第03讲 勾股定理逆定理（3个知识点+5类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（人教版）

第03讲 勾股定理逆定理 课程标准 学习目标 ①互逆命题与互逆定理 ②勾股定理逆定理 ③勾股数 1. 掌握互逆命题与互逆定理的相关概念并能够熟练的作相应的判断。 2. 掌握勾股定理的逆定理内容，并能够熟练的运用它来判断直角三角形。 3. 掌握勾股数并能够判断勾股数并能够熟练应用勾股数。 知识点01 互逆命题与互逆定理 1. 互逆命题的概念： 如果两个命题的 与 正好相反，那么这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫它的逆命题。 2. 互逆定理的概念： 如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理。其中一个定理称为另一个定理的逆定理。 【即学即练1】 1．命题“两直线平行，内错角相等”的逆命题为（　　） A．两直线相交，内错角相等 B．内错角相等，两直线相交 C．内错角相等，两直线平行 D．以上都不对 【即学即练2】 2．下列定理中，没有逆定理的是（　　） A．两直线平行，同旁内角互补 B．线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等 C．两个全等三角形的对应角相等 D．在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 知识点02 勾股定理逆定理 1. 勾股定理逆定理内容： 在△ABC中，如果三角形的三边分别是且满足 ，则该三角形一定是有一个直角三角形且∠C是直角。 勾股定理的逆定理用于判断一个三角形是不是直角三角形。 2. 直角三角形的判定 ①勾股定理逆定理 ②三角形中有一个角是90°。 ③三角形中有两个角之和为90°。 【即学即练1】 3．下列各组数据中，能作为直角三角形的三边长的是（　　） A．2，3，4 B．3，4，5 C．5，6，7 D．7，8，9 【即学即练2】 4．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（　　） A．a2+b2＝c2 B．a：b：c＝3：4：5 C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 知识点03 勾股数 1. 勾股数的定义： 满足勾股定理（即）的三个 称为勾股数。 注意：①一定要满足勾股定理；②一定要是正整数。 2. 常见的勾股数类型： 基本勾股数：（3，4，5）（6，8，10） ①倍数型勾股数： ②奇数规律：满足的三个正整数。（为奇数） ③偶数规律：满足的三个正整数。（为偶数） 【即学即练1】 5．下列各组数是勾股数的是（　　） A．4，5，6 B．0.5，1.2，1.3 C．1，1， D．5，12，13 【即学即练2】 6．有一组勾股数，知道其中的两个数分别是24和7，则第三个数是 　 　． 【即学即练3】 7．已知a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，且n为整数（n≥2），求证：a，b，c为勾股数． 题型01 互逆命题与互逆定理及其真假的判断 【典例1】下列各命题的逆命题成立的是（　　） A．全等三角形的对应角相等 B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 C．两直线平行，同位角相等 D．如果两个角都是45°，那么这两个角相等 【变式1】下列命题的逆命题为真命题的是（　　） A．如果a＝b，那么a2＝b2 B．无理数是无限小数 C．对顶角相等 D．两直线平行，同旁内角互补 【变式2】定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是（　　） A．有两个角相等的三角形是等腰三角形 B．有两个底角相等的三角形是等腰三角形 C．有两个角不相等的三角形不是等腰三角形 D．不是等腰三角形的两个角不相等 【变式3】下列定理中，没有逆定理的是（　　） A．两直线平行，内错角相等 B．直角三角形两锐角互余 C．对顶角相等 D．同位角相等，两直线平行 题型02 判断是否为直角三角形 【典例1】在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对应边分别是a、b、c，下列条件中不能说明△ABC是直角三角形的是（　　） A．a＝0.6，b＝0.8，c＝1 B．∠C＝∠A+∠B C．a：b：c＝5：12：13 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 【变式1】以下列线段a，b，c的长为边，能构成直角三角形的是（　　） A．a＝1，b＝1，c＝2 B．a＝3，b＝4，c＝5 C．a＝5，b＝10，c＝12 D．a＝4，b＝5，c＝6 【变式2】若a，b，c为△ABC的三边，下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（　　） A．∠B＝∠A﹣∠C B．a2＝（b+c）（b﹣c） C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D． 【变式3】△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 C．a2＝c2﹣b2 D．a：b：c＝4：4：6 题型03 勾股定理逆定理的应用 【典例1】已知a、b、c是三角形的三边长，若满足，则三角形的形状是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【变式1】如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝9m，BC＝12m，CD＝8m，AD＝17m，则四边形ABCD的面积为（　　） A．108m2 B．114m2 C．122m2 D．158m2 【变式2】如图，一块四边形ABCD，已知AD＝4m，CD＝3m，∠ADC＝90°，AB＝13m，BC＝12m，则这块地的面积为（　　）m2． A．24 B．30 C．48 D．60 【变式3】水利是农业的命脉，开远民间历来重视兴修水利，坝区明代即已筑堰修渠，开通东沟、西沟，引泸江、南洞水灌溉农田，经历代不断修拓完善，成为城郊灌溉干渠．这些沟渠凝聚了一代又一代开远人的智慧和心血，历经岁月磨砺、时光雕琢，成为最美的风景，在开远东沟的一侧有一个花卉基地，基地到东沟原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，为方便花卉基地取水，决定在东沟新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条路CD，测得BC＝39m，CD＝36m，BD＝15m． （1）求证：CD⊥AB； （2）求新路CD比原来的路AC少多少米． 题型04 判断勾股数及其求值 【典例1】在下列四组数中，属于勾股数的是（　　） A．1，， B．6，8，10 C．7，8，9 D．0.3，0.4，0.5 【变式1】下列各组数中，不是勾股数的是（　　） A．5，8，12 B．30，40，50 C．9，40，41 D．6，8，10 【变式2】当n为正整数时，下列各组数：①3n，4n，5n；②，，；③2n﹣1，2n+1，2n+3．其中是勾股数的是（　　） A．① B．①② C．①③ D．②③ 【变式3】若3、4、a为勾股数，则a的值为（　　） A． B．5 C．5或7 D．5或 题型05 勾股数的简单证明 【典例1】古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，那么a，b，c为勾股数，你认为正确吗？如果正确，请说明理由，并利用这个结论得出一组勾股数． 【变式1】以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为（3，4，5），类似地，还可得到下列勾股数组：（8，6，10），（15，8，17），（24，10，26）等． （1）根据上述四组勾股数的规律，写出第六组勾股数； （2）用含n（n≥2且n为整数）的数学等式描述上述勾股数组的规律，并证明． 【变式2】满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数． （1）请把下列三组勾股数补充完整： ①　 　，8，10；②5，　 　，13：③8，15，　 　． （2）任取两个正整数m和n（m＞n），请你证明这三个整数2mn，m2+n2，m2﹣n2是勾股数． 【变式3】我们知道，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．通过观察常见勾股数“6，8，10”“8，15，17”……猜想一组正整数a，b，c（a＜b＜c），当最小数a为偶数时，另两个正整数b和c满足，则a，b，c是一组勾股数． （1）根据猜想，一组正整数中，最小数a为10，则另两个数分别是b＝　 ，c＝　 　； （2）请再举一例证明猜想成立． 1．下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（　　） A．1，1， B．6，8，10 C．5，12，13 D．，2， 2．下列命题中，正确的是（　　） A．直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方 B．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，若 a2+b2＝c2，则∠A＝90° C．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，若 c2﹣a2＝b2，则∠B＝90° D．如果一个三角形中两边的平方差等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 3．在△ABC中，AB＝8，BC＝15，AC＝17，则下列结论正确的是（　　） A．△ABC是直角三角形，且∠A＝90° B．△ABC是直角三角形，且∠B＝90° C．△ABC是直角三角形，且∠C＝90° D．△ABC不是直角三角形 4．下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．b2＝（a+c）（a﹣c） B．AB：BC：AC＝1：2： C．∠A﹣∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 5．若△ABC三边a，b，c满足，那么△ABC的形状是（　　） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 6．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.1米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离AD等于（　　） A．1.2米 B．1.3米 C．1.5米 D．2米 7．如图，△ABC在每个小正方形边长都为1的网格图中，顶点都在格点上，下列结论不正确的是（　　） A．BC＝5 B．△ABC的面积为5 C．∠A＝90° D．点A到BC的距离为 8．杜甫曾经哀叹“茅屋为秋风所破”，苦于杜甫不曾学过今日几何，不然也不会如此绝望．现在我们来看一茅屋的屋顶剖面，它呈等腰三角形，如果屋檐AB＝AC＝5米，横梁BC＝8米，那么从梁BC上的任意一点D要支一根木头顶住屋顶A处，这根木头需要长度可能是（　　） A．2.5米 B．6米 C．4米 D．8米 9．如图，一架25m的云梯AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为24m．如果梯子AB的底端向墙一侧移动了2m，那么梯子的顶端向上滑动的距离是（　　） A． B．1m C．2m D． 10．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步＝10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（　　） A．x2+102＝（x+1）2 B．（x+1）2+102＝x2 C．x2+102＝（x﹣4）2 D．（x﹣4）2+102＝x2 11．若8，a，17是一组勾股数，则a＝ 　 　． 12．如图，在四边形ABCD中，DA⊥AB，，BC＝，DC＝1，则∠ADC的度数是 　 　． 13．三角形的三边a，b，c满足（a﹣b）2＝c2﹣2ab，则这个三角形是　 　． 14．勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），…．分析上面勾股数组可以发现，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…分析上面规律，第4个勾股数组为　 　． 15．勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，显然这个方程有无数解，满足该方程的正整数（a，b，c）通常叫做勾股数．如果三角形最长边c＝2n2+2n+1，其中一短边a＝2n+1，另一短边为b，如果a，b，c是勾股数，则b＝　 　（用含n的代数式表示，其中n为正整数） 16．如图：在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13． （1）试判断△ACD的形状，并说明理由； （2）求四边形ABCD的面积． 17．已知：整式A＝n2+1，B＝2n，C＝n2﹣1，整式C＞0． （1）当n＝1999时，写出整式A+B的值 　 　（用科学记数法表示结果）； （2）求整式A2﹣B2； （3）嘉淇发现：当n取正整数时，整式A、B、C满足一组勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请说明理由． 18．综合与实践 主题：探索认识无理数． 素材：每个小正方形的面积为1个单位的方格纸． 原理：借助勾股定理，在直角三角形中，如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，（1）那么有a2+b2＝ 　 ； （2）步骤1：在两条直角边长都为1的直角三角形中，以其斜边构造一个正方形，面积是 　 　，通过观察和计算，你发现其斜边不是整数，也 　 　（填“是或不是”）分数； （3）步骤2：根据以上原理和步骤，请你以方格纸为顶点，画一个面积为5的正方形，求出这个正方形的边长是多少？说一说它是什么数？ 19．已知：如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝5，△ABC的周长为30．（1）证明：△ABC是直角三角形； （2）过点C作CD⊥AB于点D，点E为AB边上的一点，且CE＝BE，过点E作EF⊥AB交∠ACB的角平分线于点F． ①证明：∠DCF＝∠ECF； ②求线段EF的长． 20．我国历史上对勾股数的研究有非常辉煌的成就．据我国西汉时期算书《周髀算经》记载，约公元前1100年，人们就已经知道“勾广三、股修四、径隅五”（古人把较短的直角边为勾，较长的直角边称为股，而斜边则为弦）．在西方，也有“勾三股四弦五”的定理，《周髀算经》比西方早了五百多年，这一定理在西方称为“毕达哥拉斯定理”． 勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a、b、c的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数，如：（3，4，5）、（5，12，13）． 下面我们来探究一类特殊的勾股数，观察下面的表格并解答下列问题： a b e 3 4 5 5 12 13 7 m 25 t x y （1）m＝　 　； （2）若t（t≥3）为奇数，则x＝　 　，y＝　 　（用含t的代数式表示）； 【知识迁移】 （3）5k、12k、13k（k是正整数）是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由； .（4）在Rt△ABC中，当，时，斜边c的值为 　 　； 【知识应用】 （5）如图所示，有一张直角三角形的纸片ABC，直角边AC＝6，BC＝8，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上与AE重合，则CD＝　 　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 勾股定理逆定理 课程标准 学习目标 ①互逆命题与互逆定理 ②勾股定理逆定理 ③勾股数 1. 掌握互逆命题与互逆定理的相关概念并能够熟练的作相应的判断。 2. 掌握勾股定理的逆定理内容，并能够熟练的运用它来判断直角三角形。 3. 掌握勾股数并能够判断勾股数并能够熟练应用勾股数。 知识点01 互逆命题与互逆定理 1. 互逆命题的概念： 如果两个命题的 题设 与 结论 正好相反，那么这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫它的逆命题。 2. 互逆定理的概念： 如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理。其中一个定理称为另一个定理的逆定理。 【即学即练1】 1．命题“两直线平行，内错角相等”的逆命题为（　　） A．两直线相交，内错角相等 B．内错角相等，两直线相交 C．内错角相等，两直线平行 D．以上都不对 【分析】将原命题的条件和结论互换，得到原命题的逆命题． 【解答】解：逆命题是：“内错角相等，两直线平行”， 故选：C． 【即学即练2】 2．下列定理中，没有逆定理的是（　　） A．两直线平行，同旁内角互补 B．线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等 C．两个全等三角形的对应角相等 D．在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 【分析】写出各个定理的逆命题，判定真假即可． 【解答】解：A、逆命题为：同旁内角互补，两直线平行，正确，不符合题意； B、逆命题为：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，不符合题意； C、逆命题为：对应角相等的两个三角形全等，错误，符合题意； D、逆命题为：角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，正确，不符合题意； 故选：C． 知识点02 勾股定理逆定理 1. 勾股定理逆定理内容： 在△ABC中，如果三角形的三边分别是且满足 ，则该三角形一定是有一个直角三角形且∠C是直角。 勾股定理的逆定理用于判断一个三角形是不是直角三角形。 2. 直角三角形的判定 ①勾股定理逆定理 ②三角形中有一个角是90°。 ③三角形中有两个角之和为90°。 【即学即练1】 3．下列各组数据中，能作为直角三角形的三边长的是（　　） A．2，3，4 B．3，4，5 C．5，6，7 D．7，8，9 【分析】根据勾股定理的逆定理对题目中的四个选项逐一进行判断即可得出答案． 【解答】解：对于选项A， ∵22+32＝13，42＝16， ∴22+32≠42， ∴选项A中的数据作为三角形三边长，不是直角三角形，故该选项不符合题意； 对于选项B， ∵32+42＝25，52＝25， ∴32+42＝52， ∴选项B中的数据作为三角形三边长，是直角三角形，故该选项符合题意； 对于选项C， ∵52+62＝61，72＝49， ∴52+62≠72， ∴选项C中的数据作为三角形三边长，不是直角三角形，故该选项不符合题意； 对于选项D， ∵72+82＝113，92＝81， ∴72+82≠92， ∴选项D中的数据作为三角形三边长，不是直角三角形，故该选项不符合题意． 故选：B． 【即学即练2】 4．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（　　） A．a2+b2＝c2 B．a：b：c＝3：4：5 C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、a2+b2＝c2，符合勾股定理的逆定理，能够判断△ABC是直角三角形，不符合题意； B、设a＝3k，b＝4k，c＝5k，（3k）2+（4k）2＝（5k）2，符合勾股定理的逆定理，能够判断△ABC是直角三角形，不符合题意； C、由∠A+∠B＝∠C，可得∠C＝90°，能够判断△ABC是直角三角形，不符合题意； D、设∠A＝3x°，∠B＝4x°，∠C＝5x°，那么∠A＝45°、∠B＝60°、∠C＝75°，不能判断△ABC是直角三角形，符合题意． 故选：D． 知识点03 勾股数 1. 勾股数的定义： 满足勾股定理（即）的三个 正整数 称为勾股数。 注意：①一定要满足勾股定理；②一定要是正整数。 2. 常见的勾股数类型： 基本勾股数：（3，4，5）（6，8，10） ①倍数型勾股数： ②奇数规律：满足的三个正整数。（为奇数） ③偶数规律：满足的三个正整数。（为偶数） 【即学即练1】 5．下列各组数是勾股数的是（　　） A．4，5，6 B．0.5，1.2，1.3 C．1，1， D．5，12，13 【分析】若三个正整数满足两较小的数的平方和等于最大数的平方，那么这三个数是勾股数，据此求解即可． 【解答】解：A、∵42+52＝16+25＝41≠62， ∴4，5，6不是勾股数，不符合题意； B、∵0.5，1.2，1.3这三个数都不是正整数， ∴0.5，1.2，1.3不是勾股数，不符合题意； C、∵1，1，这三个数不都是正整数， ∴1，1，不是勾股数，不符合题意； D、∵52+122＝25+144＝169＝132， ∴5，12，13是勾股数，符合题意； 故选：D． 【即学即练2】 6．有一组勾股数，知道其中的两个数分别是24和7，则第三个数是 　25　． 【分析】设第三个数为x，根据勾股定理的逆定理得：①x2+72＝242，②242+72＝x2．再解x即可． 【解答】解：设第三个数为x， ∵是一组勾股数， ∴①x2+72＝242， 解得：x＝（不合题意，舍去）， ②242+72＝x2， 解得：x＝25， 故答案为：25． 【即学即练3】 7．已知a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，且n为整数（n≥2），求证：a，b，c为勾股数． 【分析】分别求出n2﹣1与2n的平方和，再分解因式发现正好等于（n2+1）的平方． 【解答】证明：∵a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1（n≥2，且n为整数）， a2＝（n2﹣1）2＝n4﹣2n2+1， b2＝4n2， c2＝（n2+1）2， a2+b2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2＝c2， ∴a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1（n≥2，且n为整数），是勾股数 题型01 互逆命题与互逆定理及其真假的判断 【典例1】下列各命题的逆命题成立的是（　　） A．全等三角形的对应角相等 B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 C．两直线平行，同位角相等 D．如果两个角都是45°，那么这两个角相等 【分析】首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假． 【解答】解：A、逆命题是三个角对应相等的两个三角形全等，错误； B、绝对值相等的两个数相等，错误； C、同位角相等，两条直线平行，正确； D、相等的两个角都是45°，错误． 故选：C． 【变式1】下列命题的逆命题为真命题的是（　　） A．如果a＝b，那么a2＝b2 B．无理数是无限小数 C．对顶角相等 D．两直线平行，同旁内角互补 【分析】把一个命题的题设和结论互换即可得到其逆命题，再逐个分析真假命题即可． 【解答】解：A、逆命题为：如果a2＝b2，那么a＝b，错误，为假命题； B、逆命题为：无限小数是无理数，错误，是假命题； C、逆命题为：相等的角是对顶角，错误，是假命题； D、逆命题为：同旁内角互补，两直线平行，正确，是真命题， 故选：D． 【变式2】定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是（　　） A．有两个角相等的三角形是等腰三角形 B．有两个底角相等的三角形是等腰三角形 C．有两个角不相等的三角形不是等腰三角形 D．不是等腰三角形的两个角不相等 【分析】根据题意可以写出原定理的逆定理，本题得以解决． 【解答】解：定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是有两个角相等的三角形是等腰三角形， 故选：A． 【变式3】下列定理中，没有逆定理的是（　　） A．两直线平行，内错角相等 B．直角三角形两锐角互余 C．对顶角相等 D．同位角相等，两直线平行 【分析】分别写出四个命题的逆命题，逆命题是真命题的就是逆定理，不成立的就是假命题，就不是逆定理． 【解答】解：A、两直线平行，内错角相等的逆定理是内错角相等，两直线平行； B、直角三角形两锐角互余逆定理是两锐角互余的三角形是直角三角形； C、对顶角相等的逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，逆命题是假命题； D、同位角相等，两直线平行逆定理是两直线平行，同位角相等； 故选：C． 题型02 判断是否为直角三角形 【典例1】在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对应边分别是a、b、c，下列条件中不能说明△ABC是直角三角形的是（　　） A．a＝0.6，b＝0.8，c＝1 B．∠C＝∠A+∠B C．a：b：c＝5：12：13 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理逐项判断即可． 【解答】解：A、∵a＝0.6，b＝0.8，c＝1，0.62+0.82＝12， ∴a2+b2＝c2， ∴△ABC为直角三角形，故选项A不符合题意； B、∵∠C＝∠A+∠B，∠A+∠B＝180°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC为直角三角形，故选项B不符合题意； C、∵a：b：c＝5：12：13， ∴a2+b2＝c2， ∴△ABC为直角三角形，故选项C不符合题意； D、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+C＝180°， ∴最大∠C＝×180°＝75°， ∴△ABC不是直角三角形，故选项D符合题意； 故选：D． 【变式1】以下列线段a，b，c的长为边，能构成直角三角形的是（　　） A．a＝1，b＝1，c＝2 B．a＝3，b＝4，c＝5 C．a＝5，b＝10，c＝12 D．a＝4，b＝5，c＝6 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可进行逐一判断即可． 【解答】解：A、因为1+12≠22，故不能构成直角三角形，故A不符合题意； B、因为32+42＝52，故能构成直角三角形，故B符合题意； C、因为52+102≠122，故不能构成直角三角形，故C不符合题意； D、因为42+52≠62，故不能构成直角三角形，故D不符合题意． 故选：B． 【变式2】若a，b，c为△ABC的三边，下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（　　） A．∠B＝∠A﹣∠C B．a2＝（b+c）（b﹣c） C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D． 【分析】根据三角形内角和定理可分析出A、C的正误；根据勾股定理逆定理可分析出B、D的正误． 【解答】解：A、∵∠B＝∠A﹣∠C，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠A＝∠B+∠C， ∴∠A＝90°， ∴△ABC为直角三角形，不符合题意； B、∵a2＝（b+c）（b﹣c），即a2＝b2﹣c2， ∴b2＝a2+c2， ∴能构成直角三角形，不符合题意； C、设∠A＝3x°，∠B＝4x°，∠C＝5x°， 3x+4x+5x＝180， 解得：x＝15， 则5x°＝75°， △ABC不是直角三角形，符合题意； D、∵12+（）2＝（）2， ∴能构成直角三角形，不符合题意． 故选：C． 【变式3】△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 C．a2＝c2﹣b2 D．a：b：c＝4：4：6 【分析】根据三角形内角和定理可分析出A、B的正误；根据勾股定理逆定理可分析出C、D的正误． 【解答】解：A、∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意； B、设∠A＝x°，∠B＝2x°，∠C＝3x°， x+2x+3x＝180， 解得：x＝30， 则3x°＝90°， 是直角三角形，故此选项不合题意； C、∵a2＝c2﹣b2， ∴a2+b2＝c2， ∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意； D、∵42+42≠62， ∴不能构成直角三角形，故此选项符合题意； 故选：D． 题型03 勾股定理逆定理的应用 【典例1】已知a、b、c是三角形的三边长，若满足，则三角形的形状是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【分析】根据偶次方、算术平方根、绝对值的非负性得出a﹣6＝0，b﹣8＝0，c﹣10＝0，求出a、b、c的值，求出a2+b2＝c2，再根据勾股定理的逆定理判定即可． 【解答】解：∵（a﹣6）2++|c﹣10|＝0， ∴a﹣6＝0，b﹣8＝0，c﹣10＝0， ∴a＝6，b＝8，c＝10， ∴a2+b2＝c2， ∴三角形的形状是直角三角形， 故选：B． 【变式1】如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝9m，BC＝12m，CD＝8m，AD＝17m，则四边形ABCD的面积为（　　） A．108m2 B．114m2 C．122m2 D．158m2 【分析】连接AC，勾股定理求出AC的长，勾股定理逆定理得到△ACD为直角三角形，再利用分割法求出四边形的面积即可． 【解答】解：连接AC， ∵∠B＝90°，AB＝9m，BC＝12m， ∴AC＝＝＝15（cm）， ∵CD2+AC2＝82+152＝172＝AD2， ∴△ACD为直角三角形， ∴四边形ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD＝×9×12+×8×15＝114（cm2）； 故选：B． 【变式2】如图，一块四边形ABCD，已知AD＝4m，CD＝3m，∠ADC＝90°，AB＝13m，BC＝12m，则这块地的面积为（　　）m2． A．24 B．30 C．48 D．60 【分析】连接AC，由AD＝4m，CD＝3m，∠ADC＝90°利用勾股定理可求出AC的长，在根据AB＝13m，BC＝12m，利用勾股定理的逆定理可证△ACB为直角三角形，然后即可求出这块地的面积． 【解答】解：连接AC， ∵AD＝4m，CD＝3m，∠ADC＝90°， ∴AC＝＝＝5， ∵AB＝13m，BC＝12m， ∴AB2＝BC2+CD2，即△ABC为直角三角形， ∴这块地的面积为S△ABC﹣S△ACD＝AC•BC﹣AD•CD＝×5×12﹣×3×4＝24． 故选：A． 【变式3】水利是农业的命脉，开远民间历来重视兴修水利，坝区明代即已筑堰修渠，开通东沟、西沟，引泸江、南洞水灌溉农田，经历代不断修拓完善，成为城郊灌溉干渠．这些沟渠凝聚了一代又一代开远人的智慧和心血，历经岁月磨砺、时光雕琢，成为最美的风景，在开远东沟的一侧有一个花卉基地，基地到东沟原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，为方便花卉基地取水，决定在东沟新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条路CD，测得BC＝39m，CD＝36m，BD＝15m． （1）求证：CD⊥AB； （2）求新路CD比原来的路AC少多少米． 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可； （2）设AC＝x m，则AD＝（x﹣15）m，在直角△ACD中根据勾股定理求出x的值，进而可得出结论． 【解答】（1）证明：∵BC＝39m，CD＝36m，BD＝15m，362+152＝392， ∴CD2+BD2＝CB2， ∴△CDB为直角三角形， ∴CD⊥AB； （2）解：设AC＝x m，则AD＝（x﹣15）m， ∵CD⊥AB，∠ADC＝90°， ∴CD2+AD2＝AC2，即362+（x﹣15）2＝x2， 解得x＝50.7， ∴AC﹣CD＝50.7﹣36＝14.7（m）， 答：新路CD比原来的路AC少14.7米． 题型04 判断勾股数及其求值 【典例1】在下列四组数中，属于勾股数的是（　　） A．1，， B．6，8，10 C．7，8，9 D．0.3，0.4，0.5 【分析】根据勾股数的定义逐项判断即可． 【解答】解：A．1，，不都是整数，故不是勾股数，不符合题意； B．62+82＝100＝102，故是勾股数，符合题意； C．72+82≠92，故不是勾股数，不符合题意； D．0.3，0.4，0.5不是整数，故不是勾股数，不符合题意； 故选：B． 【变式1】下列各组数中，不是勾股数的是（　　） A．5，8，12 B．30，40，50 C．9，40，41 D．6，8，10 【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需满足两小边的平方和等于最长边的平方． 【解答】解：A、52+82≠122，不是勾股数，此选项正确； B、302+402＝502，是勾股数，此选项错误； C、92+402＝412，是勾股数，此选项错误； D、62+82＝102，是勾股数，此选项错误； 故选：A． 【变式2】当n为正整数时，下列各组数：①3n，4n，5n；②，，；③2n﹣1，2n+1，2n+3．其中是勾股数的是（　　） A．① B．①② C．①③ D．②③ 【分析】根据勾股数的定义解答即可． 【解答】解：①∵（3n）2+（4n）2＝9n2+16n2＝25n2，（5n）2＝25n2， ∴（3n）2+（4n）2＝（5n）2， ∵n为正整数， ∴3n，4n，5n都是正整数， ∴3n，4n，5n是勾股数； ②当n为正整数时，不一定是正整数， ∴，，不一定是勾股数； ③∵（2n﹣1）2+（2n+1）2＝8n2+2，（2n+3）2＝4n2+12n+9， ∴（2n﹣1）2+（2n+1）2与（2n+3）2不一定相等， ∴2n﹣1，2n+1，2n+3不一定是勾股数； 故选：A． 【变式3】若3、4、a为勾股数，则a的值为（　　） A． B．5 C．5或7 D．5或 【分析】根据勾股数的定义：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数求解即可． 【解答】解：∵3、4、a为勾股数， ∴当a最大时，此时a＝＝5， 当4时最大时，a＝＝，不能构成勾股数， 故选：B． 题型05 勾股数的简单证明 【典例1】古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，那么a，b，c为勾股数，你认为正确吗？如果正确，请说明理由，并利用这个结论得出一组勾股数． 【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【解答】解：正确．理由： ∵m表示大于1的整数， ∴a，b，c都是正整数，且c是最大边， ∵（2m）2+（m2﹣1）2＝（m2+1）2， ∴a2+b2＝c2， 即a、b、c为勾股数． 当m＝2时，可得一组勾股数3，4，5． 【变式1】以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为（3，4，5），类似地，还可得到下列勾股数组：（8，6，10），（15，8，17），（24，10，26）等． （1）根据上述四组勾股数的规律，写出第六组勾股数； （2）用含n（n≥2且n为整数）的数学等式描述上述勾股数组的规律，并证明． 【分析】（1）根据给出的四组数以及勾股数的定义即可得出答案； （2）根据给出的四组数以及勾股数的定义即可得出答案． 【解答】解：（1）上述四组勾股数组的规律是：32+42＝52，62+82＝102，82+152＝172，102+242＝262， 即（n2﹣1）2+（2n）2＝（n2+1）2， 所以第六组勾股数为14，48，50． （2）勾股数为n2﹣1，2n，n2+1，证明如下： （n2﹣1）2+（2n）2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2． 【变式2】满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数． （1）请把下列三组勾股数补充完整： ①　6　，8，10；②5，　12　，13：③8，15，　17　． （2）任取两个正整数m和n（m＞n），请你证明这三个整数2mn，m2+n2，m2﹣n2是勾股数． 【分析】（1）根据勾股数的定义解答即可； （2）根据勾股数的定义进行计算即可． 【解答】（1）解：①102＝100，82＝64，100﹣64＝36， ∵62＝36， ∴6，8，10是一组勾股数． 故答案为：6； ②52＝25，132＝169，169﹣25＝144， ∵122＝144， ∴5，12，13是一组勾股数． 故答案为：12； ③82＝64，152＝225，64+225＝289， ∵172＝289， ∴8，15，17是一组勾股数． 故答案为：17． （2）证明：∵（2mn）2＝4m2n2，（m2+n2）2＝m4+n4+2m2n2，（m2﹣n2）2＝m4+n4﹣2m2n2， ∴（2mn）2+（m2﹣n2）2＝（m2+n2）2， ∴任取两个正整数m和n（m＞n），这三个整数2mn，m2+n2，m2﹣n2是勾股数． 【变式3】我们知道，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．通过观察常见勾股数“6，8，10”“8，15，17”……猜想一组正整数a，b，c（a＜b＜c），当最小数a为偶数时，另两个正整数b和c满足，则a，b，c是一组勾股数． （1）根据猜想，一组正整数中，最小数a为10，则另两个数分别是b＝　24　，c＝　26　； （2）请再举一例证明猜想成立． 【分析】（1）把a＝10代入计算即可； （2）当a＝3时，求出b、c的值，进而得出结论． 【解答】解：（1）当a＝10时，b＝＝24，c＝＝26， 故答案为：24；26； （2）当a＝4时，则b＝＝3，c＝＝5， ∵42+32＝52，即a2+b2＝c2， ∴a，b，c是一组勾股数（答案不唯一）． 1．下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（　　） A．1，1， B．6，8，10 C．5，12，13 D．，2， 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形． 【解答】解：A、12+12＝（）2，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B、62+82＝102，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C、52+122＝132，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D、（）2+22≠（）2，不能构成直角三角形，故本选项符合题意； 故选：D． 2．下列命题中，正确的是（　　） A．直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方 B．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，若 a2+b2＝c2，则∠A＝90° C．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，若 c2﹣a2＝b2，则∠B＝90° D．如果一个三角形中两边的平方差等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 【分析】根据勾股定理判断即可． 【解答】解：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，A错误； 在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，若 a2+b2＝c2，则∠C＝90°，B错误； 在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，若 c2﹣a2＝b2，则∠C＝90°，C错误； 如果一个三角形中两边的平方差等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，D正确， 故选：D． 3．在△ABC中，AB＝8，BC＝15，AC＝17，则下列结论正确的是（　　） A．△ABC是直角三角形，且∠A＝90° B．△ABC是直角三角形，且∠B＝90° C．△ABC是直角三角形，且∠C＝90° D．△ABC不是直角三角形 【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，再根据直角三角形的性质进行逐一判断即可． 【解答】解：∵△ABC中，AB＝8，BC＝15，AC＝17， ∴AB2+BC2＝82+152＝AC2＝172， ∴△ABC是直角三角形， ∵AC为斜边，∠B＝90°， 故B正确； 故选：B． 4．下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．b2＝（a+c）（a﹣c） B．AB：BC：AC＝1：2： C．∠A﹣∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【解答】解：∵b2＝（a+c）（a﹣c）＝a2﹣c2， ∴a2＝b2+c2， ∴△ABC是直角三角形， 故A不符合题意； 设AB＝k，则BC＝2k，AC＝k， ∵5k2+（k）2＝（2k）2， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴△ABC是直角三角形， 故B不符合题意； ∵∠A﹣∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠A＝90°， ∴△ABC是直角三角形， 故C不符合题意； ∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝75°， ∴△ABC不是直角三角形， 故D符合题意； 故选：D． 5．若△ABC三边a，b，c满足，那么△ABC的形状是（　　） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【分析】由（a﹣5）2++|c﹣5|＝0可得a﹣5＝0，b﹣3＝0，c﹣5＝0，解得a＝5，b＝3，c＝5，于是可得a＝c＝5，即可得出答案． 【解答】解：由题意可得：a﹣5＝0，b﹣3＝0，c﹣5＝0， 解得：a＝5，b＝3，c＝5， ∴a＝c＝5， ∴△ABC是等腰三角形， 故选：A． 6．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.1米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离AD等于（　　） A．1.2米 B．1.3米 C．1.5米 D．2米 【分析】过点D作DE⊥AB于点E，构造Rt△ADE，利用勾股定理求得AD的长度即可． 【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E， ∵AB＝2.1米，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米， ∴AE＝AB﹣BE＝2.1﹣1.6＝0.5（米）． 在Rt△ADE中，由勾股定理得到：（米）， 故选：B． 7．如图，△ABC在每个小正方形边长都为1的网格图中，顶点都在格点上，下列结论不正确的是（　　） A．BC＝5 B．△ABC的面积为5 C．∠A＝90° D．点A到BC的距离为 【分析】利用勾股定理求出BC长可判定A，利用网格图计算三角形的面积可判定B，利用勾股定理及其逆定理判定C；利用面积公式求出△ABC边BC的高，即可利用点到直线的距离判定D． 【解答】解：A．∵BC2＝32+42＝25， ∴BC＝5，正确，不符合题意； B．，正确，不符合题意； C．∵AC2＝12+22＝5，AB2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25， ∴AC2+AB2＝BC2， ∴∠BAC＝90°，正确，不符合题意； D．点A到BC的距离＝2S△ABC÷BC＝2×5÷5＝2，原结论错误，符合题意， 故选：D． 8．杜甫曾经哀叹“茅屋为秋风所破”，苦于杜甫不曾学过今日几何，不然也不会如此绝望．现在我们来看一茅屋的屋顶剖面，它呈等腰三角形，如果屋檐AB＝AC＝5米，横梁BC＝8米，那么从梁BC上的任意一点D要支一根木头顶住屋顶A处，这根木头需要长度可能是（　　） A．2.5米 B．6米 C．4米 D．8米 【分析】过点A作AE⊥BC于点E，由等腰三角形的性质得BE＝CE＝4米，中由勾股定理求出AE＝3米，然后由AE≤AD＜AC，即可得出结论． 【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E， ∵AB＝AC＝5米，BC＝8米， ∴BE＝CE＝BC＝×8＝4（米）， 在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE＝＝＝3（米）， 由题意可知，AE≤AD＜AC， 即3米≤AD＜5米， 故这根木头需要长度可能是4米， 故选：C． 9．如图，一架25m的云梯AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为24m．如果梯子AB的底端向墙一侧移动了2m，那么梯子的顶端向上滑动的距离是（　　） A． B．1m C．2m D． 【分析】利用勾股定理求出OB的长，再求出OC的长，进而即可得解． 【解答】解：∵AB＝25m，AO＝24m， ∴，OB＝＝7（m）， ∵OB＝7m，BD＝2m， ∴OD＝7﹣2＝5（m）， ∵CD＝25m， ∴， OC＝＝＝10（m）， ∴， 故选：A． 10．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步＝10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（　　） A．x2+102＝（x+1）2 B．（x+1）2+102＝x2 C．x2+102＝（x﹣4）2 D．（x﹣4）2+102＝x2 【分析】设秋千的绳索长为 x 尺，根据题意可得 AB＝（ x﹣4）尺，利用勾股定理可得x2＝102+（ x﹣4）2． 【解答】解：设秋千的绳索长为 x 尺，根据题意可列方程为：x2＝102+（ x﹣4）2． 故选：D． 11．若8，a，17是一组勾股数，则a＝ 　15　． 【分析】分a为最长边，17为最长边两种情况讨论，根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【解答】解：①a为最长边，a＝，不是正整数，不符合题意； ②17为最长边，a＝＝15，三边是整数，能构成勾股数，符合题意． 故答案为：15． 12．如图，在四边形ABCD中，DA⊥AB，，BC＝，DC＝1，则∠ADC的度数是 　135°　． 【分析】连接BD，根据勾股定理求出BD，根据勾股定理的逆定理判断∠CDB＝90°，计算即可． 【解答】解：连接BD， ∵∠A＝90°，AD＝AB＝， ∴∠ADB＝45°， 在Rt△ADB中，BD2＝AD2+AB2＝2+2＝4， 在△CDB中，CB2﹣DC2＝（）2﹣12＝4， ∴CB2﹣DC2＝BD2， ∴∠CDB＝90°， ∴∠ADC＝∠ADB+∠CDB＝135°． 故答案为：135°． 13．三角形的三边a，b，c满足（a﹣b）2＝c2﹣2ab，则这个三角形是　直角三角形　． 【分析】首先对等式进行变形得到a2+b2＝c2，然后依据勾股定理的逆定理进行判断即可． 【解答】解：∵（a﹣b）2＝c2﹣2ab， ∴a2﹣2ab+b2＝c2﹣2ab， ∴a2+b2＝c2． ∴△ABC是直角三角形． 故答案为直角三角形． 14．勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），…．分析上面勾股数组可以发现，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…分析上面规律，第4个勾股数组为　（9，40，41）　． 【分析】由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），…可知，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…可得第4个勾股数组中间的数为：4×（9+1）＝40，即可得出结论． 【解答】解：根据图中给出的数据可得： 由4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…第四个为4×（9+1）＝40， ∴第4组中间的数为4×（9+1）＝40． 故答案为：（9，40，41）． 15．勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，显然这个方程有无数解，满足该方程的正整数（a，b，c）通常叫做勾股数．如果三角形最长边c＝2n2+2n+1，其中一短边a＝2n+1，另一短边为b，如果a，b，c是勾股数，则b＝　2n2+2n　（用含n的代数式表示，其中n为正整数） 【分析】根据勾股定理解答即可． 【解答】解：c＝2n2+2n+1，a＝2n+1 ∴b＝2n2+2n， 故答案为：2n2+2n 16．如图：在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13． （1）试判断△ACD的形状，并说明理由； （2）求四边形ABCD的面积． 【分析】（1），可得AD2＝AC2+CD2，据此即可求得答案； （2）S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD． 【解答】解：（1）△ACD为直角三角形，理由如下： 根据题意可得 ． 在△ACD中 AD2＝AC2+CD2． 所以△ACD为直角三角形． （2）． 17．已知：整式A＝n2+1，B＝2n，C＝n2﹣1，整式C＞0． （1）当n＝1999时，写出整式A+B的值 　4×106　（用科学记数法表示结果）； （2）求整式A2﹣B2； （3）嘉淇发现：当n取正整数时，整式A、B、C满足一组勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请说明理由． 【分析】（1）根据题意可得，A+B＝（n2+1+2n）＝（n+1）2，把n＝1999代入计算应用科学记数法表示方法进行计算即可得出答案； （2）把A＝n2+1，B＝2n，代入A2﹣B2中，可得（n2+1）2﹣（2n）2，应用完全平方公式及因式分解的方法进行计算即可得出答案； （3）先计算B2+C2＝（2n）2+（n2﹣1）2，计算可得（n2+1）2，应用勾股定理的逆定理即可得出答案． 【解答】解：（1）A+B＝（n2+1+2n）＝（n+1）2， 当n＝1999时， 原式＝（1999+1）2 ＝20002 ＝4×106； 故答案为：4×106； （2）A2﹣B2＝（n2+1）2﹣（2n）2 ＝（n2）2+2n2+1﹣4n2 ＝（n2）2﹣2n2+1 ＝（n2﹣1）2； （3）嘉淇的发现正确，理由如下： ∵B2+C2＝（2n）2+（n2﹣1）2 ＝4n2+（n2）2﹣2n2+1 ＝（n2+1）2， ∴B2+C2＝A2， ∴当n取正整数时，整式A、B、C满足一组勾股数． 18．综合与实践 主题：探索认识无理数． 素材：每个小正方形的面积为1个单位的方格纸． 原理：借助勾股定理，在直角三角形中，如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，（1）那么有a2+b2＝ 　c2　； （2）步骤1：在两条直角边长都为1的直角三角形中，以其斜边构造一个正方形，面积是 　1　，通过观察和计算，你发现其斜边不是整数，也 　不是　（填“是或不是”）分数； （3）步骤2：根据以上原理和步骤，请你以方格纸为顶点，画一个面积为5的正方形，求出这个正方形的边长是多少？说一说它是什么数？ 【分析】（1）根据勾股定理填空即可； （2）根据勾股定理计算得到面积为1，斜边长，是无理数即可； （3）画出正方形EFGH，求出边长，并进行解答即可． 【解答】解：（1）原理：借助勾股定理，在直角三角形中，如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，（1）那么有a2+b2＝c2， 故答案为：c2 （2）步骤1：在两条直角边长都为1的直角三角形中，以其斜边构造一个正方形，面积是1，通过观察和计算，你发现其斜边不是整数，也不是分数； 故答案为：1，不是； （3）如图所示：EFGH即为所求， 这个正方形的边长为，是个无理数． 19．已知：如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝5，△ABC的周长为30．（1）证明：△ABC是直角三角形； （2）过点C作CD⊥AB于点D，点E为AB边上的一点，且CE＝BE，过点E作EF⊥AB交∠ACB的角平分线于点F． ①证明：∠DCF＝∠ECF； ②求线段EF的长． 【分析】（1）由AB＝13，AC＝5，△ABC的周长为30，求得BC＝12，则AC2+BC2＝AB2＝169，所以△ABC是直角三角形； （2）①由AC2+BC2＝AB2，得∠ACB＝90°，由CD⊥AB于点D，得∠ADC＝90°，则∠ACD＝∠B＝90°﹣∠A，由CE＝BE，得∠BCE＝∠B，所以∠ACD＝∠BCE，而∠ACF＝∠BCF，则∠ACF﹣∠ACD＝∠BCF﹣∠BCE，所以∠DCF＝∠ECF； ②由∠ACE+∠BCE＝90°，∠A+∠B＝90°，且∠BCE＝∠B，得∠ACE＝∠A，则CE＝AE＝BE＝AB＝，由CD⊥AB，EF⊥AB，证明CD∥EF，则∠DCF＝∠F＝∠ECF，所以EF＝CE＝． 【解答】（1）证明：∵AB＝13，AC＝5，△ABC的周长为30， ∴BC＝30﹣13﹣5＝12， ∵AC2+BC2＝52+122＝169，AB2＝132＝169， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形． （2）①证明：∵AC2+BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°， ∵CD⊥AB于点D， ∴∠ADC＝90°， ∴∠ACD＝∠B＝90°﹣∠A， ∵CE＝BE， ∴∠BCE＝∠B， ∴∠ACD＝∠BCE， ∵CF是∠ACB的平分线， ∴∠ACF＝∠BCF， ∴∠ACF﹣∠ACD＝∠BCF﹣∠BCE， ∴∠DCF＝∠ECF． ②解：∵∠ACE+∠BCE＝90°，∠A+∠B＝90°，且∠BCE＝∠B， ∴∠ACE＝∠A， ∴CE＝AE＝BE＝AB＝， ∵CD⊥AB，EF⊥AB， ∴CD∥EF， ∴∠DCF＝∠F， ∵∠DCF＝∠ECF， ∴∠F＝∠ECF， ∴EF＝CE＝， ∴线段EF的长为． 20．我国历史上对勾股数的研究有非常辉煌的成就．据我国西汉时期算书《周髀算经》记载，约公元前1100年，人们就已经知道“勾广三、股修四、径隅五”（古人把较短的直角边为勾，较长的直角边称为股，而斜边则为弦）．在西方，也有“勾三股四弦五”的定理，《周髀算经》比西方早了五百多年，这一定理在西方称为“毕达哥拉斯定理”． 勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a、b、c的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数，如：（3，4，5）、（5，12，13）． 下面我们来探究一类特殊的勾股数，观察下面的表格并解答下列问题： a b e 3 4 5 5 12 13 7 m 25 t x y （1）m＝　24　； （2）若t（t≥3）为奇数，则x＝　　，y＝　　（用含t的代数式表示）； 【知识迁移】 （3）5k、12k、13k（k是正整数）是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由； .（4）在Rt△ABC中，当，时，斜边c的值为 　　； 【知识应用】 （5）如图所示，有一张直角三角形的纸片ABC，直角边AC＝6，BC＝8，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上与AE重合，则CD＝　3　． 【分析】（1）依据题意，由72+m2＝252，进而可以计算得解； （2）依据题意，由上面的数据找出规律即可判断得解； （3）依据题意，由（5k）2+（12k）2＝（13k）2即可判断得解； （4）依据题意，由勾股数3，4，5进行判断可以得解； （5）依据题意，利用勾股数可得斜边AB＝10，再由折叠DC＝DE，借助面积法可以得解． 【解答】解：（1）由题意得，72+m2＝252， ∴m＝24． 故答案为：24． （2）由题意，由上面的数据找出规律可得， x＝，y＝． 故答案为：，． （3）由题意，5k、12k、13k（k是正整数）是一组勾股数．利用如下： ∵（5k）2+（12k）2＝25k2+144k2＝169k2， 又（13k）2＝169k2， ∴（5k）2+（12k）2＝（13k）2． （4）依据题意，由勾股数3，4，5可以发现， ∵，， ∴c＝． 故答案为：． （5）由题意，利用勾股数可得斜边AB＝10，再由折叠DC＝DE，且DC⊥AC，DE⊥AB， ∴S△ABC＝S△ACD+S△ABD， 即AC•BC＝AC•CD+AB•CD． ∴×6×8＝×6•CD+×10•CD． ∴CD＝3． 故答案为：3． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$