复习篇 13 导数新定义 【提高复习+自主学习】-2024-- 2025学年高二数学寒假进阶学习讲义（人教A版2019）

13 导数新定义 【题型1】 与计算有关的导数新定义 【经典例题】 【例1】（23-24高二下·北京丰台·阶段练习）拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，其定理陈述如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则在区间内至少存在一个点，使得称为函数在闭区间上的中值点.若关于函数在区间上的“中值点”的个数为，函数在区间上的“中值点”的个数为，则有（    ）（参考数据：.） A．1 B．2 C．0 D．3 【答案】B 【分析】利用拉格朗日中值定理结合方程解的个数即可判断出结论． 【详解】对于函数，设为函数在闭区间,上的中值点， ，则，，解得，． 对于函数，设为函数在区间,上的“中值点”， 则，，，因此． 则有， 故选：B． 【巩固练习】 1（23-24高二下·宁夏银川·期末）对于三次函数，现给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，经过探究发现任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，设函数，则函数的对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，即可根据拐点定义求解. 【详解】由，得，进而， 令，故， 所以，故对称中心为 故选：B 2（22-23高二下·江西·期中）现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.函数的图象在处的曲率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出、，代值计算可得出函数的图象在处的曲率. 【详解】因为，所以，， 所以，， 所以. 故选：D. 3（2024·安徽·模拟预测）给出定义：若函数在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称在D上存在二阶导数，记.若在D上恒成立，则称在D上为凸函数.以下四个函数在上不是是凸函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给出的导数新定义逐项判断即可. 【详解】对于A：，，， 则在上恒有，故A错误； 对于B：，，， 则在上恒有，故B错误； 对于C：，，， 则在上恒有，故C错误； 对于D：，，， 则在上恒有，故D正确. 故选：D. 4（22-23高二下·河南郑州·期末）计算器计算，，，等函数的函数值，是通过写入“泰勒展开式”程序的芯片完成的. “泰勒展开式”的内容为：如果函数在含有的某个开区间内可以进行多次求导数运算，则当时，有，其中是的导数，是的导数，是的导数，…. 取，则精确到的近似值为（    ） A．0.82 B．0.84 C．0.86 D．0.88 【答案】B 【分析】根据泰勒展开式，化简得到，求得的“泰勒展开式”，令，代入上式，进而求得的近似值． 【详解】根据题意，， 取时，可得， 则 ， 令，代入上式可得， 所以． 故选：B 【题型2】 与函数性质有关的导数新定义 【经典例题】 【例1】（多选）（22-23高二下·浙江嘉兴·阶段练习）已知函数的导数为，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，则下列函数中，存在“巧值点”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】结合“巧值点”的定义，逐个求解是否有解即可 【详解】对于A，，令，得，有“巧值点”； 对于B，，令， 如图，作出函数，的图象， 结合，的图象，知方程有解，有“巧值点”； 对于C，， 令，即，得，无解，无“巧值点”； 对于D，，令，得， 令，则， 所以函数在上为增函数， 又， 所以函数在上有唯一零点， 即方程在上有解， 即有“巧值点”. 故选：ABD. 【巩固练习】 1（23-24高三上·山西朔州·开学考试）对于函数，若存在，则称点与点是函数的一对“隐对称点”，若时，函数的图象上恰有2对“隐对称点”，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意转化为与的图象有两个交点，求出的过原点的切线斜率后可得结论． 【详解】曲线关于原点对称的曲线的函数解析式为, 由题意与的图象有两个交点， 对而言，，设过原点的切线的切点为， 则，，所以切线斜率为， 由图象可知当时，满足题意． 故选：A．    2（23-24高二下·江苏常州·期中）设定义在上，若对任意实数，存在实数，使得成立，则称满足“性质”，下列函数满足“性质”的有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对题干条件变形，转化为在上不单调，即可满足“性质”，再分别对选项一一判断即可. 【详解】将变形为：， 令，则在上至少有2个不等实数使得， 所以在上不单调，即可满足“性质”； 对于A，，当时，在上单调递增，所以不满足“性质”； 对于B，，，所以时，，当时，，所以在上不单调，满足“性质”； 对于C，，当时，则，所以在上单调递减，则不满足“性质”； 对于D，，当时，，在上单调递减，则不满足“性质”； 故选：B 3（24-25高三上·河北石家庄·期中）定理：如果函数及满足：①图象在闭区间上连续不断；②在开区间内可导；③对，那么在内至少有一点，满足成立，该定理称为柯西中值定理.请利用该定理解决下面问题：已知，若存在正数，满足 ，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，由柯西中值定理可知：那么在内至少有一点，满足，令，对求导，求出的值域，即可得出答案. 【详解】由可得：， 令，所以 由柯西中值定理可知：那么在内至少有一点，满足成立， 因为，，所以，， 所以令， ，， 令可得：或， 令可得：， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，， 当趋于正无穷时，趋近， 所以，所以实数的取值范围为. 故选：A. 4（2024·吉林长春·模拟预测）如图，对于曲线G所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角α，使得对于曲线G上的任意两个不同的点A，B，恒有成立，则称角α为曲线G的相对于点O的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线G的相对于点O的“确界角”.已知曲线C：（其中是自然对数的底数），O为坐标原点，曲线C的相对于点O的“确界角”为，则 ． 【答案】 【分析】利用导数的几何意义，求出时，过原点且与相切的切线斜率，以及过原点且与相切的切线斜率，进而可得两切线互相垂直，即可求解. 【详解】当时，过原点作的切线， 设切点，，， 则切线方程为， 又切线过点，所以，所以. 设，则，故为增函数，且， 所以， 当时，过原点作的切线， 设切点B，， 则切线为，又切线过点 所以，又，， 因为，所以两切线垂直，所以. 故答案为： 【题型3】 导数新定义综合 【经典例题】 【例1】（24-25高三上·山西·阶段练习）以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容，其定理陈述如下：若定义在上的函数满足条件①在闭区间上连续，②在开区间内可导，则，.而罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例：若，则.现已知函数. (1)设可导函数，证明：，； (2)若在上的最小值为，求a的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据题设新定义即可证结论； （2）令，并对其求导，讨论参数的范围，结合函数区间最值确定参数范围. 【详解】（1）因为，且在上连续，在内可导， 所以，由罗尔中值定理得，. （2）设，则. 当，即时，， 当，得，则在上单调递减， 当，得，则在上单调递增， 从而，故符合题意. 当时，即时，令，得或. 当，即时， 当或，得，则在和上单调递增， 当，得，则在上单调递减. 因为在上的最小值为，且，则，得； 当，即时，恒成立，则在上单调递增，故，不合题意； 当，即时， 当或，得，则在和上单调递增， 当，得，则在上单调递减， 从而，故，不合题意； 综上，a的取值范围为. 【巩固练习】 1（23-24高三上·贵州贵阳·开学考试）牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法．比如，我们可以先猜想某个方程的其中一个根在的附近，如图所示，然后在点处作的切线，切线与轴交点的横坐标就是，用代替重复上面的过程得到；一直继续下去，得到，，，……，．从图形上我们可以看到较接近，较接近，等等．显然，它们会越来越逼近．于是，求近似解的过程转化为求，若设精度为，则把首次满足的称为的近似解．    已知函数，． (1)当时，试用牛顿迭代法求方程满足精度的近似解（取，且结果保留小数点后第二位）； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求处的切线方程，求得，再求处的切线方程，再依次求取，直到，求，即可求解；（2）首先化简不等式，，再构造函数，并求函数的导数，讨论和两种情况下函数的单调性，转化为求函数的最值，并结合最值的单调性，即可求解. 【详解】（1）当时，，则， 曲线在处的切线为，且 曲线在处的切线为，且 故，用牛顿迭代法求方程满足精度的近似解为． （2）由，得， 设， 则 ∴当时，，单调递增，由于时，，不合题意； 当时，则有，，单调递减，，，单调递增， 即，即 易知单调递增，且，故. 【点睛】关键点点睛：本题第一问的关键是理解题意，重点是利用导数的几何意义求切线方程；第二问的关键是转化不等式，从而分析函数的性质，即可利用导数分析函数的性质. 2（2022·辽宁沈阳·模拟预测）给出以下三个材料：①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作.类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作，三阶导数的导数叫做四阶导数……一般地，阶导数的导数叫做阶导数，记作.②若，定义.③若函数在包含的某个开区间上具有阶的导数，那么对于任一有，我们将称为函数在点处的阶泰勒展开式.例如，在点处的阶泰勒展开式为.根据以上三段材料，完成下面的题目： (1)求出在点处的阶泰勒展开式，并直接写出在点处的阶泰勒展开式； (2)比较（1）中与的大小. (3)证明：. 【答案】(1), ； (2)答案见解析； (3)证明过程见解析. 【分析】（1）根据在点处的阶泰勒展开式的定义可直接求得结果； （2）令，利用导数可求得在上单调递增，结合可得的正负，由此可得与的大小关系； （3）令，利用导数可求得，即；①当时，由，，可直接证得不等式成立；②当时，分类讨论，由此可证得不等式成立. 【详解】（1），，， ，，， ，即； 同理可得：； （2）由（1）知：，， 令，则， ，， 在上单调递增，又， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； ，， 在上单调递增，又， 当时，；当时，； 综上所述：当时，；当时，；当时，； （3）令，则， ，在上单调递增， 又，在上单调递减，在上单调递增， ，即； 在点处的阶泰勒展开式为：， ，当且仅当时取等号， ①当时，由（2）可知，，当且仅当时取等号，所以； ②当时，设，， ，， 当，由（2）可知，所以， ，即有； 当时，， 所以，时，单调递减，从而，即． 综上所述：. 【点睛】关键点睛：本题考查了导数中的新定义问题，关键是审题时明确阶泰勒展开式的具体定义；本题在证明不等式成立时的关键是能够根据原函数与其在处的阶泰勒展开式的大小关系，利用放缩的方法将不等式进行转化. 3（21-22高二下·湖北襄阳·期中）已知函数． （1）求函数的最小值； （2）证明：对任意恒成立； （3）对于函数图象上的不同两点，如果在函数图象上存在点（其中）使得点处的切线，则称直线存在“伴侣切线”．特别地，当时，又称直线存在“中值伴侣切线”．试问：当时，对于函数图象上不同两点、，直线是否存在“中值伴侣切线”？证明你的结论． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）函数不存在“中值伴侣切线”. 【分析】（1）由函数得到分段函数，分别对每一段研究最值得到整个函数的最小值； （2）要证明对任意恒成立；，只要构造函数证明整式不等式恒成立即可； （3）假设函数存在“中值伴侣切线”，根据给定的新的定义得到函数，结合第（2）问的结论求解． 【详解】解：（1）时，， 令得 得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 时，对恒成立. 所以在单调递增，故. （2）由 ， 令，则， 因为,显然，所以在上单调递增, 显然有恒成立.（当且仅当x=1时等号成立），即证． （3）当时，，， 假设函数存在“中值伴侣切线”. 设 是曲线上的不同两点，且， 则，. 故直线AB的斜率： 曲线在点处的切线斜率： = 依题意得 化简可得 ， 即 . 设 ()，上式化为,由（2）知时，恒成立. 所以在内不存在,使得成立. 综上所述，假设不成立. 所以函数不存在“中值伴侣切线” . 4（24-25高三上·河北邢台·阶段练习）若为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凸函数”.也可设可导函数在上的导函数为，若在区间上单调递减，则称为区间上的凸函数. 若为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凹函数”.也可设可导函数在上的导函数为.若在区间单调递增；则称为区间上的凹函数.（这里关于凹凸函数的不等式即为著名的琴生不等式.） (1)讨论函数，的凹凸性，并求锐角中，求的最小值； (2)已知函数. （ⅰ）当时，讨论的凹凸性； （ⅱ）平面直角坐标系中的点称为函数的“切点”，当且仅当过点恰好能作曲线的条切线，其中.当时，点在轴右侧且为的“切点”，求点的集合.（不需要写出求解过程） 【答案】(1)在上为凹函数; 的最小值为； (2)（ⅰ）当时，是上的凹函数，上的凸函数； 当时，是上的凸函数，上的凹函数; 当时，是上的凸函数，上的凹函数. （ⅱ）点的集合为： 【分析】（1）由有在为凹函数，利用琴生不等式可以求出最小值； （2）（ⅰ）利用导函数并对参数进行分类讨论，即可得出函数的单调性，可得其凹凸性； （ⅱ）根据“切点”的定义，由切点个数转化成方程根的个数即可得出点的集合； 【详解】（1）因为所以 所以所以函数在上为凹函数. 因为在上为凹函数，由琴生不等式有： 即 整理有:当且仅当时等号成立. 所以在锐角中，的最小值为. （2）（ⅰ） 所以令， 所以，令有：， 即 当时，解得，当时时，当时， 所以是上的凹函数，上的凸函数. 当时，解得或， 若时，即时， 当或时，当时， 所以是上的凸函数，上的凹函数; 若时，即时， 当或时，当时， 所以是上的凸函数，上的凹函数; 综上所述：当时，是上的凹函数，上的凸函数； 当时，是上的凸函数，上的凹函数; 当时，是上的凸函数，上的凹函数. （ⅱ）当时，，为的“切点” 所以，设，切点为， 所以过点的切线方程为：， 所以， 因为这样的切点有3个，则有3个解， 所以有3个实根， 即关于的方程：有三个不同的实数跟。. 令，则直线与曲线恰有三个不同的交点. 所以， 当时， 由有：，有：或， 所以在为增函数，在和为减函数. 所以的极小值为：，的极大值为： 所以： 当时，，为单调递减，不符合题意. 当时， 由有：，有：或， 所以在为增函数，在和为减函数. 所以的极小值为： 的极大值为：， 所以： 综上所述：点的集合为： 【点睛】涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答；考查学生的创新应用能力. 【A组---基础题】 1（23-24高二下·广东江门·阶段练习）给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记.若在上恒成立，则称在上为凸函数.以下四个函数在上不是凸函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据凸函数的定义，分别对各选项求二阶导，然后判断是否小于0，从而得到符合题意选项． 【详解】对于A， 当时，恒成立，故A为凸函数； 对于B，对于，，， 当时，恒成立，故B为凸函数； 对于C，对于，，， 当时，恒成立，故C不是凸函数. 对于D，由，得，所以， 因为，所以恒成立，故D为凸函数； 故选：C 2（2023·云南·模拟预测）定义方程的实数根叫做函数的“奋斗点”.若函数，的“奋斗点”分别为，，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导，根据“奋斗点”的定义可得，，构造函数，利用导数及零点存在定理求出的范围，由求出的范围，从而可比较大小. 【详解】函数，得， 由题意可得，，即. 设，， 因为，所以， 易得在上单调递减且，， 故. 由，， 由题意得：，易知，所以， 因为，所以. 故选:D. 3（24-25高三上·湖北·期中）英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似根的方法—牛顿迭代法，做法如下：如图，设是的根，选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，则与轴的交点的横坐标 ，称是的第一次近似值；过点作曲线的切线，则该切线与轴的交点的横坐标为，称是的第二次近似值；重复以上过程，得的近似值序列，其中，称是的次近似值，这种求方程近似解的方法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程的近似解，则下列正确的是（    ）    A．若取初始近似值为1，则过点作曲线的切线 B．若取初始近似值为1，则该方程解的第二次近似值为 C． D． 【答案】D 【分析】根据条件介绍的牛顿迭代法求近似解即可. 【详解】解：构造函数，则， 取初始近似值，，， 则，即，则A错误； ，，B错误； 根据题意，可知， 上述式子相加，得， 所以，C不正确，则D正确. 故选：D. 【点睛】关键点睛《解答本题的关键是理解牛顿迭代法的含义，并根据其含义去解决问题. 4（25-26高三上·上海·期中）给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心．若函数，则的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过二次求导得到的对称中心，利用对称性求解即可. 【详解】由题意可得，， 令解得， 又， 所以的图象的对称中心为，即， 所以 ， 故选：B 5（多选）（22-23高三下·海南海口·阶段练习）记、分别为函数、的导函数，若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”，则下列说法正确的为（    ） A．函数与存在唯一“点” B．函数与存在两个“点” C．函数与不存在“点” D．若函数与存在“点”，则 【答案】ACD 【分析】令，求出，利用“点”的定义逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】令. 对于A选项，，则， 由可得，由可得， 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，，所以，， 此时，函数与存在唯一“点”，A对； 对于B选项，，则， 函数的定义域为，令可得，且， 所以，函数与不存在“点”，B错； 对于C选项，，则， 令可得，解得或，但，， 此时，函数与不存在“点”，C对； 对于D选项，，其中，则， 若函数与存在“点”，记为， 则，解得，D对. 故选：ACD. 6（2022·陕西西安·模拟预测）若可以作为一个三角形的三条边长，`则称函数是区间D上的“稳定函数”．已知函数是区间上的“稳定函数”，则实数m的取值范围为 ． 【答案】/ 【分析】利用导数可求得单调性，进而得到最大值和最小值，根据稳定函数定义可得，由此可得关于的不等式，解不等式可求得的取值范围. 【详解】，当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， ， 又，，， 由“稳定函数”定义可知：，即， 解得：，即实数的取值范围为. 故答案为：. 7（23-24高二下·四川达州·阶段练习）英国数学家泰勒发现了如下公式：其中，为自然对数的底数，.以上公式称为泰勒公式.设，，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题. (1)证明：； (2)设，证明：； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）首先设，利用导数判断函数的单调性，转化为求函数的最值问题； （2）首先由泰勒公式表示出和，再求得和的解析式，即可证明； 【详解】（1）设，则， 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 因此，即. （2）由泰勒公式知，① 于是，② 由①②得， 由①②得， 所以 ， 即. 8（24-25高三上·广东·阶段练习）定理：如果函数在闭区间上的图象是连续不断的曲线，在开区间内每一点存在导数，且，那么在区间内至少存在一点c，使得，这是以法国数学家米歇尔•罗尔的名字命名的一个重要定理，称之为罗尔定理，其在数学和物理上有着广泛的应用. (1)设，记的导数为，试用上述定理，说明方程根的个数，并指出它们所在的区间； (2)如果在闭区间上的图象是连续不断的曲线，且在开区间内每一点存在导数，记的导数为，试用上述定理证明：在开区间内至少存在一点c，使得； (3)利用（2）中的结论，证明：当时，（为自然对数的底数）. 【答案】(1)根有3个，且分别位于，，这三个区间内 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）注意到，结合罗尔定理可得答案； （2）构造函数，后利用罗尔定理可证明结论； （3）注意到 ，后由（2）中结论可证明. 【详解】（1）注意到，则由罗尔定理， 在内存在，使； 在内存在，使： 在内存在，使. 综上，的根有3个，且分别位于，，这三个区间内. （2）证明：构造函数， 则注意到，由罗尔定理， 则在上至少存在一点c，使 即在开区间内至少存在一点c，使得； （3）证明：当时，. 因函数为上连续函数，. 由（2），又，则在上存在， 使； 又，则在上存在 又令，当时，， 则在上单调递增， 又 则 所以： 【点睛】在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等， 并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法. 9（23-24高二下·吉林松原·期末）罗尔 中值定理是微分学中的一条重要定理，根据它可以推出拉格朗日中值定理和柯西 中值定理，它们被称为微分学的三大中值定理. 罗尔中值定理的描述如下：如果函数 满足三个条件①在闭区间 上的图象是连续不断的，②在开区间内是可导函数，③，那么在 内至少存在一点，使得等式成立. (1)设方程 有一个正根，证明：方程 必有一个小于的正根. (2)设函数是定义在上的连续且可导函数，且.证明：对于，方程 在 内至少有两个不同的解. (3)设函数.证明：函数在区间 内至少存在一个零点. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）令函数，由罗尔中值定理知，至少存在一点，使得； （2）令，由罗尔中值定理知，至少存在一个，使得，至少存在一个，使得，可得结论； （3）令 ，则 ，由罗尔中值定理知，存在，使得，故函数区间 内至少存在一个零点. 【详解】（1）证明：令函数， 显然在 上连续，在内可导， 则， 由条件知， 由罗尔中值定理知，至少存在一点，使得， 即方程必有一个小于的正根. （2）令，则. 由，得，所以. 因为，所以， 由罗尔中值定理知，至少存在一个，使得， 即. 同理，因为，由罗尔中值定理知， 至少存在一个，使得，所以 . 故方程在内至少存在两个不同的解. （3）证明：令 ，则 . 由，得， 则，又因为 是连续且可导函数， 由罗尔中值定理知，存在，使得， 则 ，所以. 故函数区间 内至少存在一个零点. 【点睛】方法点睛：在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，本题明确罗尔中值定理的描述，通过构造函数，结合导数的运算和性质求解. 【B组---提高题】 1（2024·江西新余·模拟预测）偏导数在微积分领域中有重要意义.定义：设二元函数在点附近有定义，当固定在而在处有改变量时，相应的二元函数有改变量，如果存在，那么称此极限为二元函数在点处对的偏导数（计算时相当于将视为常数），记作，若在区域内每一点对的偏导数都存在，那么这个偏导数就是一个关于的偏导函数，它被称为二元函数对的偏导函数，记作.以上定义同样适用于三元函数. (1)气体状态方程描述的三个变量满足：（是非零常量）.求的值，并说明其为常数. (2)求值：对的偏导数. (3)将偏导数应用于包络线在金融领域可以发挥重要价值.在几何学中，某个平面内曲线族的包络线是跟该曲线族的每条线都至少有一点相切的一条曲线，例如：曲线族的包络线为.不难发现：对于任何一个给定的的值，包络线与原曲线的切点的总是对应值在参数取遍后得到的极值.已知函数的包络线为. （i）求证：. （ⅱ）设的极值点构成曲线，求证：当时，与有且仅有一个公共点. 【答案】(1)，说明见解析 (2) (3)（i）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）根据“偏导函数”的定义求解即可； （2）求出，再将带入即可求值； （3）（i）先求出包络线，再构造函数，利用导数研究的单调性，进而可知的最值，进而可证明； （ii）对求导，令得到的极值点和极值，令，求出的极值点和单调性及最值，由题知的最大值与的最大值等价，进而求出的值；再利用导数研究的单调性和最值，进而可以证明与有且仅有一个公共点. 【详解】（1）； ，； ，. ，为常数. （2）， 故：. （3）（ⅰ）令，则：. 由于在上，故：，① 由于取极值，故：，即：，② 由①②消去得：. 下试证：， 即证：. ， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， ，，故：. （ⅱ），令： ，令：， ，令： 当时，单调递增， 当时，单调递减，且的最大值与的最大值等价. ，当且仅当时，. 又，，令： 或. 当时，单调递减， 当时，单调递增. . 当且仅当时等号成立. 与有唯一公共点. 【点睛】关键点点睛：1.理解偏导数的概念； 2.用导数研究函数的单调性是导数的一个重要应用，在导数解答题中，单调性问题是绕不开的一个问题，因为单调性是解决后续问题的关键，利用导函数求解函数单调性步骤，先求定义域，再求导，根据导函数的正负号，确定函数的单调区间，若不能直接求出，可能需要多次求导. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 13 导数新定义 【题型1】 与计算有关的导数新定义 【经典例题】 【例1】（23-24高二下·北京丰台·阶段练习）拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，其定理陈述如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则在区间内至少存在一个点，使得称为函数在闭区间上的中值点.若关于函数在区间上的“中值点”的个数为，函数在区间上的“中值点”的个数为，则有（    ）（参考数据：.） A．1 B．2 C．0 D．3 【巩固练习】 1（23-24高二下·宁夏银川·期末）对于三次函数，现给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，经过探究发现任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，设函数，则函数的对称中心为（    ） A． B． C． D． 2（22-23高二下·江西·期中）现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.函数的图象在处的曲率为（    ） A． B． C． D． 3（2024·安徽·模拟预测）给出定义：若函数在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称在D上存在二阶导数，记.若在D上恒成立，则称在D上为凸函数.以下四个函数在上不是是凸函数的是（    ） A． B． C． D． 4（22-23高二下·河南郑州·期末）计算器计算，，，等函数的函数值，是通过写入“泰勒展开式”程序的芯片完成的. “泰勒展开式”的内容为：如果函数在含有的某个开区间内可以进行多次求导数运算，则当时，有，其中是的导数，是的导数，是的导数，…. 取，则精确到的近似值为（    ） A．0.82 B．0.84 C．0.86 D．0.88 【题型2】 与函数性质有关的导数新定义 【经典例题】 【例1】（多选）（22-23高二下·浙江嘉兴·阶段练习）已知函数的导数为，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，则下列函数中，存在“巧值点”的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（23-24高三上·山西朔州·开学考试）对于函数，若存在，则称点与点是函数的一对“隐对称点”，若时，函数的图象上恰有2对“隐对称点”，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2（23-24高二下·江苏常州·期中）设定义在上，若对任意实数，存在实数，使得成立，则称满足“性质”，下列函数满足“性质”的有（    ） A． B． C． D． 3（24-25高三上·河北石家庄·期中）定理：如果函数及满足：①图象在闭区间上连续不断；②在开区间内可导；③对，那么在内至少有一点，满足成立，该定理称为柯西中值定理.请利用该定理解决下面问题：已知，若存在正数，满足 ，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4（2024·吉林长春·模拟预测）如图，对于曲线G所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角α，使得对于曲线G上的任意两个不同的点A，B，恒有成立，则称角α为曲线G的相对于点O的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线G的相对于点O的“确界角”.已知曲线C：（其中是自然对数的底数），O为坐标原点，曲线C的相对于点O的“确界角”为，则 ． 【题型3】 导数新定义综合 【经典例题】 【例1】（24-25高三上·山西·阶段练习）以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容，其定理陈述如下：若定义在上的函数满足条件①在闭区间上连续，②在开区间内可导，则，.而罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例：若，则.现已知函数. (1)设可导函数，证明：，； (2)若在上的最小值为，求a的取值范围. 【巩固练习】 1（23-24高三上·贵州贵阳·开学考试）牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法．比如，我们可以先猜想某个方程的其中一个根在的附近，如图所示，然后在点处作的切线，切线与轴交点的横坐标就是，用代替重复上面的过程得到；一直继续下去，得到，，，……，．从图形上我们可以看到较接近，较接近，等等．显然，它们会越来越逼近．于是，求近似解的过程转化为求，若设精度为，则把首次满足的称为的近似解．    已知函数，． (1)当时，试用牛顿迭代法求方程满足精度的近似解（取，且结果保留小数点后第二位）； (2)若，求的取值范围． 2（2022·辽宁沈阳·模拟预测）给出以下三个材料：①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作.类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作，三阶导数的导数叫做四阶导数……一般地，阶导数的导数叫做阶导数，记作.②若，定义.③若函数在包含的某个开区间上具有阶的导数，那么对于任一有，我们将称为函数在点处的阶泰勒展开式.例如，在点处的阶泰勒展开式为.根据以上三段材料，完成下面的题目： (1)求出在点处的阶泰勒展开式，并直接写出在点处的阶泰勒展开式； (2)比较（1）中与的大小. (3)证明：. 3（21-22高二下·湖北襄阳·期中）已知函数． （1）求函数的最小值； （2）证明：对任意恒成立； （3）对于函数图象上的不同两点，如果在函数图象上存在点（其中）使得点处的切线，则称直线存在“伴侣切线”．特别地，当时，又称直线存在“中值伴侣切线”．试问：当时，对于函数图象上不同两点、，直线是否存在“中值伴侣切线”？证明你的结论． 4（24-25高三上·河北邢台·阶段练习）若为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凸函数”.也可设可导函数在上的导函数为，若在区间上单调递减，则称为区间上的凸函数. 若为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凹函数”.也可设可导函数在上的导函数为.若在区间单调递增；则称为区间上的凹函数.（这里关于凹凸函数的不等式即为著名的琴生不等式.） (1)讨论函数，的凹凸性，并求锐角中，求的最小值； (2)已知函数. （ⅰ）当时，讨论的凹凸性； （ⅱ）平面直角坐标系中的点称为函数的“切点”，当且仅当过点恰好能作曲线的条切线，其中.当时，点在轴右侧且为的“切点”，求点的集合.（不需要写出求解过程） 【A组---基础题】 1（23-24高二下·广东江门·阶段练习）给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记.若在上恒成立，则称在上为凸函数.以下四个函数在上不是凸函数的是（    ） A． B． C． D． 2（2023·云南·模拟预测）定义方程的实数根叫做函数的“奋斗点”.若函数，的“奋斗点”分别为，，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3（24-25高三上·湖北·期中）英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似根的方法—牛顿迭代法，做法如下：如图，设是的根，选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，则与轴的交点的横坐标 ，称是的第一次近似值；过点作曲线的切线，则该切线与轴的交点的横坐标为，称是的第二次近似值；重复以上过程，得的近似值序列，其中，称是的次近似值，这种求方程近似解的方法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程的近似解，则下列正确的是（    ）    A．若取初始近似值为1，则过点作曲线的切线 B．若取初始近似值为1，则该方程解的第二次近似值为 C． D． 4（25-26高三上·上海·期中）给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心．若函数，则的和为（    ） A． B． C． D． 5（多选）（22-23高三下·海南海口·阶段练习）记、分别为函数、的导函数，若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”，则下列说法正确的为（    ） A．函数与存在唯一“点” B．函数与存在两个“点” C．函数与不存在“点” D．若函数与存在“点”，则 6（2022·陕西西安·模拟预测）若可以作为一个三角形的三条边长，`则称函数是区间D上的“稳定函数”．已知函数是区间上的“稳定函数”，则实数m的取值范围为 ． 7（23-24高二下·四川达州·阶段练习）英国数学家泰勒发现了如下公式：其中，为自然对数的底数，.以上公式称为泰勒公式.设，，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题. (1)证明：； (2)设，证明：； 8（24-25高三上·广东·阶段练习）定理：如果函数在闭区间上的图象是连续不断的曲线，在开区间内每一点存在导数，且，那么在区间内至少存在一点c，使得，这是以法国数学家米歇尔•罗尔的名字命名的一个重要定理，称之为罗尔定理，其在数学和物理上有着广泛的应用. (1)设，记的导数为，试用上述定理，说明方程根的个数，并指出它们所在的区间； (2)如果在闭区间上的图象是连续不断的曲线，且在开区间内每一点存在导数，记的导数为，试用上述定理证明：在开区间内至少存在一点c，使得； (3)利用（2）中的结论，证明：当时，（为自然对数的底数）. 9（23-24高二下·吉林松原·期末）罗尔 中值定理是微分学中的一条重要定理，根据它可以推出拉格朗日中值定理和柯西 中值定理，它们被称为微分学的三大中值定理. 罗尔中值定理的描述如下：如果函数 满足三个条件①在闭区间 上的图象是连续不断的，②在开区间内是可导函数，③，那么在 内至少存在一点，使得等式成立. (1)设方程 有一个正根，证明：方程 必有一个小于的正根. (2)设函数是定义在上的连续且可导函数，且.证明：对于，方程 在 内至少有两个不同的解. (3)设函数.证明：函数在区间 内至少存在一个零点. 【B组---提高题】 1（2024·江西新余·模拟预测）偏导数在微积分领域中有重要意义.定义：设二元函数在点附近有定义，当固定在而在处有改变量时，相应的二元函数有改变量，如果存在，那么称此极限为二元函数在点处对的偏导数（计算时相当于将视为常数），记作，若在区域内每一点对的偏导数都存在，那么这个偏导数就是一个关于的偏导函数，它被称为二元函数对的偏导函数，记作.以上定义同样适用于三元函数. (1)气体状态方程描述的三个变量满足：（是非零常量）.求的值，并说明其为常数. (2)求值：对的偏导数. (3)将偏导数应用于包络线在金融领域可以发挥重要价值.在几何学中，某个平面内曲线族的包络线是跟该曲线族的每条线都至少有一点相切的一条曲线，例如：曲线族的包络线为.不难发现：对于任何一个给定的的值，包络线与原曲线的切点的总是对应值在参数取遍后得到的极值.已知函数的包络线为. （i）求证：. （ⅱ）设的极值点构成曲线，求证：当时，与有且仅有一个公共点. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$