第一章 整式的乘除（单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（北师大版2024，辽宁专用）

第一章 整式的乘除 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：(共10题，每题3分，共30分。) 1．下列计算中，运算正确的个数是（   ） ①    ②    ③    ④    ⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方、同底数幂相乘，根据幂的乘方与积的乘方、同底数幂相乘的运算法则逐项分析即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：①，计算正确，符合题意； ②，计算错误，不符合题意； ③，计算错误，不符合题意； ④，计算正确，符合题意； ⑤，计算正确，符合题意； 综上所述，正确的①④⑤，共3个， 故选：C． 2．石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料，如图是二维石墨烯的晶格结构，图中标注出了石墨烯每两个相邻碳原子间的键长．将用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法的定义，理解定义“科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当时，n是正整数，当时，n是负整数．”是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 故选：C． 3．下列多项式乘法中能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式，熟记公式结构是解题的关键； 根据平方差公式的结构逐项分析判断即可． 【详解】解：A、 能用完全平方公式计算不能用平方差公式计算，此项不符合题意； B、 能用平方差公式计算，此项符合题意； C、能用完全平方公式计算不能用平方差公式计算，此项不符合题意； D、能用完全平方公式计算不能用平方差公式计算，此项不符合题意； 故选：B． 4．若，则的值为（ ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方差公式．熟练掌握平方差公式，是解题的关键． 根据可得． 【详解】∵， ∴， ∴． 故选：D． 5．计算的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了幂的运算．熟练掌握乘方的符号法则，同底数幂乘法，提取公因式，是计算本题是关键． 原式化为，逆用同底数幂乘法法则得，提取公因式得，计算即可． 【详解】解： ． 故选：A． 6．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1所示），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2所示），根据图形的变化过程，写出的一个正确的等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式的几何背景．用代数式分别表示图1中阴影部分以及图2的面积即可． 【详解】解：图1中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即， 图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故选：D． 7．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查幂的乘方的逆运算，同底数幂的除法的逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 先利用幂的乘方的逆运算法则和同底数幂的除法的逆运算法则将化简为，然后代入即可解答． 【详解】解：， ∵，， ∴， 故选：A． 8．若，则（    ） A．3 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式，把看成整体，利用平方差公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 9．已知的乘积中不含与的项，则m，n的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式的运算法则得出，再结合题意得出，求解即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， 且的乘积中不含与的项， ∴， ∴，， 故选：A． 10．设，，现给出实数、、三者之间的四个关系式：；；；其中，正确的关系式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据同底数幂的乘法法则即可求出a、b、c的关系，代入各式验证即可．本题考查同底数幂的乘法，多项式乘多项式，解题的关键是熟练运用同底数幂的乘法法则，得出a、b、c的关系． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴，故①正确； ∴，故②正确； ∴， 故③错误； ∴，故④正确； ∴①②④正确； 故选：C． 二、填空题：(共5题，每题3分，共15分。) 11．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方，熟练掌握幂的乘方公式：（、都是正整数）是解题的关键．利用公式直接进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12．已知代数式是一个完全平方式，则实数a的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了完全平方公式的运用．直接利用完全平方公式求解． 【详解】解：∵代数式是一个完全平方式， ∴， ∴， 解得或， 故答案为：或． 13．若，则代数式= ． 【答案】8 【分析】已知等式变形后代入原式计算即可求出值． 【详解】解：∵，即， ∴===8， 故答案为：8． 【点睛】此题考查了代数式求值，运用整体思想是解本题的关键． 14．已知，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据题意可得，，，结合已知可得，代入计算即可． 【详解】解：由题意得，， ， ， 所以原式 ． 15．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（n 为非负整数）展开式的项 数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角”． …… 1 1    1 1   2    1 1    3    3    1 1    4    6    4    1 1    5    10   10   5    1 …… 则展开式中所有项的系数和是 ．（结果用指数幂表示） 【答案】 【分析】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，通过观察展开式中所有项的系数和，得到规律是解题的关键．根据“杨辉三角”展开式中所有项的系数和规律确定出（n为非负整数）展开式的项系数和为，求出系数之和即可． 【详解】解：当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为 ， 由此可知展开式的各项系数之和为， 则展开式中所有项的系数和是， 故答案为：． 三、解答题 （共75分) 16．（1）先化简，再求值：，其中，． （2）若与的乘积中不含x的一次项和二次项，求的值． 【答案】（1），（2） 【分析】此题考查了完全平方公式，多项式乘以多项式以及代数求值，多项式乘积不含某项问题，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算完全平方公式和多项式乘以多项式，然后合并同类项，最后代值计算即可； （2）首先计算，然后根据题意得到，，求出，，然后代数求解即可． 【详解】解：（1） ， ∵，， ∴原式； （2） ； ∵与的乘积中不含x的一次项和二次项， ∴，， ∴，， ∴． 17．解答下列问题： (1)若，求的值； (2)已知为正整数，且，求的值； (3)若，，用含的代数式表示． 【答案】(1)27； (2)32； (3)． 【分析】本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方的运算法则是解此题的关键． （1）由题意可得，再将式子变形为，整体代入计算即可得解； （2）将式子变形为，整体代入计算即可得解； （3）由题意可得，代入计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴． 18．已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)23 (2)21 【分析】本题主要考查完全平方公式． （1）根据完全平方公式得，将代入即可得解； （2）根据完全平方公式得，将代入即可得解． 【详解】（1）解：，， ∴ ； （2）解： ． 19．如图1的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形． (1)在图2中的阴影部分的面积可表示为__________；（写成多项式乘法的形式）在图3中的阴影部分的面积可表示为____________；（写成两数平方差的形式） (2)比较图2与图3的阴影部分面积，可以得到的等式是____________； A．    B．    C． (3)请利用所得等式解决下面的问题：计算的值，并直接写出该值的个位数字是多少． 【答案】(1)； (2)B (3)； 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，数字的变化类，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提，发现数字作呈现的规律是得出正确答案的关键． （1）根据图2的长为，宽为，可表示出面积；图3阴影部分的面积是两个正方形的面积差，用代数式表示即可； （2）由图2、图3面积相等可得答案； （3）将原式配上因式，连续利用平方差公式得出结果为，再根据底数为的整数幂的个位数字所呈现的规律得出答案． 【详解】（1）解：由题意得，图2中的阴影部分的面积可表示为：， 图3中阴影部分的面积可表示为：； （2）解：由图2、图3面积相等得，， 故选： B； （3）解：原式， ， ， ， ∵， ， ∴的个位数字为． 20．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． (1)观察图2，请你直接写出下列三个代数式：，，之间的等量关系； (2)若要拼出一个面积为的矩形，则需要A号卡片 张，B号卡片 张，C号卡片 张． (3)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1) (2)1，2，3 (3)①7；② 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式的运算，换元法． （1）用不同方式求大正方形的面积求解即可； （2）利用多项式乘多项式的运算法则计算，然后再根据三种纸片的面积，进而得出答案； （3）①根据已知条件，利用完全平方公式，先求出，然后求出即可； ②设，则，，根据已知得出，利用完全平方公式展开，进而得出答案． 【详解】（1）解：由图2可知，大正方形的面积为，也可以为， ∴，，之间的等量关系为：； （2）解： ， ∵一张A种纸片的面积为，一张B种纸片的面积为，一张C种纸片的面积为， ∴要拼出一个面积为的矩形，需要A种纸片1张，B种纸片2张，C种纸片3张． 故答案为：1，2，3； （3）解：①∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴； ②设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴的值是． 21．阅读理解： 材料一：把形如的二次三项式配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用． 例如：我们可以将代数式进行变形，其过程如下： 该式有最小值1 材料二：我们定义：如果两个多项式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅常式”，这个常数称为关于的“雅常值”．如多项式，；，则是的“雅常式”，关于的“雅常值”为9． 根据材料，完成下面问题： (1)已知多项式，，判断C是否为D的“雅常式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“雅常值”； (2)已知多项式，（，为常数），M是N的“雅常式”，且当为实数时，N的最小值为，求M关于N的“雅常值”． 【答案】(1)是的“雅常式”，“雅常值”为 (2)关于的“雅常值”是 【分析】本题考查了配方法的应用、整式的加减运算、新定义和因式分解，理解是的“雅常式”的定义是解决本题的关键． （1）先计算，再根据“雅常式”的定义即可判断是的“雅常式”并求出“雅常值”即可求解； （2）先求出，由是的“雅常式”，得出，得出，由为实数时，的最小值为，得出，求出，进而求出； 【详解】（1）解： ， C是D的“雅常式”， C关于D的“雅常值”为； （2）M是N的“雅常式”， ， ， ． ，且当x为实数时，N 的最小值为， ， ， ． 所以M关于N的“雅常值”是3； 22．计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，平方差公式以及完全平方公式计算即可． （1）根据多项式除以单项式计算即可． （2）按照平方差公式以及完全平方公式展开，然后合并同类项即可． （3）按照平方差公式展开计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 23．计算：． 【答案】9 【分析】此题考查了绝对值，有理数的乘方，零指数幂和负整数指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算绝对值，有理数的乘方，零指数幂和负整数指数幂，然后计算加减． 【详解】解： ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 整式的乘除 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：(共10题，每题3分，共30分。) 1．下列计算中，运算正确的个数是（   ） ①    ②    ③    ④    ⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料，如图是二维石墨烯的晶格结构，图中标注出了石墨烯每两个相邻碳原子间的键长．将用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．下列多项式乘法中能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 4．若，则的值为（ ） A． B．2 C． D．3 5．计算的结果是（  ） A． B． C． D． 6．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1所示），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2所示），根据图形的变化过程，写出的一个正确的等式是（    ） A． B． C． D． 7．已知，，则（   ） A． B． C． D． 8．若，则（    ） A．3 B．6 C． D． 9．已知的乘积中不含与的项，则m，n的值为（    ） A． B． C． D． 10．设，，现给出实数、、三者之间的四个关系式：；；；其中，正确的关系式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题：(共5题，每题3分，共15分。) 11．计算： ． 12．已知代数式是一个完全平方式，则实数a的值为 ． 13．若，则代数式= ． 14．已知，则的值为 ． 15．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（n 为非负整数）展开式的项 数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角”． …… 1 1    1 1   2    1 1    3    3    1 1    4    6    4    1 1    5    10   10   5    1 …… 则展开式中所有项的系数和是 ．（结果用指数幂表示） 三、解答题 （共75分) 16．计算：． 17．计算： (1) (2) (3) 18．（1）先化简，再求值：，其中，． （2）若与的乘积中不含x的一次项和二次项，求的值． 19．解答下列问题： (1)若，求的值； (2)已知为正整数，且，求的值； (3)若，，用含的代数式表示． 20．已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 21．如图1的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形． (1)在图2中的阴影部分的面积可表示为__________；（写成多项式乘法的形式）在图3中的阴影部分的面积可表示为____________；（写成两数平方差的形式） (2)比较图2与图3的阴影部分面积，可以得到的等式是____________； A．    B．    C． (3)请利用所得等式解决下面的问题：计算的值，并直接写出该值的个位数字是多少． 22．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． (1)观察图2，请你直接写出下列三个代数式：，，之间的等量关系； (2)若要拼出一个面积为的矩形，则需要A号卡片 张，B号卡片 张，C号卡片 张． (3)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知，求的值． 23．阅读理解： 材料一：把形如的二次三项式配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用． 例如：我们可以将代数式进行变形，其过程如下： 该式有最小值1 材料二：我们定义：如果两个多项式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅常式”，这个常数称为关于的“雅常值”．如多项式，；，则是的“雅常式”，关于的“雅常值”为9． 根据材料，完成下面问题： (1)已知多项式，，判断C是否为D的“雅常式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“雅常值”； (2)已知多项式，（，为常数），M是N的“雅常式”，且当为实数时，N的最小值为，求M关于N的“雅常值”． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$