2.4 三角形的中位线 课件 2024—2025学年 湘教版八年级数学下册

湘教版·初中数学·八年级下册·第二章 2.4 三角形的中位线 如图，有一块三角形的蛋糕，准备平均分给两个小朋友，要求两人所分的大小相同，请设计合理的解决方案；若平均分给四个小朋友，要求他们所分的大小都相同，请设计合理的解决方案； 情境引入 情境引入 请同学们画一个△ABC，并画出它的中线。 问题1：三角形有几条中线？它们是什么点间的连线？ 若D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，请同学们在图中连接DE，DF，EF. 问题2：这三条线段都是什么点间的连线？ A B C A D E F 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 如图，D，E，F 分别为△ABC 三边中点，所以，DF，DE，EF 分别是三角形的三条中位线. 注意区分中线和中位线. 新知探究 中位线的概念 如图，EF 是 △ABC 的一条中位线. 猜一猜 EF 和与BC 具有怎样的位置关系和数量关系吗？ 猜测 新知探究 你能证明猜想成立吗？ F A B C E 已知：如图，在△ABC中，EF是△ABC的中位线. 求证： EF∥BC, EF= BC. 猜想证明 证明：将△AEF绕点F旋转180°，设点E的像为点G，易知点A的像是点C，点F的像还是点F，且E，F，G在一条直线上. G 又∵EF=FG, 由于旋转不改变图形的形状和大小，所以有 CG=AE=BE，GF=EF，∠G=∠AEF. 则EA//CG，即BE//CG. ∴四边形BCGE是平行四边形. 三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. D A B C E ∵DE是△ABC的中位线 ∴DE∥BC, 归纳总结 几何语言： 1.如图，MN 为△ABC 的中位线，若∠ABC =61°，则∠AMN = ，若MN =12 ，则BC = . A M B C N 61° 24 A D B C E 2.如图， △ABC 中， D ，E 分别为AB，AC 的中点，当BC =10㎝时，则DE = . 5cm 小试牛刀 3.(1)已知:三角形的各边分别为6cm,8cm,12cm，则连接各边中点所成三角形的周长为 ____ cm. 13 (2)已知:三角形的周长为64cm，则连接各边中点所成三角形的周长为 ____cm. 32 例1【教材P.57 A组T2】 如图，点D，E，F分别为△ABC三边的中点，若△DEF的周长为10，求△ABC的周长. 例题精讲 变式：已知△ABC 的各边长度分别为3cm，3.4cm，4cm，求连接各边中点所构成的△DEF 的周长. 1.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AB的中点，OE＝3cm，求AD的长. A B D E C O 巩固应用 2.如图，若△ABC的周长为a，面积为S. (1) D、E、F分别为△ABC各边中点, △DEF的周长为 ； 你发现了什么？ (2) D、E、F分别为△ABC各边中点, △DEF的面积为 ； 巩固应用 E A B C D F 次数 1 2 3 … n 所得三角形周长 … 所得三角形面积 … E A B C D F 三角形中位线所围成的三角形的周长是原三角形的一半. 三角形中位线所围成的三角形的面积是原三角形的四分之一. 总结归纳 已知：如图，在△ABC中，D是AB的中点，DE//BC交AC于点E． 求证：AE=EC． 过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边． E A B C D 例题精讲 证：作EF//AB交BC于点F，连接DF， 作AH//BF交FE的延长线于点H. 则易得四边形ADEH，DBFE是平行四边形. F H 1 2 如图，顺次连结四边形 ABCD 各边中点 E，F，G，H， 得到的四边形 EFGH 是平行四边形吗？为什么？ 解 连接AC. ∵ EF是△ABC的一条中位线， 又∵HG 是△ DAC 的一条中位线， ∴EF∥ HG ，且 EF= HG. ∴四边形 EFGH 是平行四边形. ∴EF∥AC，且 ∴HG ∥AC，且 连接 BD 可以吗？ 分析:将四边形ABCD分割为三角形,利用三角形的中位线可转化两组对边分别平行或一组对边平行且相等来证明. 例题精讲 1.如图：EF是△ABC 的中位线，BC=20， 则EF=________; 10 2.在△ABC中，中线CE、BF相交点O，M、N分别是OB、OC的中点，则EF和MN的关系是 _______________. 平行且相等 当堂检测 A B C E F A E F O M N B C 3. A,B两村相隔一座大山，你能想办法测出A,B两村的直线距离AB的大小吗？ A B C 测出MN的长，就可知A、B两点的距离. M N 解析：在AB外选一点C，使C能直接到达A和B， 连接AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N. 720 m 如果，M、N两点之间还有阻隔，你有什么解决办法？ 两次利用中位线，分别取CM和CN的中点. 若MN=360 m，则AB=_________. 当堂检测 $$