复习篇 08 求数列的通项公式和前n项和【提高复习+自主学习】-2024-- 2025学年高二数学寒假进阶学习讲义（人教A版2019））

08 求数列的通项公式和前n项和 【题型1】 求数列的通项公式 【经典例题】 角度1 与的关系公式法 适用范围：若得知或与的关系式，求数列通项公式. 方法：利用与的关系，注意分类讨论，最后确定是否满足. 【例1】（24-25高二上·全国·随堂练习）已知等比数列的前项和，则的值是（    ） A．1 B．0 C．2 D． 【巩固练习】 1（24-25高二上·甘肃酒泉·期中）设为数列的前项和，若，则的值为（    ） A．8 B．4 C． D． 2（24-25高三上·辽宁·期中）数列中，已知对任意自然数，则等于（   ） A． B． C． D． 3（24-25高三上·福建福州·期中）已知数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求使取得最大值时的n的值. 角度2 累加法和累积法 1 累加法 适用范围：递推式为 . 方法：得到，利用累加的形式求出. 2 累乘法 适用范围：递推式为 . 方法：得到，利用累乘的形式求出. 【例1】（23-24高二下·安徽亳州·期中）若数列满足（且），，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知数列的首项，前n项和，满足，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（2024高三·全国·专题练习）在数列中，，，则等于（   ） A．4 B． C．13 D． 2（2024·陕西咸阳·三模）在数列中，，，则（    ） A．43 B．46 C．37 D．36 3（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，其中，则（    ） A． B． C． D． 4（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列中，，则（    ） A． B． C． D． 角度3 构造法 对于一些不是等差等比数列的数列，求其通项公式，通过构造等差或等比数列来求其通项公式是一种很好的思路，其中的情况多样，方法有待定系数法、阶差法、取倒数法、取对数法等.我们要理解其中构造的技巧，做到举一反三. 情况1 递推公式为 (为常数，，) 待定系数法：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解； 情况2 递推公式为为常数) 取倒数法：递推公式两边取倒数，，令，若，则问题是等差数列；若，问题转化为递推公式为：的方法处理. 情况3 递推公式为其中均为常数，. (或,其中均为常数) . 方法一 在原递推公式两边同除以，得，令，得再待定系数法解决. 【例1】（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知数列满足，，若成立，则的最大值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【巩固练习】 1（22-23高二上·天津·期末）已知数列中，（且，则数列通项公式为（    ） A． B． C． D． 2（23-24高二下·吉林长春·期中）已知数列中，且，则（    ） A． B． C． D． 3（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知数列满足，且，若，则（    ） A．253 B．506 C．1012 D．2024 4（2024·福建·模拟预测）设数列的前项和为，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【题型2】 求数列的前n项和 【经典例题】 角度1 倒序相加(乘)法 对于某个数列，若满足，则求前项积可使用倒序相乘法.具体解法类同倒序相加法. 【例1】（24-25高二上·上海·阶段练习）已知函数，数列是正项等比数列，且， (1)计算的值； (2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求的值. 【巩固练习】 1（24-25高二上·全国·课后作业）已知正项数列是公比不等于1的等比数列，且，若，则等于（   ） A．2022 B．4036 C．2023 D．4038 2（2024·上海·模拟预测）已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前2024项和. 角度2 分组求和法 若数列中通项公式，可分成两个数列，之和，则数列的前项和等于两个数列，的前项和的和. 【例1】（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，，，． (1)证明：； (2)设，求数列的前2n项和． 【巩固练习】 1（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）已知等差数列，，，则数列的前n项和为（   ） A． B． C． D． 2（24-25高二上·全国·课后作业）已知等差数列的公差为正数，，其前项和为，数列为等比数列，，且，. (1)求数列与的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 角度3 错位相减法 当数列的通项公式,其中为等差数列, 为等比数列. 【例1】（24-25高二上·天津东丽·阶段练习）已知数列，，，为数列的前项和，且. (1)令. （i） 求证: 数列为等差数列，并求数列的通项公式； （ii） 求数列的前项和； (2)设数列的前项和，对，恒成立，求实数的取值范围. 【巩固练习】 1（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，且．若恒成立，则k的最小值是（    ） A． B．4 C． D．5 2（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，且． (1)求的通项公式； (2)设，且数列的前项和为，若，求的最大值． 角度4 裂项相消法 常见裂项公式 ，； ，. 【例1】（24-25高二上·重庆·期中）已知为等差数列，其公差为，前项和为，为等比数列，其公比为，前项和为，若，，，． (1)求公差和； (2)记，证明：． 【巩固练习】 1（2024·湖南长沙·模拟预测）数列为等差数列，为正整数，其前n项和为，数列为等比数列，且，数列是公比为64的等比数列，． (1)求； (2)求证：． 2（2024高二上·全国·专题练习）已知数列的前项和，，且． (1)求； (2)求数列的前项和； (3)设数列的前项和，且满足，求证：． 【A组---基础题】 1（24-25高二上·江苏连云港·期中）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，，设各层球数构成一个数列，则（    ）    A． B． C． D． 2（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前n项的和为，．当时，，则（    ） A． B．1006 C．1007 D．1008 3（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为，其中，且，则（    ） A． B． C． D． 4（23-24高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知数列满足，若，则（    ） A． B． C． D． 5（23-24高二下·江西景德镇·期中）记集合中元素的个数为，数列的前n项和为，则为（    ） A．15 B．20 C．47 D．52 6（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）数列满足，且对于任意的都满足 则数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 7（24-25高二上·江苏镇江·期中）已知在数列中，，，，数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 8（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知数列的前项和为，且. (1)若，求； (2)若数列是单调递增数列，求首项的取值范围. 9（2024高三·全国·专题练习）在数列中，，． (1)证明数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 10（24-25高二上·湖南·期中）已知数列是首项为的等比数列，各项均为正数，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，为数列的前项和．若对任意的恒成立，求实数的取值范围． 11（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)当时，数列满足，求证：； (3)若对任意正整数n都有成立，求正实数q的取值范围． 【B组---提高题】 1（24-25高三上·上海·阶段练习）设数列的前项和为，若，且存在正整数，使得，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 2（2024·全国·模拟预测）定义：若点，是曲线上相异的两点，且直线的斜率为，则称点，是斜关的．已知抛物线，点，点与点是斜关的，点与点是斜关的，其中为常数且，记直线的斜率为． (1)若，求的面积（为坐标原点）． (2)若对任意的正整数是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． (3)设为数列的前项和，若对任意的正整数，都有，求实数的取值范围． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 08 求数列的通项公式和前n项和 【题型1】 求数列的通项公式 【经典例题】 角度1 与的关系公式法 适用范围：若得知或与的关系式，求数列通项公式. 方法：利用与的关系，注意分类讨论，最后确定是否满足. 【例1】（24-25高二上·全国·随堂练习）已知等比数列的前项和，则的值是（    ） A．1 B．0 C．2 D． 【答案】D 【分析】根据与之间的关系可得，，再根据等比数列的定义运算求解. 【详解】因为， 当，可得； 当，可得，则； 若数列为等比数列，则，解得. 故选：D. 【巩固练习】 1（24-25高二上·甘肃酒泉·期中）设为数列的前项和，若，则的值为（    ） A．8 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】易知数列前和求出通项公式，再由等比数列的性质化简求得结果. 【详解】当时，，∴， 当时，，则， ∴，即数列是首项，公比的等比数列， 即， ∴ 故选：D. 2（24-25高三上·辽宁·期中）数列中，已知对任意自然数，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用与，求得，进而得到，再利用等比数列的前和公式，即可求解. 【详解】因为①， 当时，②，由①②得， 又，满足，所以， 由，得到， 所以， 故选：C. 3（24-25高三上·福建福州·期中）已知数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求使取得最大值时的n的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据的关系，作差可得，即可根据等比数列的定义求解， （2）根据，可得；从而判断的单调性，即可求解. 【详解】（1）因为且，所以， 由，可得：， 两式相减得：， 因为，所以，， 又，综上，，， 所以是首项和公比均为的等比数列. . （2）由（1）可得，所以， 时， 由，可得； 故当，， 当时，， 当时，， 所以， 综上，或时，取得最大值. 角度2 累加法和累积法 1 累加法 适用范围：递推式为 . 方法：得到，利用累加的形式求出. 2 累乘法 适用范围：递推式为 . 方法：得到，利用累乘的形式求出. 【例1】（23-24高二下·安徽亳州·期中）若数列满足（且），，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将数列递推式整理裂项，运用累加法和裂项相消法求和，得到数列通项即得. 【详解】由可得， 则有， . 故. 故选：C. 【例2】（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知数列的首项，前n项和，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据得到，两式相减得到，求出即可求解. 【详解】因为，所以， 两式相减得， 所以，所以， 所以，所以， 所以. 故选：C. 【巩固练习】 1（2024高三·全国·专题练习）在数列中，，，则等于（   ） A．4 B． C．13 D． 【答案】A 【分析】由于，然后由累加法求解即可. 【详解】依题意，在数列中，，， 即， 所以 ． 故选：A 2（2024·陕西咸阳·三模）在数列中，，，则（    ） A．43 B．46 C．37 D．36 【答案】C 【分析】由递推公式用累加法公式求出，再求即可. 【详解】法一：由题得 ， 所以. 法二：由题，， 所以. 故选：C. 3（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，其中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由累乘法代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意，得，，． 由累乘法，得， 即， 又，所以． 故选：C． 4（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先应用得出，再应用累乘法得出通项公式，代入即可求值. 【详解】由题得，即， 所以， 将上面个式子两端分别相乘， 可得， 即， 所以． 故选：B. 角度3 构造法 对于一些不是等差等比数列的数列，求其通项公式，通过构造等差或等比数列来求其通项公式是一种很好的思路，其中的情况多样，方法有待定系数法、阶差法、取倒数法、取对数法等.我们要理解其中构造的技巧，做到举一反三. 情况1 递推公式为 (为常数，，) 待定系数法：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解； 情况2 递推公式为为常数) 取倒数法：递推公式两边取倒数，，令，若，则问题是等差数列；若，问题转化为递推公式为：的方法处理. 情况3 递推公式为其中均为常数，. (或,其中均为常数) . 方法一 在原递推公式两边同除以，得，令，得再待定系数法解决. 【例1】（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知数列满足，，若成立，则的最大值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】分析可知数列是首项为3，公差为1的等差数列，进而可得，根据题意利用裂项相消法可得，运算求解即可. 【详解】因为数列满足，，可得， 可得数列是首项为3，公差为1的等差数列， 则，即， 则， 可得 ， 因为，可得，解得， 即所求的最大值为6. 故选：B. 【巩固练习】 1（22-23高二上·天津·期末）已知数列中，（且，则数列通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知得，进而确定数列的通项公式，即可求. 【详解】由，知：且()， 而，， ∴是首项、公比都为3的等比数列，即， 故选：C 2（23-24高二下·吉林长春·期中）已知数列中，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】采用倒数法可证得数列为等差数列，根据等差数列通项公式可推导得到，得解. 【详解】由得：， 又，数列是以1为首项，为公差的等差数列， ， ，， ， 故选：D． 3（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知数列满足，且，若，则（    ） A．253 B．506 C．1012 D．2024 【答案】B 【分析】将式子变形为,可得为常数列，即可求解. 【详解】因为，所以. 因为，所以，故为常数列， 所以. 由，解得. 故选：B 4（2024·福建·模拟预测）设数列的前项和为，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用，结合已知变形构造数列，求出，进而求出即可判断得解. 【详解】数列中，由，得，整理得， 则，数列是以为首项，1为公差的等差数列， 于是，即，而满足上式， 因此，，，ABD错误，C正确. 故选：C 【题型2】 求数列的前n项和 【经典例题】 角度1 倒序相加(乘)法 对于某个数列，若满足，则求前项积可使用倒序相乘法.具体解法类同倒序相加法. 【例1】（24-25高二上·上海·阶段练习）已知函数，数列是正项等比数列，且， (1)计算的值； (2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求的值. 【答案】(1)1； (2). 【分析】（1）直接代入化简即可； （2）由（1），结合等比数列性质，即可求解. 【详解】（1）因为函数， 所以 （2）因数列是正项等比数列，且，则， 所以， 同理， 令， 又， 则有，故， 所以. 【巩固练习】 1（24-25高二上·全国·课后作业）已知正项数列是公比不等于1的等比数列，且，若，则等于（   ） A．2022 B．4036 C．2023 D．4038 【答案】C 【分析】根据题意结合等比数列的性质可得，根据函数解析式可得，利用倒序相加法运算求解. 【详解】因为正项数列是公比不等于1的等比数列， 且，则，即， 结合等比数列性质可得， 又因为函数，则， 令，则， 可得， 所以． 故选：C. 2（2024·上海·模拟预测）已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前2024项和. 【答案】(1) (2)1012 【分析】（1）由题意得，再利用可求出， （2）先求得，，然后利用倒序相加法可求得结果. 【详解】（1）因为点均在函数的图象上， 所以， 当时，，即， 当时， ， 因为满足上式， 所以； （2）因为， 所以， 因为，所以， 所以 ①， 又 ②， ①+②，得， 所以. 角度2 分组求和法 若数列中通项公式，可分成两个数列，之和，则数列的前项和等于两个数列，的前项和的和. 【例1】（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，，，． (1)证明：； (2)设，求数列的前2n项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据进行求解； （2）在（1）基础上，得到，从而得到，分组求和，结合等差数列和等比数列求和公式得到答案. 【详解】（1）证明：由题可知， 当时，解得． 又因为，将其与 两式相减得：， 因为，所以． （2）当n为大于1的奇数时，有，，，…，， 累加得． 又满足上式，所以n为奇数时，； 当n为大于2的偶数时，有，，，…，， 累加得．又满足上式． 综上可知，． 所以， . 【巩固练习】 1（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）已知等差数列，，，则数列的前n项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知求出等差数列的公差，得到通项，利用分组求和，结合等差等比数列的求和公式求数列的前n项和. 【详解】设等差数列公差为，由，得，则， 所以，， 则数列的前n项和为 . 故选：D. 2（24-25高二上·全国·课后作业）已知等差数列的公差为正数，，其前项和为，数列为等比数列，，且，. (1)求数列与的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) . (2) 【分析】（1）设出公差和公比，利用等差数列和等比数列的性质得到方程组，求出公差和公比，得到公差和公比，得到通项公式； （2）由等差数列求和公式，变形得到，分组求和即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为. 由，，，， 可得，， 所以，.则，. （2）由（1）可得， 故. 则数列的前项和 . 故数列的前2n项和为. 角度3 错位相减法 当数列的通项公式,其中为等差数列, 为等比数列. 【例1】（24-25高二上·天津东丽·阶段练习）已知数列，，，为数列的前项和，且. (1)令. （i） 求证: 数列为等差数列，并求数列的通项公式； （ii） 求数列的前项和； (2)设数列的前项和，对，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)（i）证明见解析，；（ii） (2) 【分析】（1）（i）利用等差数列的定义可证得数列为等差数列，确定该数列的首项和公比，求出数列的通项公式，进而可求得数列的通项公式； （ii）利用与的关系求出数列的通项公式，然后利用错位相减法可求得； （2）利用分组求和法求出，由变量分离法可得出，令，求出数列中最大项的值，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）（i）时， ， 所以，数列为等差数列，且首项为，公差为， 故，故； （ii）当时，，可得， 当时，由可得， 上述两个等式作差可得，即， 所以，数列为等比数列，且其首项为，公比为，则. 所以，， ，① ，② ①②得， 因此，. （2）因为， 所以， ， ，恒成立，即， 所以，， 令，则， 由，即，解得， 因为，所以，， 故数列中，最大，所以，， 因此，实数的取值范围是. 【巩固练习】 1（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，且．若恒成立，则k的最小值是（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】B 【分析】根据数列的通项公式，利用错位相减法求出数列的前项和，结合得到，即可求解. 【详解】因为， 所以①，②， ①减②可得： ， 所以． 因为，所以，即恒成立，故． 故选：B 2（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，且． (1)求的通项公式； (2)设，且数列的前项和为，若，求的最大值． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）首先取倒数，然后构造等比数列，利用等比数列通项公式求解即可； （2）首先写出的通项公式，再写出的表达式，利用得到数列是增数列，求出，即可得到的最大值. 【详解】（1）因为，所以， 故，又，则， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，解得， 所以数列的通项公式为； （2）由（1）知，则， 所以 ， 因为 恒成立， 所以是单调递增数列， 且，， 故使得的的最大值为3. 角度4 裂项相消法 常见裂项公式 ，； ，. 【例1】（24-25高二上·重庆·期中）已知为等差数列，其公差为，前项和为，为等比数列，其公比为，前项和为，若，，，． (1)求公差和； (2)记，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）分析可得，由此可得，利用等比数列的求和公式可求出的值，即可得出的值，计算出的值，根据可得出关于的方程，即可解出的值； （2）利用裂项相消法求出数列的前项和，即可证得结论成立. 【详解】（1）因为为等差数列，其公差为，前项和为，则， 又因为，，则， 因为，即，可得，解得，故， 所以，，则，可得. 综上所述，. （2）由（1）可得， 所以，， 因此， . 【巩固练习】 1（2024·湖南长沙·模拟预测）数列为等差数列，为正整数，其前n项和为，数列为等比数列，且，数列是公比为64的等比数列，． (1)求； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析． 【分析】（1）利用基本量代换，列方程组求出d、q，即可得到； （2）利用裂项相消法求和即可证明． 【详解】（1）设的公差为d，的公比为q，则d为正整数， 依题意有①． 由知q为正有理数，故d为6的因子1，2，3，6之一， 解①得 故 （2），∴ ∴ 即证． 2（2024高二上·全国·专题练习）已知数列的前项和，，且． (1)求； (2)求数列的前项和； (3)设数列的前项和，且满足，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）令，解方程即可求解， （2）利用，的关系，作差可得等差数列，即可求解， （3）利用放缩法可得，即可利用累加法求解. 【详解】（1）在，中，， 令，可得 ， ∴． （2），① 当时，，② 可得 ， ∴， ∴是公差为的等差数列， ∴， ∴． （3）证明：由（2）可得， ∴， ∴ ． 【A组---基础题】 1（24-25高二上·江苏连云港·期中）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，，设各层球数构成一个数列，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据累加法求解出的通项公式，由此可求的值. 【详解】由题意可知， 所以， 所以, 所以，所以， 当时，符合的情况， 所以，所以， 故选：D. 2（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前n项的和为，．当时，，则（    ） A． B．1006 C．1007 D．1008 【答案】D 【分析】利用的关系式可得，分组求和可得结果. 【详解】易知当时，，． 两式相减得，即． 又，， 即满足上式， 可得． 故选：D． 3（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为，其中，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，采用构造数列的方法，，则可以确定数列为等比数列，然后进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 即，所以． 故选：C. 4（23-24高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知数列满足，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用累乘法，结合余弦函数的周期性进行求解即可. 【详解】函数的最小正周期为， 所以有 故选：D 5（23-24高二下·江西景德镇·期中）记集合中元素的个数为，数列的前n项和为，则为（    ） A．15 B．20 C．47 D．52 【答案】D 【分析】根据给定信息求出数列的通项公式，再利用分组求和法求出即可得解. 【详解】依题意，， 因此， 所以. 故选：D 6（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）数列满足，且对于任意的都满足 则数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用构造法求出数列的通项，再利用裂项相消法求和即可. 【详解】依题意，由，得，故数列是首项为1，公差为3的等差数列， 所以，则， 所以数列的前n项和为. 故选：B 7（24-25高二上·江苏镇江·期中）已知在数列中，，，，数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据取倒数法可得，由等差数列的定义和通项公式可得，进而，结合裂项相消法求和即可. 【详解】由，得，即， 又，所以， 则是以为首项，以为公差的等差数列， 得，故，得， 所以， 所以 . 故选：A 8（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知数列的前项和为，且. (1)若，求； (2)若数列是单调递增数列，求首项的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据递推公式可得，结合等比数列分析求解即可； （2）根据递推公式可得，再结合单调性分析求解即可. 【详解】（1）因为，则， 可得， 若，则， 可知是以首项为2，公比为3的等比数列， 则，所以. （2）因为， 当时，则； 当时，则， 两式相减可得，则， 若数列是单调递增数列，则，解得， 且，解得， 综上所述：首项的取值范围为. 9（2024高三·全国·专题练习）在数列中，，． (1)证明数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析， (2)． 【分析】（1）由条件结合等差数列定义证明数列为等差数列，根据等差数列通项公式求，再求数列的通项公式； （2）由（1），再利用裂项相消法求和. 【详解】（1），，且， 数列是以为首项，为公差的等差数列， ， ． ∴数列的通项公式为； （2）由（1）可知，， ， . ∴数列的前n项和． 10（24-25高二上·湖南·期中）已知数列是首项为的等比数列，各项均为正数，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，为数列的前项和．若对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合等比数列通项公式可构造方程求得公比，进而得到通项公式； （2）采用错位相减法可求得，分离参数可得，由数列单调性可求得，进而得到结果. 【详解】（1）等比数列各项均为正数，可设其公比为， ，解得：（舍）或， . （2）由（1）得：， ，， 两式作差得： ， ， 由得：， 为递减数列，，， 即实数的取值范围为. 11（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)当时，数列满足，求证：； (3)若对任意正整数n都有成立，求正实数q的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据已知条件求出，继而结合得关系推出，说明数列为等比数列，即可求得答案； （2）求出利用的表达式，利用裂项求和法，即可证明结论； （3）将恒成立问题转化为，即恒成立，再构造函数，利用导数求函数的最值，即可求得答案. 【详解】（1）由得，即，所以． 若，则； 若，则由得， 两式相减得， 化简得， 所以数列是以1为首项，以q为公比的等比数列，因此， 当时，也满足该式，故． （2）证明：因为，所以，则， 因此 ． 又因为，且，故， 因此得证． （3）由（1）得，则，即， 令（，）， 为使对任意正整数n都有成立，即， 因为，所以当时，，即在上单调递增； 当时，，即在上单调递减． 又，且，，， 所以，因此，即． 【B组---提高题】 1（24-25高三上·上海·阶段练习）设数列的前项和为，若，且存在正整数，使得，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分组求和求得，不妨令，解得，所以，因为，所以或17，分情况讨论可得答案. 【详解】因为，所以 不妨令，可得，解得或（舍去），所以. 又因为，所以或17， 因为，所以，所以 当时，由 所以 当时，由 又由 所以 所以的取值集合为. 故选：B. 2（2024·全国·模拟预测）定义：若点，是曲线上相异的两点，且直线的斜率为，则称点，是斜关的．已知抛物线，点，点与点是斜关的，点与点是斜关的，其中为常数且，记直线的斜率为． (1)若，求的面积（为坐标原点）． (2)若对任意的正整数是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． (3)设为数列的前项和，若对任意的正整数，都有，求实数的取值范围． 【答案】(1)12 (2)是定值；－2 (3) 【分析】（1）由题意可得点在抛物线上，从而可求得抛物线的方程为，进而根据斜关的定义求得，从而利用两点距离公式求得，利用点线距离公式求得点到的距离，进而可求得面积； （2）由点差法求得①，②，③，进而由①②消去得，代入③得； （3）由（2）中①②消去得，从而根据等差数列的通项公式可求得，进而可得，即可得，再利用裂项相消法求得，从而可求解. 【详解】（1）根据斜关的定义可知点在抛物线上， 所以，解得，故抛物线的方程为， 是斜关的，点， 的方程为，即， 联立，消去得，解得或， 又在上，，得，则， 故， 点到的距离为， 故的面积为． （2）根据斜关的定义可知的斜率为， 由代入得 ，两式作差得，即， 得，即①， 同理可得② ③ 由①②消去得，代入③得， 故对任意的正整数是定值－2． （3）由（2）中①②消去得， 故是以为首项，为公差的等差数列， 故， 由（2）知 ， 故， 显然，单调递增，， 又对任意的正整数，都有． 又，解得， 故实数的取值范围为． 【点睛】思路点睛： 处理新定义类问题的思路有①找出新定义的几个要素，找出要素分别代表的意义；②由已知条件看所求问题，进行分析，转化为数学语言；③将已知条件代入新定义中；④结合数学知识进行解答. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$