．如果x2＝9，那么x的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．±3 D． 6．下列数中能使（x﹣2）2＝0成立的x的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7．若2m﹣5与3m﹣15是同一个数的两个不相等的平方根，则这个数是（　　） A．3 B．﹣3 C．16 D．9 8．下列有关平方根的叙述，正确的个数是（　　） ①如果a存在平方根，那么a＞0； ②如果a有两个不相等的平方根，那么a＞0； ③如果a没有平方根，那么a＜0； ④如果a＞0，那么a的平方根也大于0． A．1 B．2 C．3 D．4 9．已知3.142＝9.8596，若x2＝985.96，则x的值为（　　） A．3.14 B．31.4 C．±3.14 D．±31.4 10．一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的上一个自然数的平方根是（　　） A．± B．a﹣1 C．a2﹣1 D．± 11．已知某数的一个平方根为，它的另一个平方根是　 　． 12．已知一个正数的两个平方根分别是1﹣3a和a﹣5，则a的值是　 　． 13．若a+2和2a﹣11都是同一个正数的平方根，则这个正数是 　25　． 14．若m﹣4没有平方根，则|m﹣5|＝ 　 　． 15．若﹣2xmy2与3x4y2m﹣n是同类项，则2m﹣n的平方根是 　 　． 16．一个正数x的两个不同的平方根分别是2a﹣1和﹣a+2． （1）求a和x的值； （2）求3x+2a的平方根． 17．小华解方程（x+6）2﹣9＝0的过程如下： 解：移项，得（x+6）2＝9． 第一步 根据平方根的意义，得x+6＝3． 第二步 由此可得x＝﹣3． 第三步 小华的解答从第 　 　步开始出错，请写出正确的解答过程． 18．已知一个正数的两个不相等的平方根是a+6与2a﹣9． （1）求a的值及这个正数； （2）求关于x的方程ax2﹣16＝0的解． 19．求下列各式中x的值： （1）9x2﹣25＝0； （2）4（2x﹣1）2＝36． 20．已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+6与2a﹣9． （1）求a的值； （2）求这个正数m； （3）求关于x的方程mx2﹣a＝8的解． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$