3.1.2 椭圆的简单几何性质 课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

椭圆的简单几何性质 1 1 2 复习回顾 图 形 标准方 程 焦 点 F(±c，0) F(0，±c) a,b,c之间的关系 c2=a2-b2 定 义 1 2 y o F F M x 1 o F y x 2 F M (a>c>0) 1 2 F F M 2 3 教学目标1、掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率、理解a,b,c,e的几何意义2 、通过对椭圆标准方程的讨论，理解在解析几何中是怎样用代数方法研究几何问题的。3 、初步利用椭圆的几何性质解决问题。 教学重难点 重点：椭圆的几何性质 难点：椭圆的几何性质的探讨以及a,b,c,e的关系 3 观察不同的椭圆 大小不同 圆扁不同 对称 特殊点 1、我们应该关注椭圆的哪些性质呢？ 思考？ 4 4 5 思考？ 2、我们应该如何研究椭圆的这些性质？ 数形结合 x y o 5 6 一、范围： o y B2 B1 A1 A2 F1 F2 c a b 椭圆 简单的几何性质 由标准方程知， 同理可得， 结论：椭圆位于直线 和 所组成的矩形框内。 x 6 7 Y X O P（x，y） P2（-x，y） P3（-x，-y） P1（x，-y） 关于x轴对称 关于y轴对称 关于原点对称 二、椭圆的对称性 7 8 从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称。 从方程上看： （1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称； （2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称； （3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象关于原点成中心对称。 即标准方程的椭圆是以坐标轴为对称轴，坐标原点为对称中心的。 8 9 三、椭圆的顶点 令 x=0，得 y=？说明椭圆与 y轴的交点？ 令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点？ *顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。 *长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。 a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 o y B2 B1 A1 A2 F1 F2 c a b (0,b) (a，0) (0,-b) (-a，0) 9 10 1 2 3 -1 -2 -3 -4 4 y 1 2 3 -1 -2 -3 -4 4 y 1 2 3 4 5 -1 -5 -2 -3 -4 x 1 2 3 4 5 -1 -5 -2 -3 -4 x 根据前面所学有关知识画出下列图形 （1） （2） A1 B1 A2 B2 B2 A2 B1 A1 10 11 四、椭圆的离心率 o x y 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比： 叫做椭圆的离心率。 [1]离心率的取值范围： 因为 a > c > 0，所以0 < e < 1 [2]离心率对椭圆形状的影响： b就越小，此时椭圆就越扁 2）e 越接近 0，c 就越接近 0 b就越大，此时椭圆就越圆 即离心率是反映椭圆扁平程度的一个量。 超链接 1）e 越接近 1，c 就越接近 a， 11 练习： 比较下列每组椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？为什么？ 12 12 13 标准方程 图 象 范 围 对 称 性 顶点坐标 焦点坐标 半 轴 长 焦 距 a,b,c关系 离 心 率 |x|≤ a,|y|≤ b |x|≤ b,|y|≤ a 关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称。 （ a ,0 ）,(0, b) （ b ,0 ）,(0, a) (±c,0) (0, ±c) 长半轴长为a,短半轴长为b. 焦距为2c; a2=b2+c2 13 14 例1、已知椭圆方程为16x2+25y2=400, 10 8 6 分析：椭圆方程转化为标准方程为： a=5 b=4 c=3 o x y o x y 它的长轴长是： 。短轴长是： 。 焦距是 。 离心率等于： 。 焦点坐标是： 。顶点坐标是： 。 14 15 例2：求符合下列条件的椭圆的标准方程: (1)经过点(-3,0)、(0,-2); (2)长轴的长等于20,离心率等于0.6 15 16 小结： o x y B1(0,b) B2(0,-b) A1 A2 {1}范围： -a≤x≤a, -b≤y≤b {2}椭圆的对称性:关于x轴、y轴、原点对称 {3}椭圆的顶点 (-a，0) (a，0) {4}椭圆的离心率: 16 $$