5.2 导数的运算（单元教学设计）-【大单元教学】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第二册）

5．2 导数的运算（单元教学设计） 一、【单元目标】 （1）能根据导数定义推导函数的导数公式． （2）会使用导数公式表． （3）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数四则运算法则，会求简单函数的导数；能求简单的 复合函数（限于形如）的导数． 二、【单元知识结构框架】 三、【学情分析】 本节课是针对高中数学导数部分的教学内容，学生在此之前已经学习了导数的基本概念以及基本初等函数的导数公式．然而，导数的运算对于部分学生来说仍然是一个难点，尤其是涉及到复合函数、乘积函数和商函数的求导法则时，学生容易出现混淆和错误．学生方面，大部分学生对数学有一定的兴趣，但基础参差不齐．部分学生具备较好的逻辑思维能力和数学运算能力，能够较快掌握导数的运算规则；而另一部分学生则在理解和应用上存在困难，需要更多的练习和指导．因此，在教学过程中，教师需要注重因材施教，通过例题讲解、课堂练习和课后作业等多种方式，帮助学生巩固导数的运算法则，提高他们的运算能力和解题技巧．同时，教师还应关注学生的个体差异，给予针对性的指导和帮助． 四、【教学设计思路/过程】 课时安排：约4课时 教学重点：求简单函数的导数 教学难点：求简单复合函数的导数 教学方法/过程： 五、【教学问题诊断分析】 环节一、情景引入，温故知新 情景1：同学们，之前我们已经掌握了如何求简单函数的导数，回顾一下，我们学习了幂函数、指数函数、对数函数和三角函数这四类非常重要的基本初等函数．大家可能还记得，我们熟悉的一次函数、二次函数其实都可以看作是幂函数的特殊形式或组合．那么，对于这四类基本初等函数，它们是否也有对应的导函数呢？今天，我们就一起来深入探究这个问题，揭开它们导数的神秘面纱． 环节二、抽象概念，内涵辨析 1．基本初等函数的求导公式 问题1：回顾之前所学，你学过哪些基本初等函数？ 【破解方法】幂函数、指数函数、对数函数、三角函数． 问题2：如何求常函数的导数？ 【破解方法】因为 所以，即 我们通过同样的方法容易得到几个常见的幂函数的导数： ． 通过观察上面几个式子，我们发现了这几个幂函数的规律，即 【归纳新知】基本初等函数的导数公式 （1）（C为常数）， （2）（n为有理数）， （3）， （4）， （5）， （6）， （7）， （8），，这样的形式． 要点诠释： 1、常数函数的导数为0，即（C为常数）．其几何意义是曲线（C为常数）在任意点处的切线平行于x轴． 2、有理数幂函数的导数等于幂指数n与自变量的次幂的乘积，即（）． 特别地，． 3、正弦函数的导数等于余弦函数，即． 4、余弦函数的导数等于负的正弦函数，即． 5、指数函数的导数：，． 6、对数函数的导数：，． 有时也把记作： 以上常见函数的求导公式不需要证明，只需记住公式即可． 2．函数的和、差、积、商的导数 问题3：设，计算与，它们与和有什么关系? 【破解方法】设 而 所以 设 而 所以． 问题4：设，计算与，它们是否相等?与是否相等? 【破解方法】因为 所以 【归纳新知】函数的和、差、积、商的导数 （1）和差的导数： （2）积的导数： （3）商的导数：（） 要点诠释： （I）上述法则也可以简记为： （ⅰ）和（或差）的导数：， 推广：． （ⅱ）积的导数：， 特别地：（c为常数）． （ⅲ）商的导数：， 两函数商的求导法则的特例 ， 当时，． 这是一个函数倒数的求导法则． （II）两函数积与商求导公式的说明 （1）类比：，，注意差异，加以区分． （2）注意：且． 3．复合函数的概念 问题5：函数是如何构成的？ 【破解方法】，其中的“占据”了对数函数中的位置，，而．这里有代入、代换的思想，则函数是由内层函数为幂函数的线性组合和外层函数为对数函数复合而成，是复合函数，而函数不是复合函数，它只是两个函数相乘的关系，没有代入、代换的意思． 【归纳新知】复合函数的概念 对于函数，令，则是中间变量u的函数，是自变量x的函数，则函数是自变量x的复合函数． 要点诠释：常把称为“内层”，称为“外层”． 4．复合函数的导数 问题6：如何求函数的导数？ 【破解方法】，由两个函数相乘的求导法则可知：；从整体上来看，外层函数是基本初等函数，它的导数，内层函数是幂函数的线性组合，它的导数是，发现． 【归纳新知】复合函数的导数 设函数在点处可导，，函数在点的对应点处也可导，则复合函数在点处可导，并且，或写作． 环节三：例题练习，巩固理解 题型一：利用导数公式求函数的导数 【典例1-1】求下列函数的导数： （1）； （2）． 【解析】（1）． （2）． 【典例1-2】假设某地在20年间的年均通货膨胀率为5%，物价p（单位：元）与时间t（单位：年）有如下函数关系，其中为时的物价．假定某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0．01元/年）？ 【解析】由导数的定义可知，函数的导数即可代表价格上涨的速度； 根据基本初等函数的导数公式表有． 所以将代入导函数可得． 即在第10个年头，这种商品的价格约以0．08元/年的速度上涨． 【变式1-1】求下列函数的导数： （1）                （2）            （3） （4）            （5）            （6） 【解析】（1）因为，所以； （2）因为，所以； （3）因为，所以； （4）因为，所以； （5）因为，所以； （6）因为，所以； 题型二：求函数的和、差、积、商的导数 【典例2-1】求下列函数的导数： （1）； （2）． 【解析】（1） ． （2） ． 【典例2-2】日常生活中的饮用水通常是经过净化的．随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1t水净化到纯净度为x%时所需费用（单位：元）为c（x）＝ （80＜x＜100）．求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率． （1）90%； （2）98%． 【解析】（1）净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数， 因为． 所以， 又因为， 所以净化到纯净度为时所需净化费用的瞬时变化率是52．84元， （2）由（1）知，， 所以， 所以，净化到纯净度为98%时，净化费用的瞬时变化率是1321元/t． 【变式2-1】求下列函数的导数： （1）；（2）；（3） （4）；（5），（6） 【解析】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 题型三：求复合函数的导数 【典例3-1】求下列函数的导数： （1）； （2）； （3）． 【解析】（1）函数可以看作函数和的复合函数，根据复合函数的求导法则有 ． （2）函数可以看作函数和的复合函数，根据复合函数的求导法则有 ． （3）函数可以看作函数和的复合函数．根据复合函数的求导法则有 ． 【典例3-2】某个弹簧振子在振动过程中的位移y（单位：）关于时间t（单位：s）的函数满足关系式．求函数y在时的导数，并解释它的实际意义． 【解析】记函数可以看作函数和的复合函数，根据复合函数的求导法则，有 ． 当时，． 它表示当时，弹簧振子振动的瞬时速度为． 【变式3-1】求下列函数的导数： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 【解析】（1）因为，所以 （2）因为，所以 （3）因为，所以 （4）因为，所以 （5）因为，所以 （6）因为，所以 题型四：利用导数研究曲线的切线方程 【典例4-1】已知函数． （1）求这个函数的导数； （2）求这个函数的图像在点处的切线方程． 【解析】（1）因为，所以，即； （2）因为点在切线上，且， 所以切线方程为，即． 【典例4-2】求曲线在点处的切线方程． 【解析】因为，所以，， 所以切线方程为：， 即为． 【变式4-1】求曲线在点处的切线方程． 【解析】设，则，则， 因此，曲线在点处的切线方程为，即． 环节四：小结提升，形成结构 问题7：请你带着下列问题回顾本节课学习的内容： （1）导数的四则运算法则是什么？你能用文字语言描述导数的四则运算法则吗？ （2）如何分析简单复合函数的复合过程? （3）如何求简单复合函数的导数？你能归纳出复合函数求导的基本步骤吗？ 【破解方法】学生回顾，自主发言，教师点评，并对学生所提出的疑惑进行解答，使学生在认知上得到进一步升华． 六、【教学成果自我检测】 环节五：目标检测，检验效果 1．求曲线在点处的切线方程． 【解析】因为的导数为， 所以， 由导数的几何意义，则曲线在点处的切线方程为， 即． 2．求下列函数的导数； （1） （2） （3） （4） （5） （6） 【解析】（1）因为，所以； （2）因为，所以； （3）因为，所以； （4）因为，所以； （5）因为，所以 （6）因为，所以 3．求下列函数的导数． （1） （2） （3）； （4） （5） （6）． 【解析】（1），； （2）因为，所以 （3）因为，所以 （4）因为，所以 （5）因为，所以 （6）因为，所以 4．已知函数满足，求在的导数． 【解析】因为，所以，所以，解得 5．设函数的图象与x轴相交于点P，求曲线在点P处的切线方程． 【解析】令得，则点的坐标为． ∵，∴． ∴曲线在点处的切线方程为，即． 6．氡气是一种由地表自然散发的无味的放射性气体．如果最初有氡气，那么t天后，氡气的剩余量为． （1）氡气的散发速度是多少？ （2）的值是什么（精确到0．1）？它表示什么意义？（参考数据，） 【解析】（1）因为，所以 （2），它表示的是第7天时氡气散发的瞬时速度为25．8g每天． 【设计意图】落实与理解教材要求的基本教学内容． 环节六：布置作业，应用迁移 作业：教科书第81页习题5．2第1、3、4、6、9题． 【设计意图】巩固本节课的知识点． 七、【教学反思】 本节课主要围绕导数的运算展开教学，通过实例讲解和练习，使学生掌握了导数的基本运算法则和技巧。在教学过程中，我注重引导学生理解导数的概念，明确导数运算的重要性，并通过逐步深入的讲解，帮助学生逐步掌握导数运算的方法。 然而，在教学过程中，我也发现了一些问题。部分学生在掌握导数运算法则时存在困难，尤其是复合函数和隐函数的求导。这提示我在后续教学中需要加强对这些难点内容的讲解和练习，帮助学生更好地理解和掌握。 此外，我还应更加注重培养学生的思维能力和解决问题的能力，引导他们灵活运用导数运算解决实际问题。总之，通过本节课的教学，我深刻体会到了因材施教的重要性，将在后续教学中不断调整和完善教学方法，努力提高教学效果。 14 / 14 网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$