第02讲 勾股定理的应用（1个知识点+5类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（人教版）

第02讲 勾股定理的应用 课程标准 学习目标 ①勾股定理的应用 1. 掌握勾股定理的应用以及应用的各种类型，能够熟练的把勾股定理应用在各种类型中解决问题。 知识点01 勾股定理的应用 1. 勾股定理的应用： （1） 后股定理在几何中的应用： 在直角三角形中计算或证明，即已知两边的长求第三边，或者证明含有平方关系的几何题。 【即学即练1】 1．在Rt△ABC中，已知其两边长分别为a，b，且满足（a﹣3）2+|b﹣4|＝0，则该直角三角形的斜边长为（　　） A．5 B． C．5或 D．5或4 （2） 勾股定理在实际问题中的应用： 在建筑测量，工程设计等实际问题中，如遇到求高度、长度、距离、面积等，可以构造直角三角形运用勾股定理求解。 【即学即练1】 2．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.1米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离AD等于（　　） A．1.2米 B．1.3米 C．1.5米 D．2米 （3） 直角三角形的三边所作相同图形的面积关系： 以直角三角形的三边做相同的图形（等边三角形、等腰直角三角形、正方形、半圆），则两直角边所作图形的面积之和 斜边所作图形的面积。 【即学即练1】 3．如图，以直角三角形三边为直径的半圆，则他们面积关系正确的是（　　） A．S1+S2＞Sy B．S1+S2＞S3 C．S1+S2＝S3 D．S1+S2＝2S3 【即学即练2】 4．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是4、6、2、4，则最大正方形E的面积是（　　） A．64 B．136 C．72 D．16 （4） 利用勾股定理在数轴上表示无理数： 将表示成两个有理数的 的和，以这两个有理数为直角三角形的直角边，借助数轴上构造直角三角形，画出斜边。斜边的长度即为。 【即学即练1】 5．如图，数轴上A点表示的数为﹣1，B点表示的数是2，过点B作BC⊥AB千点B，且BC＝2（单位长度），以点A为圆心，AC的长为半径作弧，弧与数轴的一个交点D表示的数为（　　） A． B． C． D． （5） 特殊直角三角形三边的比值关系： 利用勾股定理以及特殊直角三角形的性质可得特殊直角三角形三边的比值关系。含30°角的直角三角形三边的比值关系为（从小到大） ；含45°的直角三角形（等腰直角三角形）三边的比值关系为（从小到大） 。 【即学即练1】 6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，CD是AB边上的高，则AD的长为（　　） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 （6） 利用勾股定理求平面直角坐标系中两点之间的距离： 在平面直角坐标系中，若和，由勾股定理可得 【即学即练1】 7．已知直角坐标平面内点A（1，2）和点B（﹣2，4），则线段AB＝ 　 　． 题型01 勾股定理验证面积关系或求面积 【典例1】如图，在直角三角形的三边上分别有一个正方形，其中两个正方形的面积分别是81和225，则字母B所代表的正方形的边长是（　　） A．12 B．13 C．144 D．306 【变式1】如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d．若a＝2，b+c＝12，则d为（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 【变式2】将三张半圆形纸片按如图的方式摆置，半圆的直径恰好构成一个直角三角形，若知道图中两个月牙形的面积和，则一定能求出（　　） A．直角三角形的面积 B．最大半圆形的面积 C．较小两个半圆形的面积和 D．最大半圆形与直角三角形的面积和 【变式3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AB＝17，则正方形AEDC和正方形BCGF的面积之和为（　　） A．225 B．289 C．324 D．170 【变式4】如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为S1，S2，S3．若S3+S2﹣S1＝18．则图中阴影部分的面积为（　　） A．6 B． C．5 D． 题型02 利用勾股定理在数轴上表示无理数 【典例1】如图，数轴上点A表示的数是1，点B表示的数是﹣2，BC＝1，∠ABC＝90°，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，与数轴交于原点左侧的点D，则点D表示的数是（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图的数轴上，点A，C对应的实数分别为1，3，线段AB⊥AC于点A，且AB长为1个单位长度，若以点C为圆心，BC长为半径的弧交数轴于0和1之间的点P，则点P表示的实数为（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，长方形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（　　） A． B． C． D．2.5 【变式3】如图，数轴上的点A表示的数是1，点C表示的数是3，BC⊥AC，垂足为C，且BC＝1，以A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴于点D，点D表示的数为（　　） A． B． C． D． 题型03 勾股定理与特殊直角三角形 【典例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，则AC＝（　　） A． B． C． D．4 【变式1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，，则AB的长度是（　　） A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm 【变式2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为E，AD＝2，则BC的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3】在△ABC中，已知∠A＝30°，AC＝8，BC＝5，某同学用直尺和圆规先确定了三角形顶点A、C，在用BC长确定顶点B时，作出了如图所示的两个B点，那么这两个B点之间的长度为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 题型04 利用勾股定理求两点之间的距离 【典例1】在平面直角坐标系中，点P（2，3）到原点的距离是（　　） A．1 B．5 C． D． 【变式1】在平面直角坐标系中，有两点坐标分别为（2，0）和（0，3），则这两点之间的距离是（　　） A． B． C．13 D．5 【变式2】在平面直角坐标系中，已知A（2，3），B（﹣2，﹣14），C（4，6），D（﹣1，﹣7）四点，则下列结论正确的是（　　） A．AC＝2BD B．CD＝2AB C．AD＝2BC D．BC＝2AD 【变式3】在平面直角坐标系中，点A和点B的坐标分别是、（0，3），以点A为圆心，以AB长为半径画弧交x轴于点C，则点C的坐标为（　　） A． B． C． D．或 题型05 勾股定理的实际应用 【典例1】如图，一棵直立的大树在一次强台风中被折断，折断处离地面2米，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（　　） A．米 B．米 C．4米 D．6米 【变式1】如图（1），在某居民小区内有一块近似长方形的草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，仅仅少走了几步路，却踩伤了花草，如图（2），经过测量AC＝3m，AB＝4m，计算仅仅少走了 　 　步．（假设1米为2步） 【变式2】如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时12n mile的速度沿北偏东60°方向航行，“海天”号以每小时16n mile的速度沿北偏西30°方向航行.2小时后，“远航”号、“海天”号分别位于M，N处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为 　 　n mile． 【变式3】如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1m，将它往前推4m至C处时（即水平距离CD＝4m）．踏板离地的垂直高度CF＝3m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是 　 　． 1．已知平面直角坐标系中点A的坐标为（﹣6，﹣8），则下列结论正确的是（　　） A．点A到原点的距离为10 B．点A到x轴的距离为6 C．点A到y轴的距离为8 D．点A在第四象限 2．如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，OB＝3，OA＝1，OA在数轴上，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交数轴于点P，则点P表示的数是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，分别以BC，AC，AB为直径向外构造半圆，则图中三个半圆的面积S①，S②，S③之间的关系为（　　） A．S①+S②＝S③ B．S①+S③＝S② C． D． 4．如图，分别以Rt△ABC的三边为斜边向外作等腰直角三角形，若斜边AB＝6，则图中阴影部分的面积为（　　） A．6 B．9 C．12 D．18 5．如图，数轴上的点A，C表示的实数分别是﹣2，1，BC⊥AC于点C，且BC的长度为1个单位长度，连接AB．若以点A为圆心，AB长为半径画弧交数轴于点P，则点P所表示的实数为（　　） A． B． C． D． 6．某小组开展了关于笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为∠BAF时，顶部边缘B处离桌面的高度BC为10.5cm，此时底部边缘A处与C处间的距离AC为36cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为∠DAF时（点D是点B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离DE为22.5cm，则底部边缘A处与E之间的距离AE为（　　） A．20cm B．18cm C．12cm D．30cm 7．如图，是一个盖子圆心处插有吸管的圆柱形水杯，水杯底面直径为10cm，高度为12cm，吸管长为25cm（底端在杯子底上），露在水杯外面的吸管长度为a cm，则a最小为（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 8．如图，一架25m的云梯AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为24m．如果梯子AB的底端向墙一侧移动了2m，那么梯子的顶端向上滑动的距离是（　　） A． B．1m C．2m D． 9．在平面直角坐标系中，点A的坐标是（2，2），若点P在坐标轴上，且△APO是等腰三角形，则点P的坐标不可能是（　　） A．（4，0） B． C． D．（0，2） 10．如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S3+S2﹣S1＝24，则图中阴影部分的面积为（　　） A．6 B．12 C．10 D．8 11．如图，已知AB＝AC，B到数轴的距离为1，则数轴上C点所表示的数为 　 　． 12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，且DA＝DB．若CD＝4，则BC＝　 　． 13．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，正方形A、B，C，D的面积之和是100cm2，则最大的正方形的边长为 　 　cm． 14．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高7米，两树相距12米，一只小鸟从一棵树的树梢A飞到另一棵树的树梢B，则小鸟至少要飞行 　 　米． 15．如图，铁路MN和公路PQ在点O处相交，点A到MN的直线距离为120m．如果火车行驶时，周围200m以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿ON方向以72km/h的速度行驶时，点A处受噪音影响的时间为　 　s． 16．如图，两条公路l1、l2交于点O，在公路l2旁有一学校A，与O点的距离为170m，点A（学校）到公路l1的距离AM为80m，一大货车从O点出发，行驶在公路l1上，汽车周围100m范围内有噪音影响． （1）货车开过学校是否受噪音影响？为什么？ （2）若汽车速度为80km/h，则学校受噪音影响多少秒钟？ 17．如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，绳子始终绷紧且绳长保持不变． （1）若CF＝7米，AF＝24米，AB＝18米，求男子需向右移动的距离；（结果保留根号） （2）此人以0.5米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置？ 18．已知，DA，DB，DC是从点D出发的三条线段，且DA＝DB＝DC． （1）如图①，若点D在线段AB上，连接AC，BC，试判断△ABC的形状，并说明理由． （2）如图②，连接AC，BC，AB，且AB与CD相交于点E，若AC＝BC，AB＝16，DC＝10，求CE的长． 19．阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点M（x1，y1），N（x2，y2），则由勾股定理可得，这两点间的距离MN＝． 例如，如图1，M（3，1），N（1，﹣2），则MN＝＝． 【直接应用】 （1）已知P（2，﹣3），Q（﹣1，3），求P、Q两点间的距离； （2）如图2，在平面直角坐标系中，A（﹣1，﹣3），OB＝，OB与x轴正半轴的夹角是45°． ①求点B的坐标； ②试判断△ABO的形状． 20．阅读小敏的数学日记，思考并解决问题． 2024年9月6日星期五天气：晴 从勾股定理到面积关系的思考 经过《探索勾股定理》一节的学习，我已经知道：如图1，分别以直角三角形ABC的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，则根据勾股定理，易得出S1，S2，S3之间的数量关系：　 ．如果将正方形改成其他图形，那么这个面积关系是否仍然成立呢？ 对此，我展开了探究： 如图2，分别以直角三角形ABC的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，我发现，S1，S2，S3之间有如下数量关系：　 　． 理由如下：… 任务一：如图1，分别以直角三角形ABC的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，请写出S1，S2，S3之间的数量关系：　 　； 任务二：如图2，分别以直角三角形ABC的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，请问：任务一中S1，S2，S3之间的数量关系是否仍然成立？并说明理由； 任务三：如图3，四边形ABCD的对角线互相垂直，现以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3，S4．已知S1＝1，S2＝2，S3＝5，则S4＝ 　 　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 勾股定理的应用 课程标准 学习目标 ①勾股定理的应用 1. 掌握勾股定理的应用以及应用的各种类型，能够熟练的把勾股定理应用在各种类型中解决问题。 知识点01 勾股定理的应用 1. 勾股定理的应用： （1） 后股定理在几何中的应用： 在直角三角形中计算或证明，即已知两边的长求第三边，或者证明含有平方关系的几何题。 【即学即练1】 1．在Rt△ABC中，已知其两边长分别为a，b，且满足（a﹣3）2+|b﹣4|＝0，则该直角三角形的斜边长为（　　） A．5 B． C．5或 D．5或4 【分析】根据题意求出a＝3，b＝4，分类讨论b是斜边，a，b是直角边两种情况即可求解． 【解答】解：由（a﹣3）2+|b﹣4|＝0得，a＝3，b＝4； ①若a，b是直角边，则斜边长为＝5， ②∵b＞a， ∴若b是斜边，则斜边长为4． 综上，该直角三角形的斜边长为5或4． 故选：D． （2） 勾股定理在实际问题中的应用： 在建筑测量，工程设计等实际问题中，如遇到求高度、长度、距离、面积等，可以构造直角三角形运用勾股定理求解。 【即学即练1】 2．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.1米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离AD等于（　　） A．1.2米 B．1.3米 C．1.5米 D．2米 【分析】过点D作DE⊥AB于点E，构造Rt△ADE，利用勾股定理求得AD的长度即可． 【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E， ∵AB＝2.1米，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米， ∴AE＝AB﹣BE＝2.1﹣1.6＝0.5（米）． 在Rt△ADE中，由勾股定理得到：（米）， 故选：B． （3） 直角三角形的三边所作相同图形的面积关系： 以直角三角形的三边做相同的图形（等边三角形、等腰直角三角形、正方形、半圆），则两直角边所作图形的面积之和 等于 斜边所作图形的面积。 【即学即练1】 3．如图，以直角三角形三边为直径的半圆，则他们面积关系正确的是（　　） A．S1+S2＞Sy B．S1+S2＞S3 C．S1+S2＝S3 D．S1+S2＝2S3 【分析】根据勾股定理进行计算即可． 【解答】解：设直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c， 以直角三角形三边为直径的半圆，则他们面积关系： 则， ， ∴． 故选：C． 【即学即练2】 4．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是4、6、2、4，则最大正方形E的面积是（　　） A．64 B．136 C．72 D．16 【分析】根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积． 【解答】解：根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2， S1＝42+62，S2＝22+42， 于是S3＝S1+S2， 即可得S3＝16+36+4+16＝72． 故选：C． （4） 利用勾股定理在数轴上表示无理数： 将表示成两个有理数的 平方 的和，以这两个有理数为直角三角形的直角边，借助数轴上构造直角三角形，画出斜边。斜边的长度即为。 【即学即练1】 5．如图，数轴上A点表示的数为﹣1，B点表示的数是2，过点B作BC⊥AB千点B，且BC＝2（单位长度），以点A为圆心，AC的长为半径作弧，弧与数轴的一个交点D表示的数为（　　） A． B． C． D． 【分析】首先在直角三角形中运用勾股定理求出CA的长度，然后根据AC＝AD可得AD的长度，即可求出数轴上点D表示的数 【解答】解：在直角三角形中运用勾股定理求出CA的长度， ∴， ∴点D到原点的距离为， ∴点D表示的数是． 故选：C． （5） 特殊直角三角形三边的比值关系： 利用勾股定理以及特殊直角三角形的性质可得特殊直角三角形三边的比值关系。含30°角的直角三角形三边的比值关系为（从小到大） 1：：2 ；含45°的直角三角形（等腰直角三角形）三边的比值关系为（从小到大） 1：1： 。 【即学即练1】 6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，CD是AB边上的高，则AD的长为（　　） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【分析】求出∠BCD＝30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BD＝BC，再根据AD＝AB﹣BD代入数据计算即可得解． 【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，BC＝2，∠A＝30°， ∴AB＝2BC＝4， ∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝∠CDB＝90°， ∴∠ACD＝90°﹣∠A＝60°， ∴∠BCD＝90°﹣∠ACD＝30°， ∵∠CDB＝90°，BC＝2，∠BCD＝30°， ∴， ∴AD＝AB﹣BD＝3， 故选：B． （6） 利用勾股定理求平面直角坐标系中两点之间的距离： 在平面直角坐标系中，若和，由勾股定理可得 【即学即练1】 7．已知直角坐标平面内点A（1，2）和点B（﹣2，4），则线段AB＝ 　　． 【分析】根据勾股定理和两点间的距离公式列式计算即可． 【解答】解：∵点A（1，2）和点B（﹣2，4）， ∴AB＝＝， 故答案为：． 题型01 勾股定理验证面积关系或求面积 【典例1】如图，在直角三角形的三边上分别有一个正方形，其中两个正方形的面积分别是81和225，则字母B所代表的正方形的边长是（　　） A．12 B．13 C．144 D．306 【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式，得字母B所代表的正方形的面积等于其它两个正方形的面积差． 【解答】解：由勾股定理得：字母B所代表的正方形的面积＝225﹣81＝144． 所以字母B所代表的正方形的边长是＝12． 故选：A． 【变式1】如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d．若a＝2，b+c＝12，则d为（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 【分析】利用勾股定理的几何意义解答． 【解答】解：由题意可知：a＝AB2，b＝BC2，c＝CD2，d＝AD2． 如图，连接BD， 在直角△ABD和△BCD中，BD2＝AD2+AB2＝CD2+BC2， 即a+d＝b+c， ∵a＝2，b+c＝12， d＝12﹣2＝10． 故选：B． 【变式2】将三张半圆形纸片按如图的方式摆置，半圆的直径恰好构成一个直角三角形，若知道图中两个月牙形的面积和，则一定能求出（　　） A．直角三角形的面积 B．最大半圆形的面积 C．较小两个半圆形的面积和 D．最大半圆形与直角三角形的面积和 【分析】两个月牙形的面积和＝以AC、BC为直径的半圆的面积的和+直角三角形三角形的面积﹣以AB为直径的半圆的面积，由此即可解决问题． 【解答】解：以AC为直径的半圆的面积＝π×＝AC2， 同理：以BC、AB为直径的半圆的面积分别是BC2，AB2， ∴两个月牙形的面积和＝以AC、BC为直径的半圆的面积的和+直角三角形三角形的面积﹣以AB为直径的半圆的面积， ∴两个月牙形的面积和＝AC2+BC2﹣AB2+直角三角形的面积＝（AC2+BC2﹣AB2）+直角三角形的面积， 由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2， ∴两个月牙形的面积和＝直角三角形的面积． 故选：A． 【变式3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AB＝17，则正方形AEDC和正方形BCGF的面积之和为（　　） A．225 B．289 C．324 D．170 【分析】由勾股定理得AB2＝AC2+BC2＝172＝289，再由正方形的面积公式即可得出结论． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， 由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2＝172＝289， ∴正方形AEDC和正方形BCGF的面积之和＝AC2+BC2＝289， 故选：B． 【变式4】如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为S1，S2，S3．若S3+S2﹣S1＝18．则图中阴影部分的面积为（　　） A．6 B． C．5 D． 【分析】由勾股定理得S1+S2＝S3，再由S3+S2﹣S1＝18求出S2＝9，即可解决问题． 【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+AB2＝BC2， 即S1+S2＝S3， ∵S3+S2﹣S1＝18， ∴S2＝9， 由图形可知，阴影部分的面积＝S2， ∴阴影部分的面积＝， 故选：B． 题型02 利用勾股定理在数轴上表示无理数 【典例1】如图，数轴上点A表示的数是1，点B表示的数是﹣2，BC＝1，∠ABC＝90°，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，与数轴交于原点左侧的点D，则点D表示的数是（　　） A． B． C． D． 【分析】首先根据勾股定理求出AC长，再根据圆的半径相等可知AD＝AC，即可得出答案． 【解答】解：∵BC⊥AB， ∴∠ABC＝90°， ∴AC＝＝， ∵以A为圆心，AC为半径作弧交数轴于点D， ∴AD＝AC＝， ∴点D表示的数是1﹣； 故选：A． 【变式1】如图的数轴上，点A，C对应的实数分别为1，3，线段AB⊥AC于点A，且AB长为1个单位长度，若以点C为圆心，BC长为半径的弧交数轴于0和1之间的点P，则点P表示的实数为（　　） A． B． C． D． 【分析】利用勾股定理即可求得CB的长度，然后根据实数与数轴的关系即可求得答案． 【解答】解：由题意可得∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝3﹣1＝2， 则CB＝＝， 那么点P表示的实数为3﹣， 故选：A． 【变式2】如图，长方形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（　　） A． B． C． D．2.5 【分析】由勾股定理求出OB的长，即可解决问题． 【解答】解：∵四边形OABC是矩形， ∴∠OAB＝90°， ∴OB＝＝＝， ∴这个点表示的示数是， 故选：C． 【变式3】如图，数轴上的点A表示的数是1，点C表示的数是3，BC⊥AC，垂足为C，且BC＝1，以A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴于点D，点D表示的数为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据勾股定理求出，再由作图得，即可解决问题． 【解答】解：∵BC⊥AC， ∴∠ACB＝90°， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：， 由题意可知，， ∴点D表示的数为， 故选：A． 题型03 勾股定理与特殊直角三角形 【典例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，则AC＝（　　） A． B． C． D．4 【分析】根据题意，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，得到AB＝4，根据勾股定理求出AC即可． 【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2， ∴AB＝4， ∴， 故选：B． 【变式1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，，则AB的长度是（　　） A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm 【分析】根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半解答． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝30°，BC＝3cm， ∴， ∴AB＝＝6（cm）， 故选：B． 【变式2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为E，AD＝2，则BC的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】证明∠BAD＝∠B，从而得AD＝BD＝2，在Rt△ACD中，由∠CAD＝30°，求出CD的长度即可求出BC的长度． 【解答】解：在△ABC中， ∵∠C＝90°，∠B＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠B＝60°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD＝∠BAD＝30°， ∵∠BAD＝∠B， ∴AD＝BD＝2， 在Rt△ACD中， ∵∠CAD＝30°， ∴CD＝AD＝1， ∴BC＝CD+BD＝3． 故选：B． 【变式3】在△ABC中，已知∠A＝30°，AC＝8，BC＝5，某同学用直尺和圆规先确定了三角形顶点A、C，在用BC长确定顶点B时，作出了如图所示的两个B点，那么这两个B点之间的长度为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【分析】过C作CD⊥AB，垂足为D，利用股股定理求出CD的长，再利用勾股得到求出BD，即可得到结论． 【解答】解：过C作CD⊥AB，垂足为D， 在Rt△ACD中， ∵∠A＝30°，AC＝8， ∴CD＝＝4， 在Rt△BCD中， BD＝＝＝3， 这两个B点之间的长度为3×2＝6， 故选：A． 题型04 利用勾股定理求两点之间的距离 【典例1】在平面直角坐标系中，点P（2，3）到原点的距离是（　　） A．1 B．5 C． D． 【分析】根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：在平面直角坐标系中，点P（2，3）到原点的距离是： ． 故选：D． 【变式1】在平面直角坐标系中，有两点坐标分别为（2，0）和（0，3），则这两点之间的距离是（　　） A． B． C．13 D．5 【分析】先根据A、B两点的坐标求出OA及OB的长，再根据勾股定理即可得出结论． 【解答】解：∵A（2，0）和B（0，3）， ∴OA＝2，OB＝3， ∴AB＝． 故选：A． 【变式2】在平面直角坐标系中，已知A（2，3），B（﹣2，﹣14），C（4，6），D（﹣1，﹣7）四点，则下列结论正确的是（　　） A．AC＝2BD B．CD＝2AB C．AD＝2BC D．BC＝2AD 【分析】根据勾股定理和两点间的距离公式分别对各个选项进行判断即可． 【解答】解：A、∵，， ∴AC≠2BD，故A选项不符合题意； B、∵，， ∴CD≠2AB，故B选项不符合题意； C、 ∵， ， ∴AD≠2BC，故C选项不符合题意； D、∵， ∴BC＝2AD，故D选项符合题意； 故选：D． 【变式3】在平面直角坐标系中，点A和点B的坐标分别是、（0，3），以点A为圆心，以AB长为半径画弧交x轴于点C，则点C的坐标为（　　） A． B． C． D．或 【分析】根据两点间的距离公式，求出AB的长，进而得到AC的长，设C（x，0），再根据两点间的距离公式进行求解即可． 【解答】解：∵点A和点B的坐标分别是、（0，3）， ∴， ∵以点A为圆心，以AB长为半径画弧交x轴于点C， ∴， 设C（x，0），则：， ∴或； ∴或， 故选：D． 题型05 勾股定理的实际应用 【典例1】如图，一棵直立的大树在一次强台风中被折断，折断处离地面2米，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（　　） A．米 B．米 C．4米 D．6米 【分析】根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出折断部分的长度，再加上离地面的距离就是折断前树的高度． 【解答】解：如图，根据题意BC＝2米，∠BCA＝90°， ∵∠BAC＝30°， ∴AB＝2BC＝2×2＝4米， ∴2+4＝6米． 故选：D． 【变式1】如图（1），在某居民小区内有一块近似长方形的草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，仅仅少走了几步路，却踩伤了花草，如图（2），经过测量AC＝3m，AB＝4m，计算仅仅少走了 　4　步．（假设1米为2步） 【分析】根据勾股定理求出路长，即三角形的斜边长，再求两直角边的和与斜边的差即可求解． 【解答】解：根据题意知：∠BAC＝90°，AC＝3m，AB＝4m， ∴， ∴3+4﹣5＝2（m）， ∵1米为2步， ∴2米为4步， ∴仅仅少走了4步． 故答案为：4． 【变式2】如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时12n mile的速度沿北偏东60°方向航行，“海天”号以每小时16n mile的速度沿北偏西30°方向航行.2小时后，“远航”号、“海天”号分别位于M，N处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为 　40　n mile． 【分析】根据题意可得：MP＝24海里，NP＝32海里，∠APM＝60°，∠APN＝30°，从而可得∠NPM＝90°，然后在Rt△NPM中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【解答】解：如图： 由题意得：MP＝12×2＝24（海里），NP＝16×2＝32（海里），∠APM＝60°，∠APN＝30°， ∴∠NPM＝∠APN+∠APM＝90°， 在Rt△NPM中，MN＝＝＝40（海里）， ∴此时“远航”号与“海天”号的距离为40n mile， 故答案为：40． 【变式3】如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1m，将它往前推4m至C处时（即水平距离CD＝4m）．踏板离地的垂直高度CF＝3m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是 　5m　． 【分析】设AC的长为x m，则AB＝AC＝x m，故AD＝AB﹣BD＝（x﹣2）m．在直角△ADC中利用勾股定理即可求解． 【解答】解：由题意可知，CF＝3 m，BE＝1m， ∴BD＝2m． 设AC的长为x m，则AB＝AC＝x m， ∴AD＝AB﹣BD＝（x﹣2）m． 在Rt△ACD中， 由勾股定理，得AD2+CD2＝AC2， 即（x﹣2）2+42＝x2， ∴x＝5， 故答案为：5． 1．已知平面直角坐标系中点A的坐标为（﹣6，﹣8），则下列结论正确的是（　　） A．点A到原点的距离为10 B．点A到x轴的距离为6 C．点A到y轴的距离为8 D．点A在第四象限 【分析】根据勾股定理结合点的坐标特征逐一判断即可． 【解答】解：∵平面直角坐标系中点A的坐标为（﹣6，﹣8）， ∴点A到原点的距离为＝10；点A到x轴距离为|﹣8|＝8；点A到y轴的距离为|﹣6|＝6；点A在第三象限， 故正确的是选项A， 故选：A． 2．如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，OB＝3，OA＝1，OA在数轴上，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交数轴于点P，则点P表示的数是（　　） A． B． C． D． 【分析】由勾股定理得出AB的长度，继而可得答案． 【解答】解：在Rt△AOB中，∵OA＝1、OB＝3， ∴AB＝＝＝， 则点P表示的数为1﹣， 故选：A． 3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，分别以BC，AC，AB为直径向外构造半圆，则图中三个半圆的面积S①，S②，S③之间的关系为（　　） A．S①+S②＝S③ B．S①+S③＝S② C． D． 【分析】利用勾股定理解Rt△ABC可得AB2+BC2＝AC2，进而推出，即S①+S③＝S②． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°， ∴AB2+BC2＝AC2， ∵分别以BC，AC，AB为直径向外构造半圆，三个半圆的面积S①，S②，S③， ∴， ∴S①+S③＝S②， 故选：B． 4．如图，分别以Rt△ABC的三边为斜边向外作等腰直角三角形，若斜边AB＝6，则图中阴影部分的面积为（　　） A．6 B．9 C．12 D．18 【分析】根据勾股定理可得AH2+HC2＝AC2，从而可得，，同理，，再根据AC2+BC2＝AB2，代入求值即可． 【解答】解：标记字母如图： ∵△ACH为直角三角形， ∴由勾股定理得：AH2+HC2＝AC2， 又∵AH＝HC， ∴AH2＝， ∴S△ACH＝AH×HC＝＝， 同理，S△BCF＝，S△ABE＝， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2， ∵AB＝6， ∴阴影部分的面积为S△ACH+S△BCF+S△ABE ＝++ ＝+BC2+AB2） ＝×2AB2 ＝AB2 ＝×62 ＝18． 故选：D． 5．如图，数轴上的点A，C表示的实数分别是﹣2，1，BC⊥AC于点C，且BC的长度为1个单位长度，连接AB．若以点A为圆心，AB长为半径画弧交数轴于点P，则点P所表示的实数为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据实数与数轴的关系解答即可． 【解答】解：数轴上的点A，C表示的实数分别是﹣2，1，且BC的长度为1个单位长度， 在直角三角形ABC中，由勾股定理得：． ∴点P表示的数为． 故选：B． 6．某小组开展了关于笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为∠BAF时，顶部边缘B处离桌面的高度BC为10.5cm，此时底部边缘A处与C处间的距离AC为36cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为∠DAF时（点D是点B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离DE为22.5cm，则底部边缘A处与E之间的距离AE为（　　） A．20cm B．18cm C．12cm D．30cm 【分析】根据题意得∠ACB＝∠AED＝90°，AB＝AD，由勾股定理求出AB的长，再由勾股定理即可求出AE的长． 【解答】解：由题意得：∠ACB＝∠AED＝90°，AB＝AD， 在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB＝＝＝37.5（cm）， ∴AD＝AB＝37.5cm， 在Rt△AED中，由勾股定理得：AE＝＝＝30（cm）， 故选：D． 7．如图，是一个盖子圆心处插有吸管的圆柱形水杯，水杯底面直径为10cm，高度为12cm，吸管长为25cm（底端在杯子底上），露在水杯外面的吸管长度为a cm，则a最小为（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【分析】根据题意作出图形，根据勾股定理求出AB的长即可推出结果． 【解答】解：由题意可知，当 吸管如图所示放置时，露在水杯外面的吸管长度最短， ∵水杯底面直径为10cm，高度为12cm， ∴AC＝5cm，BC＝12cm， ∴AB＝cm， ∴露在水杯外面的吸管长度＝25﹣13＝12（cm）， 即a最小为12， 故选：B． 8．如图，一架25m的云梯AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为24m．如果梯子AB的底端向墙一侧移动了2m，那么梯子的顶端向上滑动的距离是（　　） A． B．1m C．2m D． 【分析】利用勾股定理求出OB的长，再求出OC的长，进而即可得解． 【解答】解：∵AB＝25m，AO＝24m， ∴，OB＝＝7（m）， ∵OB＝7m，BD＝2m， ∴OD＝7﹣2＝5（m）， ∵CD＝25m， ∴， OC＝＝＝10（m）， ∴， 故选：A． 9．在平面直角坐标系中，点A的坐标是（2，2），若点P在坐标轴上，且△APO是等腰三角形，则点P的坐标不可能是（　　） A．（4，0） B． C． D．（0，2） 【分析】将四个选项中的点的坐标分别代入逐一判断即可得出结论． 【解答】解：当P（4，0）时， OA＝，PA＝， ∴PA＝OA， ∴△APO是等腰三角形，故选项A不符合题意； 当P（0，2）时， OP＝2＝AP， ∴△APO是等腰三角形，故选项D不符合题意； 当P（﹣，0）时， OA＝＝OP， ∴△APO是等腰三角形，故选项C不符合题意； 当P（0，）时无法得出△APO是等腰三角形，故选项B符合题意， 故选：B． 10．如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S3+S2﹣S1＝24，则图中阴影部分的面积为（　　） A．6 B．12 C．10 D．8 【分析】由勾股定理得AC2+AB2＝BC2，即S1+S2＝S3，再由S3+S2﹣S1＝24求出S2＝12，即可解决问题． 【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+AB2＝BC2， 即S1+S2＝S3， ∵S3+S2﹣S1＝24， ∴S2＝12， 由图形可知，阴影部分的面积＝S2＝6， 故选：A． 11．如图，已知AB＝AC，B到数轴的距离为1，则数轴上C点所表示的数为 　1﹣　． 【分析】先利用勾股定理求出AB的长从而得到AC的长，再根据数轴上两点距离公式求解即可． 【解答】解：利用勾股定理算得， ∴， ∴数轴上C点所表示的数为：． 故答案为：． 12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，且DA＝DB．若CD＝4，则BC＝　12　． 【分析】根据AD平分∠BAC，得出∠DAB＝∠DAC，根据DA＝DB，得出∠DAB＝∠B，从而得出∠DAC＝∠DAB＝∠B，根据∠C＝90°，得出∠DAC＝∠DAB＝∠B＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质，得出AD＝DC＝8，即可得出答案． 【解答】解：∵AD平分∠BAC， ∴∠DAB＝∠DAC， ∵DA＝DB， ∴∠DAB＝∠B， ∴∠DAC＝∠DAB＝∠B， ∵∠C＝90°， ∴∠DAC+∠DAB+∠B＝90°， ∴∠DAC＝∠DAB＝∠B＝30°， ∵DC＝4， ∴AD＝DC＝8， ∴DB＝DA＝8， ∴BC＝DB+DC＝12． 故答案为：12． 13．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，正方形A、B，C，D的面积之和是100cm2，则最大的正方形的边长为 　10　cm． 【分析】设正方形A、B、C、D、E、F、G的边长分别为a、b、c、d、e、f，g，由勾股定理得e2＝a2+b2，f2＝c2+d2，g2＝e2+f2，则正方形E、F的面积和＝正方形A、B、C、D面积的和，最大正方形G的面积＝正方形E、F的面积和，再推出最大正方形G的面积＝正方形A、B、C、D的面积之和＝100cm2，即可解决问题． 【解答】解：如图，设正方形A、B、C、D、E、F、G的边长分别为a、b、c、d、e、f，g， ∵所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形， ∴e2＝a2+b2，f2＝c2+d2，g2＝e2+f2， ∴正方形E、F的面积和＝正方形A、B、C、D面积的和，最大正方形G的面积＝正方形E、F的面积和， ∴最大正方形G的面积＝正方形A、B、C、D的面积之和＝100cm2， ∴最大的正方形G的边长＝＝10（cm）， 故答案为：10． 14．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高7米，两树相距12米，一只小鸟从一棵树的树梢A飞到另一棵树的树梢B，则小鸟至少要飞行 　13　米． 【分析】过B作BC∥地面，连接AB，由题意得BC＝12米，AC＝（12﹣7）（米），由勾股定理可得AB的长，即小鸟至少要飞行的距离． 【解答】解：过B作BC∥地面，连接AB， ， 由题意得，BC＝12米，AC＝12﹣7＝5（米）， 由勾股定理得，AB＝＝13（米）， 故答案为：13． 15．如图，铁路MN和公路PQ在点O处相交，点A到MN的直线距离为120m．如果火车行驶时，周围200m以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿ON方向以72km/h的速度行驶时，点A处受噪音影响的时间为　16　s． 【分析】过点A作AC⊥ON，利用锐角三角函数的定义求出AC的长与200m相比较，发现受到影响，然后过点A作AD＝AB＝200m，求出BD的长即可得出居民楼受噪音影响的时间． 【解答】解：过点A作AC⊥ON，AB＝AD＝200米， ∵OA＝240米，AC＝120米， 当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB＝200米， ∵AB＝200米，AC＝120米， ∴由勾股定理得：BC＝160米，CD＝160米，即BD＝320米， ∵火车在铁路MN上沿ON方向以72km/h＝20米/秒的速度行驶， ∴影响时间应是：320÷20＝16（秒）． 故A处受噪音影响的时间是16秒． 故答案为：16． 16．如图，两条公路l1、l2交于点O，在公路l2旁有一学校A，与O点的距离为170m，点A（学校）到公路l1的距离AM为80m，一大货车从O点出发，行驶在公路l1上，汽车周围100m范围内有噪音影响． （1）货车开过学校是否受噪音影响？为什么？ （2）若汽车速度为80km/h，则学校受噪音影响多少秒钟？ 【分析】（1）根据点A（学校）到公路l1的距离AM为80m，一大货车从O点出发，行驶在公路l1上，汽车周围100m范围内有噪音影响，即可得出结论； （2）设货车开过，在点B至点D学校受噪音影响，则AB＝AD＝100m，由等腰三角形的性质得BM＝DM，再由勾股定理得BM＝60m，则BD＝120m，即可解决问题． 【解答】解：（1）货车开过学校受噪音影响，理由如下： ∵点A（学校）到公路l1的距离AM为80m，大货车从O点出发，行驶在公路l1上，汽车周围100m范围内有噪音影响，80＜100， ∴货车开过学校受噪音影响； （2）如图，设货车开过，在点B至点D学校受噪音影响，则AB＝AD＝100m， ∵AM⊥l1， ∴BM＝DM， 由勾股定理得：BM＝＝60（m）， ∴BD＝2BM＝120（m）， ∵汽车速度为80km/h＝22m/s， ∴影响时间＝120÷22＝5.4（秒）， 答：学校受噪音影响5.4秒钟． 17．如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，绳子始终绷紧且绳长保持不变． （1）若CF＝7米，AF＝24米，AB＝18米，求男子需向右移动的距离；（结果保留根号） （2）此人以0.5米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置？ 【分析】（1）根据勾股定理求AC、BC的长，然后作差求解即可； （2）求出从A处移动到岸边点F的时间，再比较即可． 【解答】解：（1）∵∠AFC＝90°，AF＝24米，CF＝7米， ∴AC＝＝＝25（米）， ∵AB＝18米， ∴BF＝AF﹣AB＝24﹣18＝6（米）， ∴BC＝＝＝（米）， ∴CE＝AC﹣BC＝（25﹣）米， 答：男子需向右移动的距离为米； （2）由题意知，需收绳的绳长为：AC﹣CF＝25﹣7＝18（米）， ∴此人的收绳时间为（秒）， ∵36＞30， ∴该男子不能在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置． 18．已知，DA，DB，DC是从点D出发的三条线段，且DA＝DB＝DC． （1）如图①，若点D在线段AB上，连接AC，BC，试判断△ABC的形状，并说明理由． （2）如图②，连接AC，BC，AB，且AB与CD相交于点E，若AC＝BC，AB＝16，DC＝10，求CE的长． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD，根据三角形的内角和得到∠ACB＝90°，于是得出△ABC是直角三角形； （2）根据线段垂直平分线的判定定理得到CD垂直平分AB，再根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：（1）△ABC是直角三角形， 理由：∵DA＝DB＝DC， ∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD， ∵∠A+∠ACD+∠B+∠BCD＝180°， ∴∠ACD+∠BCD＝90°， ∴∠ACB＝90°， ∴△ABC是直角三角形； （2）∵DA＝DB， ∴点D在线段AB的垂直平分线上， ∵AC＝BC， ∴点C在线段AB的垂直平分线上， ∴CD垂直平分AB， ∴∠AEC＝∠AED＝90°， ∵AB＝16，DC＝10， ∴AE＝8，AD＝CD＝10， ∴， ∴CE＝CD﹣DE＝4， ∴CE＝4． 19．阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点M（x1，y1），N（x2，y2），则由勾股定理可得，这两点间的距离MN＝． 例如，如图1，M（3，1），N（1，﹣2），则MN＝＝． 【直接应用】 （1）已知P（2，﹣3），Q（﹣1，3），求P、Q两点间的距离； （2）如图2，在平面直角坐标系中，A（﹣1，﹣3），OB＝，OB与x轴正半轴的夹角是45°． ①求点B的坐标； ②试判断△ABO的形状． 【分析】（1）由两点间的距离公式可求出答案； （2）①过点B作BF⊥y轴于点F，求出OF＝BF＝1，则可求出答案； ②求出OA和AB的长，由勾股定理的逆定理可得出结论． 【解答】解：（1）∵P（2，﹣3），Q（﹣1，3）， ∴PQ＝＝3； （2）①过点B作BF⊥y轴于点F， ∵OB与x轴正半轴的夹角是45°， ∴∠FOB＝∠OBF＝45°， ∵OB＝， ∴OF＝BF＝1， ∴B（1，﹣1）； ②∵A（﹣1，﹣3），B（1，﹣1）， ∴OA＝＝，AB＝＝2， ∵AB2+OB2＝8+2＝10，OA2＝10， ∴AB2+OB2＝OA2， ∴△ABO是直角三角形． 20．阅读小敏的数学日记，思考并解决问题． 2024年9月6日星期五天气：晴 从勾股定理到面积关系的思考 经过《探索勾股定理》一节的学习，我已经知道：如图1，分别以直角三角形ABC的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，则根据勾股定理，易得出S1，S2，S3之间的数量关系：　S1＝S2+S3　．如果将正方形改成其他图形，那么这个面积关系是否仍然成立呢？ 对此，我展开了探究： 如图2，分别以直角三角形ABC的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，我发现，S1，S2，S3之间有如下数量关系：　S1＝S2+S3　． 理由如下：… 任务一：如图1，分别以直角三角形ABC的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，请写出S1，S2，S3之间的数量关系：　S1＝S2+S3　； 任务二：如图2，分别以直角三角形ABC的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，请问：任务一中S1，S2，S3之间的数量关系是否仍然成立？并说明理由； 任务三：如图3，四边形ABCD的对角线互相垂直，现以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3，S4．已知S1＝1，S2＝2，S3＝5，则S4＝ 　4　． 【分析】任务一：根据正方形的面积公式及勾股定理得出S1、S2、S3之间的关系即可； 任务二：利用圆的面积公式及勾股定理即可得证； 任务三：根据正方形的面积公式及勾股定理得出． 【解答】解：任务一：由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2， ∵S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝AC2， ∴S1＝S2+S3； 故答案为：S1＝S2+S3； 任务二：任务一中S1，S2，S3之间的数量关系仍然成立，理由如下： 在Rt△ABC中，利用勾股定理得：AB2＝AC2+BC2， ∵S1＝π×（）2，S2＝π×，S3＝π×， ∴S2+S3＝π×（+）＝π×＝S1， 即S1＝S2+S3； （3）如图3，∵AC⊥BD， ∴∠AOD＝∠AOB＝∠COD＝∠BOC＝90°， 由任务一得：S1＝OA2+OB2，S2＝OB2+OC2，S3＝OC2+OD2，S4＝OA2+OD2， ∴S1+S3＝S2+S4， ∵S1＝1，S2＝2，S3＝5， ∴1+5＝2+S4， ∴S4＝4． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$