4.2.1等差数列的概念讲义-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.2.1等差数列的概念 知识点1 等差数列的概念 ① 等差数列的概念 （1）文字语言：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，公差通常用字母d表示。 （2）符号语言： ② 对等差数列概念的理解 （1）“从第2项起”是因为首项没有“前一项”。 （2）一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差即使等于常数，这个数列也不一定是等差数列，因为当这些常数不同时，该数列不是等差数列，因此定义中强调“同一个常数”，注意不要漏掉这一条件。 （3）求公差d时，可以用来求，也可以用来求。注意公差是每一项与其前一项的差，当用求公差时，要求n≥2, （4）公差d∈R,当d=0时，数列为常数列；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列。 （5）公差d一定是由后一项减前一项所得，不能颠倒前后项的位置。 （6）常数列是公差为零的等差数列。 例1-1（2022·山东烟台一中周练）若一个数列的前5项分别是1,2,3,4,5，则下列说法正确的是（）。 A.该数列一定是等差数列 B.该数列一定不是等差数列 C.该数列不一定是等差数列 D.以上结论都不正确 解：若一个数列的前5项分别是1,2,3,4，5，则该数列可能是等差数列、周期数列或其他数列，所以该数列不一定是等差数列。故选C。 例1-2（2022·四川成都石室中学周练）（多选）下列数列中是等差数列的有（ ）。 A.-10,-12,-14,-16,-18 B.-2,-1,0,1,2 C.5,8,11,14 D.1,2,2,2,2 解：A中数列的公差为-2，是等差数列；B 中数列的公差为1，是等差数列；C中数列的公差为3，是等差数列；D中，,2-1=1,2-2=0,2-2=0,2-2=0，差不是同一个常数，因此该数列不是等差数列。故选ABC。 例1-3（2022·湖北荆门高二期中）若数列的通项公式为，则此数列是（ ）。 A．公差为2的等差数列 B．公差为5的等差数列 C．首项为5的等差数列 D.公差为n的等差数列 解：，故选A。 点评，若是常数（即一个与n无关的数），则数列是等差数列，否则数列不是等差数列。 知识点2 等差中项 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列。这时，A叫作a与b的等差中项。 归纳总结 (1)a,A,b成等差数列⇔A-a=b-A⇔A= （2）若，则数列 为等差数列，反之也成立，所以)⇔数列为等差数列。这种判断一个数列是否为等差数列的方法称为“等差中项法”。 （3）在有穷等差数列中，除首、末两项外，任何一项都是前后两项的等差中项；在无穷等差数列中，除首项外，任何一项都是前后两项的等差中项。 例2-1已知数列是等差数列，与的等差中项为1，与的等差中项为2， 则公差。 解：是等差数列，两式相加得又与的等差中项为1,与的等差中项为2，:，两式相减可得，则2d=2，解得d=1。 例2-2（2022·河南郑州期中）若5，x，y，z，21成等差数列，则x+y+z的值为（ ）。 A.26 B.29 C.39 D.52 解：因为5，x，y，z，21成等差数列，所以y是x，z的等差中项，也是5,21的等差中项，所以x+z=2y,5+21=2y，所以y=13,x+z=26,所以x+y+z=39。故选C。 知识点3 等差数列的通项公式 ① 等差数列的通项公式 以为首项，d为公差的等差数列的通项公式为 ② 等差数列通项公式的推导 对于等差数列通项公式的推导，教材是根据等差数列的概念，通过归纳的方式得出的，还可以采用以下推导方法： 方法一（累加法）：因为是等差数列，所以 ·· 两边分别相加得 所以 方法二（迭代法）：是等差数列，则有 方法三（逐差法）：是等差数列，则有 1)d。 ③ 等差数列通项公式的变形应用 已知等差数列中的任意两项，则 这表明已知等差数列中的任意两项即可求得其公差，进而求得其通项公式。 例3-1若数列是首项，公差d=4的等差数列，如果，则n等于（ ）。 A.504 B.505 C.506 D.507 解：令1+4(n-1)=2021，解得n=506。故选C。 例3-2在等差数列中，已知，则 。 方法一：设首项为，公差为d，则 解得所以1)d=6n-14。 方法二：设公差为d,则 答：6n-14 例3-1在等差数列中，若则公差d=( )。 A.1 B.2 C. D. 解：方法一：设首项为 是等差数列，即，又②。由①②得 方法二：是等差数列，:，即又2,:. 故选D。 知识点4等差数列与一次函数的关系 ① 等差数列与一次函数的关系 由等差数列的通项公式 N＊），可得，当d≠0时，等差数列的通项公式是关于自变量n的一次整式，一次项系数就是等差数列的公差。因此从图像上看，表示数列的各点均匀分布在一条直线上。当d=0时，，等差数列为常数列，此时数列的图像是平行于x轴的直线上均匀分布的一群孤立的点。总之，等差数列的图像是直线y=上均匀分布的一群孤立的点。 等差数列与一次函数 等差数列 一次函数 表达式 不同点 定义域为N＊（或它的有限子集｛1,2，···，n｝），图像是一系列孤立的点（在直线上） 定义域为R，图像是一条直线 相同点 等差数列的通项公式与函数的表达式都是关于自变量的一次整式 ② 等差数列的单调性 由等差数列和一次函数的关系可知，等差数列的单调性受公差d的影响。 （1）当d>0时，数列为递增数列，如图4-2-1-2所示； （2）当d<0时，数列为递减数列，如图4-2-1-3所示； （3）当d=0时，数列为常数列，如图4-2-1-4所示。 因此，不论公差为何值，等差数列都不会是摆动数列。 例4-1已知点（1,1），（3,5）是等差数列图像上的两点，则。 解：方法一：根据等差数列与一次函数的关系可知，过点（1,1），（3,5）的直线的斜率，即公差d=2又所以 方法二：由已知条件和等差数列的性质可得，所以。因为也满足上式，所以 答：2n-1 例4-2若数列为等差数列， q），则。 解：设的公差为d,⋯(p-q)d,∴q=p+(p-q)d,即q-p=(p-q)d。.q×(-1)=0。答：0 例4-3（2022·山东柳城模拟）（多选）下面关于公差d>0的等差数列的四个结论不正确的是（ ）。 A.数列是递增数列 B.数列是递增数列 C.数列是递增数列 D.是递增数列 解：设由于d>0，所以A正确；易知满足条件，则，显然数列并非递增数列，所以B错误；满足条件，则，显然是递减数列，所以C错误；由得 因为4d<0，所以数列是递增数列，所以D正确。 答：BC 基础达标 1．（2022·陕西宝鸡高二期中·知识点2,3）已知等差数列的前三项分别为a-1,a+1,2a+1，则该数列的通项公式为（ ）。 A. B C. D. 2．（知识点4）已知数列，对任意的点都在直线y=2x+1上，则为（ ）。 A．公差为2的等差数列 B．公差为1的等差数列 C．公差为-2的等差数列 D.非等差数列 3．（2022·重庆二模·知识点1,3）已知公差不为0的等差数列中，，则 )。 A. B.5 C.10 D.40 4.(2022·湖北黄冈中学高二月考·知识点2）设x是a与b的等差中项，是与-b2的等差中项，则a，b的关系是（ ）。 A..a=-b B.a=3b C.a=-b或a=3b Da=b=0 5．（2022·上海普陀区二模·能力点2）已知等差数列满足，则 。 高考提升 6．（2022·广东佛山桂城中学高二阶段练习·能力点1,2）（多选）已知方程2x+n)=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则m-n的值等于（ ）。 A. B. C D. 7．（2023·湖北武汉外国语学校高二月考·能力点1,4）（多选）公差为d的等差数列满足,，则下面结论正确的有（ ）。 A.d=2 B. D.的前n项和为 8.(2022·广东顺德李兆基中学高二阶段练习·能力点4）若三个非零且互不相等的实数成等差数列且满足，则称,成一个“β等差数列”。已知集合M={x||x|≤200,x∈Z}，则由M中的三个元素组成的所有数列中，“,"β等差数列”的个数为（ ）。 A.101 B.100 C.50 D.51 9．（2022·北京昌平区高二期末·能力点1）设数列的前n项和为且，若数列是等差数列，则 。 10．（2022·广东佛山一中高二期中·能力点 4）“中国剩余定理”又称“孙子定理”。1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲。1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”。“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2022这2022个数中，能被3整除余1且被5整除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为 。 11．（2022·广东惠州高三阶段练习·知识点1,3）已知数列的前n项和为，现有三个条件分别为：条件；条件 条件③请从上述三个条件中选择能够确定一个数列的两个条件，并完成解答。您选择的条件是 和 。 （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前n项和 12．（2022·江苏泰州中学检测·能力点1,3）已知数列满足且n≥2 （1）求证：数列为等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）设，求数列的前n项和 竞赛培优 13．（2021·全国高中数学联赛浙江赛区初赛·能力点4）已知二次函数 (a,b∈R)有两个不同的零点，若0有四个不同的根,且成等差数列，求a-b的取值范围。 答案解析 基础达标 1．C【解析】等差数列的前三项分别为a-1,a+1,2a+1,∴2(a+1)=a-1+2a+1,即a=2,∴的前三项为1,3,5，即,d=2,∴故选C。 2.A 【解析】点在直线y=2x+1上，为常数，是以3为首项，2为公差的等差数列。故选A。 3.A【解析】设首项为，公差为d,，由已知得由于d≠0，所以，所以 故选A。 4.C 【解析】：x是a与b的等差中项，:是与-b2的等差中项，: : :，即b),∴(a+b)(a-3b)=0,∴a=-b或a=3b 故选C。 5.1【解析】因为，所以，即 高考提升 6.BD 【解析】设方程n)=0的四根分别为，则数列,是首项为的等差数列。设其公差为d，由等差数列的性质可得①若为方程的两根，则为方程的两根，由韦达定理可得，可得,d=，则，此时，则；②若为方程的两根，为方程2x+m=0的两根，同理可得，则 综上所述，。故选BD。 7.ABD 【解析】设首项为，由题意知，即解得所以，故A，B正确。又 (2n+2)=4n(n+1)，所以，所以数列的前n项和为，故C错误，D正确。故选ABD。 8.B【解析】由三个非零且互不相等的实数成等差数列且满足，得消去并整理，得. ，所以舍去）或,于是有在集合M={x||x|≤200,x∈Z}中，三个元素组成的所有数列必为整数列，所以必为2的倍数，且100]，故这样的数组共100组。故选B。 9.32【解析】因为，所以等差数列的首项为2，公差为2所以 10.135【解析】因为能被3整除余1且被5整除余1的数即为能被15整除余1的数， 所以又即15n-14≤2022，则n=135。 11．（1）选①②时：方法一：由可知数列是公差为2的等差数列，又，即得，故2(n-1)，即 方法二：由可知数列是公差为2的等差数列，又，所以5)×d,则，即 N*)。 选②③时：由可知数列是公差为2的等差数列，由可知-4，即，得，故2(n-1)，即选①③这两个条件无法确定数列。 （2）由（1）可知， ，所以，所以 12．（1）当n≥2时，由得又 . 数列是以为首项，为公差的等差数列。 （2）由（1）得 (3) : 竞赛培优 13．设方程的两个根为α,β,且α<β，则等价于所以为方程的两个根，则,为方程的两个根，则 由已知得9，则，得β=9α+16,于是，所以a-b的取值范围为。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.2.1等差数列的概念 知识点1 等差数列的概念 ① 等差数列的概念 （1）文字语言：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，公差通常用字母d表示。 （2）符号语言： ② 对等差数列概念的理解 （1）“从第2项起”是因为首项没有“前一项”。 （2）一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差即使等于常数，这个数列也不一定是等差数列，因为当这些常数不同时，该数列不是等差数列，因此定义中强调“同一个常数”，注意不要漏掉这一条件。 （3）求公差d时，可以用来求，也可以用来求。注意公差是每一项与其前一项的差，当用求公差时，要求n≥2, （4）公差d∈R,当d=0时，数列为常数列；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列。 （5）公差d一定是由后一项减前一项所得，不能颠倒前后项的位置。 （6）常数列是公差为零的等差数列。 例1-1（2022·山东烟台一中周练）若一个数列的前5项分别是1,2,3,4,5，则下列说法正确的是（）。 A.该数列一定是等差数列 B.该数列一定不是等差数列 C.该数列不一定是等差数列 D.以上结论都不正确 例1-2（2022·四川成都石室中学周练）（多选）下列数列中是等差数列的有（ ）。 A.-10,-12,-14,-16,-18 B.-2,-1,0,1,2 C.5,8,11,14 D.1,2,2,2,2 例1-3（2022·湖北荆门高二期中）若数列的通项公式为，则此数列是（ ）。 A．公差为2的等差数列 B．公差为5的等差数列 C．首项为5的等差数列 D.公差为n的等差数列 知识点2 等差中项 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列。这时，A叫作a与b的等差中项。 归纳总结 (1)a,A,b成等差数列⇔A-a=b-A⇔A= （2）若，则数列 为等差数列，反之也成立，所以)⇔数列为等差数列。这种判断一个数列是否为等差数列的方法称为“等差中项法”。 （3）在有穷等差数列中，除首、末两项外，任何一项都是前后两项的等差中项；在无穷等差数列中，除首项外，任何一项都是前后两项的等差中项。 例2-1已知数列是等差数列，与的等差中项为1，与的等差中项为2， 则公差。 例2-2（2022·河南郑州期中）若5，x，y，z，21成等差数列，则x+y+z的值为（ ）。 A.26 B.29 C.39 D.52 知识点3 等差数列的通项公式 ① 等差数列的通项公式 以为首项，d为公差的等差数列的通项公式为 ② 等差数列通项公式的推导 对于等差数列通项公式的推导，教材是根据等差数列的概念，通过归纳的方式得出的，还可以采用以下推导方法： 方法一（累加法）：因为是等差数列，所以 ·· 两边分别相加得 所以 方法二（迭代法）：是等差数列，则有 方法三（逐差法）：是等差数列，则有 1)d。 ③ 等差数列通项公式的变形应用 已知等差数列中的任意两项，则 这表明已知等差数列中的任意两项即可求得其公差，进而求得其通项公式。 例3-1若数列是首项，公差d=4的等差数列，如果，则n等于（ ）。 A.504 B.505 C.506 D.507 例3-2在等差数列中，已知，则 。 例3-1在等差数列中，若则公差d=( )。 A.1 B.2 C. D. 知识点4等差数列与一次函数的关系 ① 等差数列与一次函数的关系 由等差数列的通项公式 N＊），可得，当d≠0时，等差数列的通项公式是关于自变量n的一次整式，一次项系数就是等差数列的公差。因此从图像上看，表示数列的各点均匀分布在一条直线上。当d=0时，，等差数列为常数列，此时数列的图像是平行于x轴的直线上均匀分布的一群孤立的点。总之，等差数列的图像是直线y=上均匀分布的一群孤立的点。 等差数列与一次函数 等差数列 一次函数 表达式 不同点 定义域为N＊（或它的有限子集｛1,2，···，n｝），图像是一系列孤立的点（在直线上） 定义域为R，图像是一条直线 相同点 等差数列的通项公式与函数的表达式都是关于自变量的一次整式 ② 等差数列的单调性 由等差数列和一次函数的关系可知，等差数列的单调性受公差d的影响。 （1）当d>0时，数列为递增数列，如图4-2-1-2所示； （2）当d<0时，数列为递减数列，如图4-2-1-3所示； （3）当d=0时，数列为常数列，如图4-2-1-4所示。 因此，不论公差为何值，等差数列都不会是摆动数列。 例4-1已知点（1,1），（3,5）是等差数列图像上的两点，则。 例4-2若数列为等差数列， q），则。 例4-3（2022·山东柳城模拟）（多选）下面关于公差d>0的等差数列的四个结论不正确的是（ ）。 A.数列是递增数列 B.数列是递增数列 C.数列是递增数列 D.是递增数列 基础达标 1．（2022·陕西宝鸡高二期中·知识点2,3）已知等差数列的前三项分别为a-1,a+1,2a+1，则该数列的通项公式为（ ）。 A. B C. D. 2．（知识点4）已知数列，对任意的点都在直线y=2x+1上，则为（ ）。 A．公差为2的等差数列 B．公差为1的等差数列 C．公差为-2的等差数列 D.非等差数列 3．（2022·重庆二模·知识点1,3）已知公差不为0的等差数列中，，则 )。 A. B.5 C.10 D.40 4.(2022·湖北黄冈中学高二月考·知识点2）设x是a与b的等差中项，是与-b2的等差中项，则a，b的关系是（ ）。 A..a=-b B.a=3b C.a=-b或a=3b Da=b=0 5．（2022·上海普陀区二模·能力点2）已知等差数列满足，则 。 高考提升 6．（2022·广东佛山桂城中学高二阶段练习·能力点1,2）（多选）已知方程2x+n)=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则m-n的值等于（ ）。 A. B. C D. 7．（2023·湖北武汉外国语学校高二月考·能力点1,4）（多选）公差为d的等差数列满足,，则下面结论正确的有（ ）。 A.d=2 B. D.的前n项和为 8.(2022·广东顺德李兆基中学高二阶段练习·能力点4）若三个非零且互不相等的实数成等差数列且满足，则称,成一个“β等差数列”。已知集合M={x||x|≤200,x∈Z}，则由M中的三个元素组成的所有数列中，“,"β等差数列”的个数为（ ）。 A.101 B.100 C.50 D.51 9．（2022·北京昌平区高二期末·能力点1）设数列的前n项和为且，若数列是等差数列，则 。 10．（2022·广东佛山一中高二期中·能力点 4）“中国剩余定理”又称“孙子定理”。1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲。1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”。“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2022这2022个数中，能被3整除余1且被5整除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为 。 11．（2022·广东惠州高三阶段练习·知识点1,3）已知数列的前n项和为，现有三个条件分别为：条件；条件 条件③请从上述三个条件中选择能够确定一个数列的两个条件，并完成解答。您选择的条件是 和 。 （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前n项和 12．（2022·江苏泰州中学检测·能力点1,3）已知数列满足且n≥2 （1）求证：数列为等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）设，求数列的前n项和 竞赛培优 13．（2021·全国高中数学联赛浙江赛区初赛·能力点4）已知二次函数 (a,b∈R)有两个不同的零点，若0有四个不同的根,且成等差数列，求a-b的取值范围。 学科网（北京）股份有限公司 $$