6.2 排列与组合（16大题型）（分层作业）-【大单元教学】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第三册）

第六章 计数原理 6.2 排列与组合（16大题型） 分层作业 目录 基础过关练 2 题型一：排列的概念 2 题型二：画树形图写排列 2 题型三：简单的排列问题 3 题型四：排列数公式的应用 4 题型五：相邻问题 5 题型六：不相邻问题 5 题型七：定序问题 6 题型八：间接法 6 题型九：组合概念的理解 6 题型十：简单的组合问题 7 题型十一：组合数公式的应用 8 题型十二：多面手问题 9 题型十三：分组、分配问题 9 题型十四：与几何有关的组合应用题 10 题型十五：隔板法 10 题型十六：分堆问题 10 拓展培优练 11 题型一：排列的概念 1．下列问题是排列问题的是（    ） A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法 B．会场中有30个座位，任选3个安排3位客人入座，有多少种坐法 C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线 D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种 2．下列问题不属于排列问题的是（   ） A．从10个人中选2人分别去种树和扫地 B．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队 C．从班上30名学生中选出6人，分别担任6科课代表 D．从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个不同的数字组成一个两位数 3．下列问题是排列问题的是（    ） A．从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？ B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？ C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？ D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？ 4．下列问题是排列问题的是（    ） A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？ B．平面上有2022个不同的点，且任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？ C．集合的含有三个元素的子集有多少个？ D．从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？ 题型二：画树形图写排列 5．（2024·全国·高二课时练习）写出4个元素a，b，c，d的所有排列． 6．（2024·全国·高二）从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本分给甲、乙、丙三人，每人一本，试将所有不同的分法列举出来． 7．（2024·全国·高二课时练习）写出下列问题的所有排列： （1）北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？ （2）A、B、C、D四名同学排成一排照相，要求自左向右，A不排第一，B不排第四，共有多少种不同的排列方法？ 题型三：简单的排列问题 8．（23·24高二上·上海·课时练习）从1、2、3、4、5这5个数字中，任取2个不同的数字作为一个点的坐标，一共可以组成多少个不同的点？ 9．（23·24高二上·上海·课时练习）10名学生排成两排照相，每排5人，共有多少种不同的排列方式？ 10．（23·24高二上·全国·课时练习）（1）有5个不同的科研小课题，从中选3个安排高二年级的3个课外兴趣小组参加，每组一个课题，共有多少种不同的安排方法？ （2）有5个不同的科研小课题，高二年级的3个课外兴趣小组报名参加，每组限报一个，共有多少种不同的报名方法？ 题型四：排列数公式的应用 11．证明下列等式． (1)； (2)． 12．计算： (1)； (2)； (3)已知，求 13．（1）解关于的不等式； （2）解不等式：. 14．计算下列各题： (1)； (2)解方程：. 题型五：相邻问题 15．在一次文物展览中，要将5件不同的文物从左到右摆成一排进行展示，其中有2件特殊的文物需要相邻摆放，则不同的排列方法有（    ） A．24种 B．48种 C．96种 D．120种 16．6名同学派出一排照相，其中甲、乙两人相邻的排法共有（   ）种 A．240种 B．360种 C．480种 D．540种 17．七位渔民各驾驶一辆渔船依次进湖捕鱼，甲､乙渔船要排在一起出行，丙必须在最中间出行，则不同的排法有（   ） A．96种 B．120种 C．192种 D．240种 18．有本不同的书，其中语文书本，数学书本，物理书本．若将其随机摆放到书架的同一层上，则相同科目的书相邻的排法有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 题型六：不相邻问题 19．现有5人站成一排照相，其中甲、乙相邻，且丙、丁不相邻，则不同的站法有（ ） A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 20．某校举办校运动会，某班级选出跑步较好的4人参加米接力赛，其中甲、乙两人不跑相邻棒的排法有（    ） A．8种 B．12种 C．16种 D．24种 21．象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值．它具有红黑两种阵营，将、车、马、炮、兵等均为象棋中的棋子，现将3个红色的“将”“车”“马”棋子与2个黑色的“将”“车”棋子排成一列，则同色棋子不相邻的排列方式有（    ） A．120种 B．24种 C．36种 D．12种 22．将3种植物种植在如图所示的4块试验田内，每块试验田种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有（    ） 第一试验田 第二试验田 第三试验田 第四试验田 A．24种 B．21种 C．18种 D．12种 题型七：定序问题 23．（2024·上海市金山中学高二期末）某次演出有6个节目，若甲、乙、丙3个节目的先后顺序已确定，则不同的排法有____种． 24．（2024·天津市滨海新区塘沽第一中学高二期末）在8所高水平的高校代表队中，选择5所高校进行航模表演.如果、为必选的高校，并且在航模表演过程中必须按先后的次序（、两高校的次序可以不相邻），则可选择的不同航模表演顺序有_______. 25．（2024·全国·高二课时练习）期中安排考试科目9门，语文，数学，英语三门课的前后顺序已经确定，则期中考试不同的安排顺序有______种． 26．（2024·全国·高二课时练习）将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，要求A，B，C在排列中的顺序为A，B，C或C，B，A（可以不相邻），这样的排列方法有______种.（用数字作答） 题型八：间接法 27．（2024·全国·西北工业大学附属中学高二期末）某人根据自己爱好，希望从中选2个不同字母，从中选3个不同数字编拟车牌号，要求前3位是数字，后两位是字母，且数字2不能排在首位，字母和数字2不能相邻，那么满足要求的车牌号有（    ） A．198个 B．180个 C．216个 D．234个 28．（2024·江苏·常州市武进区礼嘉中学高二阶段练习）小李和父母、爷爷奶奶一起排队去做核酸，5人排成一列（他们之间没有其他人）.若小李的父母至少有一人与他相邻，则不同排法的总数为（    ） A．84 B．78 C．108 D．96 29．（2024·全国·高三专题练习）中国空间站的主体结构包括天和核心实验舱､问天实验舱和梦天实验舱，假设空间站要安排甲､乙等5名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多二人，则甲乙不在同一实验舱的种数有（    ） A．60 B．66 C．72 D．80 题型九：组合概念的理解 30．下列四个问题属于组合问题的是（   ） A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作 B．从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数 C．从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式 D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 31．以下5个命题，属于组合问题的有（    ） ①从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，组成一个三位数；②从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，然后把这3个数字相加得到一个和，这样的和的个数；③从，，，四名学生中选两名去完成同一份工作的选法；④5个人规定相互通话一次，通电话的次数；⑤5个人相互写一封信，所有信的数量． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 32．下列选项中，属于组合问题的是（    ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从1，2，3，4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 33．下列四个问题属于组合问题的是（    ） A．从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作 B．从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数 C．从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式 D．从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长 题型十：简单的组合问题 34．（22·23高二·全国·课堂例题）现有30件分别标有编号的产品，且除了2件次品外，其余都是合格品，从中取出3件： (1)一共有多少种不同的取法？ (2)若取出的3件产品中恰有1件次品，则不同的抽法共有多少种？ (3)若取出的3件产品中至少要有1件次品，则不同的抽法共有多少种？ 35．（22·23高二·全国·课堂例题）一个口袋里有7个不同的白球和1个红球，从中取5个球： (1)共有多少种不同的取法？ (2)如果不取红球，共有多少种不同的取法？ (3)如果必须取红球，共有多少种不同的取法？ 36．（22·23高二上·北京西城·期末）从4男3女共7名志愿者中，选出3人参加社区义务劳动. (1)共有多少种不同的选择方法？ (2)若要求选中的3人性别不能都相同，求共有多少种不同的选择方法？ 题型十一：组合数公式的应用 37．计算：； 38．求证：. 39．（1）计算： ； （2） 若 ，则x的值为_____； （3） 若 ，求正整数n． 40．（1）解方程: （2）计算 （3）解不等式. 题型十二：多面手问题 41．（2024·全国·高三专题练习）某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（    ）种不同的选法 A．225 B．185 C．145 D．110 42．（2024·黑龙江·大庆市东风中学高二期中）某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有_______ 43．（2024·全国·高二课时练习）某出版社的7名工人中，有3人只会排版，2人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从7人中安排2人排版，2人印刷，有几种不同的安排方法． 题型十三：分组、分配问题 44．将4本不同的课外读物全部分给3个同学，每个同学至少分得一本，则不同的分配方法共有 种（用数字作答） 45．2025年“第九届亚冬会”即将在哈尔滨举办.现需要分配4名志愿者对2种不同的体育运动进行宣讲，每个宣讲至少分配1人，则不同的分配方案种数为 . 46．将4本不同的书分给3位同学，每人至少一本，不同的分法有 种. 47．年“喜迎全运•志愿一夏”广州中小学生志愿服务系列主题活动启动仪式在广州亚运会亚残运会博物馆举办．现需要分配名学生志愿者对种不同的体育运动进行宣讲，每个宣讲至少分配人，则不同的分配方案种数为 ． 题型十四：与几何有关的组合应用题 48．平面上有个圆两两相交，则最多有 个交点． 49．在同一个平面内有一组平行线共8条，另一组平行线共10条，这两组平行线相互不平行，它们共能构成 个平行四边形． 50．已知正四棱锥，从底面四个顶点A，B，C，D和四条侧棱的中点共8个点中任选4个作为三棱锥的顶点，可得三棱锥 个.（用数字作答） 51．至少经过正五棱台的3个顶点的平面共有 个． 题型十五：隔板法 52．把分别写有1，2，3，4，5，6的六张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么不同的分法种数为（    ） A．60 B．36 C．30 D．12 53．学校有个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少个名额，则有（    ）种分配方案. A． B． C． D． 54．学校有6个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少1个名额，则有（    ）种分配方案． A．135 B．10 C．75 D．120 55．已知，，，则关于，，的方程共有（    ）组不同的解. A． B． C． D． 题型十六：分堆问题 56．某中学要给三个班级补发8套教具，先将其分成3堆，其中一堆4套，另两堆每堆2套，则不同的分堆方法种数为（    ） A． B． C． D． 57．本不同的书平均分成堆，每堆本，共有 种分法. 58．（22·23高二下·山西吕梁·期中）已知有9本不同的书． (1)分成三堆，每堆3本，有多少种不同的分堆方法？ (2)分成三堆，一堆2本，一堆3本，一堆4本，有多少种不同的分堆方法？（用数字作答） 59．（2022高三·全国·专题练习）已知有6本不同的书. (1)分成三堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？ (2)分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？ 1．五一小长假期间，旅游公司决定从5辆旅游大巴中选出4辆分别开往紫蒙湖､美林谷､黄岗梁､乌兰布统四个学区承担载客任务，要求每个景区都要有一辆大巴前往，每辆大巴只开往一个景区，且这5辆大巴中不去乌兰布统，则不同的选择方案共有（    ） A．36 B．96 C．72 D．68 2．在以“旅行丝绸路，研学在甘肃”为主题的甘肃研学旅行大会活动中，某学校有10名志愿者参加接待工作.若每天排早、中、晚三班，每班3人，每人每天最多值一班，则第一天不同的排班种数为（   ） A． B． C． D． 3．甲、乙、丙、丁4名志愿者被派往三个足球场参加志愿服务，每名志愿者都必须分配，每个足球场至少分配1名志愿者，但甲、乙不能安排在同一个足球场，则不同的分配方案共有（   ） A．24种 B．30种 C．36种 D．42种 4．今年暑期档推出多部精彩影片，其中比较热门的有《解密》，《名侦探柯南》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《死侍与金刚狼》，甲和乙两位同学准备从这5部影片中各选2部观看.若两人所选的影片恰有一部相同，且甲一定选《抓娃娃》，则两位同学不同的观影方案种数为（   ） A．24 B．28 C．36 D．12 5．将5名党员志愿者分到3个不同的社区进行知识宣讲，要求每个社区都要有党员志愿者前往，且每个党员志愿者都只安排去1个社区，则不同的安排方法种数有（   ） A．120 B．300 C．180 D．150 6．已知，则（    ） A．4 B．3 C．5 D．1 7．2025年的寒假就要到了，甲、乙、丙、丁四个同学都计划去旅游，除常见的五个旅游热门地北京、上海、广州、深圳、成都外，延边打卡也火爆全国，则甲、乙、丙、丁四个同学恰好选择三个城市旅游的方法种数共有（   ） A．1800 B．1080 C．720 D．360 8．小沉从5瓶不同香味的香水中选择2瓶进行试香，则小沉的选择共有（   ） A．5种 B．10种 C．20种 D．25种 9．某校要从校广播站3名男同学和2名女同学中选出两人，分别做校史馆的参观路线导引员和校史讲解员，则至少有1名女同学被选中的不同安排方法有（    ） A．14种 B．16种 C．18种 D．20种 10．甲，乙，丙3名学生约定：利用假期观看A，B，C，D，E这5部新上映的电影，待返校后互相分享精彩内容.返校后，已知5部电影都有人观看，且每部电影只有一个人观看，则所有观看电影的情况种数为（    ） A．150 B．243 C．183 D．393 11．《九章算术》第一章“方田”问题二十五、二十六指出了三角形田面积算法：“半广以乘正从”.数学社团制作板报向全校师生介绍这一结论，给证明图形的六个区域涂色，有三种颜色可用，要求有相邻边的区域颜色不同，则不同的涂色方法有（    ） A．48种 B．96种 C．102种 D．120种 12．袜子由袜口､袜筒､脚趾三部分组成，现有四种不同颜色的布料，设计袜子的颜色配比，要求相连的部分颜色不同，共可以设计出不同颜色类型的袜子种数为（    ） A．12 B．24 C．36 D．48 13．国庆期间，中华世纪坛举办“传奇之旅：马可•波罗与丝绸之路上的世界”展览，现有8个同学站成一排进行游览参观，若将甲、乙、丙3个同学新加入排列，且甲、乙、丙互不相邻，保持原来8个同学顺序不变，则不同的方法种数为（   ） A．84 B．120 C．504 D．720 14．（多选题）现有8名师生站成一排照相，其中老师2人，男学生4人，女学生2人，则下列说法正确的是（   ） A．4个男学生排在一起，有1440种不同的排法 B．老师站在最中间，有1440种不同的排法 C．4名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端，有1728种不同的排法 D．2名老师之间要有男女学生各1人，有3840种不同的排法 15．名男生、名女生站成一排，至少有两个女生相邻的站法种数为 （用数字作答）． 16．由字母A，B构成的一个6位的序列，含有连续子序列ABA的序列有 个（例如ABAAAA，BAABAB符合题意） 17．某学校准备组建一个18人的足球队，这18人由高二年级十个班的学生组成，每个班至少一人，名额分配方案共 种(用数字填写). 18．有一种运算，三个互异的数，，运算时可以有不同的运算方法，如，，，，，就是其中6种不同的运算方法.设个互异的数的不同运算方法共有种，则 ， （用数字作答）. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 计数原理 6.2 排列与组合（16大题型） 分层作业 目录 基础过关练 2 题型一：排列的概念 2 题型二：画树形图写排列 3 题型三：简单的排列问题 5 题型四：排列数公式的应用 6 题型五：相邻问题 8 题型六：不相邻问题 9 题型七：定序问题 10 题型八：间接法 11 题型九：组合概念的理解 13 题型十：简单的组合问题 15 题型十一：组合数公式的应用 16 题型十二：多面手问题 17 题型十三：分组、分配问题 19 题型十四：与几何有关的组合应用题 20 题型十五：隔板法 22 题型十六：分堆问题 23 拓展培优练 24 题型一：排列的概念 1．下列问题是排列问题的是（    ） A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法 B．会场中有30个座位，任选3个安排3位客人入座，有多少种坐法 C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线 D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种 【答案】B 【解析】对于A，8名同学中选取2名，不涉及顺序问题，不是排列问题，A错误； 对于B，“入座问题”，与顺序有关，是排列问题，B正确； 对于C，确定直线不涉及顺序问题，不是排列问题，C错误； 对于D，4个数字中任取2个，根据乘法交换律知，结果不涉及顺序问题，不是排列问题，D错误． 故选：B 2．下列问题不属于排列问题的是（   ） A．从10个人中选2人分别去种树和扫地 B．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队 C．从班上30名学生中选出6人，分别担任6科课代表 D．从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个不同的数字组成一个两位数 【答案】B 【解析】对于A，从10个人中选2人分别去种树和扫地，因为工作内容不一样，故有顺序，属于排列问题，故A不满足题意； 对于B，从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，没有顺序，所以不属于排列问题，故B满足题意； 对于C，从班上30名学生中选出6人，分别担任6科课代表，因为科目不相同，故有顺序，属于排列问题，故C不满足题意； 对于D，从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个不同的数字组成一个两位数，数字所在位置有顺序，属于排列问题，故D不满足题意. 故选：B 3．下列问题是排列问题的是（    ） A．从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？ B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？ C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？ D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？ 【答案】B 【解析】选项A：从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，选出的2人并未排序， 因而不是排列问题，不合题意； 选项B：10个人互相通信一次，选出2人要分出寄信人和收信人， 是排列问题，适合题意； 选项C：平面上有5个点，任意三点不共线，从中任选2个点 即可确定1条直线，这2个点不分顺序. 因而不是排列问题，不合题意； 选项D：从1，2，3，4四个数字中，任选两个数字相加即得1个结果， 这2个数字不分顺序，因而不是排列问题，不合题意. 故选：B． 4．下列问题是排列问题的是（    ） A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？ B．平面上有2022个不同的点，且任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？ C．集合的含有三个元素的子集有多少个？ D．从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？ 【答案】D 【解析】A中握手次数的计算与次序无关，不是排列问题； B中线段的条数计算与点的次序无关，不是排列问题； C中子集的个数与该集合中元素的次序无关，不是排列问题； D中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是2种不同的选法，因此是排列问题． 故选：D 题型二：画树形图写排列 5．（2024·全国·高二课时练习）写出4个元素a，b，c，d的所有排列． 【解析】 由树状图可知，所有排列为，，，. 6．（2024·全国·高二）从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本分给甲、乙、丙三人，每人一本，试将所有不同的分法列举出来． 【解析】从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本，分给甲、乙、丙三人，每人一本，相当于从4个不同的元素中任意取出3个元素，按“甲、乙、丙”的顺序进行排列，每一个排列就对应着一种分法，所以共有（种）不同的分法．不妨给“语文、数学、英语、物理”编号，依次1，2，3，4，画出树形图如图． 由树形图可知，按甲、乙、丙的顺序分的分法为： 语数英    语数物    语英数    语英物    语物数    语物英 数语英    数语物    数英语    数英物    数物语    数物英 英语数    英语物    英数语    英数物    英物语    英物数 物语数    物语英    物数语    物数英    物英语    物英数 7．（2024·全国·高二课时练习）写出下列问题的所有排列： （1）北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？ （2）A、B、C、D四名同学排成一排照相，要求自左向右，A不排第一，B不排第四，共有多少种不同的排列方法？ 【解析】(1)列出每一个起点和终点情况，如图所示. 故符合题意的机票种类有： 北京广州，北京南京，北京天津，广州南京，广州天津，广州北京，南京天津，南京北京，南京广州，天津北京，天津广州，天津南京，共12种. (2)因为A不排第一，排第一位的情况有3类(可从B、C、D中任选一人排)，而此时兼顾分析B的排法，列树形图如图. 所以符合题意的所有排列是： BADC，BACD，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CBAD，CBDA，CDBA，DABC，DBAC，DBCA，DCBA共14种. 题型三：简单的排列问题 8．（23·24高二上·上海·课时练习）从1、2、3、4、5这5个数字中，任取2个不同的数字作为一个点的坐标，一共可以组成多少个不同的点？ 【解析】因为坐标由横坐标和纵坐标组成，且有一定的顺序， 所以由排列数的定义可得满足条件的坐标有：个， 故一共可以组成个不同的点. 9．（23·24高二上·上海·课时练习）10名学生排成两排照相，每排5人，共有多少种不同的排列方式？ 【解析】将第一排的5个位置从左至右编号，号码分别为1到5；再将第二排的5个位置从左至右编号，号码分别为6到10． 这样，问题就转化为：10名学生排在编号为1到10的十个位置上，共有多少种不同的排法？这时，完成一个排列可以分为以下十个步骤： 第一步：确定坐在1号位上的学生，有10种方法； 第二步：确定坐在2号位上的学生，有9种方法； …… 第k步：确定坐在k号位上的学生，有11—k种方法； …… 第十步：确定坐在10号位上的学生，有1种方法． 根据乘法原理，不同的排法数为． 10．（23·24高二上·全国·课时练习）（1）有5个不同的科研小课题，从中选3个安排高二年级的3个课外兴趣小组参加，每组一个课题，共有多少种不同的安排方法？ （2）有5个不同的科研小课题，高二年级的3个课外兴趣小组报名参加，每组限报一个，共有多少种不同的报名方法？ 【解析】（1）从5个不同的课题中选出3个，安排课外兴趣小组来参加， 对应于从5个元素中取出3个元素的一个排列． 因此，共有种不同的安排方法． （2）每个小组都可从5个不同的课题中选报一个， 因此第一小组有5个不同的课题可以选择，第二小组也有5个不同的课题可以选择， 第三小组仍然有5个不同的课题可以选择， 根据分步乘法计数原理，一共有种不同的报名方法． 题型四：排列数公式的应用 11．证明下列等式． (1)； (2)． 【解析】（1）证明：由排列数的公式，可得： ． （2）证明：由排列数公式，可得． 12．计算： (1)； (2)； (3)已知，求 【解析】（1）. （2）. （3）由，得，即，则， 整理得，所以. 13．（1）解关于的不等式； （2）解不等式：. 【解析】（1）依题意，有，， 由，得，即， 整理得，解得，所以， 又得， 所以的解集为. （2）因为， 所以，即， 整理得，解得，故， 所以不等式解集为. 14．计算下列各题： (1)； (2)解方程：. 【解析】（1）； （2）由，得， 即，即， 解得或， 又因为且，故， 故的解为. 题型五：相邻问题 15．在一次文物展览中，要将5件不同的文物从左到右摆成一排进行展示，其中有2件特殊的文物需要相邻摆放，则不同的排列方法有（    ） A．24种 B．48种 C．96种 D．120种 【答案】B 【解析】先把2件特殊的文物放一起，看做一个整体与其余3个全排列， 共有种不同的排法， 故选：B 16．6名同学派出一排照相，其中甲、乙两人相邻的排法共有（   ）种 A．240种 B．360种 C．480种 D．540种 【答案】A 【解析】因为甲和乙两人相邻，所以将两人看成一个整体，有种方法， 将这两人看成一个元素，和其他四名同学，共5个元素全排列，有种方法， 所以甲，乙两人相邻的排法共有种方法. 故选：A 17．七位渔民各驾驶一辆渔船依次进湖捕鱼，甲､乙渔船要排在一起出行，丙必须在最中间出行，则不同的排法有（   ） A．96种 B．120种 C．192种 D．240种 【答案】C 【解析】由题意可知，丙排在第4位，则甲乙两人可能在第1、2或2、3或5、6或6、7位， 故不同的排法有种. 故选：C. 18．有本不同的书，其中语文书本，数学书本，物理书本．若将其随机摆放到书架的同一层上，则相同科目的书相邻的排法有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【解析】将本语文书捆绑、本数学书捆绑， 则相同科目的书相邻的排法种数为种. 故选：C. 题型六：不相邻问题 19．现有5人站成一排照相，其中甲、乙相邻，且丙、丁不相邻，则不同的站法有（ ） A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 【答案】C 【解析】甲、乙相邻捆绑作为一全元素，丙、丁不相邻用插入法． 由题意不同站法数为：． 故选：C. 20．某校举办校运动会，某班级选出跑步较好的4人参加米接力赛，其中甲、乙两人不跑相邻棒的排法有（    ） A．8种 B．12种 C．16种 D．24种 【答案】B 【解析】先对剩下两个人进行全排列，有种，此时有3个空位置，再对甲、乙两人进行排列，有种， 根据分步乘法计数原理，共有种排法． 故选：B 21．象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值．它具有红黑两种阵营，将、车、马、炮、兵等均为象棋中的棋子，现将3个红色的“将”“车”“马”棋子与2个黑色的“将”“车”棋子排成一列，则同色棋子不相邻的排列方式有（    ） A．120种 B．24种 C．36种 D．12种 【答案】D 【解析】先将3个红色的“将”“车”“马”棋子进行全排列，有种选择， 3个红色棋子中间有2个空，将2个黑色的“将”“车”棋子进行插空，有种选择， 则同色棋子不相邻的排列方式有种. 故选：D 22．将3种植物种植在如图所示的4块试验田内，每块试验田种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有（    ） 第一试验田 第二试验田 第三试验田 第四试验田 A．24种 B．21种 C．18种 D．12种 【答案】C 【解析】根据题意，分2步进行分析： ①在3种植物中选出1种，安排在4块试验田中不相邻的两块，有种情况， ②剩下的2种植物安排在剩下的2块试验田，有种情况， 则有种不同的种植方法． 故选：C． 题型七：定序问题 23．（2024·上海市金山中学高二期末）某次演出有6个节目，若甲、乙、丙3个节目的先后顺序已确定，则不同的排法有____种． 【答案】 【解析】演出中的6个节目全排列有, 甲、乙、丙3个节目全排列有, 所以演出中的6个节目，若甲、乙、丙3个节目的先后顺序已确定，则不同的排法有， 故答案为：. 24．（2024·天津市滨海新区塘沽第一中学高二期末）在8所高水平的高校代表队中，选择5所高校进行航模表演.如果、为必选的高校，并且在航模表演过程中必须按先后的次序（、两高校的次序可以不相邻），则可选择的不同航模表演顺序有_______. 【答案】1200. 【解析】从8所高校中选出5所，除去、还需要选3所，选法是种，当、两高校不相邻时，不同的表演顺序有，当、两高校相邻时，不同的表演顺序有，因此可选择的不同航模表演顺序有种. 故答案为：1200. 25．（2024·全国·高二课时练习）期中安排考试科目9门，语文，数学，英语三门课的前后顺序已经确定，则期中考试不同的安排顺序有______种． 【答案】60480 【解析】解法一：空位法．语文，数学，英语的前后顺序已经确定，先排除了语文，数学，英语之外 的6科，总共有种排法，剩下三个位置给语文，数学，英语，因为它们的顺序 确定，只有一种方法，故共有60480种排法． 解法二：插空法．语文，数学，英语的前后顺序已经确定，先排语文，数学，英语，只有 一种排法，然后再让剩下6科逐个插空，总共有种排法． 解法三：除法．9门课程任意排，总共有种排法．语文，数学，英语有种排法．因 为语文，数学，英语的前后顺序已经确定，所以总共有种排法． 故答案为：60480 26．（2024·全国·高二课时练习）将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，要求A，B，C在排列中的顺序为A，B，C或C，B，A（可以不相邻），这样的排列方法有______种.（用数字作答） 【答案】40 【解析】5个元素无约束条件的全排列有种排法， 由于字母A，B，C的排列顺序为A，B，C或C，B，A， 因此，在上述的全排列中恰好符合A，B，C或C，B，A的排列方法 有（种）. 故答案为：40 题型八：间接法 27．（2024·全国·西北工业大学附属中学高二期末）某人根据自己爱好，希望从中选2个不同字母，从中选3个不同数字编拟车牌号，要求前3位是数字，后两位是字母，且数字2不能排在首位，字母和数字2不能相邻，那么满足要求的车牌号有（    ） A．198个 B．180个 C．216个 D．234个 【答案】A 【解析】当2在首位时，在任选两个数在余下两个数字位上全排有，从任选两个字母在字母位上全排有； 当2与Z相邻时，即2在数字位的最后，Z在字母位的最前面，再从任选两个数在余下两个数字位上全排有，从任选一个字母放在字母位的最后有； 所以当2在首位和2与Z相邻的情况共有种， 而任选3个数字在数字位全排，任选2个字母在字母位全排共有种， 所以满足要求的车牌号有种. 故选：A 28．（2024·江苏·常州市武进区礼嘉中学高二阶段练习）小李和父母、爷爷奶奶一起排队去做核酸，5人排成一列（他们之间没有其他人）.若小李的父母至少有一人与他相邻，则不同排法的总数为（    ） A．84 B．78 C．108 D．96 【答案】A 【解析】爷爷奶奶和父母中的一人，三人成列有种，队列有4个空， 小李与父母中另一人相邻有种，再作为整体插入队列中有种， 所以共有种； 爷爷奶奶两人成列有种，队列有3个空， 小李与父母都相邻有种，再作为整体插入队列中有种， 所以共有种； 综上，共有种. 故选：A 29．（2024·全国·高三专题练习）中国空间站的主体结构包括天和核心实验舱､问天实验舱和梦天实验舱，假设空间站要安排甲､乙等5名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多二人，则甲乙不在同一实验舱的种数有（    ） A．60 B．66 C．72 D．80 【答案】C 【解析】5名航天员安排三舱，每个舱至少一人至多二人，共有种安排方法， 若甲乙在同一实验舱的种数有种， 故甲乙不在同一实验舱的种数有种. 故选：C. 题型九：组合概念的理解 30．下列四个问题属于组合问题的是（   ） A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作 B．从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数 C．从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式 D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 【答案】C 【解析】A.从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题. B. 从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题. C. 从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式，与顺序无关，是组合问题. D. 从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题. 故选：C. 31．以下5个命题，属于组合问题的有（    ） ①从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，组成一个三位数；②从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，然后把这3个数字相加得到一个和，这样的和的个数；③从，，，四名学生中选两名去完成同一份工作的选法；④5个人规定相互通话一次，通电话的次数；⑤5个人相互写一封信，所有信的数量． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【解析】①当取出3个数字后，如果改变3个数字的顺序，会得到不同的三位数，所以此问题不但与取出元素有关，而且与元素的安排顺序有关，是排列问题； ②取出3个数字之后，无论怎样改变这3个数字的顺序，其和均不变，此问题只与取出的元素有关，而与元素的安排顺序无关，是组合问题； ③两名学生完成的是同一份工作，没有顺序，是组合问题； ④甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话，无顺序区别，为组合问题； ⑤发信人与收信人是有区别的，是排列问题， 综上，属于组合问题的有3个. 故选：B． 32．下列选项中，属于组合问题的是（    ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从1，2，3，4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 【答案】B 【解析】对于A：从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，因为学科不一样，且学生各不相同，所以为排列问题，故A错误； 对于B：有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，可分为四组，三人一组无先后顺序，属于组合问题，故B正确； 对于C：从，，，中任取两个数进行指数运算，底数与指数有顺序，所以为排列问题，故C错误； 对于D：从，，，中任取两个数作为点的坐标，横、纵坐标与顺序有关，所以为排列问题，故D错误. 故选：B 33．下列四个问题属于组合问题的是（    ） A．从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作 B．从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数 C．从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式 D．从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长 【答案】C 【解析】对于A选项，从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作， 将人选出后，还要安排导游或翻译的工作，与顺序有关，这个问题为排列问题； 对于B选项，从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数， 选出三个数字之后，还要将这三个数安排至个位、十位、百位这三个数位， 与顺序有关，这个问题为排列问题； 对于C选项，从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式，只需将三名同学选出， 与顺序无关，这个问题为组合问题； 对于D选项，从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长， 将人选出后，还要安排至班长、副班长两个职务，与顺序有关，这个问题为排列问题. 故选：C. 题型十：简单的组合问题 34．（22·23高二·全国·课堂例题）现有30件分别标有编号的产品，且除了2件次品外，其余都是合格品，从中取出3件： (1)一共有多少种不同的取法？ (2)若取出的3件产品中恰有1件次品，则不同的抽法共有多少种？ (3)若取出的3件产品中至少要有1件次品，则不同的抽法共有多少种？ 【解析】（1）所求的抽法总数，就是从30件产品中取出3件的组合数 ． （2）抽取可以分成两步完成： 第一步，在2件次品中抽出1件，有种方法； 第二步，在28件合格品中抽出2件，有种方法． 由分步乘法计数原理知，不同的抽法为． （3）满足条件的取法可以分成两类：恰有1件次品的取法和恰有2件次品的取法． 第一类，恰有1件次品的取法有种， 第二类，恰有2件次品的取法有种． 由分类加法计数原理知，不同的抽法为． 35．（22·23高二·全国·课堂例题）一个口袋里有7个不同的白球和1个红球，从中取5个球： (1)共有多少种不同的取法？ (2)如果不取红球，共有多少种不同的取法？ (3)如果必须取红球，共有多少种不同的取法？ 【解析】（1）因为共有8个球， 所以共有不同的取法种数为； （2）因为不取红球， 所以只要在7个白球中取5个球即可， 因此共有不同的取法种数为； （3）因为必须取红球， 所以只需在7个白球中再取4个球即可， 因此共有不同的取法种数为． 36．（22·23高二上·北京西城·期末）从4男3女共7名志愿者中，选出3人参加社区义务劳动. (1)共有多少种不同的选择方法？ (2)若要求选中的3人性别不能都相同，求共有多少种不同的选择方法？ 【解析】（1）7名志愿者中选出3人共有种； （2）选中的3人性别不能都相同，即为1男2女或2男1女，则有种. 题型十一：组合数公式的应用 37．计算：； 【解析】 . 38．求证：. 【解析】， ， 所以. 39．（1）计算： ； （2） 若 ，则x的值为_____； （3） 若 ，求正整数n． 【解析】（1）. （2）依题意，，则，， 整理得：，而，所以. （3） ， 因此，即，所以. 40．（1）解方程: （2）计算 （3）解不等式. 【解析】（1）因为 所以, 又因为，所以，解得. （2）由 . （3）因为所以      因为，所以，即 ，解得， 所以，又，所以或. 题型十二：多面手问题 41．（2024·全国·高三专题练习）某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（    ）种不同的选法 A．225 B．185 C．145 D．110 【答案】B 【解析】根据题意，按“2人既会英语又会法语”的参与情况分成三类． ①“2人既会英语又会法语”不参加，这时有种； ②“2人既会英语又会法语”中有一人入选， 这时又有该人参加英文或日文翻译两种可能， 因此有种； ③“2人既会英语又会法语”中两个均入选， 这时又分三种情况：两个都译英文、两个都译日文、两人各译一个语种， 因此有种． 综上分析，共可开出种． 故选：B． 42．（2024·黑龙江·大庆市东风中学高二期中）某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有_______ 【答案】92 【解析】不妨设既会划左舷又会划右舷的2人为、， ①若和两人均不去参加比赛，则选派方法有种； ②若和两人只去一人参加比赛， (i)若只会划左舷的去两人，则选派方法为种； (ii)若只会划右舷的去两人，则选派方法为种； ③若和两人均去参加比赛， (i)若只会划左舷的去1人，则和两人均去划左舷，则选派方法为种； (ii)若只会划左舷的去2人，则和两人中有一人去划左舷，另一人去划右舷， 则选派方法为种； (iii)若只会划左舷的去3人，则和两人均去划右舷，则选派方法为种， 综上所述，不同的选派方法共有种. 故答案为：92. 43．（2024·全国·高二课时练习）某出版社的7名工人中，有3人只会排版，2人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从7人中安排2人排版，2人印刷，有几种不同的安排方法． 【解析】首先分类的标准要正确，可以选择“只会排版”、“只会印刷”、“既会排版又会印刷”中的一个作为分类的标准．下面选择“既会排版又会印刷”作为分类的标准，按照被选出的人数，可将问题分为三类： 第一类：2人全不被选出，即从只会排版的3人中选2人，有3种选法；只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有3×1=3种选法． 第二类：2人中被选出一人，有2种选法．若此人去排版，则再从会排版的3人中选1人，有3种选法，只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有2×3×1=6种选法；若此人去印刷，则再从会印刷的2人中选1人，有2种选法，从会排版的3人中选2人，有3种选法，由分步计数原理知共有2×3×2=12种选法；再由分类计数原理知共有6+12=18种选法． 第三类：2人全被选出，同理共有16种选法． 所以共有3+18+16=37种选法． 题型十三：分组、分配问题 44．将4本不同的课外读物全部分给3个同学，每个同学至少分得一本，则不同的分配方法共有 种（用数字作答） 【答案】36 【解析】由题意，将4本不同的课外读物按数量为2、1、1分为3组，有种分法， 再将这3组读物分给3个同学，有种分法， 故共有不同的分配方法， 故答案为：36 45．2025年“第九届亚冬会”即将在哈尔滨举办.现需要分配4名志愿者对2种不同的体育运动进行宣讲，每个宣讲至少分配1人，则不同的分配方案种数为 . 【答案】14 【解析】第步：根据分类加法计数原理求名学生志愿者分组的种数， 4名学生志愿者分为2组，共有两种情况： ①一组3人，另一组1人，共有种；②一组2人，另一组2人，共有种， 所以共有种分法， 第2步：根据分步乘法计数原理计算所求， 由上可知，不同的分配方案种数为种． 故答案为：. 46．将4本不同的书分给3位同学，每人至少一本，不同的分法有 种. 【答案】 【解析】根据题意，分2步进行分析 将4本书分成3组，有1组两本，两组一本，有种分法， 将分好的三组全排列，对应3名学生，有种情况， 则不同的分配方法有种. 故答案为： 47．年“喜迎全运•志愿一夏”广州中小学生志愿服务系列主题活动启动仪式在广州亚运会亚残运会博物馆举办．现需要分配名学生志愿者对种不同的体育运动进行宣讲，每个宣讲至少分配人，则不同的分配方案种数为 ． 【答案】14 【解析】第步：根据分类加法计数原理求名学生志愿者分组的种数， 名学生志愿者分为组，共有两种情况： ①一组人，另一组人，共有种；②一组人，另一组人，共有种， 所以共有种分法， 第步：根据分步乘法计数原理计算所求， 由上可知，不同的分配方案种数为种． 故答案为：. 题型十四：与几何有关的组合应用题 48．平面上有个圆两两相交，则最多有 个交点． 【答案】 【解析】由题意知，任意的两个圆存在两个交点， 所以面上有个圆两两相交，则最多有个交点. 故答案为：. 49．在同一个平面内有一组平行线共8条，另一组平行线共10条，这两组平行线相互不平行，它们共能构成 个平行四边形． 【答案】 【解析】从一组中任选两条直线与另一组中任选两条直线，就可以构成一个平行四边形， 所以共有个， 故答案为：1260. 50．已知正四棱锥，从底面四个顶点A，B，C，D和四条侧棱的中点共8个点中任选4个作为三棱锥的顶点，可得三棱锥 个.（用数字作答） 【答案】58 【解析】如图所示：在正四棱锥中，分别是侧棱的中点， 于是有， 而是正方形，所以有， 因此有， 因为一对平行线确定唯一的一个平面， 当时，此时一共确定平面的个数为， 当时，此时一共确定平面的个数为， 当时，可以确定2个平面， 其中平面均被计算了两次，所以共四点共面的情况共有个， 一共8个点，任取四个点，一共有种情形， 所以可得三棱锥个， 故答案为： 51．至少经过正五棱台的3个顶点的平面共有 个． 【答案】42 【解析】如图，在正五棱台中，仅经过5个顶点的平面有2个． 因为，所以仅经过这8个顶点中的4个顶点的平面有4个， 类似于的平行线还有4组，则仅经过4个顶点的平面有个． 故所求的平面共有个． 故答案为：42． 题型十五：隔板法 52．把分别写有1，2，3，4，5，6的六张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么不同的分法种数为（    ） A．60 B．36 C．30 D．12 【答案】A 【解析】先将卡片分为符合条件的三份， 由题意知：三人分六张卡片，且每人至少一张，至多四张， 若分得的卡片超过一张，则必须是连号， 相当于将，，，，，这六个数用两个隔板隔开，在五个空位插上两个隔板，共种情况， 再对应到三个人有种情况，则共有种法. 故选：A． 53．学校有个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少个名额，则有（    ）种分配方案. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】问题等价于将个完全相同的小球，放入个不同的盒子，每个盒子至少个球， 由隔板法可知，不同的分配方案种数为. 故选：C. 54．学校有6个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少1个名额，则有（    ）种分配方案． A．135 B．10 C．75 D．120 【答案】B 【解析】“学生名额”是相同元素，故相同元素分配分组问题，用“隔板法”， 故有， 故选：B. 55．已知，，，则关于，，的方程共有（    ）组不同的解. A． B． C． D． 【答案】A 【解析】问题可转化为，10个相同的小球放到三个不同的盒子里，每个盒子不能空着，每个盒子中小球的数目就是方程的一组解， 由隔板法可知，共有种不同的分法， 即方程共有组不同的解. 故选：A 题型十六：分堆问题 56．某中学要给三个班级补发8套教具，先将其分成3堆，其中一堆4套，另两堆每堆2套，则不同的分堆方法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由条件可知，8套教具，分成4，2，2，共有种分法． 故选：C． 57．本不同的书平均分成堆，每堆本，共有 种分法. 【答案】 【解析】先分三次取书，每次取两本，则应是种方法，但是这里出现了重复. 不妨记本书分别为、、、、、， 若第一次取，第二次取，第三次，该种分法记为， 则种分法中还有、、、、，种情况， 而这种情况，仅是、、的顺序不同，因此只能作为一种分法， 故满足题意的分法共有（种）. 故答案为：. 58．（22·23高二下·山西吕梁·期中）已知有9本不同的书． (1)分成三堆，每堆3本，有多少种不同的分堆方法？ (2)分成三堆，一堆2本，一堆3本，一堆4本，有多少种不同的分堆方法？（用数字作答） 【解析】（1）6本书平均分成3堆，所以不同的分堆方法的种数为； （2）从9本书中，先取2本作为一堆，再从剩下的7本中取3本作为一堆，最后4本作为一堆，所以不同的分堆方法的种数为． 59．（2022高三·全国·专题练习）已知有6本不同的书. (1)分成三堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？ (2)分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？ 【解析】（1）6本书平均分成3堆， 所以不同的分堆方法的种数为. （2）从6本书中，先取1本作为一堆，再从剩下的5本中取2本作为一堆，最后3本作为一堆， 所以不同的分堆方法的种数为. 1．五一小长假期间，旅游公司决定从5辆旅游大巴中选出4辆分别开往紫蒙湖､美林谷､黄岗梁､乌兰布统四个学区承担载客任务，要求每个景区都要有一辆大巴前往，每辆大巴只开往一个景区，且这5辆大巴中不去乌兰布统，则不同的选择方案共有（    ） A．36 B．96 C．72 D．68 【答案】C 【解析】若都被选出，把安排到紫蒙湖、美林谷、黄岗梁中的2个有种， 从中选出2辆有种，安排到剩下的2个景区有种， 所以共有种； 若被选出一辆有种，安排到紫蒙湖、美林谷、黄岗梁中的1个有种， 再把安排到剩下的3个景区有种， 所以共有种； 综上，共有72种. 故选：C 2．在以“旅行丝绸路，研学在甘肃”为主题的甘肃研学旅行大会活动中，某学校有10名志愿者参加接待工作.若每天排早、中、晚三班，每班3人，每人每天最多值一班，则第一天不同的排班种数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】首先从10人中选出3人上早班，共有种， 从剩下的7人中选出3人上中班，共有种， 再从剩下的4人中选出3人上晚班，共有种， 共有种. 也可以先从10人中选出9人，共有种， 再从9人中选出3人上早班，共有种， 从剩下的6人中选出3人上中班，共有种， 其余3人上晚班，则共有种排法. 故选：D 3．甲、乙、丙、丁4名志愿者被派往三个足球场参加志愿服务，每名志愿者都必须分配，每个足球场至少分配1名志愿者，但甲、乙不能安排在同一个足球场，则不同的分配方案共有（   ） A．24种 B．30种 C．36种 D．42种 【答案】B 【解析】由题意甲、乙不能安排在同一足球场中，故甲、乙各自参加一个足球场的服务时，共有种分配方案， 当甲或乙有一人和丙丁中的一人一起参加一个足球场的服务时，有种分配方案， 故不同的分配方案共有种， 故选：B 4．今年暑期档推出多部精彩影片，其中比较热门的有《解密》，《名侦探柯南》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《死侍与金刚狼》，甲和乙两位同学准备从这5部影片中各选2部观看.若两人所选的影片恰有一部相同，且甲一定选《抓娃娃》，则两位同学不同的观影方案种数为（   ） A．24 B．28 C．36 D．12 【答案】A 【解析】若两人所选影片中，《抓娃娃》相同，则两人从剩余4部中各选1部，有种方案， 若两人所选影片中，不是《抓娃娃》相同，相同的影片为4部中1部，有种选择， 再给乙从剩余3部中选择一部，有种选择，故共有种方案， 综上，共有种方案. 故选：A. 5．将5名党员志愿者分到3个不同的社区进行知识宣讲，要求每个社区都要有党员志愿者前往，且每个党员志愿者都只安排去1个社区，则不同的安排方法种数有（   ） A．120 B．300 C．180 D．150 【答案】D 【解析】将5名党员志愿者分成三组，各组人数分别为1，1，3或1，2，2． 当各组人数为1，1，3时，共有种安排方法； 当各组人数为1，2，2时，共有种安排方法． 所以不同的安排方法有种． 故选：D 6．已知，则（    ） A．4 B．3 C．5 D．1 【答案】C 【解析】根据题意，得或，解得（舍去）或. 故选：C 7．2025年的寒假就要到了，甲、乙、丙、丁四个同学都计划去旅游，除常见的五个旅游热门地北京、上海、广州、深圳、成都外，延边打卡也火爆全国，则甲、乙、丙、丁四个同学恰好选择三个城市旅游的方法种数共有（   ） A．1800 B．1080 C．720 D．360 【答案】C 【解析】第一步，先选恰有个同学所选的旅游地相同，有种； 第二步，从个旅游地中选出个排序，有种， 根据分步计数原理可得，方法有种. 故选：C 8．小沉从5瓶不同香味的香水中选择2瓶进行试香，则小沉的选择共有（   ） A．5种 B．10种 C．20种 D．25种 【答案】B 【解析】根据题意可得小沉的选择种数为． 故选：B 9．某校要从校广播站3名男同学和2名女同学中选出两人，分别做校史馆的参观路线导引员和校史讲解员，则至少有1名女同学被选中的不同安排方法有（    ） A．14种 B．16种 C．18种 D．20种 【答案】A 【解析】从3名男同学和2名女同学中选出两人分别做校史馆的参观路线导引员和校史讲解员，共有种情况， 若从3名男生选出两人分别做校史馆的参观路线导引员和校史讲解员，共有种情况， 故至少有1名女同学被选中的不同安排方法有种， 故选：A 10．甲，乙，丙3名学生约定：利用假期观看A，B，C，D，E这5部新上映的电影，待返校后互相分享精彩内容.返校后，已知5部电影都有人观看，且每部电影只有一个人观看，则所有观看电影的情况种数为（    ） A．150 B．243 C．183 D．393 【答案】B 【解析】分三类，第一类：1个人观看5部电影有3种情况； 第二类：2个人观看5部电影有种情况； 第三类：3个人观看5部电影有种情况； 所以共有：种情况. 故选：B. 11．《九章算术》第一章“方田”问题二十五、二十六指出了三角形田面积算法：“半广以乘正从”.数学社团制作板报向全校师生介绍这一结论，给证明图形的六个区域涂色，有三种颜色可用，要求有相邻边的区域颜色不同，则不同的涂色方法有（    ） A．48种 B．96种 C．102种 D．120种 【答案】B 【解析】如图，设图中的六个区域分别为， 按照是否同色，分两类： ①不同色，先给涂色，有，再根据是否用余下那种颜色分两种情况， 不用第三种颜色，即用的颜色，用的颜色，有种，有种，则有种涂法； 用第三种颜色，即用第三种颜色，用的颜色，有种，有种， 或用第三种颜色， 用的颜色，则有种涂法， 所以不同色的涂法有：， ②同色，先给涂色，有，则只能用第三种颜色，有种，有种， 所以同色的涂法有：， 综上，不同的涂色方法有：种. 故选：B. 12．袜子由袜口､袜筒､脚趾三部分组成，现有四种不同颜色的布料，设计袜子的颜色配比，要求相连的部分颜色不同，共可以设计出不同颜色类型的袜子种数为（    ） A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】C 【解析】若袜口和脚趾颜色相同，则有种， 若袜口和脚趾颜色不同，则有种， 共有种． 故选:C 13．国庆期间，中华世纪坛举办“传奇之旅：马可•波罗与丝绸之路上的世界”展览，现有8个同学站成一排进行游览参观，若将甲、乙、丙3个同学新加入排列，且甲、乙、丙互不相邻，保持原来8个同学顺序不变，则不同的方法种数为（   ） A．84 B．120 C．504 D．720 【答案】C 【解析】8个同学站成一排有9个空，甲、乙、丙在9个空中任意排列，则不同的方法种数为. 故选：C. 14．（多选题）现有8名师生站成一排照相，其中老师2人，男学生4人，女学生2人，则下列说法正确的是（   ） A．4个男学生排在一起，有1440种不同的排法 B．老师站在最中间，有1440种不同的排法 C．4名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端，有1728种不同的排法 D．2名老师之间要有男女学生各1人，有3840种不同的排法 【答案】BCD 【解析】选项A：4个男学生排在一起共有种站法，则有2880种不同的排法，故A错误； 选项B：老师站在最中间共有种站法，则有1440种不同的排法，故B正确； 选项C：先排老师和女学生，共有种站法，再排男学生甲，有种站法，最后排剩余的3名男学生有种站法， 所以共有种不同的站法，故C正确； 选项D：先任选一名男学生和一名女学生站两位老师中间，有种站法，两名老师的站法有种， 再将这一男学生一女学生两位老师进行捆绑，与剩余的4个人进行全排列有种站法， 所以共有种不同的站法.故D正确. 故选：BCD． 15．名男生、名女生站成一排，至少有两个女生相邻的站法种数为 （用数字作答）． 【答案】 【解析】分以下两种情况讨论： 若只有两个女生相邻，将三个女生分为两组，然后插入名男生所形成的空位中， 此时，不同的站法种数为种； 若三个女生都相邻，将这三个女生视为一个整体，然后插入名男生所形成的空位中， 此时，不同的站法种数为种. 综上所述，至少有两个女生相邻的站法种数为种. 故答案为：. 16．由字母A，B构成的一个6位的序列，含有连续子序列ABA的序列有 个（例如ABAAAA，BAABAB符合题意） 【答案】27 【解析】考虑出现子序列ABA时，可能出现的位置有4个，把依次对应的序列放入集合，，，（ABA×××，×ABA××，××ABA×，×××ABA）中， 记为集合中元素的个数，则. 再考虑重复的序列，，，，任意多于2个集合的交集均为空集. 所以含有连续子序列ABA的序列有个． 故答案为：27. 17．某学校准备组建一个18人的足球队，这18人由高二年级十个班的学生组成，每个班至少一人，名额分配方案共 种(用数字填写). 【答案】24310 【解析】构成一个隔板模型，取18个棋子排成一排，在相邻的每两个棋子形成的17个间隙中选取9个插入隔板，这样就把18个元素分成10个区间， 第个区间的棋子个数对应第个班级的学生名额， 因此，名额分配方案的种数与隔板插入数相等， 因隔板插入数为， 所以名额分配方案共有24310种. 故答案为：24310. 18．有一种运算，三个互异的数，，运算时可以有不同的运算方法，如，，，，，就是其中6种不同的运算方法.设个互异的数的不同运算方法共有种，则 ， （用数字作答）. 【答案】 12 120 【解析】此种运算方法是在排列的基础上加上括号的选择（括号内至少两个数）. 首先，（对一个排列，括号只有2种乘法）， 对于，考查一个给定的排列如，共有如下几种此种运算方法， ，，，，， 共5种相乘方法， 又4个数的排列有，所以. 故答案为：12；120. 2 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $$