8.6.1 直线与直线垂直课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019） 必修第二册

8.6.1 直线与直线垂直 人民教育出版社A版(2019)必修一 平面与平面平行 判定 直线与平面平行 性质 直线与直线平行 判定 性质 在上一单元，我们学习了空间直线、平面的平行关系 单元主题地位 2 平面与平面垂直 判定 直线与平面垂直 直线与直线垂直 判定 性质 单元主题地位 类比平行的研究内容和路径，本单元研究另一种特殊的位置关系 直线与直线平行 3 学习目标： 1. 通过观察正方体模型，类比相交直线所成的角能概括出异面直线所成的角及直线与直线垂直的定义，并能作出异面直线所成的角； 2. 通过典例分析，学会求解异面直线所成角以及证明两条直线垂直的方法，并能进行灵活应用；体会空间问题平面化过程中的转化的数学思想，提升学生直观想象、数学抽象、逻辑推理的数学素养. 问题1：平面内两条直线的位置关系有哪些？ 复习回顾，追根溯源 问题2：正方形ABCD中，直线AC与直线AB，直线AD与直线AB都是相交直线，如何表示直线AC，AD相对于直线AB的差异？ 不大于90°的角称为它们的夹角 问题3：上述正方形中， AB与AD的关系？ 5 问题5：观察：在空间正方体ABCD-A'B'C'D'中，直线A'C'与直线AB, 直线A'D'与直线AB,分别具有怎样的位置关系？ 直线A'C'与直线A'D' 相对于直线AB的位置相同吗？ 观察操作，探索新知 问题1：平面内两条直线的位置关系有哪些？ 问题2：正方形ABCD中，直线AC与直线AB，直线AD与直线AB都是相交直线，如何表示直线AC，AD相对于直线AB的差异？ 问题3：上述正方形中， AB与AD的关系？ 问题4：空间中两条直线的位置关系有哪些？ 问题6：上述正方体中，AB与A'D'的位置关系？ 类比探究，建构概念 如何定义两条异面直线所成的角呢？ O 设a、b为两条异面直线，经过空间任一点O作直线a'//a, b'//b，我们把a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)。 异面直线 相交直线 转化 空间图形 转化 平面图形 类比探究，建构概念 问题5：观察：在空间正方体ABCD-A'B'C'D'中，直线A'C'与直线AB, 直线A'D'与直线AB,分别具有怎样的位置关系？ 直线A'C'与直线A'D' 相对于直线AB的位置相同吗？ 观察操作，探索新知 问题1：平面内两条直线的位置关系有哪些？ 问题2：正方形ABCD中，直线AC与直线AB，直线AD与直线AB都是相交直线，如何表示直线AC，AD相对于直线AB的差异？ 问题3：上述正方形中， AB与AD的关系？ 问题4：空间中两条直线的位置关系有哪些？ 问题6：上述正方体中，AB与A'D'的位置关系？ 类比探究，建构概念 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直. 直线a与直线b垂直，记作a⊥b. 空间中，两直线垂直一定有交点吗 ？ 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直. 直线a与直线b垂直，记作a⊥b. 当两条直线a, b相互平行时，我们规定它们所成的角为0° O • α b a a′ 思考： 空间中，两直线所成角的取值范围是____________. (0°, 90°] 异面直线垂直 画出下列图形中两条异面直线所成的角 思考：直线a与b所成角的大小与点O的位置有关吗？ 判断正误 (1)△ABC中,A=120°,空间中直线a∥AB,b∥AC,则直线a,b所成的角是120°. ( ) (2)异面直线a与b所成的角可以是0° ( ) (3)如果两条平行线直线中的一条与已知直线垂直，那么另一条也与已知直线垂直． （ ） (4)垂直于同一条直线的两条直线平行 （ ） × √ 概念深化，当堂检测 × × 例1 如右图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′. (1)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？ (2)求直线BA′与CC′所成角的大小. (3)求直线BA′与AC所成角的大小. 解： (2) ∵正方体ABCD-A′B′C′D′ ∴CC′∥BB′, ∴∠B′BA′为直线BA′与CC′所成的角. ∵∠B′BA′=45°. ∴直线BA′与CC′所成的角等于45°. 典例分析，巩固提高 已知正方体ABCD-A′B′C′D′. (3)求直线BA′与AC所成角的大小. 连接A′C′ ∵ABCD-A′B′C′D′是正方体， ∴AA′ CC′, ∴四边形AA’C’C是平行四边形. ∴AC∥A′C′, ∴异面直线BA’与AC所成的角等于60°. ∴∠BA’C’为直线BA’与AC所成的角. 连接BC′, 则△A’BC’是等边三角形， ∴∠BA’C’=60°， 解： 例1 如右图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′. (2)求直线BA′与CC′所成角的大小. (3)求直线BA′与AC所成角的大小. (2) ∵正方体ABCD-A′B′C′D′ ∴CC′∥BB′, ∴∠B′BA′为直线BA′与CC′所成的角. ∵∠B′BA′=45° ∴直线BA′与CC′所成的角等于45°. 连接A′C′ (3) 小结： (1)作：根据定义，作出异面直线所成的角. (2)证：证明作出的角就是要求的角 (3)求：求角的值，常利用解三角形得出. (4)结论：由（3）所求得的的角的大小为θ. 求两异面直线所成角的步骤 若0°＜θ≤90°，则θ为所求角 若90°＜θ＜180°，则其补角（180°-θ）为所求角 “一作二证三求四结论” 注意异面直线所成角的范围是0°＜θ≤90°. 18 例2 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中 ,O1为底面A1B1C1D1的中心.求证： 典例分析，巩固提高 19 例2 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中 ,O1为底面A1B1C1D1的中心.求证： 证明：   典例分析，巩固提高 20 请带着下列问题回顾本节课学习的内容： （1）如何研究异面直线的位置关系？ （2）如何求异面直线所成的角？ （3）本节蕴含了哪些数学思想？ 总结归纳，反思提升 2.求异面直线所成角的方法：平移至相交所成的角 步骤：一作 二证 三求 四结论 3.数学思想方法：类比、转化 1.异面直线所成角研究路径： 总结归纳 相交直线所成的角 异面直线所成的角 类比 转化 90° 相交直线互相垂直 异面直线互相垂直 直线与直线垂直 22 $$