专练05 函数的概念及其表示-2025年寒假高一数学核心考点专练（人教A版2019必修第一册）

专题05 函数的概念及其表示 一、核心知识 1．函数的概念：一般地，设是非空的数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作. 2．函数的三要素： （1）在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域； （2）与的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。显然，值域是集合B的子集． （3）函数的对应关系：. 3．相等函数与分段函数 （1）相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据． （2）分段函数：在函数定义域内，对于自变量取值的不同区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数。分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。分段函数虽然是由几个部分构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交。 4.复合函数： 一般地，对于两个函数和，如果通过变量可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作，其中叫做复合函数的外层函数，叫做的内层函数. 二、热门考点： 考点一：函数的概念 经典例题： 1．给定数集满足方程，下列对应关系为函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A选项，，当时，，由于，故A选项不合要求；B选项，，存在唯一确定的，使得，故B正确；CD选项，对于，不妨设，此时，解得，故不满足唯一确定的与其对应，不满足要求，CD错误.故选：B 2．下列图形中，可以表示函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】通过平移直线，只有B选项的图象满足：其图象和直线至多有一个交点，即只有B选项符合题意.故选：B. 3．设集合，，给出如下四个图形，其中能表示从集合到集合的函数关系的是（ ） A．B． C． D． 【答案】D 【详解】从集合M到集合能构成函数关系时，对于集合中的每一个x值，在N={y|0≤y≤2}中都有唯一确定的一个y值与之对应．图象A不满足条件，因为当时，N中没有y值与之对应． 图象B不满足条件，因为当x=2时，N中没有y值与之对应．图象C不满足条件，因为对于中的每一个x值，在集合N中有2个y值与之对应，不满足函数的定义．只有D中的图象满足对于集合中的每一个x值，在中都有唯一确定的一个y值与之对应． 4．（多选）南北朝时期杰出的数学家、天文学家祖冲之对圆周率数值的精确推算值，对于中国乃至世界是一个重大贡献，后人将“这个精确推算值”用他的名字命名为“祖冲之圆周率”，简称“祖率”.已知圆周率，如果记圆周率小数点后第位数字为，则下列说法正确的是（ ） A．，是一个函数 B．当时， C． D． 【答案】ACD 【详解】对于选项A：对于任意，均存在唯一的与之对应，符合函数的定义，可知，是一个函数，故A正确；对于选项BC：因为，故B错误，C正确；对于选项D：由定义可知，故D正确；故选：ACD. 6．（多选）中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，则下列选项中不是同一个函数的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】ACD 【详解】对于A，函数定义域为R，定义域为，A不是；对于B，函数与的定义域均为R，且，与是相同函数，B是；对于C，函数的定义域为，的定义域为R，C不是；对于D，函数的定义域为R，的定义域为，D不是.故选：ACD 强化训练： 1．下列图形是函数图像的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】按照函数的定义，一个自变量只能对应一个函数值.对于A：当x=0时，，不符合函数的定义.故A错误；对于B：当x=0时，，不符合函数的定义.故B错误；对于C：每一个x都对应唯一一个y值，符合函数的定义.故C正确；对于D：当x=1时，y可以取全体实数，不符合函数的定义.故D错误；故选:C 2．以下图形中，不是函数图象的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据函数定义，对于每一个自变量都有唯一确定的函数值与之对应，A选项中存在一个自变量对应两个函数值，所以A不是函数图象.故选：A 3．（多选）下列各图中，可能是函数图象的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】B选项，时每一个x的值都有两个y值与之对应，不是函数图象，B错误，其他选项均满足函数的概念，是函数的图象．故选：ACD． 4．下列函数中与是同一函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A：，合题意；对于B：定义域为，不合题意；对于C：当为偶数时，，不合题意；对于D：当为偶数时，定义域为，不合题意；故选：A. 5．下列各组函数中是同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】对于A项，因函数的定义域为R，而函数的定义域为，故该组函数不是同一函数，A项错误；对于B项，两函数的定义域相同，但对应法则不同，故该组函数也不是同一函数，B项错误；对于C项，函数的定义域为，而函数的定义域为R，故该组函数不是同一函数，C项错误；对于D项，两函数的定义域都是，且对应的法则相同，故该组函数是同一函数，D项正确.故选：D. 6．下列表示同一个函数的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，所以两者定义域不同，不是同一个函数，故A错误；对于B，的定义域为，的定义域为，所以两者定义域不同，不是同一个函数，故B错误；对于C，与的定义域和对应法则都不同，不是同一个函数，故C错误；对于D，，，这两个函数的定义域都是，且对应法则也相同，故是同一个函数，故D正确.故选：D. 7．下列四组函数中与是同一函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于选项A:函数的定义域为的定义域为，定义域不同，不是同一函数,故选项A错误；对于选项B:函数的定义域为的定义域为，定义域不同，不是同一函数, 故选项B错误；对于选项C:函数的定义域为的定义域为，定义域不同，不是同一函数，故选项C错误；对于选项D:函数的定义域为的定义域为，定义域相同，且，解析式相同，故是同一函数，故选项D正确；故选：D. 8．（多选）下列每组函数不是同一函数的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABC 【详解】对于选项A：的定义域是，的定义域为R，定义域不同，故不是同一函数；对于选项B：，对应法则不同，故不是同一函数；对于选项C：由得或，所以的定义域是，由得，所以的定义域为，定义域不同，故不是同一函数；对于选项D： 与三要素相同，仅表示自变量的字母不同，是同一函数.故选：ABC 考点二：函数的定义域 经典例题： 1．函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，解得且，所以函数的定义域是. 故选：C. 2．函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，解得或.故选：D. 3.已知函数的定义域是，则的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】因为函数的定义域是，所以，解得，故函数的定义域是．故选：A. 4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的定义域为，所以，，所以的定义域为，对于函数，由，得，所以函数的定义域为. 故选：C 5．已知函数的定义域是，则的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的定义域是，则在中，，解得， 所以的定义域是.故选：A 强化训练： 1．函数的定义域为（ ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【详解】由函数解析式有意义可得且,所以函数的定义域是且，故选：A. 2.已知，则的定义域为 【答案】且 【详解】由且.所以函数的定义域为：且. 3．函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，函数有意义，则满足：分母不为零：……①，负数不能开偶次方根：……②，由①②得：的定义域为.故选：B. 4.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】因为函数的定义域为，所以中，，解得：， 所以函数的定义域为.故选：B 5．函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的定义域为，由，有，即函数的定义域为，令，解得，函数的定义域为.故选：C 6．若函数. 的定义域是[4,25]，则函数的定义域是（ ） A．[1,6] B．[2,5] C．[2,6] D．[4,7] 【答案】D 【详解】函数的定义域是的定义域是，故对于函数，有，解得，从而函数的定义域是.故选：D 考点三：函数的解析式 经典例题： 1．已知是一次函数，且，则的解析式为（　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，（）∴，即， 所以，解得，， ∴，故选B． 2．图象是以为顶点且过原点的二次函数的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设图象是以为顶点的二次函数（）．因为图象过原点，所以，，所以．故选：A 3.设函数是定义在上的奇函数，且．则函数的解析式为________． 【答案】 【详解】由奇函数的性质可知，，即，又，得，所以. 4．已知，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，由，则，即.故选：C. 5．已知函数，那么的表达式是 . 【答案】 【详解】，令，则，故，故，.故答案为. 6．已知函数满足：，则的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，∴，故选：A. 7．已知定义在上的函数满足，则＝________. 【答案】 【详解】由题意可得，与联立可得：＝. 8．已知函数对的一切实数都有，则解析式为 . 【答案】 【详解】，. 强化训练： 1．已知，且为一次函数，求_________ 【答案】或. 【详解】因为为一次函数，所以设，所以，因为，所以恒成立，所以，解得：或，所以或，故答案为：或. 2．若是上单调递减的一次函数，若，则 ． 【答案】 【详解】因为是上单调递减的一次函数，所以设，且，，又因为，所以，解得，所以，故答案为：． 3．已知函数，函数为一次函数，若，则__________. 【答案】 【详解】由题意，函数为一次函数，由待定系数法，设（）， ，由对应系数相等，得，.即为. 4．已知，则 ． 【答案】 【详解】由得，故答案为： 5．已知，则（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，则，；所以.故选：D. 6．若函数，且，则实数的值为（ ） A． B．或 C． D．3 【答案】B 【详解】令（或），，，，.故选；B 7．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，，，．故选C. 8．已知函数满足，则函数的解析式为__________． 【答案】 【详解】 ①中将x换成，得f（）+2f（x） ②，由①②联立消去f（）得f（x） 9．已知，，则的解析式为________． 【答案】 【详解】由题知，，①；又，②；由①②得，，则，故答案为：. 10．设函数对的一切实数均有，则解析式为 . 【答案】 【详解】① ② ①②得 ， ，故选：． 考点四：函数求值 经典例题： 1．已知函数的图象如图所示，则 【答案】 【详解】由函数图象知，.故答案为： 2.已知函数，则（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【详解】令得，故，故选：D 3.已知，则______． 【答案】0 【详解】，．故答案为：0． 4．设函数，则 . 【答案】 【详解】依题意，，所以.故答案为： 5．已知函数，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【详解】.故选：B. 6．已知，那么＝ ． 【答案】 【详解】由题意可得：，故.故答案为：. 7．已知函数满足．若，则（   ） A．2 B．1 C．3 D．0 【答案】C 【详解】令，因为，且，所以，可得，故选：C. 8．已知函数，若，则实数的值为 ． 【答案】3 【详解】当时，，解得（舍）；当时，，解得或（舍），所以实数的值为3，故答案为：3. 强化训练： 1．已知函数，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】由，令，得.故选：A. 2．函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】因为，所以，故选：B. 3．已知函数，则 . 【答案】 【详解】由题意，当时，，当时，， 所以.故答案为：. 4．设函数，则的值为 ； 【答案】1 【详解】,,故答案为：1 5．已知函数，则 （    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【详解】，，.故选B. 6．函数，则 【答案】1 【详解】根据题意，，则故答案为：1． 7.已知函数，则（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【详解】函数，所以.故选A 8．已知函数，则（ ） A．0 B．1 C．2024 D．2025 【答案】B 【详解】由，得，所以， .故选：B 9．已知函数，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】C 【详解】因为，且，则或，解得.故选：C 10．（24-25高一上·广西·期中）若函数且，则 . 【答案】0 【详解】因为，所以，解得.故答案为：0 考点五：函数的最值及值域 经典例题： 1．已知定义在上的函数表示为: x 0 y 1 0 2 设，的值域为M，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为满足，所以，由表中数据可知：的取值仅有三个值，所以，故选：B. 2．下列函数的最小值为2的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对A： ，，当且仅当时取等号,故A正确； 对B：时，，其2不为最小值；故B错误； 对C：，当时等号成立，故C错误； 对D： ，当时等号成立，故D错误；故选：A 3．已知，，且x+y=1，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】，所以当时，取最大值1；当 时，取最小值.因此的取值范围为. 4.的最大值为 ． 【答案】 【详解】由，故，而，所以，当时，即函数的最大值为.故答案为： 5．函数的值域是 . 【答案】． 【详解】因为，令，，，所以,所以． 6．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为且，所以当时，，当时，；当时，，所以函数的最小值为，最大值为3，故函数的值域为. 7．若函数，则函数的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以. 从而，当时，取得最小值，且最小值为.故选：D 8．设，函数，若的最小值为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，当且仅当时，即时等号成立； 即当时，函数的最小值为，当时，，要使得函数的最小值为，则满足，解得，即实数的取值范围是.故选：B. 9．用表示，两个数中的最大值，设函数，若恒成立，则的最大值是 ． 【答案】3 【详解】因为，由，得或，则， 当时，当时，单调递减，则，综上，时，，则恒成立，即，解得，则的最大值是3.故答案为：3 强化训练： 1．已知函数y=f(x)的图象如图所示，则y=f(x)的定义域是 ，值域是 . 【答案】 【详解】由函数图像可知，函数的定义域为，值域为，故答案为：， 2．函数的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】，，则，即函数的值域为. 3．函数的值域为 ． 【答案】[0，2] 【详解】设则原函数可化为 ，，从而，的值域为[0，2]． 4．函数的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得函数的定义域为，先求的值域为，再求得函数的值域为，则可以求出原函数的值域为. 5．函数的值域为 ． 【答案】 【详解】设，所以原函数转化为函数的最小值为，函数值域为 6．函数的值域为. 【答案】 【详解】由题设可得所以，不难求得函数值域. 由题设所以则，根据一元二次函数性质不难得到 时，函数最大值为2，没有最小值，所以函数值域为. 7．函数的值域为 . 【答案】 【详解】由题意得，函数的定义域为，所以，所以. 8．若实数满足，则的最大值为 ． 【答案】4 【详解】由 解得 ,当时, 最大值为4. 9．定义在上的函数的值域是__________． 【答案】 【详解】由 +10+241 因为,所以1 即函数的值域是. 10．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）规定，则函数的最小值为 . 【答案】 【详解】因为等价于取中的最大值，所以对于，令，解得或或或，由二次函数与一次函数的图象性质可得的大致图象，如图， 结合图象可知，当时，取得最小值，为.故答案为：. 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 函数的概念及其表示 一、核心知识 1．函数的概念：一般地，设是非空的数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作. 2．函数的三要素： （1）在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域； （2）与的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。显然，值域是集合B的子集． （3）函数的对应关系：. 3．相等函数与分段函数 （1）相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据． （2）分段函数：在函数定义域内，对于自变量取值的不同区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数。分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。分段函数虽然是由几个部分构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交. 4.复合函数： 一般地，对于两个函数和，如果通过变量可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作，其中叫做复合函数的外层函数，叫做的内层函数. 二、热门考点： 考点一：函数的概念 经典例题： 1．给定数集满足方程，下列对应关系为函数的是（ ） A． B． C． D． 2．下列图形中，可以表示函数的是（  ） A． B． C． D． 3．设集合，，给出如下四个图形，其中能表示从集合到集合的函数关系的是（ ） A．B． C． D． 4．（多选）南北朝时期杰出的数学家、天文学家祖冲之对圆周率数值的精确推算值，对于中国乃至世界是一个重大贡献，后人将“这个精确推算值”用他的名字命名为“祖冲之圆周率”，简称“祖率”.已知圆周率，如果记圆周率小数点后第位数字为，则下列说法正确的是（ ） A．，是一个函数 B．当时， C． D． 6．（多选）中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，则下列选项中不是同一个函数的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 强化训练： 1．下列图形是函数图像的是（ ） A． B． C． D． 2．以下图形中，不是函数图象的是（ ） A． B． C． D． 3．（多选）下列各图中，可能是函数图象的是（ ） A． B． C． D． 4．下列函数中与是同一函数的是（ ） A． B． C． D． 5．下列各组函数中是同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 6．下列表示同一个函数的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 7．下列四组函数中与是同一函数的是（ ） A． B． C． D． 8．（多选）下列每组函数不是同一函数的是（ ） A．， B．， C．， D．， 考点二：函数的定义域 经典例题： 1．函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 2．函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 3.已知函数的定义域是，则的定义域是（ ） A. B. C. D. 4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 5．已知函数的定义域是，则的定义域是（ ） A． B． C． D． 强化训练： 1．函数的定义域为（ ） A．且 B． C．且 D． 2.已知，则的定义域为 3．函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 4.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5．函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 6．若函数. 的定义域是[4,25]，则函数的定义域是（ ） A．[1,6] B．[2,5] C．[2,6] D．[4,7] 考点三：函数的解析式 经典例题： 1．已知是一次函数，且，则的解析式为（　） A． B． C． D． 2．图象是以为顶点且过原点的二次函数的解析式为（ ） A． B． C． D． 3.设函数是定义在上的奇函数，且．则函数的解析式为________． 4．已知，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，那么的表达式是 . 6．已知函数满足：，则的解析式为（ ） A． B． C． D． 7．已知定义在上的函数满足，则＝________. 8．已知函数对的一切实数都有，则解析式为 . 强化训练： 1．已知，且为一次函数，求_________ 2．若是上单调递减的一次函数，若，则 ． 3．已知函数，函数为一次函数，若，则__________. 4．已知，则 ． 5．已知，则（ ）． A． B． C． D． 6．若函数，且，则实数的值为（ ） A． B．或 C． D．3 7．已知，则（ ） A． B． C． D． 8．已知函数满足，则函数的解析式为__________． 9．已知，，则的解析式为________． 10．设函数对的一切实数均有，则解析式为 . 考点四：函数求值 经典例题： 1．已知函数的图象如图所示，则 2.已知函数，则（ ） A. B. C. 3 D. 3.已知，则______． 4．设函数，则 . 5．已知函数，则（    ） A． B． C．0 D．1 6．已知，那么＝ ． 7．已知函数满足．若，则（   ） A．2 B．1 C．3 D．0 8．已知函数，若，则实数的值为 ． 强化训练： 1．已知函数，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．已知函数，则 . 4．设函数，则的值为 ； 5．已知函数，则 （    ） A． B． C．1 D． 6．函数，则 7.已知函数，则（ ） A. B. C. 0 D. 8．已知函数，则（ ） A．0 B．1 C．2024 D．2025 9．已知函数，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．6 10．（24-25高一上·广西·期中）若函数且，则 . 考点五：函数的最值及值域 经典例题： 1．已知定义在上的函数表示为: x 0 y 1 0 2 设，的值域为M，则（    ） A． B． C． D． 2．下列函数的最小值为2的是（  ） A． B． C． D． 3．已知，，且x+y=1，则的取值范围是__________． 4.的最大值为 ． 5．函数的值域是 . 6．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 7．若函数，则函数的最小值为（ ） A． B． C． D． 8．设，函数，若的最小值为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 9．用表示，两个数中的最大值，设函数，若恒成立，则的最大值是 ． 强化训练： 1．已知函数y=f(x)的图象如图所示，则y=f(x)的定义域是 ，值域是 . 2．函数的值域是（ ） A. B. C. D. 3．函数的值域为 ． 4．函数的值域是（ ） A． B． C． D． 5．函数的值域为 ． 6．函数的值域为. 7．函数的值域为 . 8．若实数满足，则的最大值为 ． 9．定义在上的函数的值域是__________． 10．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）规定，则函数的最小值为 . 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$