第三讲 双曲线的概念及性质-重点强化提升讲义-2025届高三数学一轮复习

第三讲 双曲线的概念及性质 ( 知识 归纳 ) 一、双曲线的定义 1. 双曲线的定义 　　平面上到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值为正常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线. 这两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|叫作双曲线的焦距. 2. 当2a=|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点)；当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在； 当2a=0时，动点的轨迹为线段F1F2的垂直平分线. 二、双曲线的方程 1. 标准方程 当焦点在x轴上时， -=1(a>0，b>0)；当焦点在y轴上时， -=1(a>0，b>0). 2. 一般方程 双曲线的一般方程为Ax2-By2=1，其中AB>0，当A>0，B>0时，焦点在x轴上；当A<0，B<0时，焦点在y轴上. 三、双曲线的简单几何性质 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 -=1(a>0，b>0) -=1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≤-a或x≥a y≤-a或y≥a 对称性 对称轴：x轴、y轴；对称中心：原点 顶点 A1(-a，0)，A2(a，0) A1(0，-a)，A2(0，a) 渐近线 y=±x y=±x 离心率 e=，e∈(1，+∞) 实轴 线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长等于2a，a叫作双曲线的实半轴长 虚轴 线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长等于2b，b叫作双曲线的虚半轴长 a，b，c的关系 c2=a2+b2(c>a>0，c>b>0) 2. e===>1，它反映了双曲线开口的大小，e越大，开口就越大. 3. 等轴双曲线：实轴与虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线. 它有如下性质： (1)方程形式为x2-y2=λ(λ≠0)； (2)渐近线方程为y=±x，两条渐近线互相垂直； (3)实轴长和虚轴长都等于2a，离心率e=. 2. 距离：双曲线-=1(a>0，b>0)右支上任意一点M到左焦点的最小距离为a+c，到右焦点的最小距离为c-a. 3. 焦半径：双曲线上一点P(x0，y0)与左(下)焦点F1或右(上)焦点F2之间的线段叫作双曲线的焦半径，记r1=|PF1|，r2=|PF2|. (1) -=1(a>0，b>0)，若点P在右支上，则r1=ex0+a，r2=ex0-a；若点P在左支上，则r1=-ex0-a，r2=-ex0+a. (2) -=1(a>0，b>0)，若点P在上支上，则r1=ey0+a，r2=ey0-a；若点P在下支上，则r1=-ey0-a，r2=-ey0+a. 四、双曲线标准方程的求解 1. 定义法：根据双曲线的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置写出标准方程. 2. 待定系数法. 其步骤如下： (1)定位置：根据条件确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上，还是二者都有可能. (2)设方程：根据焦点位置，设其方程为-=1(a>0，b>0)或-=1(a>0，b>0)，焦 点位置不确定时，可设为mx2+ny2=1(mn<0). (3)寻关系：根据已知条件列出关于a，b或m，n的方程组. (4)得方程：解方程组，将a，b或m，n的值代入所设方程即可. 3. 常见双曲线方程的设法 (1)渐近线方程为y=±x的双曲线方程可设为-=λ(λ≠0，m>0，n>0)；如果渐近线方程为Ax±By=0，那么双曲线方程可设为A2x2-B2y2=m(m≠0，A>0，B>0). (2)与双曲线-=1(a>0，b>0)或-=1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程可设为-=λ(λ≠0)或-=λ(λ≠0). (3)与双曲线-=1(a>0，b>0)的离心率相等的双曲线方程可设为-=λ(λ>0) 或-=λ(λ>0)，这是因为由离心率不能确定焦点位置. (4)与椭圆+=1(a>b>0)共焦点的双曲线方程可设为-=1(b2<λ<a2).五、双曲线的焦点三角形  1. 双曲线上的点P(不在坐标轴上)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形. 双曲线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用. 2. 焦点三角形中常用的结论 (1)设∠F1PF2=θ，则焦点三角形的面积S==c|yP|. (2)设∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，P为双曲线右支上一点，则e=. 六、双曲线的渐近线和离心率 1. 焦点在x轴上和y轴上的双曲线的渐近线方程不同，注意区分. 2. 双曲线的两条渐近线的斜率互为相反数. 3. 渐近线与离心率的关系： =，e=. 4. 求双曲线的渐近线与离心率的关键是通过给出的几何关系建立关于参数a，c (或a，b或b，c)的关系式，结合c2=a2+b2进行求解. ( 考点讲解 ) 题型一：双曲线定义 1．（2024·全国·模拟预测）若点为坐标原点，点为曲线上任意一点，，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河南濮阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，点F的坐标为，以线段FP为直径的圆与圆相切，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山西太原·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点A坐标为，若动点P位于y轴右侧，且到两定点，的距离之差为定值4，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（2024·青海·一模）代数与几何是数学的两个重要分支，它们之间存在着紧密的联系．将代数问题转化为几何问题，可以利用几何直观来理解和解决代数问题，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点，可满足方程的的值可能是（    ） A． B． C． D． 题型二：双曲线焦点三角形 1．（2024·陕西榆林·模拟预测）设，是双曲线的左，右焦点，过的直线与轴和的右支分别交于点，，若是正三角形，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 2．（多选）（2024·云南昆明·三模）已知分别是双曲线的左、右焦点，是左支上一点，且在在上方，过作角平分线的垂线，垂足为是坐标原点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则直线的斜率为 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设双曲线C：的左焦点和右焦点分别是，，点P是C右支上的一点，则的最小值为 ． 4．（2024·安徽阜阳·二模）已知分别是双曲线的左右焦点，是上的一点，且，则的周长是 ． 题型三：利用双曲线定义求距离最值 1．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，动点在直线上，线段交于点，过作的垂线，垂足为，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江西鹰潭·二模）已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为F，点P在双曲线右支上运动，点Q在圆上运动，则的最小值为（    ） A． B．8 C． D．9 3．（2024·山东泰安·二模）已知双曲线，其一条渐近线方程为，右顶点为A，左，右焦点分别为，，点P在其右支上，点，三角形的面积为，则当取得最大值时点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·陕西安康·模拟预测）已知圆与直线交于两点，与轴交于两点，直线与交于点，则 . 题型四：双曲线的轨迹方程 1．（2024·浙江·一模）双曲线的另一种定义：动点与定点的距离和它与定直线：的距离的比是常数，则点的轨迹是一个双曲线.动点与定点的距离和它与定直线：的距离的比是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点．当点运动时，点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·云南昆明·二模习）在平面直角坐标系中，动点P与两个定点和的连线的斜率之积等于，则点P的轨迹方程为 ． 4．（2024·河南开封·二模）已知矩形，，过作平面，使得平面，点在内，且与所成的角为，则点的轨迹为 ，长度的最小值为 ． 题型五：双曲线a、b、c的关系 1．（2024·北京海淀·一模）若双曲线上的一点到焦点的距离比到焦点的距离大，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川成都·模拟预测）设，则“方程表示双曲线”的必要不充分条件为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）2023年3月27日，贵州省首届“美丽乡村”篮球联赛总决赛火爆开赛，被网友称为“村BA”.从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，，视AD所在直线为x轴，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·浙江温州·一模）已知椭圆和双曲线的焦点相同，则 . 题型五：双曲线简单几何性质 1．（多选）（2024·河南新乡·模拟预测）已知，则双曲线与有相同的（    ） A．焦点 B．焦距 C．离心率 D．渐近线 2．（多选）（2023·江苏南京·二模）若实数，满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·全国·二模）若点依次为双曲线的左、右焦点，且，，. 若双曲线C上存在点P，使得，则实数b的取值范围为 . 4．（2024·贵州·模拟预测）我们把离心率为的双曲线称为“黄金双曲线”．已知“黄金双曲线”，则的虚轴长为 ． 题型七：双曲线的对称性 1．（2024·湖南·模拟预测）过双曲线的左焦点作直线交双曲线于A，B两点，若实数使得的直线恰有3条，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．（2024·福建·模拟预测）已知双曲线C：的离心率为，左，右焦点分别为，，关于C的一条渐近线的对称点为P.若，则的面积为（    ） A．2 B． C．3 D．4 3．（多选）（2024·安徽·模拟预测）已知双曲线，过原点的直线AC，BD分别交双曲线于A，C和B，D四点（A，B，C，D四点逆时针排列），且两直线斜率之积为，则下列结论正确的是（    ） A．四边形ABCD一定是平行四边形 B．四边形ABCD可能为菱形 C．AB的中点可能为 D．的值可能为 4．（2024·安徽六安·模拟预测）已知双曲线方程为，左焦点关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则该双曲线的离心率为 . 题型八：由双曲线的性质求轨迹 1．（2024·四川成都·三模）已知双曲线经过点，且与双曲线具有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川成都·模拟预测）双曲线的一条渐近线为，则其离心率为（    ）． A． B． C． D． 3．（多选）（2024·湖南郴州·模拟预测）已知曲线，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则曲线表示两条直线 B．若，则曲线是椭圆 C．若，则曲线是双曲线 D．若，则曲线的离心率为 4．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线，以双曲线的实轴和虚轴为对角线的四边形的面积为，过双曲线的右焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，与另一条渐近线交于点，若，则双曲线的标准方程为 ． 题型九：双曲线的渐进线 1．（2024·广西柳州·一模）已知双曲线的一条渐近线方程为，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·宁夏银川·二模）如图，已知为双曲线的焦点，过作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且，则双曲线得渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 3．（多选）（2024·重庆·模拟预测）已知双曲线 和 ，其中，且，则（    ） A．与有相同的实轴 B．与有相同的焦距 C．与有相同的渐近线 D．与有相同的离心率 4．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知双曲线的两条渐近线均与圆：相切，双曲线左焦点为，则该双曲线的渐近线方程为 . 题型十：双曲线的离心率 1．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线的离心率为2，其中一条渐近线的倾斜角为，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广西·模拟预测）如图，双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图中的，两点反射后，分别经过点和，且，，则的离心率为（   ）.    A． B． C． D． 3．（2024·贵州·二模）已知双曲线，其渐近线方程为，则该双曲线的离心率为 ． 4．（2024·四川成都·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，为左支上一点，的内切圆圆心为，直线与轴交于点，若双曲线的离心率为，则 ( 巩固提升 ) 1．（2024·浙江杭州·一模）已知直线是双曲线的一条渐近线，则的离心率等于（    ） A． B． C． D．或 2．（2024·湖南益阳·一模）已知椭圆与双曲线的焦点重合，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·福建福州·模拟预测）以为渐近线的双曲线可以是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·陕西榆林·模拟预测）设，是双曲线C：的左，右焦点，过的直线与y轴和C的右支分别交于点P，Q，若是正三角形，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 5．（2024·湖南衡阳·一模）已知双曲线，两焦点分别为，过右焦点作直线l交右支于A，B点，且，若，则双曲线C的离心率为（   ） A． B． C． D．2 6．（2024·江苏盐城·三模）设双曲线的焦距为2，若以点为圆心的圆过的右顶点且与的两条渐近线相切，则长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（多选）（2024·江西二模）双曲线与的离心率分别为和，则下列结论正确的是（    ） A．的焦点在x轴上，的焦点在y轴上 B．的焦点到其渐近线的距离与的焦点到其渐近线的距离相等 C．的最小值为 D． 8．（多选）（2024·湖南长沙·模拟预测）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且它们的离心率之积为，点P是C与E的一个公共点，则（    ） A．椭圆C的方程为 B．三角形为等腰三角形 C．过点作E的渐近线的垂线，垂足为M．则三角形面积为 D．对于E上的任意一点Q， 9．（2024·北京平谷·模拟预测）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，并且经过点，则＝ ；双曲线的渐近线方程为 10．（2025·上海·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为．通过且倾斜角为的直线与双曲线交于第一象限的点A，延长至B使得．若的面积为，则a的值为 ． 11．（2024·河南·模拟预测）在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，以为圆心作一个半径为4的圆，点是圆上一动点，线段的重直平分线与直线相交于点． (1)求的轨迹的方程； (2)已知，点是轨迹在第一象限内的一点，为的中点，若直线的斜率为，求点的坐标． 12．（2024·云南昆明·模拟预测）已知双曲线C：上任意一点Q（异于顶点）与双曲线两顶点连线的斜率之积为，E在双曲线C上，F为双曲线C的右焦点，|EF|的最小值为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)过椭圆上任意一点P（P不在C的渐近线上）分别作平行于双曲线两条渐近线的直线，交两渐近线于M，N两点，且，是否存在m，n使得椭圆的离心率为？若存在，求出椭圆的方程，若不存在，说明理由. ( 走进高考 ) 1．（2017·全国·高考真题）已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·全国·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A．4 B．3 C．2 D． 3．（2024·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 4．（2023·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·北京·高考真题）若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ． 6．（2024·广东江苏·高考真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ． 7．（2023·北京·高考真题）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为 ． 8．（2023·全国·高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三讲 双曲线的概念及性质 ( 知识 归纳 ) 一、双曲线的定义 1. 双曲线的定义 　　平面上到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值为正常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线. 这两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|叫作双曲线的焦距. 2. 当2a=|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点)；当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在； 当2a=0时，动点的轨迹为线段F1F2的垂直平分线. 二、双曲线的方程 1. 标准方程 当焦点在x轴上时， -=1(a>0，b>0)；当焦点在y轴上时， -=1(a>0，b>0). 2. 一般方程 双曲线的一般方程为Ax2-By2=1，其中AB>0，当A>0，B>0时，焦点在x轴上；当A<0，B<0时，焦点在y轴上. 三、双曲线的简单几何性质 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 -=1(a>0，b>0) -=1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≤-a或x≥a y≤-a或y≥a 对称性 对称轴：x轴、y轴；对称中心：原点 顶点 A1(-a，0)，A2(a，0) A1(0，-a)，A2(0，a) 渐近线 y=±x y=±x 离心率 e=，e∈(1，+∞) 实轴 线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长等于2a，a叫作双曲线的实半轴长 虚轴 线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长等于2b，b叫作双曲线的虚半轴长 a，b，c的关系 c2=a2+b2(c>a>0，c>b>0) 2. e===>1，它反映了双曲线开口的大小，e越大，开口就越大. 3. 等轴双曲线：实轴与虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线. 它有如下性质： (1)方程形式为x2-y2=λ(λ≠0)； (2)渐近线方程为y=±x，两条渐近线互相垂直； (3)实轴长和虚轴长都等于2a，离心率e=. 2. 距离：双曲线-=1(a>0，b>0)右支上任意一点M到左焦点的最小距离为a+c，到右焦点的最小距离为c-a. 3. 焦半径：双曲线上一点P(x0，y0)与左(下)焦点F1或右(上)焦点F2之间的线段叫作双曲线的焦半径，记r1=|PF1|，r2=|PF2|. (1) -=1(a>0，b>0)，若点P在右支上，则r1=ex0+a，r2=ex0-a；若点P在左支上，则r1=-ex0-a，r2=-ex0+a. (2) -=1(a>0，b>0)，若点P在上支上，则r1=ey0+a，r2=ey0-a；若点P在下支上，则r1=-ey0-a，r2=-ey0+a. 四、双曲线标准方程的求解 1. 定义法：根据双曲线的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置写出标准方程. 2. 待定系数法. 其步骤如下： (1)定位置：根据条件确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上，还是二者都有可能. (2)设方程：根据焦点位置，设其方程为-=1(a>0，b>0)或-=1(a>0，b>0)，焦 点位置不确定时，可设为mx2+ny2=1(mn<0). (3)寻关系：根据已知条件列出关于a，b或m，n的方程组. (4)得方程：解方程组，将a，b或m，n的值代入所设方程即可. 3. 常见双曲线方程的设法 (1)渐近线方程为y=±x的双曲线方程可设为-=λ(λ≠0，m>0，n>0)；如果渐近线方程为Ax±By=0，那么双曲线方程可设为A2x2-B2y2=m(m≠0，A>0，B>0). (2)与双曲线-=1(a>0，b>0)或-=1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程可设为-=λ(λ≠0)或-=λ(λ≠0). (3)与双曲线-=1(a>0，b>0)的离心率相等的双曲线方程可设为-=λ(λ>0) 或-=λ(λ>0)，这是因为由离心率不能确定焦点位置. (4)与椭圆+=1(a>b>0)共焦点的双曲线方程可设为-=1(b2<λ<a2).五、双曲线的焦点三角形  1. 双曲线上的点P(不在坐标轴上)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形. 双曲线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用. 2. 焦点三角形中常用的结论 (1)设∠F1PF2=θ，则焦点三角形的面积S==c|yP|. (2)设∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，P为双曲线右支上一点，则e=. 六、双曲线的渐近线和离心率 1. 焦点在x轴上和y轴上的双曲线的渐近线方程不同，注意区分. 2. 双曲线的两条渐近线的斜率互为相反数. 3. 渐近线与离心率的关系： =，e=. 4. 求双曲线的渐近线与离心率的关键是通过给出的几何关系建立关于参数a，c (或a，b或b，c)的关系式，结合c2=a2+b2进行求解. ( 考点讲解 ) 题型一：双曲线定义 1．（2024·全国·模拟预测）若点为坐标原点，点为曲线上任意一点，，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设点，再由向量的坐标运算代入计算化简，即可得到结果. 【详解】设点，因为，所以， 即，又点为曲线上任意一点， 所以，即，即点的轨迹方程为． 故选：B． 2．（2024·河南濮阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，点F的坐标为，以线段FP为直径的圆与圆相切，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分两圆外切和内切两种情况，根据两圆位置关系结合双曲线的定义分析求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 设，以线段FP为直径的圆的圆心为M，半径为， 若圆与圆外切，则，， 可得； 若圆与圆内切，则，， 可得； 综上所述：， 可知动点P的轨迹是以为焦点的双曲线，且，则， 所以动点P的轨迹方程为. 故选：B. 3．（2024·山西太原·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点A坐标为，若动点P位于y轴右侧，且到两定点，的距离之差为定值4，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据双曲线的定义，判断点轨迹为双曲线的右支，并求出方程；再根据和把的周长转化为的范围问题，利用三角形两边之和大于第三边求解. 【详解】由动点P到两定点，的距离之差为定值4， 结合双曲线定义可知，动点P的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支， 易得，，由得，则动点P的轨迹方程为， 如图： 又，则，且 故的周长为:， 当且仅当P，A，三点共线且点位于、之间时等号成立，故周长的最小值为． 故选：D 4．（多选）（2024·青海·一模）代数与几何是数学的两个重要分支，它们之间存在着紧密的联系．将代数问题转化为几何问题，可以利用几何直观来理解和解决代数问题，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点，可满足方程的的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】方程变形后，几何意义为平面内一点到两定点距离之差的绝对值为，由双曲线定义得到点在双曲线上，代入求出． 【详解】由，得 ， 其几何意义为平面内一点到两定点距离之差的绝对值为， 由于，由双曲线定义可得点在双曲线上， 所以，解得． 故选：AC 题型二：双曲线焦点三角形 1．（2024·陕西榆林·模拟预测）设，是双曲线的左，右焦点，过的直线与轴和的右支分别交于点，，若是正三角形，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义及等边三角形的性质计算可得. 【详解】对于双曲线，则， 根据双曲线定义有， 又，，故． 故选：B    2．（多选）（2024·云南昆明·三模）已知分别是双曲线的左、右焦点，是左支上一点，且在在上方，过作角平分线的垂线，垂足为是坐标原点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则直线的斜率为 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】根据垂直关系以及角平分线可得，即可求解斜率，判断A，根据数量积的几何意义即可根据长度求解B，根据三角形全等，以及三角形的中位线即可求解DC. 【详解】，不妨设在第二象限， 当时，则，则，故， ，,故,， 由于是的角平分线，所以,进而可得,故斜率为，故A正确， 由于，所以,B错误，    延长,交于点，连接, 由于是的角平分线，，所以, 故是的中点，, 由双曲线定义可得， 又是的中点，,故C正确，D错误， 故选：AC    3．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设双曲线C：的左焦点和右焦点分别是，，点P是C右支上的一点，则的最小值为 ． 【答案】8 【分析】利用双曲线性质、焦半径的范围将所求转换为对勾函数的最小值即可得解. 【详解】，， ， 而函数在上单调递增， 所以当且仅当时，. 故答案为：8. 4．（2024·安徽阜阳·二模）已知分别是双曲线的左右焦点，是上的一点，且，则的周长是 ． 【答案】34 【分析】 由双曲线定义可得，再利用之间的关系求得，从而得到所求周长. 【详解】 因为，所以， 故，则， 又，故，则，， 所以的周长为. 故答案为：34. 题型三：利用双曲线定义求距离最值 1．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，动点在直线上，线段交于点，过作的垂线，垂足为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出点的坐标为，由已知，用表示出和，进而得到的值. 【详解】由双曲线的对称性，不妨设点在轴上及其上方，如图，    依题意，，设，则， 由得， 所以， 所以. 故选：D． 2．（2024·江西鹰潭·二模）已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为F，点P在双曲线右支上运动，点Q在圆上运动，则的最小值为（    ） A． B．8 C． D．9 【答案】B 【分析】根据双曲线的渐近线方程，结合双曲线的定义，结合两点间线段最短进行求解即可. 【详解】由，所以有， 设圆的圆心为，半径为， 设该双曲线另一个焦点为，所以， 求的最小值转化为求的最小值， 因此当点依次共线时，有最小值， 即， 故选：B 3．（2024·山东泰安·二模）已知双曲线，其一条渐近线方程为，右顶点为A，左，右焦点分别为，，点P在其右支上，点，三角形的面积为，则当取得最大值时点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的面积结合渐近线方程可得的值，再根据双曲线的定义转换可得当且仅当共线且在中间时取得最大值，进而联立直线与双曲线的方程求解即可. 【详解】设，则由三角形的面积为可得，即，又双曲线一条渐近线方程为，故，即，故，故，解得，故，双曲线. 又由双曲线的定义可得，当且仅当共线且在中间时取得等号. 此时直线的方程为，即，联立可得，解得，由题意可得在中间可得，代入可得，故. 故选：B 4．（2024·陕西安康·模拟预测）已知圆与直线交于两点，与轴交于两点，直线与交于点，则 . 【答案】4 【分析】设，运用圆的对称性和圆周角定理，得到直线斜率之间的关系，后用两点间的斜率公式代入即可得到刚好满足双曲线定义，用定义解题即可. 【详解】设，且，又，，， 根据直径所对圆周角是直角，知道，则， 则，， 即，则点在以为焦点的双曲线上，. 故答案为：4 题型四：双曲线的轨迹方程 1．（2024·浙江·一模）双曲线的另一种定义：动点与定点的距离和它与定直线：的距离的比是常数，则点的轨迹是一个双曲线.动点与定点的距离和它与定直线：的距离的比是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，列出方程并化简得答案. 【详解】设，依题意，，化简整理得， 所以点的轨迹方程为. 故选：B 2．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点．当点运动时，点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线与双曲线相切，推出，，再求出,消去可得结果. 【详解】因为双曲线与直线有唯一的公共点， 所以直线与双曲线相切， 联立，消去并整理得， 所以，即， 将代入，得， 得，因为，，所以， 所以，，即， 由可知， 所以过点且与垂直的直线为， 令，得，令，得， 则，， 由，得，， 代入，得，即， 故选：D 3．（2024·云南昆明·二模习）在平面直角坐标系中，动点P与两个定点和的连线的斜率之积等于，则点P的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设点，根据题意结合斜率公式分析求解. 【详解】设点， 由已知得，整理得， 所以点P的轨迹方程为． 故答案为：. 4．（2024·河南开封·二模）已知矩形，，过作平面，使得平面，点在内，且与所成的角为，则点的轨迹为 ，长度的最小值为 ． 【答案】 双曲线 【分析】建立空间直角坐标系，设点坐标，结合已知条件求出点轨迹方程进行求解即可. 【详解】 如图，以为原点，所在直线为轴，平面内过且与垂直的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则由已知，，，，， ∵点在平面内，∴设，则，， ∵直线与直线所成的角为， ∴， 两边同时平方，化简得点轨迹方程为， ∴点的轨迹为双曲线. ， ∵点轨迹方程为，∴，且， ∴， ∴当时，的最小值为. 故答案为：双曲线， 【点睛】易错点睛：本题第二个空容易误认为当点在线段上时，长度最小，使用空间向量运算，可以有效避免这种直觉上的错误. 题型五：双曲线a、b、c的关系 1．（2024·北京海淀·一模）若双曲线上的一点到焦点的距离比到焦点的距离大，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意及双曲线的定义可知，，再结合，求出，即可求出结果. 【详解】由题知，根据题意，由双曲线的定义知，又， 所以，得到，所以双曲线的方程为， 故选：D. 2．（2024·四川成都·模拟预测）设，则“方程表示双曲线”的必要不充分条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出该方程表示双曲线时的的取值范围，再根据必要不充分条件的概念即可找出正确选项． 【详解】若该方程表示双曲线，则 ，即 ，又，解得 ， 对于A，是充要条件，A不是； 对于B，真包含于，则是必要不充分条件，B是； 对于 C，真包含于，则是充分不必要条件，C不是； 对于D，与互不包含，则是既不充分又不必要条件，D不是. 故选：B 3．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）2023年3月27日，贵州省首届“美丽乡村”篮球联赛总决赛火爆开赛，被网友称为“村BA”.从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，，视AD所在直线为x轴，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设双曲线方程为，由，可得，再代入点，求解即可. 【详解】解：依题意，设双曲线方程为， 因为，则， 显然圆O的半径为3， 又因为坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分， 双曲线与圆O交于第一象限内的点为， 于是，解得， 所以双曲线的方程为. 故选：A 4．（2024·浙江温州·一模）已知椭圆和双曲线的焦点相同，则 . 【答案】 【分析】根据双曲线方程可得，且焦点在x轴上，再结合椭圆方程列式求解即可. 【详解】对于双曲线，可知其半焦距，且焦点在x轴上， 对于椭圆可得，且，解得. 故答案为：. 题型五：双曲线简单几何性质 1．（多选）（2024·河南新乡·模拟预测）已知，则双曲线与有相同的（    ） A．焦点 B．焦距 C．离心率 D．渐近线 【答案】CD 【分析】由双曲线的几何性质逐一判断即可； 【详解】对于选项A、B：设，易知的左、右焦点坐标分别为和， 而的标准方程为，故其左、右焦点坐标分别为和， 显然和的焦点和焦距均不相同，故A，B错误； 对于选项C、D：和的离心率均为，渐近线方程均为，故C，D正确． 故选：CD. 2．（多选）（2023·江苏南京·二模）若实数，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据不等式性质得到AB正确，取特殊值排除CD，得到答案. 【详解】对选项A：，故，正确； 对选项B：，正确； 对选项C：取，满足，此时不成立，错误； 对选项D：取，满足，此时，错误. 故选：AB 3．（2024·全国·二模）若点依次为双曲线的左、右焦点，且，，. 若双曲线C上存在点P，使得，则实数b的取值范围为 . 【答案】 【分析】已知双曲线C上存在点P，使得，设，则，将点P代入双曲线方程，综合可得，根据，，，即可求出实数b的取值范围. 【详解】错解： 设双曲线上的点满足，即， 又， ，即， ，且， ， 实数b的取值范围是. 错因： 忽略了双曲线中. 正解： 设双曲线上的点满足，即， 又， ，即， ，且， ， 又，实数b的取值范围是. 故答案为：. 4．（2024·贵州·模拟预测）我们把离心率为的双曲线称为“黄金双曲线”．已知“黄金双曲线”，则的虚轴长为 ． 【答案】 【分析】根据条件及离心率的定义，得到，即可求解. 【详解】因为，即，解得，所以的虚轴长为， 故答案为：. 题型七：双曲线的对称性 1．（2024·湖南·模拟预测）过双曲线的左焦点作直线交双曲线于A，B两点，若实数使得的直线恰有3条，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据双曲线对称性可知：满足题意的直线，其中一条与实轴垂直，另两条关于轴对称，即可得到答案. 【详解】左支内最短的焦点弦，又， 所以与左、右两支相交的焦点弦长， 因为实数使得的直线恰有3条， 根据双曲线对称性可知：其中一条与实轴垂直，另两条关于轴对称. 如图所示：    所以当时，有3条直线满足题意. 故选：C 2．（2024·福建·模拟预测）已知双曲线C：的离心率为，左，右焦点分别为，，关于C的一条渐近线的对称点为P.若，则的面积为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据对称性利用中位线性质求得，再利用渐近线的斜率与直角三角形中角的正切值相等关系待定，进而得到相关长度求面积即可. 【详解】由对称性，不妨设点关于渐近线的对称点为， 设与该渐近线交于点M，则，且. 由分别是与的中点，知且， 又右焦点，渐近线方程即， 故点到渐近线的距离为， 则在中，，解得， 所以由得，， 所以. 故选：D. 3．（多选）（2024·安徽·模拟预测）已知双曲线，过原点的直线AC，BD分别交双曲线于A，C和B，D四点（A，B，C，D四点逆时针排列），且两直线斜率之积为，则下列结论正确的是（    ） A．四边形ABCD一定是平行四边形 B．四边形ABCD可能为菱形 C．AB的中点可能为 D．的值可能为 【答案】AD 【分析】根据双曲线的对称性和双曲线的结合性质，结合中点弦问题“点差法”，以及直线的夹角公式，逐项判定，即可求解. 【详解】由双曲线的中心对称性可知，点A，B分别关于原点与C，D对称，故，， 所以四边形ABCD一定是平行四边形，而直线AC，BD斜率之积为，则AC与BD不垂直，所以四边形ABCD不可能为菱形，A正确，B错误； 设，，则，， 两式作差得， 若的中点为，可得， 代入上式，求得，故AB的方程为， 联立方程组，整理得，可得， 则，此时，故C错误； 当点A位于第一象限，点B位于第二象限， 设直线OA的斜率为k，则直线OB的斜率为，结合双曲线渐近线， 易知，，可得， 又因为，所以的取值范围为； 当点A位于第四象限，点B位于第一象限，同理，可得的取值范围为． 综上的取值范围为，所以D正确． 故选：AD. 4．（2024·安徽六安·模拟预测）已知双曲线方程为，左焦点关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则该双曲线的离心率为 . 【答案】2 【分析】根据对称性求出渐近线的倾斜角，再根据渐近线的斜率得，再根据离心率公式可求出结果. 【详解】如图：设关于渐近线对称的点在渐近线上， 的中点在渐近线上， 则，又， 所以， 所以，所以.    故答案为：. 题型八：由双曲线的性质求轨迹 1．（2024·四川成都·三模）已知双曲线经过点，且与双曲线具有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先利用共渐近线方程的设法设出双曲线的方程，再代入点，即可求解. 【详解】由题意设双曲线的标准方程为，代入点， 得，得， 所以双曲线的标准方程为. 故选：A 2．（2024·四川成都·模拟预测）双曲线的一条渐近线为，则其离心率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据渐近线方程解得，再由离心率公式求解即可. 【详解】解：因为双曲线的一条渐近线为( )， 即， 所以渐近线的斜率为， 即， 解得， 所以双曲线的离心率. 故选：A. 3．（多选）（2024·湖南郴州·模拟预测）已知曲线，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则曲线表示两条直线 B．若，则曲线是椭圆 C．若，则曲线是双曲线 D．若，则曲线的离心率为 【答案】ACD 【分析】根据的取值范围，将曲线化为标准方程，进而进行判断即可. 【详解】由题意，曲线，， 若，则，此时曲线，表示两条直线，故A正确； 若，又，则， 曲线，可化为， 当时，则曲线表示圆， 当时，则曲线表示椭圆，故B错误； 若，又，则，则曲线表示双曲线，故C正确； 若，又， 所以， 则曲线为， 则曲线为等轴双曲线，离心率为，故D正确. 故选：ACD. 4．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线，以双曲线的实轴和虚轴为对角线的四边形的面积为，过双曲线的右焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，与另一条渐近线交于点，若，则双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【分析】方法一：根据以双曲线的实轴和虚轴为对角线的四边形的面积为，由，求得ab，根据，得到，进而得到，利用渐近线的斜率求解;方法二：因为以双曲线的实轴和虚轴为对角线的四边形的面积为，由，求得ab，，再根据，得到求解. 【详解】方法一：因为以双曲线的实轴和虚轴为对角线的四边形的面积为， 所以， 所以． 设为坐标原点，不妨设点在第一象限，易知， 因为， 所以， 所以， 所以，化简可得， 所以， 解得， 所以双曲线的标准方程为， 方法二：因为以双曲线的实轴和虚轴为对角线的四边形的面积为， 所以， 所以．设为坐标原点，双曲线的左焦点为， 因为，所以， 所以， 所以，解得， 所以双曲线的标准方程为， 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题关键是由条件得到其中一条渐近线是线段FB的中垂线，进而得到渐近线的倾斜角或倾斜角的关系而得解. 题型九：双曲线的渐进线 1．（2024·广西柳州·一模）已知双曲线的一条渐近线方程为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于双曲线，求出、，根据可求出的值. 【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，则， 且，，则，解得. 故选：B. 2．（2024·宁夏银川·二模）如图，已知为双曲线的焦点，过作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且，则双曲线得渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义及含有的直角三角形的三边关系，求得之间的关系，进而得解. 【详解】由题意 所以， 所以，， 双曲线得渐近线方程为，即. 故选：B. 3．（多选）（2024·重庆·模拟预测）已知双曲线 和 ，其中，且，则（    ） A．与有相同的实轴 B．与有相同的焦距 C．与有相同的渐近线 D．与有相同的离心率 【答案】BC 【分析】利用双曲的性质，结合条件，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于选项A，双曲线的实轴在轴上， 双曲线的实轴在轴上，所以选项A错误， 对于选项B，因为双曲线和的焦距均为，所以选项B正确， 对于选项C，双曲线的渐近线方程为， 双曲线的渐近线方程为，所以选项C正确， 对于选项D，双曲线的离心率为， 双曲线的离心率为， 因为，所以，故选项D错误， 故选：BC. 4．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知双曲线的两条渐近线均与圆：相切，双曲线左焦点为，则该双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 【分析】根据渐近线与圆相切，利用圆心到渐近线距离等于半径，求出，从而得到渐近线方程. 【详解】设双曲线的一条渐近线方程为 因为双曲线的渐近线与圆相切 所以圆心到渐近线距离为a ，结合得， 所以双曲线的渐近线方程为， 故答案为：. 题型十：双曲线的离心率 1．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线的离心率为2，其中一条渐近线的倾斜角为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线离心率求得，结合余弦二倍角公式和齐次式的计算相关知识求解即可. 【详解】因为，所以， 所以渐近线方程为，从而倾斜角满足， 所以. 故选：A 2．（2024·广西·模拟预测）如图，双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图中的，两点反射后，分别经过点和，且，，则的离心率为（   ）.    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】使用题设条件得到.也就是，然后引入参数并得到等量关系故，最后使用余弦定理即可得到齐次方程并求解. 【详解】连接，，根据题意，，，三点共线，，，三点共线.，且由知，故. 所以. 可设，，. 由于 ，故. 从而，，故，. 在中，由余弦定理得， ，解得， 所以. 故选：C.    3．（2024·贵州·二模）已知双曲线，其渐近线方程为，则该双曲线的离心率为 ． 【答案】 【分析】由题意可得双曲线的焦点在轴上，根据渐近线方程可得，可求离心率. 【详解】因为，所以双曲线的焦点在轴上， 又双曲线的渐近线方程为，所以，所以， 双曲线的离心率为. 故答案为：. 4．（2024·四川成都·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，为左支上一点，的内切圆圆心为，直线与轴交于点，若双曲线的离心率为，则 【答案】2 【分析】设，由三角形的内角平分线性质结合双曲线的定义，求出，再在中，利用余弦定理结合离心率公式，化简整理即可得解. 【详解】设， ∵的内切圆圆心为，∴平分, 由正弦定理得， ∵， ∴， 所以， 同理可得， ∴，， ，， 又中，由余弦定理得， 即 ， 又， ，即. 故答案为：. ( 巩固提升 ) 1．（2024·浙江杭州·一模）已知直线是双曲线的一条渐近线，则的离心率等于（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据渐近线方程可得，故，即可由离心率公式求解. 【详解】的渐近线方程为， 因此，故， 故离心率为， 故选：A 2．（2024·湖南益阳·一模）已知椭圆与双曲线的焦点重合，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆方程求得，进而求得，从而求得双曲线的离心率. 【详解】椭圆对应的， 所以对于双曲线，有， 所以双曲线的离心率为. 故选：A 3．（2024·福建福州·模拟预测）以为渐近线的双曲线可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用渐近线的求法，直接求出各个选项的渐近线方程，即可求解. 【详解】对于选项A，由得渐近线方程为，所以选项A错误， 对于选项B，由得渐近线方程为，所以选项B正确， 对于选项C，由得渐近线方程为，所以选项C错误， 对于选项D，由得渐近线方程为，所以选项D错误， 故选：B. 4．（2024·陕西榆林·模拟预测）设，是双曲线C：的左，右焦点，过的直线与y轴和C的右支分别交于点P，Q，若是正三角形，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】由双曲线的定义、正三角形的性质即可求解. 【详解】根据双曲线定义有， 由于点P在线段的垂直平分线上，∴， 又，，故． 故选：C. 5．（2024·湖南衡阳·一模）已知双曲线，两焦点分别为，过右焦点作直线l交右支于A，B点，且，若，则双曲线C的离心率为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用双曲线的定义，结合余弦定理求出的关系等式即可求得离心率. 【详解】令，由，得，，    由双曲线定义，， 在中，，由余弦定理， 得， 整理得，解得，则，， 在中，由余弦定理， 得，整理得，则. 故选：A 6．（2024·江苏盐城·三模）设双曲线的焦距为2，若以点为圆心的圆过的右顶点且与的两条渐近线相切，则长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得双曲线的半焦距和渐近线方程，再由圆心到两渐近线的距离相等得，由半径相等可得与，关系，求出的取值范围得到答案. 【详解】由已知得，双曲线得渐近线方程为：，由圆与渐近线相切可得， 半径，则，则圆的半径， ，则， 因为，所以，则，， 所以长得取值范围是. 故选：B. 7．（多选）（2024·江西二模）双曲线与的离心率分别为和，则下列结论正确的是（    ） A．的焦点在x轴上，的焦点在y轴上 B．的焦点到其渐近线的距离与的焦点到其渐近线的距离相等 C．的最小值为 D． 【答案】AC 【分析】根据题意 ，利用双曲线的几何性质，结合基本不等式，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，根据双曲线的标准方程的形式，可判定A正确； 对于B中，由双曲线的几何性质，可得的焦点到其渐近线的距离为，的焦点到其渐近线的距离为，所以B错误； 对于C中，由， 当且仅当时，等号成立，所以C正确； 对于D中，由（不是定值），当且仅当时，等号成立，所以D错误． 故选：AC 8．（多选）（2024·湖南长沙·模拟预测）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且它们的离心率之积为，点P是C与E的一个公共点，则（    ） A．椭圆C的方程为 B．三角形为等腰三角形 C．过点作E的渐近线的垂线，垂足为M．则三角形面积为 D．对于E上的任意一点Q， 【答案】ABC 【分析】根据椭圆及双曲线的标准方程、焦点、离心率可判断；由椭圆及双曲线的定义联立方程可判断；由，，可判断；设，则，由数量积有解可判断. 【详解】 对于：由双曲线的方程可知， 双曲线的焦点，离心率为， 所以椭圆的焦点为，离心率为， 所以椭圆中，， 所以椭圆C的方程为，故正确； 对于：根据对称性，不妨设，则， 又根据椭圆的定义可知，， 所以联立，解得， ，所以，所以为等腰三角形，故正确； 过焦点作渐近线的垂线，垂足为M， 则，，所以， 所以，故正确； 设，则， 所以． 解得，此时， 所以存在点Q的坐标为或或或， 使得，故错误： 故选： . 9．（2024·北京平谷·模拟预测）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，并且经过点，则＝ ；双曲线的渐近线方程为 【答案】 【分析】根据题意将点代入双曲线方程可求得，再由双曲线定义可得，从而可求解. 【详解】由题意将代入双曲线方程得，解得， 所以双曲线方程为，又因为点在双曲线左支上， 所以； 所以渐近线方程为. 故答案为：；. 10．（2025·上海·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为．通过且倾斜角为的直线与双曲线交于第一象限的点A，延长至B使得．若的面积为，则a的值为 ． 【答案】 【分析】由题意作图，根据三角形面积公式以及直线方程，结合双曲线的标准方程，可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 由，则，解得，且， 则，， 设，则，解得， 由题意可得直线的斜率，则方程为， 将代入上式，则，解得， 由题意可得， 易知. 故答案为：. 11．（2024·河南·模拟预测）在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，以为圆心作一个半径为4的圆，点是圆上一动点，线段的重直平分线与直线相交于点． (1)求的轨迹的方程； (2)已知，点是轨迹在第一象限内的一点，为的中点，若直线的斜率为，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用垂直平分线的性质及双曲线的定义可得答案； （2）利用中点公式和的斜率为建立方程组，求解方程组可得答案. 【详解】（1）由题意可知，点在线段的垂直平分线上，所以， 又点是圆上一动点，所以． ①当时，； ②当时，， 所以的轨迹满足， 根据双曲线定义可知，点的轨迹是以为左､右焦点，实轴长为的双曲线， 可得，所以的轨迹的方程为． （2）设，所以， 因为直线的斜率为，所以，即， 与联立解得（舍去）或3． 所以点的坐标为． 12．（2024·云南昆明·模拟预测）已知双曲线C：上任意一点Q（异于顶点）与双曲线两顶点连线的斜率之积为，E在双曲线C上，F为双曲线C的右焦点，|EF|的最小值为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)过椭圆上任意一点P（P不在C的渐近线上）分别作平行于双曲线两条渐近线的直线，交两渐近线于M，N两点，且，是否存在m，n使得椭圆的离心率为？若存在，求出椭圆的方程，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在符合题意的椭圆，其方程为 【分析】（1）设， 由及可得， 得， 再结合即可解决问题； （2）设，则PM方程为， 联立渐近线方程得到，进一步得到，同理得到， 再利用计算即可得到答案. 【详解】（1）设， 由， 所以，    ① 又点在上，所以， 即，       ② 由①②得：，      ③ 又E在双曲线C上，F为双曲线C的右焦点， |EF|的最小值为， 所以，     ④ 又，⑤ 联立③④⑤解得：， 所以双曲线C的标准方程为： （2）假设存在，由（1）知的渐近线方程为， 则由题意如图： 所以由，    设，则直线方程为， 直线方程为 由，得； 由，得   又， 所以， 所以，， 同理可得，， 由四边形是平行四边形，知， 所以，， 即， 所以，存在符合题意的椭圆，其方程为. ( 走进高考 ) 1．（2017·全国·高考真题）已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】双曲线的焦点与椭圆的焦点相同,得到c相等，构造方程求出即可. 【详解】由椭圆的标准方程为，可得，即， 因为双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，所以双曲线中，半焦距， 又因为双曲线满足，即， 又由，即，解得，可得， 所以双曲线的方程为. 故选：D. 2．（2024·全国·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】C 【分析】由焦点坐标可得焦距，结合双曲线定义计算可得，即可得离心率. 【详解】由题意，设、、， 则，，， 则，则. 故选：C. 3．（2024·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】可利用三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设，由面积公式求出，由勾股定理得出，结合第一定义再求出. 【详解】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设， ，由，求得， 因为，所以，求得，即， ，由正弦定理可得：， 则由得， 由得， 则， 由双曲线第一定义可得：，， 所以双曲线的方程为. 故选：A 4．（2023·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由点到直线的距离公式求出，设，由得到，.再由三角形的面积公式得到，从而得到，则可得到，解出，代入双曲线的方程即可得到答案. 【详解】如图，    因为，不妨设渐近线方程为，即， 所以， 所以. 设,则，所以，所以. 因为,所以，所以，所以， 所以， 因为， 所以， 所以，解得， 所以双曲线的方程为 故选：D 5．（2024·北京·高考真题）若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ． 【答案】（或，答案不唯一） 【分析】联立直线方程与双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解. 【详解】联立，化简并整理得：， 由题意得或， 解得或无解，即，经检验，符合题意. 故答案为：（或，答案不唯一）. 6．（2024·广东江苏·高考真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ． 【答案】 【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出，结合双曲线第一定义求出，即可得到的值，从而求出离心率. 【详解】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入 得，即，故，， 又，得，解得，代入得， 故，即，所以. 故答案为： 7．（2023·北京·高考真题）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出双曲线的实半轴、虚半轴长，再写出的方程作答. 【详解】令双曲线的实半轴、虚半轴长分别为，显然双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距， 由双曲线的离心率为，得，解得，则， 所以双曲线的方程为. 故答案为： 8．（2023·全国·高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析. 【分析】（1）由题意求得的值即可确定双曲线方程； （2）设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线与的方程，联立直线方程，消去，结合韦达定理计算可得，即交点的横坐标为定值，据此可证得点在定直线上. 【详解】（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知， 则由可得，， 双曲线方程为. （2）由(1)可得，设， 显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且， 与联立可得，且， 则，    直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得： ， 由可得，即， 据此可得点在定直线上运动. 【点睛】关键点点睛:求双曲线方程的定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算，是解题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $$