专题01 勾股定理的应用（五大类型）专练-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（人教版）

专题1 勾股定理的应用（五大类型）专练 类型一：勾股定理解决路径问题 类型二：勾股定理解决折叠问题 类型三：勾股定理解决实际问题 类型四：勾股定理探究动点问题中的直角三角形存在问题 类型五：对角线垂直的四边形（垂美四边形） 类型一：勾股定理解决路径问题 1．如图，高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AC＝2km，BD＝4km，CD＝8km．要在高速公路上C，D之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最小，则这个最短距离为　 　． 2．如图，是一个三级台阶，它每一级长，宽，高分别为4m，m和m，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为（　　） A．3.5m B．4.5m C．5m D．5.5m 3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，AC＝2BD＝10，则AB+CD的最小值为（　　） A． B．10 C．15 D． 4．如图，一个无盖的长方体盒子的长、宽、高分别为3.5cm，3.5cm，24cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，则它爬行的最短路程是 　 　cm． 5．如图将一根15cm长的细木棒放入长宽分别为4cm，3cm和12cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在外面的最短长度是多少？ 6．为筹备迎新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸．如图，已知圆筒高108cm，其圆筒底面周长为36cm，如果在表面缠绕油纸4圈，应裁剪油纸的最短为　 　cm． 7．重庆是一座桥都，如图所示，嘉陵江在CC′处直角转弯，河宽相同，都为0.5公里，从A处到达B处（A到B的水平距离是4.5公里，A到B的竖直距离是3.5公里），须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设嘉陵江以及两座桥都是东西、南北走向的，造的两座桥可使从A到B的路程最短，A处到B处的最短路径长为 　 　公里． 8．如图，在10×8的方格内取A，B，C，D四个格点，使AB＝BC＝2CD＝4，P是线段BC上的动点，连接AP，DP． （1）设BP＝a，CP＝b，用含字母a，b的代数式分别表示线段AP，DP的长； （2）设k＝AP+DP，k是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 9．如图1，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB＝2，DE＝1，BD＝8，设CD＝x． （1）用含x的代数式表示AC+CE的长为 　 　； （2）求AC+CE的最小值 　 　； （3）根据（2）中的规律和结论，请模仿图1在网格中（图2）构图并求代数式的最小值． 类型二：勾股定理解决折叠问题 10．如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE＝EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于点G，则△BEG的周长为 　 　． 11．如图，长方形纸片ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点H的位置，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　） A．6cm2 B．8cm2 C．10cm2 D．12cm2 12．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为 　 　． 13．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，E是CD上一点，把△ADE沿直线AE翻折，D点恰好落在BC边上的F点处，则CE＝　 　． 14．如图，把长方形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴、y轴上，连接AC，将纸片OABC沿AC折叠，使点B落在点D的位置，AD与y轴交于点E，若B（2，4），则OE的长为　 　． 15．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则AE的长为（　　） A． B．3 C． D． 16．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是CD的中点，将△BCE沿BE翻折至△BFE，连接DF，则DF的长度是（　　） A． B． C． D． 17．如图，平面直角坐标系中，点D的坐标为（15，9），过点D作DA⊥y轴，DC⊥x轴，点E为y轴上一点，将△AED沿直线DE折叠，点A落在边BC上的点F处． （1）请你直接写出点A的坐标； （2）求FC，AE的长； （3）求四边形EOFD的面积． 类型三：勾股定理解决实际问题 18．如图，一棵直立的大树在一次强台风中被折断，折断处离地面2米，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（　　） A．米 B．米 C．4米 D．6米 19．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.1米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离AD等于（　　） A．1.2米 B．1.3米 C．1.5米 D．2米 20．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时12n mile的速度沿北偏东60°方向航行，“海天”号以每小时16n mile的速度沿北偏西30°方向航行.2小时后，“远航”号、“海天”号分别位于M，N处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为 　 　n mile． 21．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离AB长度为1尺．将它往前水平推送10尺，即A'C＝10尺，则此时秋千的踏板离地距离A'D就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索OA长为 　 　尺． 22．如图是某小区两面直立的墙壁之间的安全通道的示意图，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米．如果保持梯子底端位置（点B）不动，将梯子斜靠在右墙，梯子顶端到地面的距离AD为1.5米．求这两面直立墙壁之间的安全通道的宽CD． 23．如图，两条公路l1、l2交于点O，在公路l2旁有一学校A，与O点的距离为170m，点A（学校）到公路l1的距离AM为80m，一大货车从O点出发，行驶在公路l1上，汽车周围100m范围内有噪音影响． （1）货车开过学校是否受噪音影响？为什么？ （2）若汽车速度为80km/h，则学校受噪音影响多少秒钟？ 24．在“欢乐周末•非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离BD为15m；根据手中余线长度，计算出AC的长度为17m；牵线放风筝的手到地面的距离AB为1.5m．已知点A，B，C，D在同一平面内． （1）求风筝离地面的垂直高度CD； （2）在余线仅剩7.5m的情况下，若想要风筝沿射线DC方向再上升12m，请问能否成功？请运用数学知识说明． 类型四：勾股定理探究动点问题中的直角三角形存在问题 25．如图，点A是射线BM外一点，连接AB，若AB＝5cm，点A到BM的距离为3cm，动点P从点B出发沿射线BM以2cm/s的速度运动．设运动的时间为t秒，当△ABP为直角三角形时，t的值为（　　） A． B．2 C．2或 D．2或 26．如图，在△ABC中，AB＝21cm，AC＝12cm，∠A＝60°，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒，当△APQ为直角三角形时，则t的值为 　 　秒． 27．如图：在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，BD是∠ABC的角平分线．（1）则CD＝　 　； （2）若点E是线段AB上的一个动点，从点B以每秒1cm的速度向A运动，　 　秒钟后△EAD是直角三角形． 28．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝16，BC＝12，D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA向点A运动，当运动到点A时停止．已知点D运动的速度为每秒2个单位长度，设点D运动的时间为t s，当△BCD是直角三角形时，t的值为　 　． 29．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，点P从点B出发，以每秒4cm的速度沿折线B→A→C→B运动，设运动时间为t秒（t＞0）． （1）若点P在AC上，则线段PC的长为　 　cm；（用含t的式子表示） （2）点P在运动过程中，若△BCP是以PB为底边的等腰三角形，求t的值． 30．如图（1），在等边△ABC中，BC＝15厘米，点E以2厘米/秒的速度从点B出发向点A运动（不与点A重合），点F以1厘米/秒的速度从点A出发向点C运动（不与点C重合），设点E，F同时运动，运动时间为t秒． （1）在点E，F运动过程中，经过几秒时△AEF为等边三角形？ （2）在点E，F运动过程中，△AEF的形状能否为直角三角形？若能，请求出时间t的值；若不能，请说明理由． 类型五：对角线垂直的四边形（垂美四边形） 31．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若AD＝2，BC＝7，则AB2+CD2等于（　　） A．45 B．49 C．50 D．53 32．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若AD＝4，BC＝2，则AB2+CD2＝ 　 　． 33．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝ 　 　． 34．定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形．现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，若AB＝5，CD＝6，求AD2+BC2． 35．模型介绍 （1）定义：我们把对角线互相垂直的四边形称为垂美四边形．性质：垂美四边形对边的平方和相等，即AB2+CD2＝BC2+AD2，请结合图1证明这个结论． （2）如图2，在长方形ABCD中，AB＝6，P是AD边上一点，且AP＝2PD，CP⊥BD，求AD的长． 36．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O． （1）若AO＝2，BO＝3，CO＝4，DO＝5，请求出AB2，BC2，CD2，DA2的值； （2）若AB＝6，CD＝10，求BC2+AD2的值； （3）请根据（1）（2）题中的信息，写出关于“垂美”四边形关于边的一条结论． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1 勾股定理的应用（五大类型）专练 类型一：勾股定理解决路径问题 类型二：勾股定理解决折叠问题 类型三：勾股定理解决实际问题 类型四：勾股定理探究动点问题中的直角三角形存在问题 类型五：对角线垂直的四边形（垂美四边形） 类型一：勾股定理解决路径问题 1．如图，高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AC＝2km，BD＝4km，CD＝8km．要在高速公路上C，D之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最小，则这个最短距离为　10km　． 【分析】根据题意画出图形，再利用轴对称求最短路径的方法得出P点位置，进而结合勾股定理得出即可． 【解答】解：如图所示：作A点关于直线MN的对称点A′，再连接A′B，交直线MN于点P， 则此时AP+PB最小，过点B作BE⊥CA交延长线于点E， ∵AC＝2km，BD＝4km，CD＝8km． ∴AE＝4﹣2＝2km，AA′＝4km， ∴A′E＝6km，BE＝CD＝8km， 在Rt△A′EB中， ， 则AP+PB的最小值为10km． 故答案为：10km． 2．如图，是一个三级台阶，它每一级长，宽，高分别为4m，m和m，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为（　　） A．3.5m B．4.5m C．5m D．5.5m 【分析】将台阶展开为矩形，然后利用勾股定理计算AB的值，则根据两点之间线段最短得到蚂蚁所走的最短路线长度． 【解答】解：如图，将台阶展开为矩形，线段AB恰好是直角三角形的斜边， 则AC＝4m，BC＝（）×3＝3（m）， 在Rt△ABC中，AB＝＝＝5（m）， 所以蚂蚁所走的最短路线长度为5m． 故选：C． 3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，AC＝2BD＝10，则AB+CD的最小值为（　　） A． B．10 C．15 D． 【分析】过点B作BE∥AC，BE＝AC＝10，则四边形BECA是平行四边形，利用勾股定理求出DE的长，再利用三角形三边关系可得答案． 【解答】解：过点B作BE∥AC，BE＝AC＝10， 则四边形BECA是平行四边形， ∴AB＝CE， ∵BD⊥AC，AC∥BE， ∴∠DBE＝90°， ∵2BD＝10， ∴BD＝5， ∴DE＝＝5， ∵DE+CE≥DE， ∴DE+CE的最小值为5， 故选：D． 4．如图，一个无盖的长方体盒子的长、宽、高分别为3.5cm，3.5cm，24cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，则它爬行的最短路程是 　25　cm． 【分析】分两种情况，一是沿长方体正面、右侧面爬行，二是沿长方体底面、后侧面爬行，将长方体展开，连接AB，用勾股定理求出AB，比较大小即可得到最短路程． 【解答】解：分两种情况： ①如图，展开后连接AB，则AB就是在表面上从A到B的最短距离， 在Rt△ABM中，由勾股定理得：； ②如图，展开后连接AB，则AB就是在表面上从A到B的最短距离， 在Rt△ABN中，由勾股定理得：； ∵， ∴爬行的最短路程是25cm， 故答案为：25． 5．如图将一根15cm长的细木棒放入长宽分别为4cm，3cm和12cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在外面的最短长度是多少？ 【分析】长方体内体对角线是最长的，当木条在盒子里对角放置的时候露在外面的长度最小，这样就是求出盒子的对角线长度即可． 【解答】解：由题意知：盒子底面对角长为＝5cm， 盒子的对角线长：＝13cm， 细木棒长15cm， 故细木棒露在盒外面的最短长度是：15﹣13＝2cm． 所以细木棒露在外面的最短长度是2厘米． 6．为筹备迎新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸．如图，已知圆筒高108cm，其圆筒底面周长为36cm，如果在表面缠绕油纸4圈，应裁剪油纸的最短为　180　cm． 【分析】将圆柱体沿一条母线展开，可得图形，如图，只需求出每一圈所需的油纸的长度即可，展开后即转化为求解直角三角形的问题，在Rt△ABC中，AB已知，BC的长可求出，根据勾股定理即可得出AC的长度，由于油纸缠绕4圈，故油纸的总长度为4AC的长度． 【解答】解：将圆筒展开后成为一个矩形，如图，整个油纸也随之分成相等4段只需求出AC长即可， 在Rt△ABC中， ∵AB＝36，BC＝＝27cm， ∴AC2＝AB2+BC2＝362+272， ∴AC＝45cm， ∴应裁剪油纸的最短＝45×4＝180（cm）． 故答案为：180． 7．重庆是一座桥都，如图所示，嘉陵江在CC′处直角转弯，河宽相同，都为0.5公里，从A处到达B处（A到B的水平距离是4.5公里，A到B的竖直距离是3.5公里），须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设嘉陵江以及两座桥都是东西、南北走向的，造的两座桥可使从A到B的路程最短，A处到B处的最短路径长为 　6　公里． 【分析】过A作AF⊥CD，且AF等于河宽，过B作BG⊥CE，且BG等于河宽，连接GF，与河岸相交于E′、D′．作DD′、EE′即为桥，根据平行四边形的性质得到AD＝FD′，BE＝GE′，然后得到A处到B处的最短路径长即为AF+GF+BG的长度，然后利用勾股定理求解即可． 【解答】解：如图，过A作AF⊥CD，且AF等于河宽，过B作BG⊥CE，且BG等于河宽，连接GF，与河岸相交于E′、D′．作DD′、EE′即为桥． 由作图可知，AF∥DD′，AF＝DD′， 则四边形AFD′D为平行四边形， ∴AD＝FD′， 同理，BE＝GE′， ∴AD+DD′+D′E′+EE′+BE＝FD′+AF+D′E′+GE′+BG≤AF+GF+BG ∴A处到B处的最短路径长即为AF+GF+BG的长度 ∵A到B的水平距离是4.5公里，A到B的竖直距离是3.5公里，河宽相同，都为0.5公里， ∴BG＝AF＝DD′＝0.5（公里）， ∴（公里）， ∴AF+BG+GF＝0.5+0.5+5＝6（公里）， ∴A处到B处的最短路径长为6公里． 故答案为：6． 8．如图，在10×8的方格内取A，B，C，D四个格点，使AB＝BC＝2CD＝4，P是线段BC上的动点，连接AP，DP． （1）设BP＝a，CP＝b，用含字母a，b的代数式分别表示线段AP，DP的长； （2）设k＝AP+DP，k是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）分别用x表示出BP、CD的长度，再根据勾股定理求出AP、DP的长即可； （2）作点A关于BC的对称点A′，连接A′D，再由对称的性质及勾股定理即可求解． 【解答】解：（1）由题意结合图形知： ∵AB＝BC＝2CD＝4，BP＝a，CP＝b， ∴AP＝＝，PD＝＝； （2）存在． 如图，作点A关于BC的对称点A′，连接A′D交BC于P， 则此时，k存在最小值， 过A′作A′E⊥CD交DC的延长线于E， ∴A′E＝4，DE＝6， 则A′D＝＝＝2， ∴最小值为2． 9．如图1，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB＝2，DE＝1，BD＝8，设CD＝x． （1）用含x的代数式表示AC+CE的长为 　　； （2）求AC+CE的最小值 　　； （3）根据（2）中的规律和结论，请模仿图1在网格中（图2）构图并求代数式的最小值． 【分析】（1）由勾股定理即可求解； （2）过点A作AF⊥DE，垂足为点F，连接AE，则有AB＝DF＝2，BD＝AF＝8，要使AC+EC的值最小，则需满足点A、C、E三点共线即可，即最小值为AE的长，然后问题可求解； （3）取P为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AP、EP．已知AB＝1，DE＝2，BD＝3，然后同理（2）可进行求解． 【解答】解：（1）∵AB⊥BD，ED⊥BD， ∴△ABC和△CDE是直角三角形， ∵AB＝2，DE＝1，BD＝8，设CD＝x， ∴BC＝8﹣x， 在Rt△ABC中，， 在Rt△CDE中，， ∴， 故答案为：； （2）过点A作AF⊥DE，垂足为点F，连接AE，如图所示： ∵AF⊥DE，AB⊥BD，ED⊥BD， ∴四边形ABDF是矩形， ∴AB＝DF＝2，BD＝AF＝8， ∴EF＝3， ∵， ∴要使AC+EC的值最小，则需满足点A、C、E三点共线即可，即最小值为AE的长， ∴AC+CE的最小值； （3）取P为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AP、EP．已知AB＝1，DE＝2，BD＝3，如图所示： 设BP＝x，则根据勾股定理可得：， ∴， 同理（2）可知的最小值即为点A与点E之间的距离， ∴的最小值为． 类型二：勾股定理解决折叠问题 10．如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE＝EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于点G，则△BEG的周长为 　24　． 【分析】连接GD，证明△ADG≌△FDG（HL）得出AG＝FG，设AG＝FG＝x，则EG＝x+6，BG＝12﹣x，勾股定理求得x＝4，则AG＝GF＝4，BG＝8，进而勾股定理求得GE，即可求解． 【解答】解：连接GD，如图所示， 由折叠可知，DF＝DC＝DA，∠DFE＝∠C＝90°， ∴∠DFG＝∠A＝90°， ∴Rt△ADG≌Rt△FDG（HL）， ∴AG＝FG， ∵正方形边长是12， ∴BE＝EC＝EF＝6， 设AG＝FG＝x，则EG＝x+6，BG＝12﹣x， 由勾股定理得：EG2＝BE2+BG2， 即：（x+6）2＝62+（12﹣x）2， 解得：x＝4， ∴AG＝GF＝4，BG＝8， ∴， ∴△BEG的周长为BE+EG+GB＝6+8+10＝24， 故答案为：24． 11．如图，长方形纸片ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点H的位置，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　） A．6cm2 B．8cm2 C．10cm2 D．12cm2 【分析】设AE＝x，则ED＝BE＝9﹣x，根据勾股定理可求得AE，DE的长，从而不难求得△ABE的面积 【解答】解：设AE＝x，由折叠可知：ED＝BE＝9﹣x， ∵在Rt△ABE中，32+x2＝（9﹣x）2 ∴x＝4， ∴S△ABE＝AE•AB＝×3×4＝6（cm2） 故选：A． 12．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为 　10　． 【分析】因为BC为AF边上的高，要求△AFC的面积，求得AF即可，求证△AFD′≌△CFB，得BF＝D′F，设D′F＝x，则在Rt△AFD′中，根据勾股定理求x，∴AF＝AB﹣BF． 【解答】解：易证△AFD′≌△CFB， ∴D′F＝BF， 设D′F＝x，则AF＝8﹣x， 在Rt△AFD′中，（8﹣x）2＝x2+42， 解之得：x＝3， ∴AF＝AB﹣FB＝8﹣3＝5， ∴S△AFC＝•AF•BC＝10． 故答案为：10． 13．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，E是CD上一点，把△ADE沿直线AE翻折，D点恰好落在BC边上的F点处，则CE＝　3　． 【分析】在△ABF中，利用勾股定理可求得BF的长，进而可求得CF长；同理在△CEF中，利用勾股定理可求得CE长． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠C＝90°，AD＝BC＝10，CD＝AB＝8． ∵△AEF是△ADE翻折得到的， ∴AF＝AD＝10，EF＝DE， ∴BF＝6， ∴FC＝4， ∵FC2+CE2＝EF2， ∴42+CE2＝（8﹣CE）2， 解得CE＝3． 故答案为3． 14．如图，把长方形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴、y轴上，连接AC，将纸片OABC沿AC折叠，使点B落在点D的位置，AD与y轴交于点E，若B（2，4），则OE的长为　　． 【分析】由四边形OABC是矩形与折叠的性质，易证得△AEC是等腰三角形，然后在Rt△AEO中，利用勾股定理求得AE，OE的长． 【解答】解：∵四边形OABC是矩形， ∴OC∥AB， ∴∠ECA＝∠CAB， 根据题意得：∠CAB＝∠CAD，∠CDA＝∠B＝90°， ∴∠ECA＝∠EAC， ∴EC＝EA， ∵B（2，4）， ∴AD＝AB＝4， 设OE＝x，则AE＝EC＝OC﹣OE＝4﹣x， 在Rt△AOE中，AE2＝OE2+OA2， 即（4﹣x）2＝x2+4， 解得：x＝， ∴OE＝， 故答案为：． 15．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则AE的长为（　　） A． B．3 C． D． 【分析】在Rt△BCE中，由BE2＝CE2+BC2，得到x2＝（4﹣x）2+32，即可求解． 【解答】解：设AE＝BE＝x，则CE＝4﹣x， 在Rt△BCE中，BE2＝CE2+BC2， 即x2＝（4﹣x）2+32， 解得x＝， 故选：D． 16．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是CD的中点，将△BCE沿BE翻折至△BFE，连接DF，则DF的长度是（　　） A． B． C． D． 【分析】由勾股定理可求BE的长，由折叠的性质可得CE＝EF＝2，BE⊥CF，FH＝CH，由面积法可求CH＝，由勾股定理可求EH的长，由三角形中位线定理可求DF＝2EH＝． 【解答】解：如图，连接CF，交BE于H， ∵在正方形ABCD中，AB＝4，E是CD的中点， ∴BC＝CD＝4，CE＝DE＝2，∠BCD＝90°， ∴BE＝＝＝2， ∵将△BCE沿BE翻折至△BFE， ∴CE＝EF＝2，BE⊥CF，FH＝CH， ∵S△BCE＝×BE×CH＝×BC×CE， ∴CH＝， ∴EH＝＝＝， ∵CE＝DE，FH＝CH， ∴DF＝2EH＝， 故选：D． 17．如图，平面直角坐标系中，点D的坐标为（15，9），过点D作DA⊥y轴，DC⊥x轴，点E为y轴上一点，将△AED沿直线DE折叠，点A落在边BC上的点F处． （1）请你直接写出点A的坐标； （2）求FC，AE的长； （3）求四边形EOFD的面积． 【分析】（1）证明四边形AOCD是矩形，再结合D的坐标即可得出结果； （2）根据折叠的性质得出DF的长，再根据勾股定理求出CF的长，即可得出OF的长，设AE＝x，在Rt△OEF中根据勾股定理得出等式求解得出AE的长即可； （3）根据折叠的性质可知，四边形EOFD的面积＝S△EOF+S△EFD＝S△EOF+S△AED，再根据三角形的面积公式求解即可． 【解答】解：（1）∵DA⊥y轴，DC⊥x轴，∠AOC＝90°， ∴四边形AOCD是矩形， ∵D的坐标为（15，9）， ∴AD＝OC＝15，CD＝AO＝9， ∴A（0，9）； （2）∵将△AED沿直线DE折叠，点A落在边BC上的点F处． ∴DF＝AD＝15， ∴CF＝＝12， ∴OF＝OC﹣CF＝15﹣12＝3， 设AE＝x，则EF＝x，OE＝9﹣x， 在Rt△OEF中，由勾股定理得， OE2+OF2＝EF2， 即（9﹣x）2+32＝x2， 解得x＝5， ∴AE＝5； （3）由（2）知AE＝5， ∴OE＝9﹣5＝4， 由折叠的性质可知，S△AED＝S△DFE， ∴四边形EOFD的面积＝S△EOF+S△EFD＝S△EOF+S△AED ＝ ＝ ＝． 类型三：勾股定理解决实际问题 18．如图，一棵直立的大树在一次强台风中被折断，折断处离地面2米，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（　　） A．米 B．米 C．4米 D．6米 【分析】根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出折断部分的长度，再加上离地面的距离就是折断前树的高度． 【解答】解：如图，根据题意BC＝2米，∠BCA＝90°， ∵∠BAC＝30°， ∴AB＝2BC＝2×2＝4米， ∴2+4＝6米． 故选：D． 19．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.1米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离AD等于（　　） A．1.2米 B．1.3米 C．1.5米 D．2米 【分析】过点D作DE⊥AB于点E，构造Rt△ADE，利用勾股定理求得AD的长度即可． 【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E， ∵AB＝2.1米，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米， ∴AE＝AB﹣BE＝2.1﹣1.6＝0.5（米）． 在Rt△ADE中，由勾股定理得到：（米）， 故选：B． 20．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时12n mile的速度沿北偏东60°方向航行，“海天”号以每小时16n mile的速度沿北偏西30°方向航行.2小时后，“远航”号、“海天”号分别位于M，N处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为 　40　n mile． 【分析】根据题意可得：MP＝24海里，NP＝32海里，∠APM＝60°，∠APN＝30°，从而可得∠NPM＝90°，然后在Rt△NPM中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【解答】解：如图： 由题意得：MP＝12×2＝24（海里），NP＝16×2＝32（海里），∠APM＝60°，∠APN＝30°， ∴∠NPM＝∠APN+∠APM＝90°， 在Rt△NPM中，MN＝＝＝40（海里）， ∴此时“远航”号与“海天”号的距离为40n mile， 故答案为：40． 21．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离AB长度为1尺．将它往前水平推送10尺，即A'C＝10尺，则此时秋千的踏板离地距离A'D就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索OA长为 　14.5　尺． 【分析】设秋千的绳索长OA＝x尺，由题意知：OC＝x﹣（5﹣1）＝（x﹣4）尺，CA′＝10尺，OA′＝x尺，根据勾股定理列方程即可得出结论． 【解答】解：设秋千的绳索长为x尺， 由题意知：OC＝x﹣（5﹣1）＝（x﹣4）尺，CA′＝10尺，OA′＝x尺， 在Rt△OCA′中，OC2+CA′2＝CA′2， ∴（x﹣4）2+102＝x2， 解得：x＝14.5， 答：绳索OA长为14.5尺． 故答案为：14.5． 22．如图是某小区两面直立的墙壁之间的安全通道的示意图，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米．如果保持梯子底端位置（点B）不动，将梯子斜靠在右墙，梯子顶端到地面的距离AD为1.5米．求这两面直立墙壁之间的安全通道的宽CD． 【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB长，再在Rt△A′BD中，利用勾股定理求出BD长，然后可得CD的长． 【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝＝2.5（米）， ∴A′B＝AB＝2.5米， 在Rt△A′BD中，由勾股定理得：BD＝＝＝2（米）， ∴BC+BD＝0.7+2＝2.7（米）， 答：这两面直立墙壁之间的安全通道的宽CD为2.7米． 23．如图，两条公路l1、l2交于点O，在公路l2旁有一学校A，与O点的距离为170m，点A（学校）到公路l1的距离AM为80m，一大货车从O点出发，行驶在公路l1上，汽车周围100m范围内有噪音影响． （1）货车开过学校是否受噪音影响？为什么？ （2）若汽车速度为80km/h，则学校受噪音影响多少秒钟？ 【分析】（1）根据点A（学校）到公路l1的距离AM为80m，一大货车从O点出发，行驶在公路l1上，汽车周围100m范围内有噪音影响，即可得出结论； （2）设货车开过，在点B至点D学校受噪音影响，则AB＝AD＝100m，由等腰三角形的性质得BM＝DM，再由勾股定理得BM＝60m，则BD＝120m，即可解决问题． 【解答】解：（1）货车开过学校受噪音影响，理由如下： ∵点A（学校）到公路l1的距离AM为80m，大货车从O点出发，行驶在公路l1上，汽车周围100m范围内有噪音影响，80＜100， ∴货车开过学校受噪音影响； （2）如图，设货车开过，在点B至点D学校受噪音影响，则AB＝AD＝100m， ∵AM⊥l1， ∴BM＝DM， 由勾股定理得：BM＝＝60（m）， ∴BD＝2BM＝120（m）， ∵汽车速度为80km/h＝22m/s， ∴影响时间＝120÷22＝5.4（秒）， 答：学校受噪音影响5.4秒钟． 24．在“欢乐周末•非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离BD为15m；根据手中余线长度，计算出AC的长度为17m；牵线放风筝的手到地面的距离AB为1.5m．已知点A，B，C，D在同一平面内． （1）求风筝离地面的垂直高度CD； （2）在余线仅剩7.5m的情况下，若想要风筝沿射线DC方向再上升12m，请问能否成功？请运用数学知识说明． 【分析】（1）过点A作AE⊥CD于点E，在Rt△AEC中，根据勾股定理即可求解； （2）假设能上升12m，作图Rt△AEF，根据勾股定理可得AF＝25m，再根据题意，17+7.5＝24.5＜25，即可求解． 【解答】解：（1）如图1所示，过点A作AE⊥CD于点E，则AE＝BD＝15m，AB＝CD＝1.5m，∠AEC＝90°， 在Rt△AEC中，CE＝＝＝8（m）， ∴CD＝CE+CD＝8+1.5＝9.5（m）； （2）不能成功，理由如下： 假设能上升12m，如图所示，延长DC至点F，连接AF，则CF＝12m， ∴EF＝CE+CF＝8+12＝20（m）， 在Rt△AEF中，AF＝＝＝25（m）， ∵AC＝17m，余线仅剩7.5m， ∴17+7.5＝24.5＜25， ∴不能上升12m，即不能成功． 类型四：勾股定理探究动点问题中的直角三角形存在问题 25．如图，点A是射线BM外一点，连接AB，若AB＝5cm，点A到BM的距离为3cm，动点P从点B出发沿射线BM以2cm/s的速度运动．设运动的时间为t秒，当△ABP为直角三角形时，t的值为（　　） A． B．2 C．2或 D．2或 【分析】过点A作AH⊥BM，利用勾股定理先求出BH＝4cm，再分当∠APB＝90°时，当∠BAP＝90°时，两种情况讨论求解即可． 【解答】解：过点A作AH⊥BM， ∵点A到BM的距离为3cm， ∴AH＝3cm， ∵AB＝5cm， 根据勾股定理，得， 当∠APB＝90°时，如图所示： 此时点P与点H重合，则BP＝BH＝4cm 根据题意，得2t＝4， 解得t＝2； 当∠BAP＝90°时，如图所示： ∵AB＝5cm，BP＝2tcm，AH＝3cm，BH＝4cm， ∴HP＝（2t﹣4）cm， 根据勾股定理，得AP2＝BP2﹣AB2＝4t2﹣25，AP2＝AH2+HP2＝9+（2t﹣4）2， ∴4t2﹣25＝9+（2t﹣4）2， 解得； 综上所述，当△ABP为直角三角形时，t的值为2或， 故选：D． 26．如图，在△ABC中，AB＝21cm，AC＝12cm，∠A＝60°，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒，当△APQ为直角三角形时，则t的值为 　3或　秒． 【分析】根据题意，先列出AP，AQ的代数式，当△APQ为直角三角形时，则∠AQP＝90°，∠APQ＝30°或∠APQ＝90°，∠AQP＝30°，再根据30°角所对的边是斜边的一半，建立关于t的方程求解即可． 【解答】解：根据题意得：BP＝3tcm，AQ＝2tcm，0≤t≤6． ∴AP＝AB﹣BP＝（21﹣3t）cm， 当∠AQP＝90°时， ∵∠A＝60°， ∴∠APQ＝30°， ∴， ∴， 解得：t＝3， 当∠APQ＝90°时， ∵∠A＝60°， ∴∠AQP＝30°， ∴， ∴， 解得：， 综上，当t的值为3秒或秒时，△APQ为直角三角形． 故答案为：3或． 27．如图：在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，BD是∠ABC的角平分线．（1）则CD＝　3cm　； （2）若点E是线段AB上的一个动点，从点B以每秒1cm的速度向A运动，　6或　秒钟后△EAD是直角三角形． 【分析】（1）过点D作DE⊥AB于E，利用角平分线的性质得CD＝DE，再根据面积法可得答案； （2）分∠ADE＝90°或∠AED＝90°两种情形，分别画出图形，利用勾股定理可得答案． 【解答】解：（1）如图，过点D作DE⊥AB于E， 在Rt△ABC中，由勾股定理得， AB＝， ∵BC⊥AC，DE⊥BE，BD是∠ABC的角平分线， ∴CD＝DE， ∵S ∴设CD＝DE＝x， 则（8﹣x）×6＝10x， 解得x＝3， 即CD＝3cm， 故答案为：3cm； （2）如图，当ED⊥AD时， 则ED∥BC， ∴∠CBD＝∠BDE， ∴∠BDE＝∠EBD， ∴BE＝DE， 设t秒后△EAD是直角三角形， 则BE＝DE＝t cm， 在Rt△ADE中，由勾股定理得， 52+t2＝（10﹣t）2， 解得t＝， 当DE⊥AB时，由（1）得CD＝DE＝3cm， ∵BD＝BD， ∴Rt△CBD≌Rt△EBD（HL）， ∴BE＝BC＝6cm， ∴t＝6， 故答案为：6或． 28．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝16，BC＝12，D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA向点A运动，当运动到点A时停止．已知点D运动的速度为每秒2个单位长度，设点D运动的时间为t s，当△BCD是直角三角形时，t的值为　或10　． 【分析】分①∠CDB＝90°时，利用△ABC的面积列式计算即可求出BD，然后利用勾股定理列式求解得到CD，再根据时间＝路程÷速度计算；②∠CBD＝90°时，点D和点A重合，然后根据时间＝路程÷速度计算即可得解； 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝16，BC＝12， ∴AB＝＝20， ①∠CDB＝90°时，S△ABC＝AC•BD＝AB•BC， 即×20•BD＝×16×12， 解得BD＝， 所以CD＝＝， t＝÷2＝（秒）； ②∠CBD＝90°时，点D和点A重合， t＝20÷2＝10（秒）， 综上所述，t＝或10； 29．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，点P从点B出发，以每秒4cm的速度沿折线B→A→C→B运动，设运动时间为t秒（t＞0）． （1）若点P在AC上，则线段PC的长为　（18﹣4t）　cm；（用含t的式子表示） （2）点P在运动过程中，若△BCP是以PB为底边的等腰三角形，求t的值． 【分析】（1）勾股定理求出AC的长，根据路程等于速度乘以时间，求出点P运动的路程，进而表示出AP，再用AC﹣AP，表示出CP即可； （2）根据△BCP是以PB为底边的等腰三角形，得到BC＝CP，分点P在AB上和点P在AC上，两种情况进行讨论求解即可． 【解答】解：（1）∵BC＝6cm，∠ACB＝90°，AB＝10cm， ∴， 由题意，得：点P移动的路程为4t cm， ∴AP＝（4t﹣10）cm， ∴CP＝AC﹣AP＝（18﹣4t）cm； 故答案为：（18﹣4t）； （2）①当点P在边AC上时： 则：6＝18﹣4t． ∴t＝3． ②当点P在边AB上时： 过点定C作作CD⊥AB于点D． ∴PB＝2BD． ∵， ∴10CD＝6×8． ∴． ∴． ∴． 即． ∴． 综上所述，t的值为3秒或秒． 30．如图（1），在等边△ABC中，BC＝15厘米，点E以2厘米/秒的速度从点B出发向点A运动（不与点A重合），点F以1厘米/秒的速度从点A出发向点C运动（不与点C重合），设点E，F同时运动，运动时间为t秒． （1）在点E，F运动过程中，经过几秒时△AEF为等边三角形？ （2）在点E，F运动过程中，△AEF的形状能否为直角三角形？若能，请求出时间t的值；若不能，请说明理由． 【分析】（1）由等边三角形的判定，当AE＝AF时，△AEF是等边三角形，由此即可解决问题； （2）分两种情况，由直角三角形的性质即可求解． 【解答】解：（1）由题意得：AF＝t，AE＝15﹣2t， 则，当AE＝AF时，△AEF是等边三角形， ∴15﹣2t＝t，解得：t＝5， ∴经过5s时，△AEF为等边三角形； （2）△AEF的形状能为直角三角形． 分两种情况，理由如下： ①如图1，当∠AFE＝90°时， 因为，∠A＝60°， 所以，∠AEF＝30°， 因为，， 所以，， 所以，； ②如图2，当∠AEF＝90°时，∠AFE＝30°， 所以，， 所以，． 所以，t＝6， ∴当运动时间为或6s时，△AEF为直角三角形． 类型五：对角线垂直的四边形（垂美四边形） 31．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若AD＝2，BC＝7，则AB2+CD2等于（　　） A．45 B．49 C．50 D．53 【分析】在Rt△AOB与Rt△COD中，由勾股定理得，AB2＝OA2+OB2，CD2＝OD2+OC2，再将两式相加根据勾股定理即可求解． 【解答】解：在Rt△AOB与Rt△COD中，由勾股定理得， AB2＝OA2+OB2，CD2＝OD2+OC2， ∴AB2+CD2＝OA2+OB2+OC2+OD2 ＝AD2+BC2 ＝22+72 ＝53， 故选：D． 32．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若AD＝4，BC＝2，则AB2+CD2＝ 　20　． 【分析】利用勾股定理求解可得结论． 【解答】解：∵AC⊥BD， ∴AB2+CD2 ＝OA2+OB2+OD2+OC2 ＝AD2+BC2 ＝42+22 ＝20． 故答案为：20． 33．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝ 　20　． 【分析】根据垂直的定义和勾股定理解答即可． 【解答】解：∵AC⊥BD， ∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°， 由勾股定理得，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2， AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2， ∴AB2+CD2＝AD2+BC2， ∵AD＝2，BC＝4， ∴AB2+CD2＝22+42＝20． 故答案为：20． 34．定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形．现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，若AB＝5，CD＝6，求AD2+BC2． 【分析】根据“垂美”四边形的定义得AD2+BC2＝OA2+OD2+OC2+OB2＝AB2+CD2，代入AB＝5，CD＝6进行计算，即可作答． 【解答】解：∵四边形ABCD是“垂美”四边形， ∴AC⊥BD， 则AD2+BC2＝OA2+OD2+OC2+OB2＝AB2+CD2， ∵AB＝5，CD＝6， ∴AD2+BC2＝AB2+CD2＝52+62＝25+36＝61． 35．模型介绍 （1）定义：我们把对角线互相垂直的四边形称为垂美四边形．性质：垂美四边形对边的平方和相等，即AB2+CD2＝BC2+AD2，请结合图1证明这个结论． （2）如图2，在长方形ABCD中，AB＝6，P是AD边上一点，且AP＝2PD，CP⊥BD，求AD的长． 【分析】（1）根据勾股定理可得结论； （2）连接PB，由（1）中的结论得：PD2+BC2＝PB2+CD2，设PD＝x，则AP＝2x，代入可得x的值，从而得AD的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是垂美四边形， ∴AC⊥BD， ∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°， 由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2， AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2， ∴AB2+CD2＝BC2+AD2； （2）解：如图，连接PB， 设PD＝x，则AP＝2x， ∵BD⊥PC， ∴PD2+BC2＝PB2+CD2， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝6， ∴x2+（3x）2＝62+62+（2x）2， ∴x＝2（负值舍）， ∴AD＝3x＝6． 36．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O． （1）若AO＝2，BO＝3，CO＝4，DO＝5，请求出AB2，BC2，CD2，DA2的值； （2）若AB＝6，CD＝10，求BC2+AD2的值； （3）请根据（1）（2）题中的信息，写出关于“垂美”四边形关于边的一条结论． 【分析】（1）根据垂直得到的直角三角形，利用勾股定理，得到结果； （2）根据勾股定理得到的关系式，得到BC2+AD2＝136； （3）根据（1）（2）可得到：垂美四边形的两组对边的平方和相等． 【解答】解：（1）∵AC⊥BD， ∴△ABO是直角三角形， ∴AB2＝AO2+BO2， 同理，可得：BC2＝BO2+CO2，CD2＝CO2+DO2，AD2＝AO2+DO2， ∵AO＝2，BO＝3，CO＝4，DO＝5， ∴AB2＝13，BC2＝25，CD2＝41，AD2＝29； （2）由（1）得： BC2+AD2＝（BO2+CO2）+（AO2+DO2） ＝（BO2+AO2）+（CO2+DO2） ＝AB2+CD2， 即：BC2+AD2＝AB2+CD2， ∵AB＝6，CD＝10， ∴BC2+AD2＝62+102＝136； （3）结论：“垂美”四边形的两组对边的平方和相等． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$