第03讲 一元一次不等式组（三类知识点+十三大题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（沪教版2024）

第03讲 一元一次不等式组（十三大题型） 学习目标 1． 理解一元一次不等式组及其解的意义； 2． 初步感知利用一元一次不等式解集的数轴表示求不等式组的解和解集的方法. 3． 学会解一元一次不等式组的应用 知识点1 一元一次不等式组的概念 定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组． 要点： (1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上． (2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数． 知识点2 一元一次不等式组的解法 1. 求不等式组解集的过程，叫做解不等式组. 2. 一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集． 要点： (1)找各个不等式的解集的公共部分的方法是先将各个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分． (2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况． 3. 解一元一次不等式组的方法步骤： 第一步：先分别求出不等式组中各个不等式的解集； 第二步：利用数轴求出这些解集的公共部分； 第三步：写出不等式组的解集的结论． 4. 由两个一元一次不等式组成的不等式组，经过整理可以归结为下述四种基本类型：（表中） 知识点3 一元一次不等式组的应用 列一元一次不等式组解应用题的步骤为： 审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答． 要点： (1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系． (2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取非负整数. 【即学即练1】下列选项中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【即学即练2】解不等式组：，并在数轴上把解集表示出来． 【即学即练3】解不等式组，解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【即学即练4】不等式组的最小整数解为 ． 【即学即练5】关于x的不等式组的解集是，则a的取值范围为（  ） A． B． C． D． 题型1:一元一次不等式组的概念 【典例1】．下列是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】．下列各项中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】．下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-3】．下列不等式组：① ② ③ ④ ⑤．其中是一元一次不等式组的有 个． 题型2:一元一次不等式组的实际意义 【典例2】某日我市最高气温是，最低气温是，则当天气温的变化范围是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】．某种药品的说明书上贴有如图所示的标签，一次服用药品的剂量设为x，则x的取值范围是（   ） 用法用量：口服，每天，分次服用 规格：□□□□ 贮藏：□□□□ A． B． C． D． 【变式2-2】．甲和乙猜一个橘子的质量，甲说：“不少于25克．”乙说：“不够35克．”若他俩说得都没错，则这个橘子的质量x（元）所在的范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】．小明一家外出自驾游，发现某公路上对行驶汽车的速度有如图所示的规定，设此段公路上小客车的速度为千米/小时，则应满足的条件是（     ） A． B． C． D． 题型3:一元一次不等式组的解法 【典例3】．解一元一次不等式组，并把解集在数轴上表示出来 (1)； (2)． 【变式3-1】．解下列方程组或不等式组，并把不等式组的解集表示在数轴上． (1)； (2)． 【变式3-2】．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 【变式3-3】．解下列不等式组： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 题型4:判断解集的表示、解法步骤的正误 【典例4】．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】．下列说法正确的是（    ） A．不等式组的解集是 B．不等式组的解集是 C．不等式组的解集是 D．不等式组的解集是 【变式4-3】．解不等式（组） (1)小英解不等式的过程如下，请指出她解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 解：去分母得：① 去括号得：② 移项得：③ 合并同类项得：④ 两边都除以得：⑤ (2)解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 题型5:一元一次不等式组的整数解及求参数 【典例5】．解不等式组：并求所有整数解的和． 【变式5-1】．求不等式组的非负整数解． 【变式5-2】．若关于x的不等式组所有整数解的和为9，则整数m的值为 ． 【变式5-3】．已知关于的不等式组恰好只有4个整数解． (1)若，求的取值范围； (2)若，则的取值范围为___________． 题型6:解m＜ax+b＜n型不等式组 【典例6】．计算下列不等式： 【变式6-1】．不等式组的整数解的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6-2】．满足的整数解是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式6-3】．关于x的不等式有5个整数解，则a的取值范围为 ． 题型7:解绝对值不等式 【典例7】．阅读：我们知道，于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：（1）当，即时： 解这个不等式，得： 由条件，有： （2）当，即时， 解这个不等式，得： 由条件，有： ∴如图，综合（1）、（2）原不等式的解为 根据以上思想，请探究完成下列2个小题： （1）；     （2）． 【变式7-1】．解下列不等式： （1） （2） 【变式7-2】．解不等式． 【变式7-3】．若关于的不等式有解，则的取值范围是 . 题型8:有解、无解问题 【典例8】．若不等式组无解，则a的取值范围是 ． 【变式8-1】．含参不等式之有、无解问题． (1)若关于的不等式组有解，求的取值范围； (2)已知关于的不等式组无解，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组无解，求的取值范围． 【变式8-2】．若关于的一元一次不等式组有解，且关于的方程的解为正整数，则符合条件的整数的和为 ． 【变式8-3】．已知关于的二元一次方程组的解满足，且关于的不等式组无解，那么所有符合条件的整数的和为 ． 题型9:根据解集求参数(范围) 【典例9】．若关于x的不等式组的解集为，则实数a的取值范围为 【变式9-1】．若关于x的一元一次不等式组的解集是，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】．已知关于的不等式组的解集为，求的值． 【变式9-3】．若两个方程的解都是关于的不等式组的解，则的取值范围是 ． 题型10:一次方程组与不等式组（求参问题） 【典例10】．已知关于、的方程组 (1)若此方程组的解也是方程的解，求常数的值． (2)若方程组的解为正数，为负数，求的取值范围． (3)在（2）的条件下，设，求的取值范围． 【变式10-1】．已知关于的方程组，为负数，为非正数．若为整数，则当 时，不等式的解集为． 【变式10-2】．若整数m使得关于x的不等式组有且只有四个整数解，且关于x、y的二元一次方程组有整数解，则符合条件的所有m的和是 ． 【变式10-3】．若关于x的不等式组的解集为，且关于m，n方程组的解满足，则所有满足条件的整数a的值之积为 ． 题型11:解特殊的不等式组 【典例11】．求不等式的解集． 解：根据“同号两数相乘，积为正”可得：① 或 ②， 解①得 ；解②得， ∴原不等式的解集为或． 请你仿照上述方法解决下列问题：写出不等式的解集． 【变式11-1】．求不等式的解集． 解：根据“同号两数相乘，积为正”， 可得①或② 解不等式组①，得，解不等式组②，得， 不等式的解集为或． 请你仿照上述方法，解决下列问题： (1)求不等式的解集； (2)求不等式的解集． 【变式11-2】．自学下面材料后，回答问题： 分母中含有未知数的不等式叫分式不等式 如：；等．那么如何求出它们的解集呢？根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负．其字母表达式为： ①若，，则；若，，则； ②若，，则；若，，则． (1)①若，则，或； ②若，则 ； (2)由（1），求不等式的解集； (3)试求不等式的解集． 【变式11-3】．材料1：我们把形如（、、为常数）的方程叫二元一次方程．若、、为整数，则称二元一次方程为整系数方程．若是，的最大公约数的整倍数，则方程有整数解．例如方程都有整数解；反过来也成立．方程都没有整数解，因为6，3的最大公约数是3，而10不是3的整倍数；4，2的最大公约数是2，而1不是2的整倍数． 材料2：求方程的正整数解． 解：由已知得：……① 设（为整数），则……②   把②代入①得：． 所以方程组的解为 ， 根据题意得：． 解不等式组得0＜＜．所以的整数解是1，2，3． 所以方程的正整数解是：，，． 根据以上材料回答下列问题： （1）下列方程中：① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ ．没有整数解的方程是 （填方程前面的编号）； （2）仿照上面的方法，求方程的正整数解； （3）若要把一根长30的钢丝截成2长和3长两种规格的钢丝（两种规格都要有），问怎样截才不浪费材料？你有几种不同的截法？（直接写出截法，不要求解题过程） 题型12:程序框图 【典例12】．某运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否”为一次程序操作．若程序操作进行了两次停止，则x的取值范围是 ． 【变式12-1】．运行程序如图所示，从“输入实数x“到“结果是否 “为一次程序操作，若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（    ） A．x B． C． D． 【变式12-2】．对一个实数按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数”到“判断结果是否大于？”为一次操作，如果操作恰好进行三次才停止，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式12-3】．如图，某同学设计了一种运算程序，输入数，将每次运算结果是否大于作为一次运算，若大于，则输出结果；若小于或等于，则将运算结果重新赋值给，并进行运算．    （1）若，，则最终输出的结果为 ． （2）若，程序进行了3次运算后停止，则可取的最小整数为 ． 题型13:一元一次不等式组的实际应用 【典例13】．把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到2本，这些书有多少本？共有多少人？ 【变式13-1】．某工人制造机器零件，如果每天比计划多做1件，那么8天所做的零件总数超过100件；如果每天比计划少做1件，那么8天所做的零件总数不足99件．这个工人计划每天做多少件零件？ 【变式13-2】．某商店需要购进甲、乙两种商品共180件，其进价和销售价如下表所示： 甲 乙 进价（元/件） 14 35 售价（元/件） 20 43 (1)若商店计划销售完这批商品后能获利1240元，问甲、乙两种商品分别购进多少件？ (2)若商店计划投入资金少于5040元，且销售完所有商品后获利多于1312元，请问有哪几种购货方案？ 【变式13-3】．“今生簪花，来世漂亮”，福建省泉州市蟳埔村簪花园今年“火出圈”．小强在五一节期间，随爸爸妈妈一起前往蟳埔村，簪花、观景、休闲、品美食，体验蟑埔文化．在游玩间隙，热爱数学的小强发现许多有趣的数学问题，让我们与小强一起探究如下的数学问题． 小强陪妈妈去簪花店去簪花，簪花店老板林阿姨介绍说，簪花分为簪生花和簪熟花两种类型．妈妈想体验簪生花，挑选了颜色鲜艳的朵玫瑰花和朵石榴花，林阿姨只收取妈妈元，林阿姨又告诉小强每朵石榴花的价格比每朵玫瑰花的价格少元． (1)求石榴花与玫瑰花单价分别是多少元？ (2)小强爸爸发现簪花时如果玫瑰花多一些，整个头型更好看些，建议妈妈下次来簪花时，玫瑰花的数量比石榴花要多朵，但是两种花的数量不少于朵，小强爸爸告诉林阿姨总费用不得高于元．请你与小强一道帮帮林阿姨设计一下簪花方案． 一、单选题 1．下列式子中，一元一次不等式组有(　　) ①；②；③；④；⑤. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，数轴上所表示的关于的不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 4．若关于x的不等式组的解集是，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．小明参加的生物兴趣小组要在温箱里培养A、B两种菌苗．A种菌苗的生长温度的范围是，B种菌苗的生长温度的范围是．那么温箱里的温度应该设定在（    ） A． B． C． D． 6．不等式组的整数解的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知不等式组的解集为，则（　　　） A．2013 B．-2013 C．-1 D．1 8．为了美化校园，学校决定利用现有的2660盆甲种花卉和3000盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个，摆放在校园内；已知搭配一个A种造型需甲种花卉70盆，乙种花卉30盆，搭配一个B种造型需甲种花卉40盆，乙种花卉80盆．设搭配A种造型x个，你认为下列符合题意的不等式组是（   ） A． B． C． D． 9．对一个实数x按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到“判断结果是否大于190？”为一次操作，如果操作恰好进行两次就停止了，那么x的取值范围是（　　） A．8＜x≤22 B．8≤x＜22 C．8＜x≤64 D．22＜x≤64 10．已知关于x的不等式组有以下说法： ①如果不等式组有解，那么不等式组的解集一定是 ②如果是不等式组的一个解，那么 ③如果不等式组只有3个整数解，那么 ④如果不等式组无解，那么 其中正确说法的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．不等式组的解集为 ． 12．已知不等式组的解集如图所示，则 ． 13．关于x的不等式组的整数解的和为9，则m的取值范围是 ． 14．若不等式组有解，则的取值范围是 ． 15．若不等式组的解为，则的取值是 16．某电梯乘载的重量超过400公斤时会响起警示音，已知小华、小欧的体重分别为50公斤、75公斤，小华，小欧依序最后进入电梯，小华走进后，警示音没响、小欧走进后，警示音响起．设两人没进入电梯前，电梯已乘载的重量为x公斤，则x需满足 ． 17．已知关于x的不等式组恰好有4个整数解，则a的取值范围为 ． 18．已知关于的方程组的解都是正数，则的取值范围是 ． 三、解答题 19．解不等式组：’并在数轴上表示出不等式组的解集． 20．解下列不等式组 (1) (2) 21．解不等式组：，并求出它的非负整数解． 22．若不等式组的整数解是关于的方程的解，求的值． 23．已知均为常数，若关于的不等式组的解集是，求的值． 24．某工人制造机器零件，如果每天比计划多做1件，那么8天所做的零件总数超过100件；如果每天比计划少做1件，那么8天所做的零件总数不足99件．这个工人计划每天做多少件零件？ 25．高尔基说：“书籍是人类进步的阶梯”．为提高学生的阅读水平，某中学购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多4元，购买30本“科普类”图书和40本“文学类”图书共花费1240元． (1)求这两种图书的单价分别是多少元？ (2)学校决定再次购买这两种图书共100本，总费用超过1790元但不超过1800元，则学校有哪几种购买方案． 26．已知关于x、y的方程组的解满足，． (1)求m的取值范围； (2)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解为？ 27．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题． 例题：解不等式． 解：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正，异号得负”，得，，解不等式组，得，解不等式组，得，的解集为或． (1)满足的的取值范围是______； (2)仿照材料，解不等式． 28．【定义】若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”．例如：的解为的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”． 【问题解决】（1）在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是______（填序号）； （2）若关于的方程是不等式组的“子方程”，求的取值范围； （3）若方程是关于的不等式组的“子方程”，直接写出的取值范围． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 一元一次不等式组（十三大题型） 学习目标 1． 理解一元一次不等式组及其解的意义； 2． 初步感知利用一元一次不等式解集的数轴表示求不等式组的解和解集的方法. 3． 学会解一元一次不等式组的应用 知识点1 一元一次不等式组的概念 定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组． 要点： (1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上． (2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数． 知识点2 一元一次不等式组的解法 1. 求不等式组解集的过程，叫做解不等式组. 2. 一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集． 要点： (1)找各个不等式的解集的公共部分的方法是先将各个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分． (2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况． 3. 解一元一次不等式组的方法步骤： 第一步：先分别求出不等式组中各个不等式的解集； 第二步：利用数轴求出这些解集的公共部分； 第三步：写出不等式组的解集的结论． 4. 由两个一元一次不等式组成的不等式组，经过整理可以归结为下述四种基本类型：（表中） 知识点3 一元一次不等式组的应用 列一元一次不等式组解应用题的步骤为： 审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答． 要点： (1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系． (2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取非负整数. 【即学即练1】下列选项中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】略 【即学即练2】解不等式组：，并在数轴上把解集表示出来． 【答案】解集表示在数轴上见详解， 【分析】本题主要考查解不等式组，掌握不等式的性质，不等式组的取值方法是解题的关键． 根据不等式的性质，分别求出解集，把解集表示在数轴上，再根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”即可求解． 【解析】解：， 解①得，， 解②得，， 如图所示， ∴不等式组的解集为：． 【即学即练3】解不等式组，解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了解一元一次不等式组，分别解不等式，得出不等式组的解集，再画图即可，正确解不等式组是解题的关键． 【解析】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为：， ∴解集在数轴上表示为： 故选：． 【即学即练4】不等式组的最小整数解为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，求一元一次不等式组的整数解等知识点，正确求出每一个不等式的解集，然后根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则确定不等式组的解集是解题的关键． 分别求解每一个不等式，即得到该不等式组的解集，然后在此基础上求出不等式组的最小整数解即可． 【解析】解：不等式组， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的最小整数解为， 故答案为：． 【即学即练5】关于x的不等式组的解集是，则a的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式组解集的定义进行解答即可． 本题考查不等式的解集，理解不等式组解集的定义是正确解答的关键． 【解析】解：∵关于x的不等式组的解集是， ∴． 故选：A． 题型1:一元一次不等式组的概念 【典例1】．下列是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式组，掌握一元一次不等式组定义，会根据定义识别一元一次不等式组是解题关键．利用一元一次不等式组的定义判断即可． 【解析】解：是一元一次不等式组． 故选：B． 【变式1-1】．下列各项中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义，根据一元一次不等式组的定义逐个判断即可．含有相同字母的几个不等式，如果每个不等式都是一次不等式，那么这几个不等式组合在一起，就叫一元一次不等式组． 【解析】解：A. 第二个不等式中有的式子不是整式，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；     B. 有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；     C. 最高二次，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；     D. 是一元一次不等式组，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式1-2】．下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据一元一次不等式组的定义判断即可． 【解析】解：①是一元一次不等式组； ②是一元一次不等式组； ③含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ④是一元一次不等式组； ⑤，未知数是2次，不是一元一次不等式组， 其中是一元一次不等式组的有3个， 故选：B． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的定义，根据共含有一个未知数，未知数的次数是1来判断． 【变式1-3】．下列不等式组：① ② ③ ④ ⑤．其中是一元一次不等式组的有 个． 【答案】2 【分析】利用一元一次不等式组定义解答即可． 【解析】解：①是一元一次不等式组； ②含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ③是一元一次不等式组； ④不是一元一次不等式组； ⑤，未知数的最高次数是2次，不是一元一次不等式组， 其中是一元一次不等式组的有2个， 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组，关键是掌握几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 题型2:一元一次不等式组的实际意义 【典例2】某日我市最高气温是，最低气温是，则当天气温的变化范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最高气温和最低气温得出答案即可． 【解析】解：某日我市最高气温是，最低气温是， 当天气温的变化范围是， 故选：C． 【点睛】本题考查了不等式组的定义，能理解题意是解此题的关键． 【变式2-1】．某种药品的说明书上贴有如图所示的标签，一次服用药品的剂量设为x，则x的取值范围是（   ） 用法用量：口服，每天，分次服用 规格：□□□□ 贮藏：□□□□ A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的意义、有理数的除法运算．解题的关键是理解题意的能力，首先明白每天要服用的药量，然后根据分几次服用，可求出最小药量和最大药量． 若每天服用2次，则所需剂量为之间，若每天服用3次，则所需剂量为之间，故一次服用这种药的剂量在之间． 【解析】解：若每天服用2次，则所需剂量在之间，若每天服用3次，在所需剂量在之间， ∴依次服用这种药的剂量在之间， ∴， 故选：D． 【变式2-2】．甲和乙猜一个橘子的质量，甲说：“不少于25克．”乙说：“不够35克．”若他俩说得都没错，则这个橘子的质量x（元）所在的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由“橘子的质量不少于25克且不够35克”，可得出x的取值范围． 【解析】解：由题意得，． 故选B． 【点睛】本题考查了列不等式，用符号“<”（或“≤”），“>”（或“≥”），“≠”连接的式子叫做不等式(不等式中可以含有未知数，也可以不含．)． 【变式2-3】．小明一家外出自驾游，发现某公路上对行驶汽车的速度有如图所示的规定，设此段公路上小客车的速度为千米/小时，则应满足的条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查看图列不等式，解题的关键是看懂图中最低和最高限速并作答．本题是看图列不等式，要不低于最低限速，自驾游的车属于小客车最高速不超过120，进而作答． 【解析】解：由图可知最低限速60， ， 又自驾游的车属于小客车， 小客车的最高速不超过120， 即， 综上， 故选：C 题型3:一元一次不等式组的解法 【典例3】．解一元一次不等式组，并把解集在数轴上表示出来 (1)； (2)． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【解析】（1）解：由得：， 由得：， 则不等式组的解集为， 将解集表示在数轴上如下： （2）由得：， 由得：， 则不等式组的解集为， 将解集表示在数轴上如下： 【变式3-1】．解下列方程组或不等式组，并把不等式组的解集表示在数轴上． (1)； (2)． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组，掌握相关解法是解题的关键． （1）利用代入消元法即可； （2）分别解出两个不等式的解集，然后得到其公共部分即可． 【解析】（1）方程组 由②得：③ 把③代入①，得 解得： 把代入③，得 所以这个方程组的解是 （2）解不等式，得； 解不等式，得； 所以原不等式组的解集为． 把不等式组的解集在数轴上表示出来如图所示． 【变式3-2】．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 【答案】(1)，数轴表示见解析 (2)，数轴表示见解析 【分析】本题主要考查了解不等式组，并在数轴上表示不等式组的解集，解题的关键是熟练掌握解不等的基本步骤，准确计算，求出两个不等式的解集． （1）先求出两个不等式的解集，然后再求出不等式组的解集，最后将解集表示在数轴上即可； （2）先求出两个不等式的解集，然后再求出不等式组的解集，最后将解集表示在数轴上即可． 【解析】（1）解： 解不等式，得， 解不等式 ，得， 原不等式组的解集为， 原不等式组的解集在数轴上表示如图所示 ： ； （2）解： ， 解不等式，得， 解不等式，得， 原不等式组的解集为， 原不等式组的解集在数轴上表示如图所示： ． 【变式3-3】．解下列不等式组： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 【答案】（1）无解；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【解析】解：（1） 由①得：x＞2， 由②得：x≤-1， ∴不等式组无解． （2） 由①得： x≥3， 由②得：x＞4， ∴不等式组的解集为x＞4． （3） 由①得：x＞-1， 由②得：， ∴不等式组的解集为． （4） 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为． （5） 由①得：x＜1， 由②得：x＞0， ∴不等式组的解集为． （6） 由①得：， 由②得：x＜4， ∴不等式组的解集为． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 题型4:判断解集的表示、解法步骤的正误 【典例4】．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，正确求解不等式组并在数轴上正确表示出解集是关键；分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【解析】解答：解：由，得：， 由，得：， 则不等式组的解集为， 解集在数轴上表示如下： 故选：C． 【变式4-1】．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解不等式组以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式的解法和在数轴上表示不等式的解集是解题的关键． 先求出不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可． 【解析】解：由不等式组， 解不等式，可得， 解不等式，可得， ∴不等式组的解集为， ∴在数轴上表示为：． 故选：C． 【变式4-2】．下列说法正确的是（    ） A．不等式组的解集是 B．不等式组的解集是 C．不等式组的解集是 D．不等式组的解集是 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式组的解集，分别求出不等式组的解集，再判断即可． 【解析】因为不等式组的解集是，所以A不正确； 因为不等式组无解，所以B不正确； 因为不等式组的解集是，所以C正确； 因为不等式组无解，所以D不正确． 故选：C． 【变式4-3】．解不等式（组） (1)小英解不等式的过程如下，请指出她解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 解：去分母得：① 去括号得：② 移项得：③ 合并同类项得：④ 两边都除以得：⑤ (2)解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】(1)错误的步骤有①②⑤，正确过程见解析 (2)，解集在数轴上表示见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式（组），熟练掌握解一元一次不等式（组）的步骤和依据是解题的关键． （1）根据小英的解题步骤找出错误的步骤；再根据解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1依次计算可得． （2）分别求出每个不等式的解集，再取它们解集的公共部分，在数轴上表示出来即可． 【解析】（1）解：错误的步骤有①②⑤， 正确解答过程如下： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：， 由①得；   由②得； ∴不等式组的解集为， 不等式组的解集在数轴上表示为： 题型5:一元一次不等式组的整数解及求参数 【典例5】．解不等式组：并求所有整数解的和． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及求一元一次不等式组的整数解．解各不等式，可得出x的取值范围，取其公共部分即可得出不等式组的解集，再将各整数解相加，即可求出结论． 【解析】解：， 解不等式①得：； 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集， ∴不等式组所有整数解的和为． 【变式5-1】．求不等式组的非负整数解． 【答案】0，1，2 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解不等式组时要注意解集的确定原则：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解了．首先分别解出两个不等式的解集，再求其公共解集即可． 【解析】 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为 ∴不等式组的非负整数解为：0，1，2 【变式5-2】．若关于x的不等式组所有整数解的和为9，则整数m的值为 ． 【答案】1或4/4或1 【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及整数解问题，先分别算出的解集为，再结合所有整数解的和为9，得出或者，然后列式计算，即可作答． 【解析】解：∵ ∴ 即 ∵关于x的不等式组所有整数解的和为9 ∴或者 则或者 ∴或 故答案为：1或4 【变式5-3】．已知关于的不等式组恰好只有4个整数解． (1)若，求的取值范围； (2)若，则的取值范围为___________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数： （1）先求出不等式组中两个不等式的解集，再根据只有4个整数解列出不等式组求解即可； （2）先求出不等式组的解集为 ，再根据只有4个整数解得到，解得，则，再讨论的范围并建立不等式组求解即可． 【解析】（1）解；当时，原不等式组为， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于的不等式组恰好只有4个整数解， ∴， ∴； （2）解：当时，原不等式组为 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于的不等式组恰好只有4个整数解 ∴不等式组的解集为 ， ， 解得， 当，即时， 必须满足， 解得； 当，即时， 必须满足， 解得． 综上所述，． 题型6:解m＜ax+b＜n型不等式组 【典例6】．计算下列不等式： 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是掌握解一元一次不等式的方法．按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式即可求解． 【解析】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项及合并同类项得：， 系数化为1得：． 【变式6-1】．不等式组的整数解的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查解不等式组．根据题意解出不等式组即可找到整数解． 【解析】解：∵， ∴，即， 解得：， ∴不等式组的整数解有：， 故选：B． 【变式6-2】．满足的整数解是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查解不等式组的整数解，先求得不等式组的解集，进而可求解． 【解析】解：解不等式组，得， ∴该不等式组的整数解为4， 故选：B． 【变式6-3】．关于x的不等式有5个整数解，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解．按照解一元一次不等式的步骤进行计算可得，然后再根据题意可得：，从而进行计算即可解答． 【解析】解：， ∴， ∵关于x的不等式有5个整数解， 即2,3，4，5，6， ∴， 解得：， 故答案为：． 题型7:解绝对值不等式 【典例7】．阅读：我们知道，于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：（1）当，即时： 解这个不等式，得： 由条件，有： （2）当，即时， 解这个不等式，得： 由条件，有： ∴如图，综合（1）、（2）原不等式的解为 根据以上思想，请探究完成下列2个小题： （1）；     （2）． 【答案】（1）-3≤x≤1；（2）x≥3或x≤1． 【分析】（1）分①x+1≥0，即x≥-1，②x+1＜0，即x＜-1，两种情况分别求解可得； （2）分①x-2≥0，即x≥2，②x-2＜0，即x＜2，两种情况分别求解可得． 【解析】解：（1）|x+1|≤2， ①当x+1≥0，即x≥-1时：x+1≤2， 解这个不等式，得：x≤1 由条件x≥-1，有：-1≤x≤1； ②当x+1＜0，即 x＜-1时：-（x+1）≤2 解这个不等式，得：x≥-3 由条件x＜-1，有：-3≤x＜-1 ∴综合①、②，原不等式的解为：-3≤x≤1． （2）|x-2|≥1 ①当x-2≥0，即x≥2时：x-2≥1 解这个不等式，得：x≥3 由条件x≥2，有：x≥3； ②当x-2＜0，即 x＜2时：-（x-2）≥1， 解这个不等式，得：x≤1， 由条件x＜2，有：x≤1， ∴综合①、②，原不等式的解为：x≥3或x≤1． 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的求解，熟练掌握绝对值的性质分类讨论是解题的关键． 【变式7-1】．解下列不等式： （1） （2） 【答案】（1）或；（2） 【分析】根据绝对值的意义，分类讨论，再解一元一次不等式不等式即可． 【解析】（1） 当时，则，解得， ， 当时，则，解得， ， 综上，或； （2） 当，即时，，解得， ， 当时，则，解得， ， 综上，． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，根据绝对值的意义，分类讨论是解题的关键． 【变式7-2】．解不等式． 【答案】 【分析】本题主要考查了解不等式，解不等式组，绝对值等知识点，分和，两种情况分类讨论即可得解，理解题目的含义，进行分类讨论是解决此题的关键． 【解析】①当，即， 解集为； ②当，即：， 解集为； 综上可知，原不等式的解集为． 【变式7-3】．若关于的不等式有解，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据绝对值的几何意义，可把视为数轴上表示数x的点到表示数-1(1个)，-2(2个)，-3(3个)，-4(4个)，-5(5个)的点的距离之和，得到当x位于第8个点时，取得最小值15，即可求出a的取值范围． 【解析】解：由绝对值的几何意义可得， 把视为数轴上表示数x的点到表示数-1(1个)，-2(2个)，-3(3个)，-4(4个)，-5(5个)的点的距离之和， ∴当x位于第8个点时，即当x=-4时， 的最小值为15， ∵， ∴当关于的不等式有解时， a的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】此题考查了绝对值的几何意义和不等式性质，解题的关键是根据题意求得的最小值． 题型8:有解、无解问题 【典例8】．若不等式组无解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组．掌握求不等式组的解集的方法：同大取大，同小取小，大小小大中间跨，大大小小无处找．要求出a的值，首先分别求出这两个不等式解，最后根据不等式组无解的情况来确定a的值． 【解析】解： 解①式得：， 解②式得：， ∵若不等式组无解， ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式8-1】．含参不等式之有、无解问题． (1)若关于的不等式组有解，求的取值范围； (2)已知关于的不等式组无解，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组无解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了不等式组有无解集的问题， 对于（1），根据不等式组有解集，即两个不等式有交集； 对于（2），（3），根据不等式组中的两个不等式没有交集解答. 【解析】（1）解：关于的不等式组有解， 即的取值范围是； （2）解：关于的不等式组无解， ， 解得， 即的取值范围是； （3）解： 解不等式①，得，解不等式②，得． 关于的不等式组无解， ， 即的取值范围是． 【变式8-2】．若关于的一元一次不等式组有解，且关于的方程的解为正整数，则符合条件的整数的和为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的整数解问题，正确理解题意是借的关键．求得不等式组的解集为，则，故，对于一元一次方程的解为，而，可得，由于的解为正整数，即可确定m的值，即可求解． 【解析】解：解不等式，得； 解不等式，得， ∴， ∴， ∴ 对于方程，解得：，则， ∴， ∴， ∵的解为正整数， ∴符合题意的有， ∴符合条件的整数的和为：， 故答案为：3． 【变式8-3】．已知关于的二元一次方程组的解满足，且关于的不等式组无解，那么所有符合条件的整数的和为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解一元一次不等式等知识点，能求出的取值范围是解此题的关键．先求出方程组和不等式的解集，再求出的范围，最后得出答案即可． 【解析】解：解方程组， ①②得，即， ， ， ， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 又关于的不等式组无解， ， 解得：， 即， 所有符合条件的整数为：2、3、4， 所有符合条件的整数和为9． 故答案为：9． 题型9:根据解集求参数(范围) 【典例9】．若关于x的不等式组的解集为，则实数a的取值范围为 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．首先解每个不等式，然后根据不等式组的解集，即可求得答案． 【解析】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于x的不等式组的解集为， ∴，解得， 故答案为：． 【变式9-1】．若关于x的一元一次不等式组的解集是，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”，据此即可确定m的取值范围． 【解析】解：解不等式，得， 不等式组的解集为， ， 故选：A． 【变式9-2】．已知关于的不等式组的解集为，求的值． 【答案】 【分析】分别求出每个不等式的解集，再结合不等式组的解集得出关于a、b的方程，解之即可得出答案．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，“熟知同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【解析】 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为 ∵不等式组的解集为， ∴，解得： ∴ 【变式9-3】．若两个方程的解都是关于的不等式组的解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组，先解一元一次方程得出，根据题意得到，解不等式组，即可求解． 【解析】根据题意，得不等式组的解集为． 因为方程的解分别为， 所以 解得． 故答案为：． 题型10:一次方程组与不等式组（求参问题） 【典例10】．已知关于、的方程组 (1)若此方程组的解也是方程的解，求常数的值． (2)若方程组的解为正数，为负数，求的取值范围． (3)在（2）的条件下，设，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，解决本题的关键是求出方程组的解集． （1）求出、满足方程组的解，再代入即可求出的值； （2）先求出的解，根据方程的解满足的解满足，得到不等式组，解不等式组就可以得出的范围； （3）由题意可得，再由，求出的取值范围，即可解答． 【解析】（1）解：关于、的方程组的解也是方程的解， 、满足方程组， 解得， 把代入得， ， 解得； （2）， ①②得， 所以，， ①②得， 所以，， 故方程组的解为， ， ， 解得； （3），， ， ， ， ． 【变式10-1】．已知关于的方程组，为负数，为非正数．若为整数，则当 时，不等式的解集为． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式，解二元一次方程组，先解方程组可得，再由为负数，为非正数，求得，再由不等式的解集为得到，最后取整数即可． 【解析】解：解方程组， 得， 因为为负数，为非正数， 所以， 解得， 因为， 所以． 要使不等式的解集为， 必须， 解得． 又因为3，且为整数， 所以． 故答案为：． 【变式10-2】．若整数m使得关于x的不等式组有且只有四个整数解，且关于x、y的二元一次方程组有整数解，则符合条件的所有m的和是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等组和二元一次方程组，及其整数解，熟练掌握解一元一次不等组和二元一次方程组的方法是解题的关键． 【解析】由不等式组 可得， ∵关于x的不等式组有且只有四个整数解， ∴这四个整数解为： ， 解得：， 由 可得， ∵关于x、y的二元一次方程组有整数解， ∴或， ∴符合条件的所有m的和是 故答案为： 【变式10-3】．若关于x的不等式组的解集为，且关于m，n方程组的解满足，则所有满足条件的整数a的值之积为 ． 【答案】 【分析】本题考查根据一元一次不等式组和二元方程组的解的情况求参数，先求出不等式组的解集，根据解集的情况求出的范围，再将两个方程相加，求出的范围，进而确定整数的值，相乘即可． 【解析】解：由，得：， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴， ∵ ∴，得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴整数， ∴； 故答案为：360． 题型11:解特殊的不等式组 【典例11】．求不等式的解集． 解：根据“同号两数相乘，积为正”可得：① 或 ②， 解①得 ；解②得， ∴原不等式的解集为或． 请你仿照上述方法解决下列问题：写出不等式的解集． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元一次不等式组的应用，能根据“异号两数相乘，积为负”得出两个不等式组是解此题的关键．首先根据“异号两数相乘，积为负”得出两个不等式组，再求出不等式组的解集即可． 【解析】解：， 根据“异号两数相乘，积为负”可得：① 或 ②， 解①，得 ， 解②，得 ， ∴原不等式的解集为或． 【变式11-1】．求不等式的解集． 解：根据“同号两数相乘，积为正”， 可得①或② 解不等式组①，得，解不等式组②，得， 不等式的解集为或． 请你仿照上述方法，解决下列问题： (1)求不等式的解集； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． （1）根据“异号两数相乘，积为负”，将不等式转换为不等式组，求解即可； （2）根据“同号两数相除，商为正”，将不等式转换为不等式组，求解即可． 【解析】（1）解：根据“异号两数相乘，积为负”， 可得①或② 解不等式组①，得不等式组无解， 解不等式组②，得， 不等式的解集为． （2）根据“同号两数相除，商为正”， 可得①或② 解不等式组①，得， 解不等式组②，得， 不等式的解集为或． 【变式11-2】．自学下面材料后，回答问题： 分母中含有未知数的不等式叫分式不等式 如：；等．那么如何求出它们的解集呢？根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负．其字母表达式为： ①若，，则；若，，则； ②若，，则；若，，则． (1)①若，则，或； ②若，则 ； (2)由（1），求不等式的解集； (3)试求不等式的解集． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）②根据两数相除，异号得负解答； （2）先根据同号得正把不等式转化成不等式组，然后根据一元一次不等式组的解法求解即可； （3） 先根据异号得负把不等式转化成不等式组，然后根据一元一次不等式组的解法求解即可． 【解析】（1）解：根据阅读，可以知道，，所以，a、b异号， ∴或， 故答案为：或； （2）解：∵， ∴或， 解得； 解得无解， ∴； （3）解：∵， ∴，即， ∴或 解得无解； 解得， ∴． 【变式11-3】．材料1：我们把形如（、、为常数）的方程叫二元一次方程．若、、为整数，则称二元一次方程为整系数方程．若是，的最大公约数的整倍数，则方程有整数解．例如方程都有整数解；反过来也成立．方程都没有整数解，因为6，3的最大公约数是3，而10不是3的整倍数；4，2的最大公约数是2，而1不是2的整倍数． 材料2：求方程的正整数解． 解：由已知得：……① 设（为整数），则……②   把②代入①得：． 所以方程组的解为 ， 根据题意得：． 解不等式组得0＜＜．所以的整数解是1，2，3． 所以方程的正整数解是：，，． 根据以上材料回答下列问题： （1）下列方程中：① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ ．没有整数解的方程是 （填方程前面的编号）； （2）仿照上面的方法，求方程的正整数解； （3）若要把一根长30的钢丝截成2长和3长两种规格的钢丝（两种规格都要有），问怎样截才不浪费材料？你有几种不同的截法？（直接写出截法，不要求解题过程） 【答案】（1）①⑥；（2），，；（3）有四种不同的截法不浪费材料，分别为2长的钢丝12根，3长的钢丝2根；或2长的钢丝9根，3长的钢丝4根；或2长的钢丝6根，3长的钢丝6根；或2长的钢丝3根，3长的钢丝8根 【分析】（1）依据题中给出的判断方法进行判断，先找出最大公约数，然后再看能否整除c，从而来判断是否有整数解； （2）依据材料2的解题过程，即可求得结果； （3）根据题意，设2长的钢丝为根，3长的钢丝为根（为正整数）．则可得关于x，y的二元一次方程，利用材料2的求解方法，求得此方程的整数解，即可得出结论． 【解析】解：（1）① ，因为3，9的最大公约数是3，而11不是3的整倍数，所以此方程没有整数解； ② ，因为15，5的最大公约数是5，而70是5的整倍数，所以此方程有整数解； ③ ，因为6，3的最大公约数是3，而111是3的整倍数，所以此方程有整数解； ④ ，因为27，9的最大公约数是9，而99是9的整倍数，所以此方程有整数解； ⑤ ，因为91，26的最大公约数是13，而169是13的整倍数，所以此方程有整数解； ⑥ ，因为22，121的最大公约数是11，而324不是11的整倍数，所以此方程没有整数解； 故答案为：① ⑥．                                                 （2）由已知得：．  ① 设(为整数)，则． ②                 把②代入①得：． 所以方程组的解为．                                             根据题意得：， 解不等式组得：＜＜． 所以的整数解是-2，-1，0．                                     故原方程所有的正整数解为：，，．         （3）设2长的钢丝为根，3长的钢丝为根（为正整数）．     根据题意得：．                                     所以． 设(为整数)，则． ∴．                 根据题意得：，解不等式组得：． 所以的整数解是1，2，3，4．                                  故所有的正整数解为： ，，，． 答：有四种不同的截法不浪费材料，分别为2长的钢丝12根，3长的钢丝2根；或2长的钢丝9根，3长的钢丝4根；或2长的钢丝6根，3长的钢丝6根；或2长的钢丝3根，3长的钢丝8根． 【点睛】此题主要考查了求二元一次方程的整数解，理解题意，并掌握利用一元一次不等式组求二元一次方程的整数解的方法及是解题的关键． 题型12:程序框图 【典例12】．某运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否”为一次程序操作．若程序操作进行了两次停止，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据程序操作进行了两次即停止，可列出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围． 【解析】解：根据题意得：， 解得：， ∴x的取值范围是． 故答案为：． 【变式12-1】．运行程序如图所示，从“输入实数x“到“结果是否 “为一次程序操作，若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（    ） A．x B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元二次不等式组，根据运行程序，第一次运算结果小于等于18，第二次运算结果大于18列出不等式组，然后求解即可． 【解析】解：由题意得： 解不等式①得， 解不等式②得，， 则x的取值范围是． 故选：B． 【变式12-2】．对一个实数按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数”到“判断结果是否大于？”为一次操作，如果操作恰好进行三次才停止，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组即可求解，看懂题意是解题的关键． 【解析】解：由题意得，， 解得， 故选：． 【变式12-3】．如图，某同学设计了一种运算程序，输入数，将每次运算结果是否大于作为一次运算，若大于，则输出结果；若小于或等于，则将运算结果重新赋值给，并进行运算．    （1）若，，则最终输出的结果为 ． （2）若，程序进行了3次运算后停止，则可取的最小整数为 ． 【答案】 77 4 【分析】本题考查了程序框图的计算，一元一次不等式组的应用； （1）根据程序运行规则，将，，代入，进行计算即可求解； （2）根据运算进行了3次才停止，可列出关于m的一元一次不等式组，解之即可求出m的取值范围． 【解析】解：（1）当，， ， 继续计算：，输出； 故答案为：77． （2）依题意， 解得： ∴m可取的最大整数为4， 故答案为：4． 题型13:一元一次不等式组的实际应用 【典例13】．把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到2本，这些书有多少本？共有多少人？ 【答案】有26本书，6个学生 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用．设有个学生，根据“每人分3本，还余8本”用含的代数式表示出书的本数；再根据“每人分5本，最后一人就分不到2本”列不等式． 【解析】解：设有个学生，那么共有本书，由题意得： ， 解得， 所以，共有本． 答：有26本书，6个学生． 【变式13-1】．某工人制造机器零件，如果每天比计划多做1件，那么8天所做的零件总数超过100件；如果每天比计划少做1件，那么8天所做的零件总数不足99件．这个工人计划每天做多少件零件？ 【答案】这个工人计划每天做12件或13件零件 【分析】本题主要考查了解不等式组，根据题意列出不等式组，求出解集，再判断整数解即可． 【解析】解：设这个工人计划每天做x个零件，根据题意，得 ， 解得， 则或13， 所以这个工人计划每天做12或13个零件． 【变式13-2】．某商店需要购进甲、乙两种商品共180件，其进价和销售价如下表所示： 甲 乙 进价（元/件） 14 35 售价（元/件） 20 43 (1)若商店计划销售完这批商品后能获利1240元，问甲、乙两种商品分别购进多少件？ (2)若商店计划投入资金少于5040元，且销售完所有商品后获利多于1312元，请问有哪几种购货方案？ 【答案】(1)甲种商品应购进100件，乙种商品应购进80件 (2)共有3种购货方案 【分析】（1）设甲种商品应购进件，乙种商品应购进件，根据“该商店购进甲、乙两种商品共180件，且计划销售完这批商品后能获利1240元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进甲种商品件，则购进乙种商品件，根据“商店计划投入资金少于5040元，且销售完这批商品后获利多于1312元”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为整数即可得出各购货方案． 本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 【解析】（1）解：设甲种商品应购进件，乙种商品应购进件， 依题意得：， 解得：． 答：甲种商品应购进100件，乙种商品应购进80件． （2）解：设购进甲种商品件，则购进乙种商品件， 依题意得：， 解得：， 又为整数， 可以为61，62，63， 共有3种购货方案， 方案1：购进甲种商品61件，乙种商品119件； 方案2：购进甲种商品62件，乙种商品118件； 方案3：购进甲种商品63件，乙种商品117件． 【变式13-3】．“今生簪花，来世漂亮”，福建省泉州市蟳埔村簪花园今年“火出圈”．小强在五一节期间，随爸爸妈妈一起前往蟳埔村，簪花、观景、休闲、品美食，体验蟑埔文化．在游玩间隙，热爱数学的小强发现许多有趣的数学问题，让我们与小强一起探究如下的数学问题． 小强陪妈妈去簪花店去簪花，簪花店老板林阿姨介绍说，簪花分为簪生花和簪熟花两种类型．妈妈想体验簪生花，挑选了颜色鲜艳的朵玫瑰花和朵石榴花，林阿姨只收取妈妈元，林阿姨又告诉小强每朵石榴花的价格比每朵玫瑰花的价格少元． (1)求石榴花与玫瑰花单价分别是多少元？ (2)小强爸爸发现簪花时如果玫瑰花多一些，整个头型更好看些，建议妈妈下次来簪花时，玫瑰花的数量比石榴花要多朵，但是两种花的数量不少于朵，小强爸爸告诉林阿姨总费用不得高于元．请你与小强一道帮帮林阿姨设计一下簪花方案． 【答案】(1)石榴花每朵元，玫瑰花每朵元 (2)共有两种方案：石榴花朵，玫瑰花朵或石榴花朵，玫瑰花朵 【分析】本题考查一元一次方程，一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和不等式组． （1）设石榴花每朵元，玫瑰花每朵元，可得：，即可解得答案； （2）设石榴花朵，玫瑰花朵，根据两种花的数量不少于朵，小强爸爸告诉林阿姨总费用不得高于元得：，解得范围即可得到答案． 【解析】（1）解：设石榴花每朵元，玫瑰花每朵元， 根据题意得：， 解得：， ， 答：石榴花每朵元，玫瑰花每朵元； （2）解：设石榴花朵，玫瑰花朵， 根据题意得：， 解得：， 为正整数， 或， 答：共有两种方案：石榴花朵，玫瑰花朵或石榴花朵，玫瑰花朵． 一、单选题 1．下列式子中，一元一次不等式组有(　　) ①；②；③；④；⑤. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据一元一次不等式组的概念逐一进行分析即可得． 【解析】解：一元一次不等式组有①②；③中的分母中含有未知数；④中含有两个未知数；⑤中含有两个未知数， 故选B． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组，正确理解概念是解题的关键．注意一元一次不等式组的特点：①每一个不等式的两边都是整式；②只含1个未知数；③未知数的最高次数为1次． 2．如图，数轴上所表示的关于的不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查在数轴上表示不等式组的解集．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示，“”，“”要用空心圆点表示，这是解题的关键．根据向左是小于，向右是大于，实心圆点是包括，空心圆圈不包括，据此判定即可． 【解析】观察数轴可得，关于的不等式组的解集是：． 故选：． 3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别解两个一元一次不等式，在数轴上表示出它们的公共部分即可． 【解析】解： 由①得： ， 由②得：， 在数轴上表示为： ， ∴不等式组的解集为： 故选A． 【点睛】本题考查用数轴表示不等式组的解集，准确的求出不等式组的解集是解题的关键． 4．若关于x的不等式组的解集是，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式组的解集为x＞a，结合每个不等式的解集，即可得出a的取值范围． 【解析】解：∵不等式组的解是x＞a， ∴a≥3， 故选：D． 【点睛】本题考查了求不等式组的解集的方法，熟记口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”是解本题的关键． 5．小明参加的生物兴趣小组要在温箱里培养A、B两种菌苗．A种菌苗的生长温度的范围是，B种菌苗的生长温度的范围是．那么温箱里的温度应该设定在（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要不等式组解集的求法，掌握确定不等式组的解集的规律“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”成为解题的关键．温箱里的温度应该设定在能使A、B两种菌苗同时满足的温度，即与的公共部分，据此解答即可． 【解析】解：由题意可得不等式组：， 解得：， 所以温箱里的温度应该设定在． 故选：B． 6．不等式组的整数解的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查解不等式组．根据题意解出不等式组即可找到整数解． 【解析】解：∵， ∴，即， 解得：， ∴不等式组的整数解有：， 故选：B． 7．已知不等式组的解集为，则（　　　） A．2013 B．-2013 C．-1 D．1 【答案】D 【分析】先求出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集列出关于m、n的方程，然后求出m、n，最后代入代数式进行计算即可得解． 【解析】解：解不等式x＋2＞m＋n得：x＞m＋n−2， 解不等式x−1＜m−1得：x＜m， ∵不等式组的解集为−1＜x＜2， ∴，， ∴， ∴m＋n＝1， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，根据不等式组的解集列出关于m、n的方程是解题的关键． 8．为了美化校园，学校决定利用现有的2660盆甲种花卉和3000盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个，摆放在校园内；已知搭配一个A种造型需甲种花卉70盆，乙种花卉30盆，搭配一个B种造型需甲种花卉40盆，乙种花卉80盆．设搭配A种造型x个，你认为下列符合题意的不等式组是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列一元一次不等式组，找准不等式关系是解题关键．根据两种园艺造型使用的甲、乙两种花卉的盆数不超过两种花卉各自的总盆数建立不等式组即可得． 【解析】解：由题意可知，搭配种造型个， 则可列不等式组为， 故选：A． 9．对一个实数x按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到“判断结果是否大于190？”为一次操作，如果操作恰好进行两次就停止了，那么x的取值范围是（　　） A．8＜x≤22 B．8≤x＜22 C．8＜x≤64 D．22＜x≤64 【答案】D 【分析】根据“操作恰好进行两次就停止了”可得第一次运行的结果小于等于190，第二次运行的结果大于190，由此建立不等式组，再解不等式组即可得． 【解析】由题意得：， 解不等式①得：x≤64， 解不等式②得：x>22， 则不等式组的解集为22<x≤64， 故选D． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据程序运行的次数，正确建立不等式组是解题关键． 10．已知关于x的不等式组有以下说法： ①如果不等式组有解，那么不等式组的解集一定是 ②如果是不等式组的一个解，那么 ③如果不等式组只有3个整数解，那么 ④如果不等式组无解，那么 其中正确说法的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】不等式组整理后，根据有解确定出a的范围，根据不等式组的整数解的个数确定出a的范围，以及不等式组无解的条件确定出a的范围，即可作出判断． 【解析】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴①如果不等式组有解，则不等式组的解集一定是，故本选项正确； ②如果是不等式组的一个解，则，故本选项错误； ③如果不等式组只有3个整数解，则，故本选项错误； ④如果不等式组无解，则，故本选项正确； ∴正确说法的有2个． 故选：B 【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键． 二、填空题 11．不等式组的解集为 ． 【答案】 【分析】分别求出两个不等式的解集，然后再求出不等式组的解集即可． 【解析】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练求出两个不等式的解集，是解题的关键． 12．已知不等式组的解集如图所示，则 ． 【答案】2 【分析】先求出各个不等式的解集，然后确定不等式组的解集，与数轴所给的解集对应相等，得出方程求解即可． 【解析】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 由数轴得：， ∴， 解得：， 故答案为：2． 【点睛】题目主要考查已知不等式组的解集求参数，熟练掌握求不等式组解集的方法是解题关键． 13．关于x的不等式组的整数解的和为9，则m的取值范围是 ． 【答案】1≤m＜2或﹣2≤m＜ 【分析】解不等式组得出解集，根据整数解的和为9，可以确定整数解必含4，3，2这三个数，再根据解集确定m的取值范围． 【解析】解：解不等式组， 得：m＜x≤4， ∵所有整数解的和是9，9=4+3+2， ∴不等式组的整数解为①4，3，2或②4，3，2，1，0，-1， ∴1≤m＜2或-2≤m＜-1； 故答案为： 1≤m＜2或﹣2≤m＜-1． 【点睛】题目主要考查一元一次不等式组的解集、整数解，根据整数解和解集确定待定字母的取值范围，在确定的过程中，不等号的选择应认真细心，切实选择正确． 14．若不等式组有解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分别求出两个不等式的解集，根据不等式组有解，可得到关于a的不等式，即可求解． 【解析】解：由，得：， 由，得：， 不等式组有解， ， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键． 15．若不等式组的解为，则的取值是 【答案】 【分析】先解不等式组得出，然后根据不等式组的解集为，列出关于a的方程，是解题的关键． 【解析】解：解不等式组得：， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解不等式组，解题的关键是根据不等式组的解集列出关于a的方程，是解题的关键． 16．某电梯乘载的重量超过400公斤时会响起警示音，已知小华、小欧的体重分别为50公斤、75公斤，小华，小欧依序最后进入电梯，小华走进后，警示音没响、小欧走进后，警示音响起．设两人没进入电梯前，电梯已乘载的重量为x公斤，则x需满足 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，解决本题的关键是根据题意找到不等关系．根据题意分别列出不等式即可求解．由小华的体量为50公斤，且进入电梯后，警示音没响，小欧的体重为75公斤，且进入电梯后，警示音响起，列出不等式组即可求解． 【解析】解：由题意可得：， 解得：． 故答案为：． 17．已知关于x的不等式组恰好有4个整数解，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】解出不等式的解集为，再根据不等式组恰好有4个整数解，即为，0，1，2，从而即可得出． 【解析】解：不等式组整理得：， 解得：． ∵不等式组恰好有4个整数解，即为，0，1，2， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查由不等式组解集的情况求参数．熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 18．已知关于的方程组的解都是正数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了已知二元一次方程组的解的情况求参数，涉及了求不等式组的解集，根据题意求出二元一次方程组的解，进一步可得． 【解析】解：， 得： ∴； 得： ∴； ∵方程组的解都是正数， ∴， 解得： 故答案为： 三、解答题 19．解不等式组：’并在数轴上表示出不等式组的解集． 【答案】不等式组的解集为，数轴见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 首先解每个不等式，两个不等式解集的公共部分就是不等式组的解集，将解集在数轴上表示出来即可． 【解析】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， 将不等式组的解集在数轴上表示如下： 20．解下列不等式组 (1) (2) 【答案】(1)无解 (2) 【分析】（1）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集． （2）先改写成用大括号联立的不等式组的形式，再按照不等式组的解法求解． 【解析】（1）解：， 解①得x≥5， 解②得x<2， ∴不等式组无解． （2）解：可变为， 解①得， 解②得， ∴不等式的解集是． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解． 21．解不等式组：，并求出它的非负整数解． 【答案】，0，1 【分析】本题考查解一元一次不等式组的解集，非负整数的定义．根据题意先解出一元一次不等式组，再找出其中的非负整数即可． 【解析】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为：， 的非负整数解是：0，1． 22．若不等式组的整数解是关于的方程的解，求的值． 【答案】的值为 【分析】本题主要考查了解不等式组，解一元一次方程，先求出不等式组的解集为，得出整数解为，代入，求出a的值即可． 【解析】解：， 由得：， 由得：， 所以不等式组的解集为， 所以整数解为， 把代入已知方程得：， 解得； 所以的值为． 23．已知均为常数，若关于的不等式组的解集是，求的值． 【答案】2 【分析】本题考查了求不等式组的解集，根据不等式组的解集求参数，代数式求值问题，根据不等式组的解集求出参数是解决本题的关键．首先可求得不等式组的解集为，由解集是得到，即可求解． 【解析】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得． 关于的不等式组的解集是， ，解得， ． 24．某工人制造机器零件，如果每天比计划多做1件，那么8天所做的零件总数超过100件；如果每天比计划少做1件，那么8天所做的零件总数不足99件．这个工人计划每天做多少件零件？ 【答案】这个工人计划每天做12件或13件零件 【分析】本题主要考查了解不等式组，根据题意列出不等式组，求出解集，再判断整数解即可． 【解析】解：设这个工人计划每天做x个零件，根据题意，得 ， 解得， 则或13， 所以这个工人计划每天做12或13个零件． 25．高尔基说：“书籍是人类进步的阶梯”．为提高学生的阅读水平，某中学购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多4元，购买30本“科普类”图书和40本“文学类”图书共花费1240元． (1)求这两种图书的单价分别是多少元？ (2)学校决定再次购买这两种图书共100本，总费用超过1790元但不超过1800元，则学校有哪几种购买方案． 【答案】(1)“科普类”图书的单价为20元，“文学类”图书的单价为16元 (2)①购买“科普类”图书48本，“文学类”图书52本；②购买“科普类”图书49本，“文学类”图书51本；③购买“科普类”图书50本，“文学类”图书50本 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及不等式组的应用，找准数量关系，正确列出一元一次方程和一元一次不等式是解题的关键． （1）设“科普类”图书的单价为x元，则“文学类”图书的单价为元，根据共花费1240元，即可得出关于x的方程，解之即可得出结论； （2）设“文学类”书购a本，根据总价单价数量，结合总费用超过1790元且不超过1800元，列出不等式组，即可求解． 【解析】（1）解：设“科普类”图书的单价为x元，则“文学类”图书的单价为元，                         由题意得：， 解得：， 则，                        答：“科普类”图书的单价为20元，则“文学类”图书的单价为16元； （2）解：设“文学类”书购买a本，则“科普类”书购买本， 依题意得：， 解得：． 因为a是正整数，所以． ∴学校有3种购买方案：                         ①购买“科普类”图书48本，“文学类”图书52本； ②购买“科普类”图书49本，“文学类”图书51本； ③购买“科普类”图书50本，“文学类”图书50本． 26．已知关于x、y的方程组的解满足，． (1)求m的取值范围； (2)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解为？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出方程组的解，根据，得出不等式组，再求出不等式组的解集即可； （2）根据不等式的解集为得出，求出m的范围，再根据（1）的结论求出，再求出整数m即可． 本题考查二元一次方程组的解、解一元一次不等式组、一元一次不等式的整数解等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 【解析】（1） 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为： ∵关于x、y的方程组的解满足，． ∴， ∴； （2） 合并得， ∵不等式的解为 ∴ ∴ 又∵ ∴ ∵m为整数， ∴． 27．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题． 例题：解不等式． 解：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正，异号得负”，得，，解不等式组，得，解不等式组，得，的解集为或． (1)满足的的取值范围是______； (2)仿照材料，解不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由且知，解之即可； （2）由知，分别求解即可． 【解析】（1）解：且， ， 解得， 故答案为：； （2）， ，， 解不等式组，得：该不等式组无解； 解不等式组，得：． 所以的解集为：． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 28．【定义】若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”．例如：的解为的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”． 【问题解决】（1）在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是______（填序号）； （2）若关于的方程是不等式组的“子方程”，求的取值范围； （3）若方程是关于的不等式组的“子方程”，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①②；（2）；（3） 【分析】（1）先分别求得各一元一次方程的解和不等式组的解集，再根据题中定义判断即可解答； （2）先求得方程和不等式组的解集，再根据定义得到关于k的不等式组，然后解不等式组即可求解； （3）先解方程，再求出不等式组的解集，然后根据定义求解即可． 【解析】（1）解：解方程得：， 解方程得：， 解方程得：， 解不等式组得：， 所以不等式组 的“子方程”是①②． （2）解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， 解方程，得， 由题意，得， ∴， 解得：； （3）解方程，得：， 解不等式组得：， ∴不等式组得解集为， ∴在范围内， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查解一元一次方程和一元一次不等式组，以及一元一次方程的解和一元一次不等式组的解集的关系，理解题中定义，正确得到满足条件的参数对应的不等式（组）是解答的关键． 2 / 53 学科网（北京）股份有限公司 $$