湖南省岳阳市平江县颐华学校2025届高三一模考前学生自测数学试卷

1 2025届颐华学校岳阳市一模考前学生自测数学试卷 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1．已知全集为 R，集合  0A x x  ，  1B x x  ，则集合  A BR ð 等于( ) A. 0x x  B. 0x x  C. 1x x  D. 1x x  2．已知直线 l、m、n与平面  、  ，下列命题正确的是( ) A.若 //  ， l  ， n  ，则 //l n B.若  ， l  ，则 l  C.若 l n ，m n ，则 //l m D.若 l  ， //l  ，则  3．若抛物线 2 2 ( 0)x py p  上一点  ,6M n 到焦点的距离是 4p，则 p的值为( ) A.12 7 B. 7 12 C. 6 7 D. 7 6 4．为促进城乡教育均衡发展.某地区教育行政部门积极响应党中央号召，近期将安排甲､乙､ 丙､丁 4名教育专家前往某省教育相对落后的三个地区指导教育教学工作，则每个地区至少 安排 1名专家的概率为( ) A. 1 9 B. 4 9 C. 1 3 D. 8 27 5．蚊香具有悠久的历史，制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上取长度为 1的线段 AB， 作一个等边三角形 ABC，然后以点 B为圆心， AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线 于点 D（第一段圆弧），再以点 C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段 AC的延长线于 点 E，再以点 A为圆心， AE为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有 15段圆弧时，“蚊香”的长度为( ) A.44π B.64π C.70π D.80π 6．已知圆 2 2: 2 1 0C x x y    ，直线  1 0mx n y   与圆 C交于 A，B两点.若 ABC△ 为 直角三角形，则( ) A. 0mn  B. 0m n  C. 0m n  D. 2 23 0m n  7．现有甲、乙两组数据，每组数据均由六个数组成，其中甲组数据的平均数为 3，方差为 5，乙组数据的平均数为 5，方差为 3.若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差 为( ) A.3.5 B.4 C.4.5 D.5 2 8．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上 任意两点  1 1,A x y ，  2 2,B x y 的曼哈顿距离为：   1 2 1 2,d A B x x y y    .已知点 M在圆 2 2: 1O x y  上，点 N在直线 : 3 9 0l x y   上，则  ,d M N 的最小值为( ) A. 9 10 10 B. 9 10 1 10  C.18 2 10 5  D. 103 3  二、多项选择题 9．设集合  0 4P x x   ，  0 4Q y y   ，则下列图像能表示集合 P到集合 Q的函数 关系的有( ) A. B. C. D. 10．对于 8 2x x       的展开式,下列说法正确的是( ) A.展开式中各项系数之和为 256 B.展开式中各项系数绝对值之和为 83 C.展开式中的奇数项的二项式系数之和为 128 D.展开式中的常数项是 1120 11．已知 ABC△ 的内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，则下列命题中正确的是( ) A.若 cos cos cos a b c A B C   ，则 ABC△ 是等边三角形 B.若 cos (2 )cosc a B a b A   ，则 ABC△ 是等腰三角形 C.若 2 sin sin a b c B A   ，则 ABC△ 是等腰直角三角形 D.若 cos(2 ) cos 0B C C   ，则 ABC△ 是锐角三角形 三、填空题 12．已知单位向量a ,b  满足 2 3a b   ,则 a b   __________. 13．定义两个点集 S、T之间的距离集为    , ,d S T PQ P S Q T   ，其中 PQ 表示两点 P、 Q之间的距离，已知 , Rk t ，   , , RS x y y kx t x    ，   2, 4 1, RT x y y x x    ， 若    , 1,d S T   ，则 t的值为______. 14．已知 2 3: 2 C y x ，过点  1,0P 倾斜角为60的直线 l交 C于 A、B两点（A在第一象限 内），过点 A作 AD x 轴，垂足为 D，现将 C所在平面以 x轴为翻折轴向纸面外翻折，使 得 2 3 πx x  上平面 下平面 ，则几何体 PABD外接球的表面积为______. 3 四、解答题 15．已知函数   lnf x a x x  . (1)当 1a  时，求函数  f x 的单调区间； (2)当 0a  时，求函数  f x 的最大值. 16．设 nS 为数列 na 的前 n项和，已知  1 nS n n        是首项为 1 2 、公差为 1 3 的等差数列. (1)求 na 的通项公式； (2)令  2 1 nn n n a b S   ， nT 为数列 nb 的前 n项积，证明： 1 6 1 5 nn i i T    . 17．最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且每次试验的成功概率为  0 1p p  .现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，则试验结束；若试验不成功，则 继续试验，且最多试验 8次.记 X为试验结束时所进行的试验次数，X的数学期望为  E X .(1)证明：   1E X p  ；(2)某公司意向投资该产品，若 0.2p  ，每次试验的成本为  0a a  元，若试验成功则获利8a元，则该公司应如何决策投资？请说明理由. 4 18．已知椭圆的中心为坐标原点,左、右焦点分别为 1F , 2F ,椭圆上一点到焦点的最小距离为 2 1 ,直线 :l y x m  与椭圆交于 A、B两点（其中点 A在 x轴上方,点 B在 x轴下方）,当 AB过 1F时, 2ABF△ 的周长为4 2 . (1)求椭圆的标准方程; (2)将平面 xOy沿 x轴折叠,使 y轴正半轴和 x轴所确定的半平面（平面 1 2A F F ）与 y轴负半 轴和 x轴所确定的半平面（平面 1 2B F F ）垂直. ①当 B为椭圆的下顶点时,求折叠后直线 1A F 与平面 2A B F  所成角的正弦值; ②求三棱锥 1 2A B F F  体积的最大值. 19．已知定义域为 R的函数  h x 满足：对于任意的 Rx ，都有      2 2π πh x h x h   ， 则称函数  h x 具有性质 P. (1)判断函数   2f x x ，   cosg x x 是否具有性质 P；（直接写出结论） (2)已知函数     3 5sin , 2 2 2 πf x x            ，判断是否存在 ， ，使函数  f x 具 有性质 P？若存在，求出 ， 的值；若不存在，说明理由； (3)设函数  f x 具有性质 P，且在区间 0,2π 上的值域为    0 , 2πf f   . 函数     sing x f x ，满足    2πg x g x  ，且在区间  0,2π 上有且只有一个零点. 求证：  2 2π πf  . 5 参考答案 1．答案：B 解析：  0A x x  ，  0A x x  Rð ，    0A B x x  R ð ， 故选：B. 2．答案：D 解析：对于 A，若 //  ， l  ， n  ，则 l与 n可能平行，也可能异面，故 A错误； 对于 B，若  ， l  ，则 l与  可能平行，也可能相交，故 B错误； 对于 C，若 l n ，m n ，则 l与 m可能平行，也可能相交或异面，故 C错误； 对于 D，若 //l  ，则由线面平行的性质定理可知，必有 1l  ，使得 1//l l ， 又 l  ，则 1l  ，因为 1l  ，所以  ，故 D正确. 故选：D. 3．答案：A 解析：因为抛物线 2 2 ( 0)x py p  的准线为 2 py   ， 由题意可得：6 4 2 p p  ，解得 12 7 p  . 故选：A. 4．答案：B 解析：甲､乙､丙､丁 4名教育专家到三个地区指导教育教学工作的安排方法共有： 43 81 种； 每个地区至少安排 1名专家的安排方法有： 2 34 3C A 36 种； 由古典概型的计算公式，每个地区至少安排 1名专家的概率为： 36 4 81 9  . 故选：B. 5．答案：D 解析：由题意每段圆弧的中心角都是 2π 3 ，每段圆弧的半径依次增加 1， 则第 n段圆弧的半径为 n，弧长记为 na ，则 2π 3n a n  ， 所以  15 2π 1 2 3 15 80π 3 S       . 6 故选：D. 6．答案：A 解析：圆 2 2: 2 1 0C x x y    ， 即 2 2( 1) 2x y   ，故圆 C的圆心为 ( 1,0) ， 半径为 2， ABC△ 为直角三角形， 则圆心 C到直线 AB的距离为 2 cos45 1  ， 故 2 2 | | 1m n m n     ，解得 0mn  故选：A 7．答案：D 解析：根据题意，甲组数据的平均数为 3，方差为 5， 乙组数据的平均数为 5，方差为 3， 则两组数据混合后，新数据的平均数 6 3 6 5 4 12 x     则新数据的方差 2 2 2 6 65 (3 4) 3 (5 4) 5 12 12 S              故选:D 8．答案：D 解析： 9．答案：BD 解析：对于 A，由函数的定义知 A的定义域不是 P，不符合题意: 对于 B，根据函数的定义可知，B符合题意; 对于 C，C中集合 P中有的元素在集合 Q中对应两个函数值 不符合函数定义; 对于 D，能表示集合 P到集合 Q的函数关系 故选:BD. 10．答案：BCD 解析：选项 A,令 1x  ,则展开式中各项系数之和为 8(1 2) 1  ,即选项 A错误; 选项 B,展开式中各项系数绝对值之和等于 8 2x x       的各项系数之和, 令 1x  ,则有 8 8(1 2) 3  ,即选项 B正确; 7 选项 C,展开式中的奇数项的二项式系数之和为 81 2 128 2   ,即选项 C正确; 选项 D,展开式的通项公式为 8 41 8 8 2C ( ) ( 2) C k k k k k k kT x xx             , 令4 0k  ,则 4k  ,所以常数项为 4 48( 2) C 1120  ,即选项 D正确. 故选:BCD. 11．答案：AC 解析：对于 A，由正弦定理得 sin sin sin cos cos cos A B C A B C   ， 所以 tan tan tanA B C  ， 即 A B C  ， 所以， ABC△ 是等边三角形，故 A正确； 对于 B，由正弦定理得 sin sin cos (2sin sin ) cosC A B A B A   ， 又 sin sin( ) sin cos cos sinC A B A B A B    ， 所以2cos sin 2sin cosA B A A ， 所以 cos 0A  ，或者sin sinB A ， 则 ABC△ 是等腰三角形或者直角三角形，故 B错误； 对于 C，由正弦定理得 sin sin sin sin2sin 2 2 sin sin sin sin A B A BC B A B A      ， 当且仅当 sin sinA B 即 A B 时等号成立， 所以 sin 1C  ，又sin 1C  ， 所以 sin 1C  ，即 2 C  ，此时 4 A B   ， ABC△ 是等腰直角三角形，故 C正确； 对于 D，因为 cos(2 ) cos cos( ) cos( )B C C A B A B        cos( ) cos( )B A A B     2cos cos 0A B   ， 所以 cos 0A  或者cos 0B  ，即 A或者 B为钝角， 所以 ABC△ 是钝角三角形，故 D错误. 故选 AC. 12．答案： 3 8 解析：因为 2 3a b    , 所以 2 24 4 3a a b b        , 所以 1 2 a b     , 则 2 22( ) 2 3a b a a b b            , 故 3a b    . 故答案为: 3 13．答案： 5 解析： 24 1y x  ，可化为： 2 24 1y x  ， 0y  集合 T表示双曲线 2 24 1y x  上支的点， 集合 S表示直线 y kx t  上的点， ( , ) (1, )d S T   ， 直线与渐近线平行，在渐近线下方，即 0t  ，且与渐近线的距离为 1． 又双曲线的渐近线为 2y x  ，取 2 0x y  ， 则 2y x t   ，即 2 0x y t   ， 平行线的距离 | | 1 1 4 td    ， 5t   或 5t  （舍去）， 故答案为： 5 14．答案：13π 解析：翻折前，设点  1 1,A x y ，  2 2,B x y 9 则 1 0y  ，直线 l的方程为 3( 1)y x  ， 联立 2 3( 1) 3 2 y x y x       可得 1 1 2 3 x y    或 2 2 1 2 3 2 x y       ， 即点 (2, 3)A ， 1 3, 2 2 B        易知点 (2,0)D ， 翻折后，以原坐标原点 O为原点，原纵轴的负半轴所在直线为 x轴， 直线 OP所在直线为 y轴， 过点 O且垂直于平面 OPB的直线作 z轴 建立如下图所示的空间直角坐标系， 则 (0,1,0)P ， (0, 2,0)D ， 03 1, , 2 2 B        ， 3 3,2, 2 2 A        ， 设四棱雉 P ABD 的外接球球心为 ( , , )G a b c ， 由题意可得 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) ( 2) 3 1( 1) 2 2 3 3( 1) ( 2) 2 2 a b c a b c a b c a b c a b c a b c                                                   10 解得 3 2 3 2 3 2 a b c          所以球心为 3 3 3, , 2 2 2 G        ， 所以，球 G的半径为 23 3 9 13| | 1 4 2 4 2 PG          因此，球 G的表面积为 24π | | 13πAG  ． 故答案为：13π 15．答案：(1)答案见解析 (2)答案见解析 解析：(1)  f x 的定义域为  0, ， 当 1a  时，   lnf x x x  ，   1 11 xf x x x     当   1 0xf x x    ，解得：0 1x  ， 当   1 0xf x x    ，解得： 1x  . ∴  f x 在  0,1 上为增函数；  f x 在  1, 上为减函数； (2)  f x 的定义域为  0, ，   1a a xf x x x     当 0a  时，令   0f x  ，得0 x a  ， 令   0f x  时，得 x a ， ∴  f x 的递增区间为  0,a ，递减区间为  ,a  ，    max ln ln 1f x a a a a a    . 16．答案：(1) 2na n (2)证明见解析 解析：(1)由  1 nS n n        是首项为 1 2 、公差为 1 3 的等差数列， 11 故     1 1 11 1 2 3 3 6 nS nn n n       ， 即     2 1 11 1 3 6 6n n n nnS n n          ， 当 2n  时，   1 2 1 1 6n n n n S     ， 故         1 2 1 1 2 1 1 6 6n n n n n n n n n S S a         ，  2 2 22 3 1 2 3 1 6 n n n n n n        当 1n  时， 1 1 3 2 1 6 a S    ，符合上式，故 2na n ； (2)由 2na n ，    2 1 1 6n n n n S    故             22 1 6 2 1 6 2 1 2 1 1 2 1 1 n n n n a n n n n b S n n n n n           ， 则            1 2 6 2 1 6 4 1 2 2 1 1 1 4 1 2 1n n T b b b               ，              6 2 1 6 2 1 6 2 1 1 2 1 1 2 1 1 n nn n n n n n n n           由   2 1 1 3 2 6n n     ，故 16 6 6 n n nT   ， 则  1 1 1 1 1 6 6 16 1 6 5 n nn n n i i i T            . 17．答案：(1)证明见解析 (2)答案见解析 解析：(1)由题意， 1,2,3, ,8X   故     11 kP X k p p    ， 1,2, ,7k   ，    78 1P X p   分布列如下： X 1 2 3 4 5 6 7 8 P P  1p p   21p p  31p p  41p p  51p p  61p p  71 p 12 所以 X的数学期望            0 1 2 6 71 2 1 3 1 7 1 8 1E X p p p p p p p p p            ， 记        0 1 2 61 2 1 3 1 7 1S p p p p                   1 2 3 71 1 2 1 3 1 7 1p S p p p p           ， 作差可得，      0 1 21 1 1pS p p p       ，         7 6 7 71 11 7 1 7 1 p p p p p          则           7 8 7 71 1 1 1 18 1 1 p p E X pS p p p p p             (2)由(1)可知   1 5E X p   ，则试验成本的期望小于5a元， 试验成功则获利8a元，且8 5a a ，则该公司应该投资该产 品 18．答案：(1) 2 2 1 2 x y  (2)① 150 25 ;② 14 45 解析：(1)由题意可得 2 2 1 4 4 2ABF a c C a         , 解得 2 1 a c     , 1b  , 椭圆的标准方程为： 2 2 1 2 x y  . (2)翻折后,如图： ①当 B为椭圆的下顶点时,由题意知  0, 1B  ,直线 : 1l y x  , 13 联立方程组可得 2 2 1 1 2 y x x y       ,解得 4 3 1 3 x y       或 0 1 x y     , 4 1, 3 3 A     令原来 y轴负半轴为 z轴, 则 4 1, ,0 3 3 A      ,  0,0,1B ,  1 1,0,0F  ,  2 1,0,0F ,  1 7 1, ,0 3 3 A F           , 4 1, ,1 3 3 A B          , 2 1 1, ,0 3 3 A F           , 设  , ,n a b c  为平面 2A B F  的一个法向量, 则 2 4 1 0 3 3 1 1 0 3 3 A B n a b c A F n a b                       , 令 1a  ,所以 1 1 1 a b c       ,即  1, 1,1n   , 设直线 1A F 与平面 2A B F  的夹角为 , 则   1 1 2 2 21 2 2 7 1 0 1503 3sin cos , 257 1 1 1 1 3 3 A F n A F n A F n                                    , ②联立方程组 2 2 1 2 x y y x m        ,整理得 2 23 4 2 2 0x mx m    ,    2 2 2Δ 4 4 3 2 2 24 8 0m m m        , 3 3m   , 设  1 1,A x y ,  2 2,B x y , 则 1 2 4 3 mx x   , 2 1 2 2 2 3 mx x  ,    21 2 1 2 1 2 1 2y y x m x m x x x x m       , 2 2 22 2 4 5 4 2 3 3 3 m m m mm       1 1, ,0A x y ,  2 2,0,B x y , 14    1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 5 4 22 3 3 2 3 9A B F F B F F y y m mV y S y y               , 令函数   25 4 2f m m m    ,  3 3m   , 由二次函数的对称轴： 2 5 m  ,   2 14 5 5 f m f        , 所以当 2 5 m  时, 1 2A B F F  的体积最大,此时 1 2 14 45A B F F V    . 19．答案：(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 解析：(1)因为   2f x x ， 则    2 2 2 2 4π π πf x x x     ， 又  2 4π πf  ， 所以      2 2π πf x f x f   ， 故函数   2f x x 具有性质 P； 因为   cosg x x ，则    2 cos 2 cosπ πg x x x    ， 又  2 cos2 1π πg   ，      2 cos 1 2π πg x g x g x     ， 故   cosg x x 不具有性质 P. (2)若函数  f x 具有性质 P， 则      0 2 0 2π πf f f   ， 即  0 sin 0f   ， 因为 2 π  ，所以 0  ，所以    sinf x x ； 若  2 0πf  ，不妨设  2 0πf  ，由      2 2π πf x f x f   ， 得          2 0 2 2π π π Z *f k f kf kf k    ， 只要 k充分大时，  2πkf 将大于 1，而  f x 的值域为 1,1 ， 故等式  * 不可能成立，所以必有  2 0πf  成立， 15 即  sin 2 0π  ，因为 3 5 2 2   ，所以3 2 5π π π  ， 所以2 4π π  ，则 2  ，此时   sin 2f x x ， 则    2 sin 2 2 sin 2π πf x x x    ， 而    2 sin 2 sin 4 sin 2πf x f x x    ， 即有      2 2π πf x f x f   成立， 所以存在 2  ， 0  使函数  f x 具有性质 P. (3)由函数  f x 具有性质 P及(2)可知，  0 0f  ， 由    2πg x g x  可知函数  g x 是以 2π为周期的周期函数， 则    2 0πg g ， 即      sin 2 sin 0 0πf f  ， 所以  2π πf k ， Zk ； 由  0 0f  ，  2π πf k 以及题设可知， 函数  f x 在 0,2π 的值域为 0, πk ， 所以 Zk 且 0k  ； 当 2k  ，   πf x  及   2πf x  时，均有     sin 0g x f x  ， 这与  g x 在区间  0,2π 上有且只有一个零点矛盾， 因此 1k  或 2k  ； 当 1k  时，  2π πf  ，函数  f x 在 0,2π 的值域为 0,π ， 此时函数  g x 的值域为 0,1 ， 而    2π πf x f x   ，于是函数  f x 在 2 ,4π π 的值域为 , 2π π ， 此时函数  g x 的值域为 1,0 ， 函数     sing x f x 在当  0,2πx 时和  2 ,4π πx 时的取值范围不同， 与函数  g x 是以 2π为周期的周期函数矛盾， 故 2k  ，即  2 2π πf  ，命题得证.