精品解析：吉林省长春市第六中学2024-2025学年高一上学期第三学程考试数学试题

2025年度高一上学期第三学程考试 数学学科试题 时间：120分钟 分数：150分 命题：刘妍彤 审题：郭利 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知角的终边经过点，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由任意角三角函数定义可得答案. 【详解】因角的终边经过点，则的值为. 故选：A 2. 已知一个扇形的面积为，半径为2，则其圆心角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由扇形的面积公式列方程求解即可． 【详解】解：由扇形面积公式得， ， 故选：C． 3. 用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断函数的单调性，再判断区间端点处的函数值的符号，结合零点存在性定理判断即可. 【详解】设函数， 因为函数和都是增函数， 所以函数在上单调递增； 又，， 因此，所取的第一个区间可以是， 故选：B. 4. 函数的图象可能是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择. 详解：令， 因为，所以为奇函数，排除选项A,B; 因为时，，所以排除选项C，选D. 点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复． 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由对数函数与指数函数的单调性与中间量比较大小即可判断. 【详解】，， ，所以， 故选：A. 6. 已知，都是实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】通过举反例可以证明充分性不成立，再利用重要不等式可以证明必要性. 【详解】取，，此时，， 满足，此时不成立； 当时，因为， 所以， 所以， 所以， 即， 综上，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 7. 对于函数，下列说法中正确的是（ ） A. 函数的最小正周期是 B. 函数的图象向右平移后，得到函数的图象，则为偶函数 C. 函数的图象关于点对称 D. 函数在上单调递减 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦型函数的性质与图象的平移变换逐项求解判断即可. 【详解】对于A：因为函数， 所以的最小正周期是，故A错误； 对于B：的图象向右平移后，得到函数的图象， 则，所以为奇函数，故B错误； 对于C：令，则，当时，， 所以的一个对称中心为，故C正确； 对于D：由，解得， 所以不在的单调递减区间内，故D错误. 故选：C 8. 已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（ ） A. 的周期为2 B. C. 的所有零点之和为16 D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，由奇偶性及对称性可得的周期；对于B，由当时，，结合A分析，可得，据此可判断选项正误；对于CD，由图象可判断选项正误. 【详解】因是定义在上的奇函数，则， 又为偶函数，则， 则，则的一个周期为4，又由题不是R上的偶函数，则，则2不是的一个周期，故A错误； 因是定义在上的奇函数，则， 又当时，，则， 又为偶函数，则. 又结合A分析与是定义在上的奇函数， 则，故. 又，则， 故B错误； 对于C，由AB分析可画出大致图象如下，的零点， 即为与图象交点的横坐标，由图可得交点有7个，且7个交点关于 对称，则的所有零点之和为，故C错误； 对于D，对于函数，可如下图画出大致图象，发现与的正负情况一致，且有相同零点，则，故D正确. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列各式的值为1的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用三角变换公式计算判断ACD；利用指数、对数运算计算判断B. 【详解】对于A，，A不是； 对于B，，B是； 对于C，，C是； 对于D，，D错误. 故选：BC 10. 有四个命题，其中正确命题有（ ） A. ，使的否定是， B. 不等式的解集为 C. 若函数的值域为，则实数的取值范围是 D. 函数在区间上是增函数 【答案】AC 【解析】 【分析】利用特称命题的否定判断A；解正弦不等式判断B；根据对数型复合函数的值域判断C；根据指数函数与正弦函数、余弦函数的单调性，结合复合函数的单调性判断D. 【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以，使的否定是，，A正确； 由可得，所以不等式的解集为，B错误； 设，因为函数的值域为，所以是的值域的子集， 当时的值域为，符合题意；若，则需满足，解得， 综上，，即实数的取值范围是，C正确； 因为在上递增，在上递减，所以由复合函数的单调性可知在上递减， 因为在上递增，在上递增，所以由复合函数的单调性可知在上递增，在上递减， 所以函数在区间上是减函数，D错误， 故选：AC. 11. 已知函数，若关于的方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，，，，则（ ） A. B. C. D. 函数有6个零点 【答案】ABC 【解析】 【分析】方程有四个不同的根，即图象与直线有4个交点，画出函数大致图象可完成判断；B由图象可判断选项正误；C由题可得，，据此可完成判断；D令，可将函数的零点个数转化为图象与直线交点个数之和，据此可完成判断. 【详解】对于A，由题可画出大致图象， 则方程有四个不同的根，即图象与直线有4个交点， 则由图可得，故A正确； 对于B，由图可得，当时，，当趋近于0时，，则，故B正确； 对于C，由题. 又由题及图可得，， 则，注意到函数 在上单调递减，则，故C正确； 对于D，令，则， 由图可得，则的零点个数为 方程根的个数之和， 即图象与直线交点个数之和. 由图，图象与直线交点个数为0，图象与直线交点个数为2， 图象与直线交点个数为3，图象与直线交点个数为3， 则交点个数之和为8，即函数有8个零点，故D错误. 故选：ABC 【点睛】关键点睛：对于零点问题，常转化为函数图象交点相关的问题；对于含有的问题，常通过令来简化问题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 幂函数在上是减函数，则_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的定义与单调性可得出关于的等式与不等式，解之即可. 【详解】因为幂函数在上是减函数， 则，解得. 故答案为：. 13. 函数的部分图象如图所示，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】 由函数图象可得最小正周期，进而求得，代入可求得，进而得到；代入，利用诱导公式可求得结果. 【详解】由图可知， ，即 由得：， ， 故答案为： 【点睛】本题考查根据图象求解函数解析式、诱导公式求解三角函数值的问题；关键是能够通过函数图象确定函数的最小正周期，同时利用最值点求得的值，从而得到函数解析式. 14. 已知函数，若集合含有4个元素，且关于的方程在上有解，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】由且可求得，再由已知条件可得出关于的不等式，可求得的取值范围，再由二次函数的基本性质结合的的取值范围，综合即可得解． 【详解】由可得， 因为，当时，， 因为集合含有4个元素，则， 解得． 当时，， 则． 综上所述，． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）求值：； （2）设，求的值； 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用对数的换底公式计算可得出所求代数式的值； （2）由指数式与对数式的互化可得出、的值，再利用对数的换底公式计算可得所求代数式的值. 【详解】（1）原式 ； （2）因为，则，，得， 所以，. 16. 已知． （1）化简，并求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角函数诱导公式将化简，将代入求值即可； （2）利用将变形为，继而变形为，代入求值即可． 【小问1详解】 则 【小问2详解】 由（1）知，． 则 17. 已知函数，. （1）求的最小正周期； （2）求在区间上的最大值和最小值； （3）若，，求的值. 【答案】（1）的最小正周期为； （2）最大值为，最小值为； （3） 【解析】 【分析】（1）利用两角差的余弦公式结合二倍角公式，辅助角公式化简，然后由最小正周期的公式求解即可； （2）由求出，然后利用正弦函数的性质求解的最值即可； （3）由，得，求出，将转化为，然后利用两角和的余弦公式求解即可. 【小问1详解】 ， 所以的最小正周期为. 【小问2详解】 因为，所以， 所以当时，； 当时，， 所以在区间上的最大值为，最小值为. 【小问3详解】 因为， 所以， 因为，所以，又， 所以，所以， 所以 . 18. 已知函数，函数的图像与的图像关于对称. （1）求的值； （2）若函数在上有且仅有一个零点，求实数k的取值范围； （3）是否存在实数m，使得函数在上的值域为，若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）或 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由题意，将代入可得答案. （2）由题意即关于x的方程在上有且仅有一个实根，设,作出其函数图像，数形结合可得答案. （3）设记，则函数在上单调递增，根据题意若存在实数m满足条件，则a，b是方程的两个不等正根，由二次方程的根的分布的条件可得答案. 【小问1详解】 由题意，，所以 【小问2详解】 由题意即关于x的方程在上有且仅有一个实根， 设，作出函数在上的图像（如下图） ，，由题意，直线与该图像有且仅有一个公共点， 所以实数k的取值范围是或 【小问3详解】 记， 其中，在定义域上单调递增，则函数在上单调递增， 若存在实数m，使得的值域为， 则，即a，b是方程的两个不等正根， 即a，b是的两个不等正根， 所以解得，所以实数m的取值范围是. 【点睛】思路点睛：函数的零点问题可转化为两个熟悉函数的图象的交点问题来处理，而二次方程的零点问题，可结合判别式的正负、特殊点处的函数值的正负、对称轴的位置等来处理. 19. 已知函数（，且）. （1）判断函数的奇偶性； （2）若，试判断函数的单调性.并求使不等式在上恒成立的的取值范围； （3）若，，且在上的最小值为-2，求的值. 【答案】（1） 函数的定义域为， ，所以函数是奇函数. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇偶函数的定义可判断函数的奇偶性； （2）由，可得，进而可判断函数的单调性，利用奇函数在上单调递增，可将原不等式转化为在上恒成立，再利用基本不等式即可求得答案； （3）可得，再利用指数函数与二次函数的单调性即可得出的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，所以， 又与均为上的增函数，所以为上的增函数； 在上恒成立， 为上的增函数，所以在上恒成立， 在上恒成立， 当且仅当，即时取等号， 所以，即的取值范围为. 【小问3详解】 ，所以，而，解得， 则， ，令， 由（2）知，函数是上的增函数， 当时，，， 若时，函数在上单调递增， 当时，，解得与矛盾； 若时，则时，，则或（舍）， 综上：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年度高一上学期第三学程考试 数学学科试题 时间：120分钟 分数：150分 命题：刘妍彤 审题：郭利 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知角的终边经过点，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. 4 2. 已知一个扇形的面积为，半径为2，则其圆心角为（ ） A. B. C. D. 3. 用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象可能是 A. B. C. D. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，都是实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 对于函数，下列说法中正确的是（ ） A. 函数的最小正周期是 B. 函数的图象向右平移后，得到函数的图象，则为偶函数 C. 函数的图象关于点对称 D. 函数在上单调递减 8. 已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（ ） A. 的周期为2 B. C. 的所有零点之和为16 D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列各式的值为1的是（ ） A. B. C. D. 10. 有四个命题，其中正确命题有（ ） A. ，使的否定是， B. 不等式的解集为 C. 若函数的值域为，则实数的取值范围是 D. 函数在区间上是增函数 11. 已知函数，若关于的方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，，，，则（ ） A. B. C. D. 函数有6个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 幂函数在上是减函数，则_____ 13. 函数的部分图象如图所示，则_________. 14. 已知函数，若集合含有4个元素，且关于的方程在上有解，则实数的取值范围是_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）求值：； （2）设，求的值； 16. 已知． （1）化简，并求的值； （2）若，求的值． 17. 已知函数，. （1）求的最小正周期； （2）求在区间上的最大值和最小值； （3）若，，求的值. 18. 已知函数，函数的图像与的图像关于对称. （1）求的值； （2）若函数在上有且仅有一个零点，求实数k的取值范围； （3）是否存在实数m，使得函数在上的值域为，若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由. 19. 已知函数（，且）. （1）判断函数的奇偶性； （2）若，试判断函数的单调性.并求使不等式在上恒成立的的取值范围； （3）若，，且在上的最小值为-2，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $