9.2.3 总体集中趋势的估计课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019） 必修第二册

null9.2.3 总体集中趋势的估计 通过前面的学习，我们对统计有了初步的了解.我们知道统计学是通过收集数据和分析数据来认识未知现象的一门学科。如何分析数据，预测未知一直是统计学高手关注的热点，也是我们学习的重点。下面我们跟随小视频一起走进本节课的学习。 播放数据时代视频 刚才视频里提到平均数、中位数和众数我们在初中已经学过，它们都是刻画数据“中心”的量，只是从不同角度刻画了一组数据的集中趋势. 通过本节课的学习我希望能达到两个目标 一：通过具体实例进一步了解这些量的意义，探究它们之间的联系与区别，优点与缺点，并能根据要解决的问题选取合适的量来刻画数据的集中趋势 二：能正确提取数据的集中趋势，会用样本的集中趋势估计总体的集中趋势. 复习回顾 众数：一组数据中出现次数最多的数. 中位数：一组数据按大小顺序依次排序后， 当数据个数是奇数时，处在最中间的数是中位数； 当数据个数是偶数时，最中间两个数的平均数是中位数. 平均数： 平均数、中位数、众数是什么？ LOGO 5 例1.根据100户居民用户的月均用水量的调查数据, 计算样本数据的平均数和中位数, 并据此估计全市居民用户月均用水量的平均数和中位数. 9.0 13.6 14.9 5.9 4.0 7.1 6.4 5.4 19.4 2.0 2.2 8.6 13.8 5.4 10.2 4.9 6.8 14.0 2.0 10.5 2.1 5.7 5.1 16.8 6.0 11.1 1.3 11.2 7.7 4.9 2.3 10.0 16.7 12.0 12.4 7.8 5.2 13.6 2.4 22.4 3.6 7.1 8.8 25.6 3.2 18.3 5.1 2.0 3.0 12.0 22.2 10.8 5.5 2.0 24.3 9.9 3.6 5.6 4.4 7.9 5.1 24.5 6.4 7.5 4.7 20.5 5.5 15.7 2.6 5.7 5.5 6.0 16.0 2.4 9.5 3.7 17.0 3.8 4.1 2.3 5.3 7.8 8.1 4.3 13.3 6.8 1.3 7.0 4.9 1.8 7.1 28.0 10.2 13.8 17.9 10.1 5.5 4.6 3.2 21.6 解：① 根据已知100户居民用户月均用水量的数据，可得样本平均数为 即100户居民的月均用水量的平均数为8. 79 t. 探究新知 LOGO 6 由上述数据可得，第50个数和第51个数均为6.8，由中位数的定义，可得100户居民的月均用水量的中位数是6.8 t. ②将样本数据按从小到大排序，结果如下： 1.3 1.3 1.8 2.0 2.0 2.0 2.0 2.1 2.2 2.3 2.3 2.4 2.4 2.6 3.0 3.2 3.2 3.6 3.6 3.7 3.8 4.0 4.1 4.3 4.4 4.6 4.7 4.9 4.9 4.9 5.1 5.1 5.1 5.2 5.3 5.4 5.4 5.5 5.5 5.5 5.5 5.6 5.7 5.7 5.9 6.0 6.0 6.4 6.4 6.8 6.8 7.0 7.1 7.1 7.1 7.5 7.7 7.8 7.8 7.9 8.1 8.6 8.8 9.0 9.5 9.9 10.0 10.1 10.2 10.2 10.5 10.8 11.1 11.2 12.0 12.0 12.4 13.3 13.6 13.6 13.8 13.8 14.0 14.9 15.7 16.0 16.7 16.8 17.0 17.9 18.3 19.4 20.5 21.6 22.2 22.4 24.3 24.5 25.6 28.0 因为数据是抽自全市居民户的简单随机样本，所以我们可以据此估计全市居民用户的月均用水量约为8.79 t，其中位数约为6.8 t 探究新知 LOGO 7 小明用统计软件计算了100户居民用水量的平均数和中位数. 但录入数据时把一个数据7.7录成了77. 请计算录入数据的平均数和中位数，并与真实的样本平均数和中位数作比较. 哪个量改变了？你能解释其中的原因吗？ 由计算得, 平均数由原来的8.79t变为9.483t, 中位数没有变化, 还是6.8t. 样本平均数与每一个样本数据有关，样本中的任何一个数据的改变都会引起平均数的改变； 中位数只利用了样本数据中间位置的一个或两个值，所以不是任何一个样本数据的改变都会引起中位数的改变 与中位数比较，平均数反映出样本数据中的更多信息，对样本中的极端值更加敏感. 探究新知 LOGO 8 探究新知 平均数与中位数的区别与联系 探究：平均数与中位数都描述了数据的集中趋势，而且平均数比中位数对样本中的极端值更加敏感，你是否能利用这个特征，判断下图的三种分布形态中，平均数和中位数的大小关系？ LOGO 9 9 个 4 7 个 5 探究新知 对于一个单峰的频率分布直方图来说，如果直方图的形状是对称的， 平均数与中位数大小关系如何？ 7 个 3 平均数与中位数大致相同 直方图在右边“拖尾”，平均数（ ）中位数 9 个 4 2个 6 4 个 5 1个 7 7 个 3 直方图在左边“拖尾”，平均数（ ）中位数 平均数与中位数的区别与联系 （1）直方图的形状是对称的，平均数和中位数应该大体上差不多 和中位数相比，平均数总是在“长尾巴”那边. （2）直方图在右边“拖尾”，平均数大于中位数 （3）直方图在左边“拖尾”，那么平均数小于中位数 老师答疑，总结建模 LOGO 14 1.某校举行演讲比赛，10 位评委对两位选手的评分如下： 甲 7.5 7.5 7.8 7.8 8.0 8.0 8.2 8.3 8.4 9.9 乙 7.5 7.8 7.8 7.8 8.0 8.0 8.3 8.3 8.5 8.5 选手的最终得分为去掉一个最低分和一个最高分之后，剩下8个评分的平均数. 那么，这两个选手的最后得分是多少? 若直接用10位评委评分的平均数作为选手的得分，两位选手的排名有变化吗? 你认为哪种评分办法更好? 为什么? 独立学习，内化知识 这个例子更关注的是数据的大小，选用平均数来刻画数据的集中程度 独立学习，内化知识 这个例子更关注的是数据的位次是中上还是中下，选用中位数来刻画数据的集中程度 3. 某学校要定制高一年级的校服，学生根据厂家提供的参考身高选择校服规格. 根据统计，高 一 年级女生需要不同规格校服的频数如下表所示： 校服规格 155 160 165 170 175 合计 频数 39 64 167 90 26 386 如果用一个量来代表该校高一年级女生所需校服的规格，那么在中位数、平均数和众数中，哪个量比较合适？试讨论上表数据估计全国高一年级女生校服规格的合理性. . 独立学习，内化知识 这个例子更关注的是哪个数据出现的次数最多， 选用众数来刻画数据的集中程度 LOGO 17 .某鞋店试销一种新女鞋，销售情况如下表： 鞋号 34 35 36 37 38 39 40 41 日销量/双 2 5 9 16 9 5 3 2 如果你是鞋店经理，那么下列统计量中对你来说最重要的是 A.平均数 B.众数 C.中位数 D.极差 √ 独立学习，内化知识 4. 实际应用： 假设你到人力市场去找工作，有一个企业老板告诉你，“我们企业员工的年平均收入是20万元”. 你如何理解这句话？ 在一次人才招聘会上，有一家公司的招聘员告诉你，“我们公司的收入水平很高”去年，在50 名员工中，最高年收入达到了200万，员工年收入的平均数是10万”，而你的预期是获得9万元年薪. (1) 你是否能够判断年薪为9万元的员工在这家公司算高收入者? (2) 如果招聘员继续告诉你，“员工年收入的变化范围是从3万到200万”，这个信息是 否足以使你作出自己是否受聘的决定?为什么? (3) 如果招聘员继续给你提供了如下信息，员工收入的第一四分位数为4.5万，第三四分位数为9.5万，你又该如何使用这条信息来作出是否受聘的决定? 深入思考 这个问题，我们比上个问题作出了更合理的判断，主要是因为，我们收集到了更多的数据，再加上正确的分析数据， 是可以作出合理预估的。这个问题也是统计里一个很好的例子，统计要做的主要工作就是收集数据，分析数据， 预测未知，为我们的决策做服务 有效讨论，外化表达 刚才通过几个具体例子我们体会到平均数，中位数，众数都是刻画数据集中趋势的量，但是它们刻画的角度不同，有何不同？ 在具体的问题中我们如何选取那个量刻画数据的集中趋势？ 1.平均数、中位数和众数等都是刻画 的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势. 平均数反映数据在大小上的中心，中位数反映了数据在位置上的中心，众数反应数据在数量上的中心 2.一般地，对数值型数据(如用水量、身高、收入、产量等)集中趋势的描述，可以用 、 ；而对分类型数据(如校服规格、性别、产品质量等级等)集中趋势的描述，可以用 . “中心位置” 平均数 中位数 众数 　老师答疑，总结建模： 3.众数、中位数、平均数的比较 探究新知：用频率分布图估计样本平均数，中位数，众数 样本的平均数、中位数和众数可以分别作为总体的平均数、中位数和众数的估计，但在某些情况下我们无法获知原始的样本数据. 例如，我们在报纸、网络上获得的往往是已经整理好的统计表或统计图. 这时该如何估计样本的平均数、中位数和众数？ 你能以下面的频率分布直方图提供的信息为例，给出估计方法吗？ 思考：根据频率分布直方图如何计算样本平均数？ 在频率分布直方图中，我们无法知道每个组内的数据是如何分布的. 此时，通常假设它们在组内均匀分布. 23 1. 根据频率分布直方图计算样本平均数： 因为样本平均数可以表示为数据与它的频率的乘积之和. 所以在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替. 所以由上图可得样本平均数为 这个结果与根据原始数据计算的样本平均数8.79相差不大. 24 由于0.077×3=0.231，(0.077+0.107)×3=0.552， 因此中位数落在区间[4.2, 7.2)内. 设中位数为x，由0.077×3+0.107×(x-4.2)=0.5，解得x≈6.71. 因此，中位数约为6.71. 2. 根据频率分布直方图计算样本中位数： 在频率分布直方图中，中位数左边和 右边的直方图的面积应该相等. 这个结果与根据原始数据计算的样本中位数6.8相差不大. 25 3. 根据频率分布直方图计算样本众数： 在频率分布直方图中，我们常常把最高 直方图底边的中点作为众数的估计值. 在这个实际问题中，众数“5. 7”让我们知道月均用水量在区间[4.2, 7.2)内的居民用户最多. 在此频率分布直方图中，月均用水量在区间[4.2, 7.2)内的居民最多，所以将这个区间的中点5.7作为众数的估计值. 26 众数： 由频率分布直方图怎样估计众数、中位数、平均数 中位数： 平均数： 有效讨论，外化表达 LOGO 27 众数： 最高矩形的中点的横坐标 由频率分布直方图估计众数、中位数、平均数 中位数：中位数左边的直方图面积和右边的直方图面积相等 平均数：每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和 老师答疑，总结建模 LOGO 28 独立学习，内化知识 某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示. （1）求这次测试数学成绩的众数; （2）求这次测试数学成绩的中位数. （3）求这次测试数学成绩的平均分. LOGO 29 1.众数、中位数、平均数的比较 名称 优点 缺点 平均数 与中位数相比，平均数反映出样本数据中更多的信息，对样本中的极端值更加敏感 任何一个数据的改变都会引起平均数的改变.数据越“离群”，对平均数的影响越大 中位数 不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响 对极端值不敏感 众数 体现了样本数据的最大集中点 众数只能传递数据中的信息的很少一部分，对极端值不敏感 有效讨论，外化表达 课堂小结 （1）平均数、中位数和众数等都是刻画 的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势.平均数反映数据在大小上的中心，中位数反映了数据在位置上的中心，众数反应数据在数量上的中心 （2）一般地，对数值型数据(如用水量、身高、收入、产量等)集中趋势的描述，可以用 、 ；而对分类型数据(如校服规格、性别、产品质量等级等)集中趋势的描述，可以用 . “中心位置” 平均数 中位数 众数 2.总体集中趋势的估计 3.用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数 (1)平均数：在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替. (2)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，也就是50%分位数. (3)众数：众数是最高小矩形底边的中点所对应的数据. 本节课的学习不能止步于众数，中位数，平均数的算法， 而是理解每个数背后的意义，能做到这一层， 才能修炼成统计学的高手！ Lavf58.20.100 $$