第01讲 勾股定理（2个知识点+3类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（人教版）

第01讲 勾股定理 课程标准 学习目标 ①勾股定理 ②勾股定理的验证 1. 掌握勾股定理的内容并能够熟练的应用。 2. 掌握勾股定理的验证方法，并能够熟练的进行相关应用。 知识点01 勾股定理 1. 文字描述： 在直角三角形中， 两直角边的平方的和等于斜边的平方 。 2. 几何语言： 如图。若直角三角形的两直角边分别是，斜边是，则有： 。 变形式： ； ； 。 【即学即练1】 1．在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c． （1）已知b＝2，c＝3，求a的值； （2）已知a：c＝3：5，b＝32，求a、c的值． 【分析】（1）根据题意画出图形，直接根据勾股定理求出a的值即可； （2）设a＝3x，则c＝5x，再根据勾股定理求出x的值，进而得出结论． 【解答】解：（1）如图所示： ∵△ABC中，∠C＝90°，b＝2，c＝3， ∴a＝＝＝； （2）设a＝3x，则c＝5x， ∵a2+b2＝c2，即（3x）2+322＝（5x）2，解得x＝8， ∴3x＝24，5x＝40，即a＝24，c＝40． 【即学即练2】 2．已知直角三角形的两直角边长分别为5cm和12cm，则斜边上的高为　　cm． 【分析】根据直角三角形的两直角边长分别为5cm和12cm，利用勾股定理可以求得斜边的长，然后根据等面积法即可求得斜边上的高． 【解答】解：∵直角三角形的两直角边长分别为5cm和12cm， ∴斜边长为：＝13cm， 设斜边上的高为x cm， 则， 解得，x＝， 即斜边上的高为cm， 故答案为：． 知识点02 勾股定理的验证 1．利用等面积法进行勾股定理的验证： 验证图形 整体法表示面积 部分加和法表示面积 验证式子 。 。 。 。 。 。 【即学即练1】 3．下面各图中，不能证明勾股定理正确性的是（　　） A． B． C． D． 【分析】先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可． 【解答】解：把斜边定为c， A、∵+c2+ab＝（a+b）（a+b）， ∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； B、∵4×+（b﹣a）2＝c2， ∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； C、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意； D、∵4×+c2＝（a+b）2， ∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； 故选：C． 【即学即练2】 4．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两条直角边长（x＞y），下列四个说法： ①x2+y2＝49； ②x﹣y＝2； ③2xy+4＝9； ④x+y＝9， 其中正确的说法是（　　） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【分析】根据勾股定理和正方形的性质即可得到x2+y2＝AB2＝49，即可判定①；根据图形可知x﹣y＝CE＝2，即可判断②；根据，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，可得2xy+4＝49，即可判断③；进而得到（x+y）2＝94，即可判断④． 【解答】解：如图所示， ∵正方形ABGF的面积为49， ∴AB2＝49， ∵△ABC是直角三角形， ∴根据勾股定理得：x2+y2＝AB2＝49，故①正确； ∵正方形CDHE的面积为4， ∴CE＝CD＝EH＝DH＝2， ∴x﹣y＝CE＝2，故②正确； 由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积， 列出等式为， 即2xy+4＝49，故③错误； 由2xy+4＝49可得2xy＝45， 又∵x2+y2＝49， 两式相加得：x2+2xy+y2＝49+45， 整理得：（x+y）2＝94， ，故④错误； 故正确的是①②． 故选：A． 【即学即练3】 5．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝168，大正方形的面积为625，则小正方形的边长为（　　） A．7 B．24 C．17 D．25 【分析】分析题意，首先根据已知条件易得，中间小正方形的边长为：a﹣b；接下来根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长． 【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b， ∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×168＝84， 从图形中可得，大正方形的面积是4个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和， ∴4×ab+（a﹣b）2＝625， ∴（a﹣b）2＝625﹣336＝289， ∵a﹣b＞0， ∴a﹣b＝17． 故选：C． 题型01 利用勾股定理求直角三角形的边 【典例1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c为其三边长． （1）若a＝3，b＝4，则c＝　5　；（2）若a＝5，c＝13，则b＝　12　． （3）若b＝8，c＝10，则a＝　6　；（4）若c＝20，a：b＝4：3，则b＝　12　． 【分析】在直角三角形中，已知三条边中的两条边长，都可利用公股定理求得第三条边长． 【解答】解：（1）斜边c＝＝5； （2）直角边b＝＝12； （3）直角边a＝＝6； （4）∵a：b＝4：3，∴a＝b，∴＝20，解得b＝12． 【变式1】一个直角三角形的三边长分别是6cm，8cm，x cm，则x的值是（　　） A．100 B．10 C． D．100或28 【分析】根据勾股定理的内容，两直角边的平方和等于斜边的平方，分两种情况进行解答． 【解答】解：分两种情况进行讨论： ①两直角边分别为6cm，8cm， 由勾股定理得x＝＝10（cm）， ②一直角边为6cm，一斜边为8cm， 由勾股定理得x＝＝2（cm）； 故选：C． 【变式2】一直角三角形的斜边长比一直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为（　　） A．4 B．8 C．10 D．12 【分析】设斜边长为x，则一直角边长为x﹣2，再根据勾股定理求出x的值即可． 【解答】解：设斜边长为x，则一直角边长为x﹣2， 根据勾股定理得，62+（x﹣2）2＝x2， 解得x＝10， 故选：C． 【变式3】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，且c+a＝9，c﹣a＝4，则b＝　6　． 【分析】先根据题中已知条件，求出a和c，然后用勾股定理求出b． 【解答】解：由题意得：， 解得：， 根据勾股定理，得：b＝＝6． 故答案为：6． 【变式4】已知一直角三角形的木版，三边的平方和为1800，则斜边长为（　　） A．80 B．30 C．90 D．120 【分析】设此直角三角形的斜边是c，两直角边分别为a，b，则a2+b2+c2＝1800，根据勾股定理可得2c2＝1800，即可求解． 【解答】解：设此直角三角形的斜边是c，两直角边分别为a，b，则a2+b2+c2＝1800， 根据勾股定理得：a2+b2＝c2， 所以2c2＝1800， 解得c＝30或﹣30（舍去）， 即斜边长为30． 故选：B． 题型02 利用勾股定理求其他线段长度 【典例1】已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，求斜边及斜边上的高． 【分析】设斜边的长为c，斜边上的高为h，再根据勾股定理求出a的值，根据三角形的面积求出h的值即可． 【解答】解：设斜边的长为c，斜边上的高为h， ∵直角三角形的两直角边长分别为5和12， ∴c＝＝13， ∴5×12＝13h，解得h＝． 【变式1】等腰三角形的腰长为17，底长为16，则其底边上的高为　15　． 【分析】在等腰三角形的腰和底边高线所构成的直角三角形中，根据勾股定理即可求得底边上高线的长度． 【解答】解：如图： AB＝AC＝17，BC＝16． △ABC中，AB＝AC，AD⊥BC； 则BD＝DC＝BC＝8； Rt△ABD中，AB＝17，BD＝8； 由勾股定理，得：AD＝． 故答案为：15． 【变式2】若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长20cm，则斜边上的高为　9.6cm　． 【分析】设两个直角边为3x和4x，斜边长为20，根据勾股定理可列出方程，求出x，求出两个直角边长，根据面积相等求出斜边的高． 【解答】解：设两个直角边为3xcm和4xcm，斜边上的高为ycm， （3x）2+（4x）2＝202， x＝4． 3x＝3×4＝12． 4x＝4×4＝16． •y•20＝×12×16 y＝9.6． 斜边上的高为9.6cm． 故答案为：9.6cm． 【变式3】如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为　　． 【分析】根据勾股定理计算AC的长，利用面积差可得三角形ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：由勾股定理得：AC＝， ∵S△ABC＝3×3﹣， ∴， ∴， ∴BD＝， 故答案为：． 题型03 勾股定理的验证与相关求值 【典例1】下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用面积法证明勾股定理即可解决问题． 【解答】解：A、中间小正方形的面积c2＝（a+b）2﹣4×ab；化简得c2＝a2+b2，可以证明勾股定理，本选项不符合题意． B、不能证明勾股定理，本选项符合题意． C、利用A中结论，本选项不符合题意． D、中间小正方形的面积（b﹣a）2＝c2﹣4×ab；化简得a2+b2＝c2，可以证明勾股定理，本选项不符合题意， 故选：B． 【变式1】下面图形能够验证勾股定理的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】利用面积法证明勾股定理即可解决问题． 【解答】解：第一个图形：中间小正方形的面积c2＝（a+b）2﹣4×ab；化简得c2＝a2+b2，可以证明勾股定理． 第二个图形：中间小正方形的面积（b﹣a）2＝c2﹣4×ab；化简得a2+b2＝c2，可以证明勾股定理． 第三个图形：梯形的面积＝（a+b）（a+b）＝2××ab+c2，化简得a2+b2＝c2；可以证明勾股定理． 第四个图形：由图形可知割补前后的两个小直角三角形全等，则正方形的面积＝两个直角三角形的面积的和，即（b﹣）（a+）＝ab+cc，化简得a2+b2＝c2；可以证明勾股定理， ∴能够验证勾股定理的有4个． 故选：A． 【典例2】如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成大正方形，若小正方形的边长为3，大正方形边长为15，则一个直角三角形的周长是（　　） A．45 B．36 C．25 D．18 【分析】设直角三角形两条直角边长分别为a和b，根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积可得，2ab＝216，再根据完全平方公式求出a+b的值，进而可得一个直角三角形的周长． 【解答】解：设直角三角形两条直角边长分别为a和b， 由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b＝3， 根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积可知： 225＝4×ab+9， 所以2ab＝216， 根据勾股定理，得a2+b2＝152， 所以（a+b）2＝a2+b2+2ab＝225+216＝441， 因为a+b＞0， 所以a+b＝21， 所以21+15＝36． 所以一个直角三角形的周长是36． 故选：B． 【变式1】如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（　　） A．36 B．76 C．66 D．12 【分析】由题意∠ACB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个． 【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则 x2＝122+52＝169， 所以x＝13， 所以这个风车的外围周长是：（13+6）×4＝76． 故选：B． 【变式2】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（　　） A．6 B．5 C．8 D．7 【分析】根据大正方形的面积和勾股定理推出a2+b2＝13，然后结合完全平方公式的变形得出（a﹣b）2＝5，最后由小正方形的面积为EF2＝（a﹣b）2，即可得出结论． 【解答】解：如图所示，由题意，ED＝a，AE＝b， ∵大正方形的面积为13， ∴AD2＝13， ∵AD2＝AE2+ED2＝a2+b2， ∴a2+b2＝13， ∵（a+b）2＝21， ∴（a﹣b）2＝2（a2+b2）﹣（a+b）2＝2×13﹣21＝5， ∵EF＝ED﹣EF＝a﹣b， ∴小正方形的面积为EF2＝（a﹣b）2＝5， 故选：B． 【变式3】如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝18，则S2的值是（　　） A． B．6 C．5 D． 【分析】先设每个直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，然后根据图形和S1+S2+S3＝18，可以写出关于a、b的方程，然后整理化简，即可求得S2的值． 【解答】解：设每个直角三角形的长直角边为a，短直角边为b， ∵S1+S2+S3＝18， ∴（a+b）2+（a2+b2）+（a﹣b）2＝18， ∴a2+2ab+b2+a2+b2+a2﹣2ab+b2＝18， ∴3（a2+b2）＝18， ∴a2+b2＝6， ∴S2＝a2+b2＝6， 故选：B． 1．在Rt△ABC中，已知其两边长分别为a，b，且满足（a﹣3）2+|b﹣4|＝0，则该直角三角形的斜边长为（　　） A．5 B． C．5或 D．5或4 【分析】根据题意求出a＝3，b＝4，分类讨论b是斜边，a，b是直角边两种情况即可求解． 【解答】解：由（a﹣3）2+|b﹣4|＝0得，a＝3，b＝4； ①若a，b是直角边，则斜边长为＝5， ②∵b＞a， ∴若b是斜边，则斜边长为4． 综上，该直角三角形的斜边长为5或4． 故选：D． 2．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 【分析】先用不同方法表示出图形中各个部分的面积，利用面积不变得到等式，变形再判断即可． 【解答】解：A．大正方形的面积等于四个矩形的面积的和， ∴（a+b）2＝a2+2ab+b2， 以上公式为完全平方公式， ∴A选项不能说明勾股定理； B．由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积， ∴ab+ab+c2＝（a+b）（a+b）， 整理得a2+b2＝c2， ∴B选项可以证明勾股定理； C．大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ∴4×ab+c2＝（a+b）2， 整理得a2+b2＝c2， ∴C选项可以证明勾股定理； D．整个图形的面积等于边长为b的正方形的面积+边长为a的正方形面积+2个直角三角形的面积，也等于边长为c的正方形面积+2个直角三角形的面积， ∴b2+a2+2×ab＝c2+2×ab， 整理得a2+b2＝c2， ∴D选项可以证明勾股定理， 故选：A． 3．直角三角形的两边长分别是3和4，斜边上的高为（　　） A． B． C．5 D．或 【分析】分4是直角边长与斜边长两种情况分别求解． 【解答】解：当4是直角边长时，则斜边长＝， 根据三角形的面积公式可得，斜边上的高为：； 当4是斜边长时，则另一直角边长＝， 根据三角形的面积公式可得，斜边上的高为：， 故选：D． 4．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，则△ABC的面积为（　　） A．4 B．12 C．16 D．24 【分析】过A作AD⊥BC于点D，由等腰三角形的性质得BD＝CD＝3，再由勾股定理求出AD＝4，然后由三角形面积公式列式计算即可． 【解答】解：如图，过A作AD⊥BC于点D， ∵BC＝6，AB＝AC＝5， ∴BD＝CD＝BC＝3， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD＝＝＝4， ∴△ABC的面积＝BC•AD＝×6×4＝12， 故选：B． 5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，以AB为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（　　） A．100 B．80 C．48 D．24 【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB2＝AC2+BC2＝82+62＝100， ∴正方形的面积＝AB2＝100， 故选：A． 6．如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（　　） A．24 B．36 C．40 D．44 【分析】根据正方形和三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：如图，直角三角形的两直角边为a，b，斜边为c， ∵图1中大正方形的面积是24， ∴a2+b2＝c2＝24， ∵小正方形的面积是4， ∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝4， ∴ab＝10， ∴图2中最大的正方形的面积为＝c2+4×ab＝24+2×10＝44； 故选：D． 7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为E，AD＝2，则BC的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】证明∠BAD＝∠B，从而得AD＝BD＝2，在Rt△ACD中，由∠CAD＝30°，求出CD的长度即可求出BC的长度． 【解答】解：在△ABC中， ∵∠C＝90°，∠B＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠B＝60°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD＝∠BAD＝30°， ∵∠BAD＝∠B， ∴AD＝BD＝2， 在Rt△ACD中， ∵∠CAD＝30°， ∴CD＝AD＝1， ∴BC＝CD+BD＝3． 故选：B． 8．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如果直角三角形较长直角边的长为a，较短直角边的长为b，若ab＝7，大正方形的面积为30，则小正方形的边长为（　　） A．16 B．8 C．4 D．2 【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长． 【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b， ∵每一个直角三角形的面积为：， ∴， ∴（a﹣b）2＝30﹣14＝16， ∴a﹣b＝4， 故选：C． 9．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示直角三角形的两条直角边长（x＞y），下列四个说法：①x+y＝9；②y﹣x＝2；③2xy+4＝49；④x2+y2＝49．其中正确的是（　　） A．①② B．②④ C．③④ D．①②③④ 【分析】根据勾股定理和正方形的性质即可得到x2+y2＝AB2＝49，即可判定④；根据图形可知x﹣y＝CE＝2，即可判断②；根据四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，可得2xy+4＝49，即可判断③；进而得到（x+y）2＝94，即可判断①． 【解答】解：如图所示， ∵正方形ABGF的面积为49， ∴AB2＝49， ∵△ABC是直角三角形， ∴根据勾股定理得：x2+y2＝AB2＝49，故④正确； ∵正方形CDHE的面积为4， ∴CE＝CD＝EH＝DH＝2， ∴x﹣y＝CE＝2，故②错误； 由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积， 列出等式为， 即2xy+4＝49，故③正确； 由2xy+4＝49可得2xy＝45， 又∵x2+y2＝49， 两式相加得：x2+2xy+y2＝49+45， 整理得：（x+y）2＝94， ，故①错误； 故正确的是③④． 故选：C． 10．如图，△ABC中，AB＝17cm，AC＝10cm，以BC所在的直线为x轴，BC边上的高AO所在的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，以1cm作为坐标系的单位长度，点B的坐标是（﹣15，0），则点C的坐标是（　　） A．（4.5，0） B．（5，0） C．（5.5，0） D．（6，0） 【分析】由勾股定理求出OA＝8cm，再由勾股定理求出OC＝6cm，即可得出结论． 【解答】解：∵点B的坐标是（﹣15，0）， ∴OB＝15， 在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA＝＝＝8（cm）， 在Rt△AOC中，由勾股定理得：OC＝＝＝6（cm）， ∴点C的坐标是（6，0）， 故选：D． 11．已知直角三角形两边的长分别为3cm，4cm，则以第三边为边长的正方形的面积为　7cm2或25cm2　． 【分析】分两种情况考虑：当4cm为直角三角形的斜边时，利用勾股定理求出第三边的平方，即为以第三边为边长的正方形的面积；当第三边为直角三角形的斜边时，利用勾股定理求出第三边的平方，即为以第三边为边长的正方形的面积． 【解答】解：若4cm为直角三角形的斜边，此时以第三边为边长的正方形的面积为42﹣32＝16﹣9＝7cm2； 若x为直角三角形的斜边，根据勾股定理得：x2＝32+42＝9+16＝25， 此时以斜边为边长的正方形的面积为x2＝25， 综上，以第三边为边长的正方形的面积为7cm2或25cm2． 故答案为：7cm2或25cm2． 12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，且DA＝DB．若CD＝4，则BC＝　12　． 【分析】根据AD平分∠BAC，得出∠DAB＝∠DAC，根据DA＝DB，得出∠DAB＝∠B，从而得出∠DAC＝∠DAB＝∠B，根据∠C＝90°，得出∠DAC＝∠DAB＝∠B＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质，得出AD＝DC＝8，即可得出答案． 【解答】解：∵AD平分∠BAC， ∴∠DAB＝∠DAC， ∵DA＝DB， ∴∠DAB＝∠B， ∴∠DAC＝∠DAB＝∠B， ∵∠C＝90°， ∴∠DAC+∠DAB+∠B＝90°， ∴∠DAC＝∠DAB＝∠B＝30°， ∵DC＝4， ∴AD＝DC＝8， ∴DB＝DA＝8， ∴BC＝DB+DC＝12． 故答案为：12． 13．如图△ABC中，AD⊥BC于点D，若AD＝3，AC＝5，BC＝6，则AB＝　　． 【分析】根据勾股定理求出CD，即可求出BD，再利用勾股定理即可求出AB． 【解答】解：∵AD⊥BC于点D，AD＝3，AC＝5， ∴， ∵BC＝6， ∴BD＝AC﹣CD＝2， ∴， 故答案为：． 14．如图，AB⊥BC于点B，DC⊥BC于点C，E是BC上一点，∠BAE＝∠DEC＝60°，AB＝6，CE＝8，则AD＝　20　． 【分析】根据直角三角形两个锐角互余求出∠AEB＝30°，∠CDE＝30°，根据30°所对的直角边是斜边的一半得出AE＝12，DE＝16，再由勾股定理得出AD． 【解答】解：∵AB⊥BC，DC⊥BC， ∴∠ABE＝∠C＝90°， ∵∠BAE＝∠DEC＝60°， ∴∠AEB＝∠CDE＝90°﹣60°＝30°， ∵30°所对的直角边是斜边的一半， ∴AE＝2AB＝2×6＝12，DE＝2CE＝2×8＝16， ∵∠AEB＝30°，∠DEC＝60°， ∴∠AED＝180°﹣∠AEB﹣∠DEC＝180°﹣30°﹣60°＝90°， ∴． 故答案为：20． 15．我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图1），后人称其为“赵爽弦图”．由图1变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形的MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若S2＝6，则S1+S3的值为　12　． 【分析】根据面积加减关系求解减即可得到答案． 【解答】解：图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形的MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S2＝6，设这八个全等的直角三角形的面积都是S△， ∴S1﹣4S△＝S3+4S△＝S2＝6， ∴S1+S3＝（S1﹣4S△）+（S3+4S△）＝6+6＝12， 故答案为：12． 16．一个三角形三边长分别为3，4，c． （1）c的取值范围是 　1＜c＜7　． （2）若这个三角形是直角三角形，求c的值． 【分析】（1）由三角形的三边关系即可得出结论； （2）分两种情况，根据勾股定理分别计算即可． 【解答】解：（1）由三角形的三边关系得：4﹣3＜c＜4+3， ∴1＜c＜7， 故答案为：1＜c＜7； （2）当4的边长为直角边时，c＝＝5； 当4的边长为斜边时，c＝＝； 综上所述，c的值为5或． 17．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB＝17，BC＝30．求： （1）BC边上的中线AD的长． （2）△ABC的面积． 【分析】（1）求出BD＝15，由勾股定理可求出答案； （2）由三角形面积可得出答案． 【解答】解：（1）在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线， ∴AD⊥BC， ∴BD＝CD＝BC＝×30＝15， 在Rt△ABD中，AB＝17，AD2+BD2＝AB2， ∴AD＝＝＝8； （2）∵BC＝30，AD＝8， ∴△ABC的面积＝BC•AD＝×30×8＝120． 18．中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献，为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形PQMN充电站的平面示意图，矩形ABCD是其中一个停车位，经测量，∠EBC＝30°，AB＝5.4m，CE＝1.6m，BC⊥CD，BC是一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定．求其中一个停车位矩形ABCD的周长．（结果精确到0.1m．参考数据） 【分析】先根据矩形性质得AB＝CD＝5.4m，CB＝AD，∠DCB＝90°，结合∠EBC＝30°，BC⊥CD，得出∠ECB＝90°，BE＝2CE＝3.2m，再根据勾股定理列式计算，即可作答． 【解答】解：∵停车位ABCD是矩形，∠EBC＝30°，AB＝5.4m，CE＝1.6m，BC⊥CD， ∴AB＝CD＝5.4m，CB＝AD，∠DCB＝90°，∠ECB＝90°，BE＝2CE＝3.2m， 在直角三角形BCE中，由勾股定理得：， 则（AB+BC）×2＝（5.4+2.768）×2＝16.336≈16.3（m）， 即一个停车位矩形ABCD的周长约为16.3m． 19．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降． 实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是6dm，物体C到定滑轮A的垂直距离是8dm．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若物体C升高7dm，求滑块B向左滑动的距离． 【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论； （2）根据勾股定理和线段的和差即可得到结论． 【解答】解：（1）根据题意得AC＝8dm，BC＝6dm，∠ACB＝90°， ∴AB＝＝10（dm）， ∴AB+AC＝10+8＝18（dm）， 答：绳子的总长度为18dm； （2）如图， 根据题意得∠ADB＝90°，AD＝8dm，CD＝7dm，AB＝（10+7）dm， ∴＝＝15（dm）， ∴BE＝BD﹣DE＝15﹣6＝9（dm）， 答：滑块B向左滑动的距离为9dm． 20．两个全等的直角三角形按如图1所示的方式摆放，连接AD，△ABC的三边长分别为a，b，c（a＞b），四边形ACFD的面积可以表示为或，从而可推导出a2+b2＝c2． （1）将△DEF从图1的位置开始沿BC向左移动，直到点F与点B重合时停止（如图2），此时AB与DE相交于点O，连接AD，AE，请利用图2证明勾股定理； （2）在图2的基础上，若四边形AEBD的面积为200，AC＝12，求BC的长． 【分析】（1）先根据题意求出梯形的面积，再求出四边形CABD的面积，即可证明结论； （2）根据题意得到S△ADE+S△BDE＝200，进而得到，再根据a2+b2＝c2计算即可得到答案． 【解答】（1）证明：由题意得：， 将△DEF从图1的位置开始沿BC向左移动，直到点F与点B重合时停止，由图1所示，AB⊥DE， ∴由平移的性质可得到图2中AB⊥DE， ∴， ＝ ＝ ＝ ＝， ∵S四边形ACBD＝S梯形ACBD， ∴， ∴a2+b2＝c2； （2）解：∵四边形AEBD的面积为200，AC＝12， ∴S四边形AEBD＝S△ADE+S△BDE＝200， ∴， ∴， ∴， ∴c＝20或c＝﹣20（舍去）， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 勾股定理 课程标准 学习目标 ①勾股定理 ②勾股定理的验证 1. 掌握勾股定理的内容并能够熟练的应用。 2. 掌握勾股定理的验证方法，并能够熟练的进行相关应用。 知识点01 勾股定理 1. 文字描述： 在直角三角形中， 。 2. 几何语言： 如图。若直角三角形的两直角边分别是，斜边是，则有：。 变形式： ； ； 。 【即学即练1】 1．在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c． （1）已知b＝2，c＝3，求a的值； （2）已知a：c＝3：5，b＝32，求a、c的值． 【即学即练2】 2．已知直角三角形的两直角边长分别为5cm和12cm，则斜边上的高为　 　cm． 知识点02 勾股定理的验证 1．利用等面积法进行勾股定理的验证： 验证图形 整体法表示面积 部分加和法表示面积 验证式子 。 。 。 。 。 。 【即学即练1】 3．下面各图中，不能证明勾股定理正确性的是（　　） A． B． C． D． 【即学即练2】 4．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两条直角边长（x＞y），下列四个说法： ①x2+y2＝49； ②x﹣y＝2； ③2xy+4＝9； ④x+y＝9， 其中正确的说法是（　　） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【即学即练3】 5．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝168，大正方形的面积为625，则小正方形的边长为（　　） A．7 B．24 C．17 D．25 题型01 利用勾股定理求直角三角形的边 【典例1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c为其三边长． （1）若a＝3，b＝4，则c＝　 　；（2）若a＝5，c＝13，则b＝　 　． （3）若b＝8，c＝10，则a＝　 　；（4）若c＝20，a：b＝4：3，则b＝　 　． 【变式1】一个直角三角形的三边长分别是6cm，8cm，x cm，则x的值是（　　） A．100 B．10 C． D．100或28 【变式2】一直角三角形的斜边长比一直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为（　　） A．4 B．8 C．10 D．12 【变式3】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，且c+a＝9，c﹣a＝4，则b＝　 　． 【变式4】已知一直角三角形的木版，三边的平方和为1800，则斜边长为（　　） A．80 B．30 C．90 D．120 题型02 利用勾股定理求其他线段长度 【典例1】已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，求斜边及斜边上的高． 【变式1】等腰三角形的腰长为17，底长为16，则其底边上的高为　 　． 【变式2】若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长20cm，则斜边上的高为　 　． 【变式3】如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为　 　． 题型03 勾股定理的验证与相关求值 【典例1】下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】下面图形能够验证勾股定理的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【典例2】如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成大正方形，若小正方形的边长为3，大正方形边长为15，则一个直角三角形的周长是（　　） A．45 B．36 C．25 D．18 【变式1】如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（　　） A．36 B．76 C．66 D．12 【变式2】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（　　） A．6 B．5 C．8 D．7 【变式3】如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝18，则S2的值是（　　） A． B．6 C．5 D． 1．在Rt△ABC中，已知其两边长分别为a，b，且满足（a﹣3）2+|b﹣4|＝0，则该直角三角形的斜边长为（　　） A．5 B． C．5或 D．5或4 2．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 3．直角三角形的两边长分别是3和4，斜边上的高为（　　） A． B． C．5 D．或 4．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，则△ABC的面积为（　　） A．4 B．12 C．16 D．24 5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，以AB为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（　　） A．100 B．80 C．48 D．24 6．如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（　　） A．24 B．36 C．40 D．44 7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为E，AD＝2，则BC的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 8．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如果直角三角形较长直角边的长为a，较短直角边的长为b，若ab＝7，大正方形的面积为30，则小正方形的边长为（　　） A．16 B．8 C．4 D．2 9．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示直角三角形的两条直角边长（x＞y），下列四个说法：①x+y＝9；②y﹣x＝2；③2xy+4＝49；④x2+y2＝49．其中正确的是（　　） A．①② B．②④ C．③④ D．①②③④ 10．如图，△ABC中，AB＝17cm，AC＝10cm，以BC所在的直线为x轴，BC边上的高AO所在的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，以1cm作为坐标系的单位长度，点B的坐标是（﹣15，0），则点C的坐标是（　　） A．（4.5，0） B．（5，0） C．（5.5，0） D．（6，0） 11．已知直角三角形两边的长分别为3cm，4cm，则以第三边为边长的正方形的面积为　 　． 12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，且DA＝DB．若CD＝4，则BC＝　 　． 13．如图△ABC中，AD⊥BC于点D，若AD＝3，AC＝5，BC＝6，则AB＝　 　． 14．如图，AB⊥BC于点B，DC⊥BC于点C，E是BC上一点，∠BAE＝∠DEC＝60°，AB＝6，CE＝8，则AD＝　 　． 15．我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图1），后人称其为“赵爽弦图”．由图1变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形的MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若S2＝6，则S1+S3的值为　 　． 16．一个三角形三边长分别为3，4，c． （1）c的取值范围是 　 　． （2）若这个三角形是直角三角形，求c的值． 17．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB＝17，BC＝30．求： （1）BC边上的中线AD的长． （2）△ABC的面积． 18．中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献，为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形PQMN充电站的平面示意图，矩形ABCD是其中一个停车位，经测量，∠EBC＝30°，AB＝5.4m，CE＝1.6m，BC⊥CD，BC是一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定．求其中一个停车位矩形ABCD的周长．（结果精确到0.1m．参考数据） 19．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降． 实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是6dm，物体C到定滑轮A的垂直距离是8dm．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若物体C升高7dm，求滑块B向左滑动的距离． 20．两个全等的直角三角形按如图1所示的方式摆放，连接AD，△ABC的三边长分别为a，b，c（a＞b），四边形ACFD的面积可以表示为或，从而可推导出a2+b2＝c2． （1）将△DEF从图1的位置开始沿BC向左移动，直到点F与点B重合时停止（如图2），此时AB与DE相交于点O，连接AD，AE，请利用图2证明勾股定理； （2）在图2的基础上，若四边形AEBD的面积为200，AC＝12，求BC的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$