精品解析：宁夏青铜峡市第一中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷（B）

青铜峡市第一中学2024-2025学年第一学期期末考试 高二数学（B卷） 试卷满分：150分；考试时间：120分钟； 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在数列中，，，则（     ） A. B. C. D. 2. 已知点，则以为直径的圆的方程为（     ） A. B. C. D. 3. 双曲线的离心率为，则（     ） A. B. C. 4 D. 2 4. 已知在等比数列中，，，则（     ） A. B. C. D. 5. 若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则（     ） A. B. C. D. 6. 已知数列是等差数列，，数列是等比数列，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知正四棱柱中，，，点，分别是和的中点，是线段的中点，则直线和所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 数列是等差数列，且，数列的前项和为，若，则使不等式成立的的最小值为（    ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．） 9. 已知直线，圆，则（    ） A. 经过定点 B. 圆与圆：外离 C. 当与圆相切时，. D. 圆心到直线距离的最大值为 10. 抛物线的准线为l，P为上的动点，过作圆的一条切线，切点为，过作的垂线，垂足为，则下列结论正确的是（ ） A. 与圆相切 B. 当时， C. 的最小值为 D. 满足的点有且仅有2个 11. 如图，在平面直角坐标系中，点均在轴正半轴上，点均在轴正半轴上.已知，，，，，，，四边形，均为长方形.当时，记为第个倒“L”形，其面积为，的面积为，且的前项和为，则（    ） A. 点的纵坐标为 B. 点均在曲线上 C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知直线，直线，若，则__________. 13. 在数列中，，则______. 14. 若､是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知等差数列满足，公差． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16. 已知双曲线，点在双曲线上，且其渐近线方程为. （1）求双曲线的标准方程； （2）若过点的直线与双曲线只有一个交点，求直线的方程. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，且，，，． （1）求证：； （2）点M在线段上，若M为的中点，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知数列的前项和，数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）求证：是等差数列，并求的通项公式； （3）设，求数列的前项和. 19. 已知椭圆，点，在椭圆C上． （1）求椭圆C的方程； （2）求椭圆C上点到直线距离的最大值； （3）过椭圆C右焦点F的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青铜峡市第一中学2024-2025学年第一学期期末考试 高二数学（B卷） 试卷满分：150分；考试时间：120分钟； 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在数列中，，，则（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的求和公式即可得到答案. 【详解】因为，， 所以数列是以1为首项，公差为的等差数列， 则. 故选：C. 2. 已知点，则以为直径的圆的方程为（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知圆心为，半径为，进而可得圆的方程. 【详解】因为，可知线段的中点为，且， 即圆心为，半径为， 所以所求圆的方程为. 故选：D. 3. 双曲线的离心率为，则（     ） A. B. C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线方程求出，再利用离心率为列方程求解即可. 【详解】由双曲线方程可得，焦点在轴上， 则， 所以离心率为， 故选：C. 4. 已知在等比数列中，，，则（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的条件，利用等比数列通项求出及. 【详解】设等比数列的公比为，由，，得，因此， 所以. 故选：B 5. 若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由椭圆的标准方程可得右焦点为，则，即可求得. 【详解】由椭圆的标准方程可知，，即，所以右焦点为， 又抛物线的焦点与重合， 所以，所以. 故选：D. 6. 已知数列是等差数列，，数列是等比数列，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差等比数列的下标和性质即可求解. 【详解】因为数列是等差数列，，则，即， 所以， 因为数列是等比数列，，则，即， 所以， 则. 故选：A. 7. 已知正四棱柱中，，，点，分别是和的中点，是线段的中点，则直线和所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，根据向量法求解即可. 【详解】如图 建立空间直角坐标系，则，，，，， 则，，， 则， 所以异面直线和所成角的余弦值为. 故选：D. 8. 数列是等差数列，且，数列的前项和为，若，则使不等式成立的的最小值为（    ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式求得，进而得到，再利用裂项相消法求，解对应的不等式即可得解. 【详解】由为等差数列，，得公差， ， 于是， 因此， 又，解得，所以n的最小值为. 故选：C 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．） 9. 已知直线，圆，则（    ） A. 经过定点 B. 圆与圆：外离 C. 当与圆相切时，. D. 圆心到直线距离的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据方程的形式，联立方程，即可求定点，判断A，根据两圆位置关系判断B；根据相切结合点到直线的距离公式运算判断C；求出圆心到动直线的最大距离即可判断D. 【详解】对于选项A：因为， 令，解得，所以l过定点，故A正确； 对于选项B：圆可化为，可知其圆心为，半径， 圆：的圆心为，半径， 因为，即，可知两圆相交，故B错误； 对于选项C：若与圆相切， 则圆心到直线的距离，解得，故C错误； 对于选项D：当时，圆心到直线距离的最大， 此时最大值为，故D正确. 故选：AD. 10. 抛物线的准线为l，P为上的动点，过作圆的一条切线，切点为，过作的垂线，垂足为，则下列结论正确的是（ ） A. 与圆相切 B. 当时， C. 的最小值为 D. 满足的点有且仅有2个 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，抛物线准线为，根据圆心到准线的距离来判断；B选项，根据先算出的坐标，再借助切线的性质计算即可得；C选项，结合抛物线定义可得三点共线时，最小，计算即可得；D选项，直接设点坐标进行求解即可得. 【详解】A选项，抛物线的准线为， 圆的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径， 故准线和圆相切，A选项正确； B选项，当时，，此时，故或， 当时，，则； 当时，，； 故或，B选项错误； C选项，， 当且仅当三点共线时，等号成立，故 的最小值为，C选项错误； D选项， 设，由可得，又，又， 根据两点间的距离公式，，整理得， ，则关于的方程有两个解， 即存在两个这样的点，D选项正确. 故选：AD. 11. 如图，在平面直角坐标系中，点均在轴正半轴上，点均在轴正半轴上.已知，，，，，，，四边形，均为长方形.当时，记为第个倒“L”形，其面积为，的面积为，且的前项和为，则（    ） A. 点的纵坐标为 B. 点均在曲线上 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定条件，求出的坐标及长方形的面积，再逐项分析判断即可得解. 【详解】设点， 对于A，，A错误， 对于B，，点均在曲线上，B正确； 对于C，，C正确； 第10个倒“L”形的面积为，D正确. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤， (1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论. (2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况. (3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知直线，直线，若，则__________. 【答案】0 【解析】 【分析】利用两条直线垂直列式求解得答案. 【详解】由直线与直线垂直，得，解得， 所以. 故答案为：0. 13. 在数列中，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用累加法求出通项公式. 【详解】在数列中，， 当时， ，而满足上式， 所以. 故答案为： 14. 若､是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的定义算出中，，，由是等边三角形得，利用余弦定理算出，结合双曲线离心率公式即可算出双曲线的离心率. 【详解】根据双曲线的定义，可得， 因为是等边三角形，即， 所以，即， 又，所以， 因为中，，，， 所以， 即，解之得， 由此可得双曲线的离心率． 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知等差数列满足，公差． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列通项公式即可得到答案； （2）由（1）的结论，利用分组求和法及等差、等比数列前项和公式求解即得. 【小问1详解】 由题意知. 【小问2详解】 由（1）知，则 . 16. 已知双曲线，点在双曲线上，且其渐近线方程为. （1）求双曲线的标准方程； （2）若过点的直线与双曲线只有一个交点，求直线的方程. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）利用给定的渐近线及所过的点求出得解. （2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，再分类讨论求出的方程. 【小问1详解】 由双曲线的渐近线方程为，得， 而在双曲线上，则， 所以双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 显然直线的斜率存在，设直线的方程为， 由消去并整理得， 当，即时，方程只有一个根， 此时直线与双曲线只有一个交点，因此，直线的方程为； 当时，，解得，直线的方程为， 所以直线的方程为或. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，且，，，． （1）求证：； （2）点M在线段上，若M为的中点，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明： 因为平面，所以过点作的平行线为轴， 因为，所以以点为坐标原点，分别以所在方向为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示， 因为，，，所以，，所以 因为 所以，所以， 所以； （2） 【解析】 【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，应用空间向量数量积为0得出线线垂直； （2）求出平面与平面的法向量，再利用向量的夹角公式，进而可以求出二面角的余弦值，. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为， 所以， 设为平面的一个法向量，则 ，即， 令，则，， 设为平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为，则 . 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知数列的前项和，数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）求证：是等差数列，并求的通项公式； （3）设，求数列的前项和. 【答案】（1）； （2） 证明：数列中，，，显然，则， 所以是首项，公差为2的等差数列， 故，. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用求出通项公式. （2）利用给定的递推公式，结合等差数列定义推理并求出通项公式. （3）由（1）（2）求出，再利用错位相减法求和即得. 【小问1详解】 在数列中，， 当时，， 而满足上式， 所以数列的通项公式是. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）（2）得， ， 则， 两式相减得 ， 所以. 19. 已知椭圆，点，在椭圆C上． （1）求椭圆C的方程； （2）求椭圆C上点到直线距离的最大值； （3）过椭圆C右焦点F的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据所过点得到关于的方程组，解之即可得解； （2）利用三角换元法，结合点线距离公式与三角函数恒等变化即可得解； （3）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，结合题设条件得到关于的方程组，解之即可得解. 【小问1详解】 由题意得，解得，， 故椭圆的方程为. 【小问2详解】 因为点在椭圆上，不妨设， 则点到直线距离为 ，其中， 所以当，即时，取得最大值，为， 即椭圆C上点到直线距离的最大值为. 【小问3详解】 假设存在，由于， 当直线斜率为0时，l方程为，点P在x轴上任意点都符合题意， 当直线斜率不为0时，可设直线l方程为，，， 联立方程组，得， 易知，则，故， 则， 即， 则，即， 所以，因此， 此时，显然直线斜率为0时也符合题意， 即存在点使得． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $