专练06 函数的基本性质-2025年寒假高一数学核心考点专练（人教A版2019必修第一册）

专题07：函数的基本性质 一、核心知识 （一） 函数的单调性 1.单调函数的定义 设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值， 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递增函数。 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递减函数。 单调性的图形趋势（从左往右） 上升趋势 下降趋势 2.函数的单调区间 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 3.函数单调性的性质 若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： （1）与（C为常数）具有相同的单调性. （2）与的单调性相反. （3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反. （4）若≥0，则与具有相同的单调性. （5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性；当时，与具有相同的单调性. （6）与的和与差的单调性（相同区间上）: 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. （7）复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]， 若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上是单调函数 若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同，则y＝f[g(x)]为增函数 若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称“同增异减”． （二） 函数的奇偶性 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数是奇函数 关于原点对称 2.函数奇偶性的几个重要结论 （1）为奇函数⇔的图象关于原点对称；为偶函数⇔的图象关于y轴对称． （2）如果函数是偶函数，那么． （3）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集． （4）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． （5）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数． （三） 函数的周期性 1.周期函数的定义 对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期． 2.最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期． （四）函数的对称性 1.关于轴对称：若函数满足，则函数关于直线对称，特别地，当a＝b＝0时，函数关于y轴对称，此时函数是偶函数． 2.关于点对称：若函数满足，则函数关于点(a，b)对称，特别地，当a＝0，b＝0时，，则函数关于原点对称，此时函数是奇函数． 二、热门考点 考点一：函数性质的判定 经典基础题： 1．下列函数既是偶函数，又在区间上是增函数的是（ ） A． B． C． D． 2．（多选）已知函数，下列结论正确的是（ ） A．是奇函数 B．的图象不过原点 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递增 3.（多选）已知函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 在上单调递减 D. 在上单调递增 4．函数的单调递减区间是 . 5. （多选）设函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 在上单调递减 D. 在上单调递减 6．下列判断正确的是( ) A. 函数是奇函数　 　B. 函数是偶函数 C. 函数是偶函数　　 D. 函数既是奇函数又是偶函数 7．已知函数是定义在上的任意不恒为零的函数，则下列判断：①为偶函数；②为非奇非偶函数；③为奇函数；④ 为偶函数．其中正确判断的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（多选）奇函数满足，则下列选项正确的是（ ） A．的一个周期为2 B． C．为偶函数 D．为奇函数 强化训练： 1.（多选）下列函数中，在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 2．函数的单调递减区间是 . 3.（多选）对于函数，下面几个结论中错误的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数是偶函数 C．函数的值域为 D．函数在上是减函数 4.（多选）已知函数满足对任意的都有，若函数的图象关于点对称，且对任意的，都有，则下列结论正确的是（    ） A．是偶函数 B．的图象关于直线对称 C． D． 5.（多选）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 6.定义在上函数满足以下条件：①函数是偶函数；②对任意，当时都有，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数是定义在R上的奇函数，且满足，则下列说法正确的是（    ） A． B．是奇函数 C． D．是周期为4的周期函数 8．已知函数是偶函数，且在上单调递增，则下列结论中一定正确的有（    ） A．的图象关于直线对称 B． C． D．在上单调递减 考点二：利用函数性质求值 经典基础题： 1．已知函数是偶函数，且，则（ ） A． B． C． D． 2．已知函数,是一个以6为最小正周期的奇函数，则的值为（ ） A.0 B.6 C.-6 D.不能确定 3．已知函数，若，则的值为 （ ） A． B． C． D．无法确定 4．已知函数（ ） A． B． C． D． 5．设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则（ ） A． B． C． D． 6．设是定义在R上的周期为的函数，当x∈[－2，1）时，，则＝( ) A． B． C． D． 7．已知是定义在上的偶函数，且对任意都有，则 ． 8．定义在R上的函数满足，当时，，当时，．则（ ） A． B． C． D． 强化训练： 1．若f（x）是R上周期为5的奇函数，且满足f（1）＝1，f（2）＝2，则f（3）－f（4）＝（ ） A．1 B．－1 C．－2 D．2 2．已知，若，则（ ）． A． B． C． D． 3．已知函数是奇函数，当时，，且，则 ． 4．已知函数为奇函数，则 ． 5．设函数是奇函数，且时，，则 ． 6．已知函数满足，函数关于点对称，，则___. 7．设偶函数f(x)对任意x∈R，都有，且当∈[－3，－2]时，，则的值是______． 8．设定义在R上的函数f（x）满足，若f（1）=2，则f（107）=__________. 9．已知函数满足．当时，，则 （ ） A． B． C． D． 10．已知函数=， 则的值为（ ） A． B． C． D． 考点三：由函数性质求参数 经典基础题： 1.已知函数是偶函数，则 ． 2.已知定义域为的奇函数，则 . 3．若函数是定义在上的偶函数，则该函数的最大值为 A．5 B．4 C．3 D．2 4．若f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函数，则g（x）＝ax3＋bx2＋cx是（ ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 5．若函数在定义域上为奇函数，则（ ） A． B. C. D. 6.（多选）如果函数在区间上是减函数，则实数的值可以是（     ） A．0 B．1 C．2 D． 7．若函数在上为增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（多选）若函数在上为单调减函数，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 9．已知函数满足对任意的，恒成立，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 10．（多选）下列关于函数的说法正确的是（    ） A．当时，是单调函数 B．当时，是单调函数 C．当时，的值域为 D．当时，的值域为 强化训练： 1．已知函数为偶函数，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．若函数为奇函数，则 ． 3．若函数的图像关于原点对称，则 ． 4．设是定义在上的偶函数，则的值域是（ ）． A． B． C． D．与有关，不能确定 5．若函数是奇函数，则实数的值是（ ） A．-10 B．10 C．-5 D．5 6.若函数在区间上是增函数，则a的取值范围 . 7．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ． 8.已知函数是减函数，则实数a的取值范围为 ． 9．已知函数是上的增函数，则a的取值范围是 ． 10．函数满足对且，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．函数满足对且，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点五：利用函数性质解不等式 经典基础题： 1．定义在R上的偶函数在上单调递增,,则不等式解集是（ ） A． B． C． D． 2．设奇函数在 （0，＋∞）上是增函数，且，则不等式的解集为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．函数的图像关于直线对称，且在单调递减，，则的解集为（ ） A． B． C． D． 4．若定义在上的奇函数，对任意，都有，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 5．已知是定义在上的增函数，且的图象关于点对称，则关于的不等式的解集为 . 6．已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．函数是上的单调函数且对任意的实数都有，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 8．（多选）已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，；③.则下列选项成立的是（ ） A． B．若，则 C．若，则 D．，，使得 强化训练： 1．已知偶函数在上单调递增，且，则关于x的不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 2．函数是定义域为的奇函数，在上单调递增，且.则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 3．若是偶函数且在上单调递增，又，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C．或 D．或 4．奇函数的定义域为，若在上单调递减，且，则实数的取值范围是__________． 5.已知函数是定义在上的偶函数，在区间上单调递增，且，则不等式的解集为__________. 6.函数是定义域在上的奇函数，且在区间上单调递减，则满足的的集合为 ． 7.设函数是定义在上的偶函数，在区间上是减函数，且图象过原点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8．已知函数的定义域为，对任意，都有，当时，是增函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 考点六：解答题 经典基础题： 1．已知函数，(1)求，的值；(2)若，求实数a的值；(3)直接写出的单调区间． 2．已知函数.(1)求的解析式；(2)判断在上的单调性，并用定义证明. 3．已知函数，且．(1)求实数的值；(2)判断函数在上的单调性，并证明你的结论；(3)求函数在上的值域． 4．已知函数.(1)判断的奇偶性；(2)用单调性定义证明在上单调递减； (3)若的定义域为，解不等式. 5．已知幂函数的图象关于轴对称．(1)求的值及函数的解析式；(2)设函数，求在区间上的值域． 强化训练： 1．已知函数.(1)判断在上的单调性，并用函数单调性的定义证明；(2)求在上的值域. 2．已知函数.(1)求的最小值；(2)判断在上的单调性，并根据定义证明. 3.已知幂函数为偶函数，．(1)求的解析式；(2)若对于恒成立，求的取值范围． 4．已知幂函数既不是奇函数，也不是偶函数.(1)求的值；(2)若函数的最小值为，求实数的值. 5．已知函数过定点，函数的定义域为.（1）求定点并证明函数的奇偶性；（2）判断并证明函数在上的单调性；（3）解不等式. 6．已知定义在上的函数满足，且对任意．(1)证明：在上单调递减；(2)解不等式． 12 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07：函数的基本性质 一、核心知识 （一） 函数的单调性 1.单调函数的定义 设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值， 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递增函数。 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递减函数。 单调性的图形趋势（从左往右） 上升趋势 下降趋势 2.函数的单调区间 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 3.函数单调性的性质 若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： （1）与（C为常数）具有相同的单调性. （2）与的单调性相反. （3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反. （4）若≥0，则与具有相同的单调性. （5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性；当时，与具有相同的单调性. （6）与的和与差的单调性（相同区间上）: 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. （7）复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]， 若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上是单调函数 若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同，则y＝f[g(x)]为增函数 若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称“同增异减”． （二） 函数的奇偶性 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数是奇函数 关于原点对称 2.函数奇偶性的几个重要结论 （1）为奇函数⇔的图象关于原点对称；为偶函数⇔的图象关于y轴对称． （2）如果函数是偶函数，那么． （3）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集． （4）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． （5）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数． （三） 函数的周期性 1.周期函数的定义 对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期． 2.最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期． （四）函数的对称性 1.关于轴对称：若函数满足，则函数关于直线对称，特别地，当a＝b＝0时，函数关于y轴对称，此时函数是偶函数． 2.关于点对称：若函数满足，则函数关于点(a，b)对称，特别地，当a＝0，b＝0时，，则函数关于原点对称，此时函数是奇函数． 二、热门考点 考点一：函数性质的判定 经典基础题： 1．下列函数既是偶函数，又在区间上是增函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项A：表示对称轴为轴，开口向下的抛物线，在上单调递减，A错误； 选项B：，所以是奇函数，在上单调递增，B错误； 选项C：由指数函数的图象和性质可知是非奇非偶函数，在上单调递增，C错误； 选项D：定义域为，且， 所以是偶函数，且在上单调递增，D正确；故选：D 2．（多选）已知函数，下列结论正确的是（ ） A．是奇函数 B．的图象不过原点 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递增 【答案】BC 【详解】对A，的定义域为，关于原点对称， 且，则为偶函数，故A错误； 对B，当时，函数无意义，则的图象不过原点，故B正确； 对C，当时，，显然其在上单调递增，故C正确； 对D，当时，，显然其在上单调递减，故D错误；故选：BC. 3.（多选）已知函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 在上单调递减 D. 在上单调递增 【答案】AD 【详解】的定义域为，且是上的奇函数，所以A对B错； 又是上的增函数，是上的减函数，函数是上的增函数，所以C错D对.故选：AD. 4．函数的单调递减区间是 . 【答案】 【详解】，所以函数的单调递减区间是.故答案为： 5. （多选）设函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 在上单调递减 D. 在上单调递减 【答案】AC 【详解】函数的定义域为R，，则是奇函数，不是偶函数，A正确，B错误；对于C，当时，在上单调递减，当时，在上单调递减，因此在上单调递减，C正确；对于D，当时，在上单调递增，D错误.故选：AC 6．下列判断正确的是( ) A. 函数是奇函数　 　B. 函数是偶函数 C. 函数是偶函数　　 D. 函数既是奇函数又是偶函数 【答案】C 【详解】A中函数定义域，定义域不对称，不是奇函数，B中定义域，，因此不是偶函数，C中定义域，函数化简为是偶函数，D中函数是偶函数. 7．已知函数是定义在上的任意不恒为零的函数，则下列判断： ①为偶函数；②为非奇非偶函数； ③为奇函数；④ 为偶函数． 其中正确判断的个数有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】根据偶函数的定义，可知，①对；，②错；，③对；，④错。 8．（多选）奇函数满足，则下列选项正确的是（ ） A．的一个周期为2 B． C．为偶函数 D．为奇函数 【答案】ACD 【详解】，的对称轴为，，∴，A正确； ，故，，关于时称，故，B错误； ，偶函数，C正确； ，为奇函数，D正确，故选：ACD. 强化训练： 1.（多选）下列函数中，在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A选项，函数在区间上为增函数，正确； 对于B选项，当时，，该函数在区间上为减函数，错误. 对于C选项，函数在区间上为减函数，在区间上为增函数，正确； 对于D选项，函数在区间上为减函数，错误； 故选：AC. 2．函数的单调递减区间是 . 【答案】 【详解】二次函数开口向上，对称轴为，所以函数的单调递减区间为. 故答案为： 3.（多选）对于函数，下面几个结论中错误的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数是偶函数 C．函数的值域为 D．函数在上是减函数 【答案】BD 【详解】因，函数定义域关于原点对称，且，，即函数是奇函数，故A项正确，B项错误；对于C项，当时，，因函数在上为减函数，则为增函数，故，即；当时，因函数，因函数在上为减函数，则为增函数，故，即.故函数的值域为，C项正确；对于D项，通过C项分析知函数在上是增函数，故D项错误.故选：BD. 4.（多选）已知函数满足对任意的都有，若函数的图象关于点对称，且对任意的，都有，则下列结论正确的是（    ） A．是偶函数 B．的图象关于直线对称 C． D． 【答案】BCD 【详解】由于函数的图象关于点对称，将的图象向右平移1个单位可得图象，故图象关于点对称，则是奇函数，A错误；由于是奇函数，故，即，故的图象关于直线对称，B正确；由于，故，即4为的一个周期，由于是R上的奇函数，故，则，又，则，故，C正确；由于对任意的，都有，即对任意的，都有，可得在上单调递增，则，，由于，故，故，D正确，故选：BCD 5.（多选）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】由函数的图象知,,在上单调递增,在上单调递减.故选:ABC. 6.定义在上函数满足以下条件：①函数是偶函数；②对任意，当时都有，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数是偶函数，图象关于轴对称，所以的图象关于直线对称， 任意，当时都有，所以在区间上单调递减， ，所以，D选项正确.故选：D 7．已知函数是定义在R上的奇函数，且满足，则下列说法正确的是（    ） A． B．是奇函数 C． D．是周期为4的周期函数 【答案】AC 【详解】由函数是定义在R上的奇函数，得且.由，得，即，于是函数的最小正周期为. 对于A：，故A正确； 对于B：因为，的定义域是全体实数，所以是偶函数，故B错误； 对于C：，故C正确；对于D：是周期为8的周期函数，故D错误. 故选：AC. 8．已知函数是偶函数，且在上单调递增，则下列结论中一定正确的有（    ） A．的图象关于直线对称 B． C． D．在上单调递减 【答案】ACD 【详解】把图象向右平移2个单位得图象，因此直线是图象的对称轴，A正确； 在上递增，则的符号不确定，所以无法确定，大小，B错误； 在上单调递减，所以，C正确；在上单调递减，由，得，所以在上单调递减，D正确.故选：ACD. 考点二：利用函数性质求值 经典基础题： 1．已知函数是偶函数，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数是偶函数，所以时函数值相等 2．已知函数,是一个以6为最小正周期的奇函数，则的值为（ ） A.0 B.6 C.-6 D.不能确定 【答案】A 【详解】根据周期函数定义，则. 3．已知函数，若，则的值为 （ ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【详解】，故，所以，答案选C． 4．已知函数（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵f（x）==1+，∴f（﹣x）=1﹣，∴f（x）+f（﹣x）=2；∵f（a）=，∴f（﹣a）=2﹣f（a）=2﹣=． 5．设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则（ ） A． B． C． D． 【答案】D． 【详解】由题意，得，得，；因为函数为奇函数，所以． 6．设是定义在R上的周期为的函数，当x∈[－2，1）时，，则＝( ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 故选D. 7．已知是定义在上的偶函数，且对任意都有，则 ． 【答案】1 【详解】由知，是以周期为3的周期函数， 所以. 8．定义在R上的函数满足，当时，，当时，．则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意函数的周期为，所以， ，所以：，所以答案为B． 强化训练： 1．若f（x）是R上周期为5的奇函数，且满足f（1）＝1，f（2）＝2，则f（3）－f（4）＝（ ） A．1 B．－1 C．－2 D．2 【答案】B 【详解】∵若f（x）是R上周期为5的奇函数∴f（-x）=-f（x），f（x+5）=f（x），∴f（3）=f（-2）=-f（2）=-2，f（4）=f（-1）=-f（1）=-1，∴f（3）-f（4）=-2-（-1）=-1．故答案为B． 2．已知，若，则（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，故，所以，答案选D． 3．已知函数是奇函数，当时，，且，则 ． 【答案】 【详解】因为函数是奇函数，，所以，因此 4．已知函数为奇函数，则 ． 【答案】-28 【详解】由函数是奇函数，，当时，. 5．设函数是奇函数，且时，，则 ． 【答案】 【解析】函数是奇函数关于点对称，. 6．已知函数满足，函数关于点对称，，则___. 【答案】-4 【详解】由于，，故函数的周期为12，把函数的图象向右平移1个单位，得，因此的图象关于对称，为奇函数，，故答案为-4. 7．设偶函数f(x)对任意x∈R，都有，且当∈[－3，－2]时，，则的值是______． 【答案】 【详解】，的周期为6， ． 8．设定义在R上的函数f（x）满足，若f（1）=2，则f（107）=__________. 【答案】. 【详解】函数f（x）满足，则，，所以，. 9．已知函数满足．当时，，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，从而，故的周期为6，. 10．已知函数=， 则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】时, ,则,即.则时函数的最小正周期为6.所以. 考点三：由函数性质求参数 经典基础题： 1.已知函数是偶函数，则 ． 【答案】1 【详解】因为函数是偶函数，所以，即，即，于是有，解得.故答案为：. 2.已知定义域为的奇函数，则 . 【答案】3 【详解】由题意，，是奇函数，则恒成立，即，恒成立，，，所以．故答案为：3. 3．若函数是定义在上的偶函数，则该函数的最大值为 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【详解】偶函数的定义域关于原点对称，，即，函数是偶函数，，得，因此函数在区间上的最大值是5，故答案为A. 4．若f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函数，则g（x）＝ax3＋bx2＋cx是（ ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 【答案】A 【详解】由f（x）是偶函数知b＝0，∴g（x）＝ax3＋cx是奇函数．选A． 5．若函数在定义域上为奇函数，则（ ） A． B. C. D. 【答案】C 【详解】利用定义：， 化简得 因为所以.，故选C 6.（多选）如果函数在区间上是减函数，则实数的值可以是（     ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】BC 【详解】开口向上，对称轴为，函数在区间上是减函数，故，故AD错误，BC正确.故选：BC 7．若函数在上为增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，.故选：D 8．（多选）若函数在上为单调减函数，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】在上为单调减函数，，解得，的值可以为或.故选CD. 9．已知函数满足对任意的，恒成立，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题设在定义域上递增，所以，而在上递增，故其值域是.故选：A 10．（多选）下列关于函数的说法正确的是（    ） A．当时，是单调函数 B．当时，是单调函数 C．当时，的值域为 D．当时，的值域为 【答案】AC 【详解】若是单调函数，而的对称轴为，则，解得，显然A正确，B错误，当时，此时函数在和上分别单调递减，而,此时满足，由二次函数与反比例函数的性质得的值域为，故C正确，当时，，故的值域不为，则D错误.故选：AC 强化训练： 1．已知函数为偶函数，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若函数为偶函数，则，即，整理得，故，解得.故选：B. 2．若函数为奇函数，则 ． 【答案】-1 【详解】函数为奇函数，所以，即：，则. 3．若函数的图像关于原点对称，则 ． 【答案】. 【详解】∵函数的图象关于原点对称，∴函数为奇函数，∴，∴，∴ 解得，. 4．设是定义在上的偶函数，则的值域是（ ）． A． B． C． D．与有关，不能确定 【答案】A 【详解】函数是偶函数，定义域对称 ，所以值域为 5．若函数是奇函数，则实数的值是（ ） A．-10 B．10 C．-5 D．5 【答案】C 【详解】∵函数是奇函数， ∴当时，，∴． 6.若函数在区间上是增函数，则a的取值范围 . 【答案】 【详解】函数图象开口向上，对称轴为，由函数在区间上单调递增，得，解得，所以a的取值范围是故答案为： 7．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为函数的对称轴为，图象开口向上，所以函数在上单调递增，因为函数在区间上单调递增，所以，解得.故答案为：. 8.已知函数是减函数，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由已知，f(x)在以及x>1上分别单调递减，且f(1)=3.要使函数是减函数，则应满足，x>1时， f(x)=-2x+a<3恒成立.只需要，，即.故答案为：. 9．已知函数是上的增函数，则a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意可得，解得．故答案为：. 10．函数满足对且，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由对且，都有，知在R上单调递减，则，解得，所以实数的取值范围是.故选：D 11．函数满足对且，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数,因为函数任意且，都有，所以函数在定义域上为单调递减函数，则满足，即，解得，所以实数的取值范围是.故选D. 考点五：利用函数性质解不等式 经典基础题： 1．定义在R上的偶函数在上单调递增,,则不等式解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵定义在上的偶函数在上单调递增，且，∴在上单调递减，且，∴当或时，；当时，，∵，∴或，∴或，∴或，即，则不等式的解集是.故选：A. 2．设奇函数在 （0，＋∞）上是增函数，且，则不等式的解集为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【详解】若在上为增函数，则函数在上为增函数，又,因为f（x）为奇函数，所以当时，当时，可以，当时，当时，可以；所以不等式解集为。 3．函数的图像关于直线对称，且在单调递减，，则的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，在单调递减，在单调递增，因此由得，解得，选B． 4．若定义在上的奇函数，对任意，都有，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，设，，是定义在,,上的奇函数，即，故，函数为偶函数，由题意当时，有，函数在上为减函数，又由为偶函数，则在上为增函数，又由，则，同时，或，必有或，即的取值范围为.故选：B． 5．已知是定义在上的增函数，且的图象关于点对称，则关于的不等式的解集为 . 【答案】 【详解】由，得：，令，则；关于对称，，，为定义在上的奇函数；又为上的增函数，为增函数，在上单调递增，则由，得：，，解得：，即的解集为.故答案为：. 6．已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题目所给的函数解析式，可知函数在上是减函数，所以，解得. 故选：B. 7．函数是上的单调函数且对任意的实数都有，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对任意的实数都有，，即， ，，函数是上的单调函数，函数是上的单调增函数，，即，解得，即不等式的解集为．故选. 8．（多选）已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，；③.则下列选项成立的是（ ） A． B．若，则 C．若，则 D．，，使得 【答案】ACD 【详解】由得函数是R上的偶函数，由，， 得在上单调递增，对于A，，A正确；对于B，，又函数的图象是连续不断的，则有，解得，B不正确；对于C，由及得，，解得或，由得：，解得，化为：或，解得或，即，C正确；对于D，因上的偶函数的图象连续不断，且在上单调递增，因此，，，取实数，使得，则，，D正确.故选：ACD 强化训练： 1．已知偶函数在上单调递增，且，则关于x的不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为为偶函数，在上单调递增，且，所以在上单调递减，且，所以当时，，由，得，解得.故选：A. 2．函数是定义域为的奇函数，在上单调递增，且.则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由于是定义域为的奇函数，所以，又在上单调递增，且，所以的大致图象如图所示．由可得，，由于在分母位置，所以，当时，只需，由图象可知；当时，只需，由图象可知；综上，不等式的解集为．故选：D 3．若是偶函数且在上单调递增，又，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【详解】由题设，偶函数在上单调递减，在上单调递增，且， 所以，故或，解集为或.故选：B 4．奇函数的定义域为，若在上单调递减，且，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【详解】因为函数在上单调递减，所以函数在上单调递减，所以函数在上单调递减．又因为，所以，所以，解得，故应填． 5.已知函数是定义在上的偶函数，在区间上单调递增，且，则不等式的解集为__________. 【答案】 【详解】因为是定义在上的偶函数，所以，又在区间上单调递增，由，得，解得. 由，得，解得或.所以， 即或解得或， 所以不等式的解集为. 6.函数是定义域在上的奇函数，且在区间上单调递减，则满足的的集合为 ． 【答案】 【详解】依题意，函数是定义域在上的奇函数，且在区间上单调递减，所以在上单调递减，由于，所以，，，解得，所以满足的的集合为. 7.设函数是定义在上的偶函数，在区间上是减函数，且图象过原点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】函数向右平移1个单位得到函数，由题意可知，函数关于直线对称，函数的定义域为，因为在区间上是减函数，所以在区间上是增函数，且，根据对称性可知，，在区间， 在区间，，上图是满足函数性质图象，不等式，等价于或，即或， 得或，所以不等式的解集为.故选：C 8．已知函数的定义域为，对任意，都有，当时，是增函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，则，整理得，因为时，是增函数，所以在的定义域内只存在一个解，根据题意可得，又是增函数，所以，解得.故选：D. 考点六：解答题 经典基础题： 1．已知函数，(1)求，的值；(2)若，求实数a的值；(3)直接写出的单调区间． 【详解】（1）根据分段函数解析式可得，易知； 所以,  即. （2）①当时，，解得，或（舍）. 　 ②当时，，解得（舍）. 综上可得.即实数a的值为 （3）画出函数图象如下所示： 所以，单调递增区间，单调递减区间， 2．已知函数.(1)求的解析式；(2)判断在上的单调性，并根据定义证明. 【详解】（1）因为，所以. （2）在上单调递减.证明如下： 令，则，，即， 所以在上单调递减. 3．已知函数，且．(1)求实数的值；(2)判断函数在上的单调性，并证明你的结论；(3)求函数在上的值域． 【详解】（1）∵，且，，. （2）函数在上单调递增． 证明：任取，且，则 ∵，,即, ∴函数在上单调递增． （3）由（2）得在上单调递增，∴在上单调递增， 又，∴在上的值域为． 4．已知函数.(1)判断的奇偶性；(2)用单调性定义证明在上单调递减； (3)若的定义域为，解不等式. 【详解】（1）函数为奇函数，判断如下： 因为，其定义域为，又由， 所以为奇函数. （2）任取，则，因为，所以， 可得，即，故在上单调递减. （3）因为为奇函数，所以由，得， 因为在上单调递减，所以，即，解得， 所以原不等式的解集为. 5．已知幂函数的图象关于轴对称．(1)求的值及函数的解析式；(2)设函数，求在区间上的值域． 【详解】（1）因为为幂函数，所以，解得或， 当时，，函数图象关于轴对称，符合题意； 当时，，函数图象关于原点对称，不符合题意； 综上可得，. （2）因为，，所以， 所以在上单调递减，在上单调递增，又，，， 所以，即在区间上的值域为. 强化训练： 1．已知函数.(1)判断在上的单调性，并用函数单调性的定义证明；(2)求在上的值域. 【详解】（1）在上单调递增. 证明：任取，且， ， ，且， ，即，在上单调递增. （2）由（1）可知在上单调递增，， 所以在上的值域为. 2．已知函数.(1)求的最小值；(2)判断在上的单调性，并根据定义证明. 【详解】（1）因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为2. （2）函数在上单调递增，证明如下： 令，则. 因为，所以，所以，即， 所以在上单调递增. 3.已知幂函数为偶函数，．(1)求的解析式；(2)若对于恒成立，求的取值范围． 【详解】（1）因为幂函数为偶函数， 所以，解得或， 当时，，定义域为R，， 所以为偶函数，符合条件； 当时，，定义域为R，， 所以为奇函数，舍去；所以. （2）因为， 所以对于恒成立，即对于恒成立， 等价于对于恒成立， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，故，则. 4．已知幂函数既不是奇函数，也不是偶函数.(1)求的值；(2)若函数的最小值为，求实数的值. 【详解】（1）令，整理为，解得或， ①当时，，可得， 由，知函数为奇函数，不合题意； ②当时，，可得，由函数的定义域为，满足题意. 由①②知，的值为； （2）由（1）有，可得， 令（），有，可得，可化为， 令（）， ①当时，，又由的最小值为，有，解得； ②当时，，又由的最小值为，有， 解得（舍去）或，由①②知或. 5．已知函数过定点，函数的定义域为.（1）求定点并证明函数的奇偶性；（2）判断并证明函数在上的单调性；（3）解不等式. 【详解】（1）函数过定点，定点为，，定义域为， .函数为奇函数. （2）在上单调递增. 证明：任取，且， 则. ，，，，，即， 函数在区间上是增函数. （3），即，函数为奇函数 ，在上为单调递增函数，， ， 解得：.故不等式的解集为： 6．已知定义在上的函数满足，且对任意．(1)证明：在上单调递减；(2)解不等式． 【详解】（1）任取，且．因为，即，令，则． 因为，所以． 由题意，所以． 故在上单调递减． （2），令，得． 因为，所以． 由（1）得，，解得． 26 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $$