18.2　平行四边形的判定 同步练习 2024—2025学年华东师大版数学八年级下册

18.2　平行四边形的判定 第1课时　利用边判定平行四边形 从两组对边的角度判定平行四边形 1.如图,能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是 (　　) A.AB=AD,CB=CD B.∠A=∠B,∠C=∠D C.AB∥CD,∠B+∠C=180° D.AB=CD,AD=BC 2.在四边形ABCD 中,AD∥BC,当满足下列哪个条件时,四边形ABCD是平行四边形 (　　) A.∠A+∠C=180° B.∠B+∠D=180° C.∠A+∠B=180° D.∠A+∠D=180° 3.已知四边形ABCD的四条边长顺次为a、b、c、d,且满足a2+b2+c2+d2=2ac+2bd.求证:四边形ABCD是平行四边形. 从一组对边的角度判定平行四边形 4.依据所标数据,下列一定为平行四边形的是 (　　) 　　　　　 　　　　　 A B C D 5.如图,在四边形ABCD中,CE平分∠BCD交AD于点E,DE=CD,添加下列一个条件后,一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是 (　　) A.AD=BC B.AB=CD C.CE=BC D.∠A=∠D 6.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,BC⊥CD,AB=8 cm,DC=10 cm,E是DC上一点,且DE=3 cm,点P从点A出发,以1 cm/s的速度向点B运动,同时点Q从点D出发,以2 cm/s的速度向点C运动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止,设运动时间为t s,当t=　　　　时,以A、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形.  7.如图,在▱ABCD中,点E、F分别是边AB、CD的中点. 求证:AF=CE. 1.以不在同一条直线上的三点为顶点作平行四边形,最多能作 (　　) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 2.如图,点E、F分别是▱ABCD边AD、BC的中点,G、H是对角线BD上的两点,且BG=DH.则下列结论中不正确的是 (　　) A.EH⊥BD B.四边形EGFH是平行四边形 C.EG=FH D.GF=EH 3.如图,将一条长2 cm的线段AB向右平移3 cm后,连结对应点得到的图形是　　　　形,它的周长是　　　　cm.  4.如图,在▱ABCD中,∠BAD、∠BCD的平分线 AF、CE分别交DC、BA的延长线于点F、E,又分别交BC、AD于点G、H,则图中共有　　　　个平行四边形,它们是　　　　　　　　.  5.如图,在平行四边形ABCD中,AB=8 cm,AD=12 cm,点P在AD边上以每秒1 cm的速度从点A向点D运动,点Q在BC边上以每秒4 cm的速度从点C出发,在CB间往返运动,点P与点Q同时出发,当点P到达点D时停止运动,同时点Q也停止运动,在开始运动以后,当以点P、D、Q、B为顶点的四边形为平行四边形时,运动的时间为　　　　　　　.  6.(2024庆阳师大附中月考)如图,点G在边BC上,△ABC和△AGF都是等边三角形,点E在边AC上,FE∥BC,EF和AB交于点D. 求证:(1)四边形BCEF是平行四边形. (2)四边形CDFG是平行四边形. 7.(推理能力)如图,以△ABC的三边为边,在BC的同侧作等边三角形ABD,等边三角形BCE,等边三角形ACF. 求证:四边形ADEF是平行四边形. 【详解答案】 课堂达标 1.D　2.D 3.证明:∵a2+b2+c2+d2=2ac+2bd, ∴(a2+c2-2ac)+(b2+d2-2bd)=0. ∴(a-c)2+(b-d)2=0. ∴a=c,b=d. ∴四边形ABCD是平行四边形. 4.D　5.A　6.1或3 7.证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD,AB=CD. ∵点E、F分别是边AB、CD的中点, ∴AE=BE=CF=DF. ∴四边形AECF是平行四边形. ∴AF=CE. 课后提升 1.B　解析:如图,以A、B、C为顶点作平行四边形,最多可作3个.故选B. 2.A　解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC∥AD,AD=BC.∴∠GBF=∠HDE.∵点E、F分别是▱ABCD边AD、BC的中点,∴BF=DE.在△GBF和△HDE中, ∴△GBF≌△HDE(S.A.S.).∴GF=EH,∠BGF=∠DHE.∴∠FGH=∠EHG.∴GF∥EH.∴四边形EGFH是平行四边形.∴EG=FH.故B、C、D正确.∵∠EHG不一定等于90°,∴EH⊥BD不正确.故选A. 3.平行四边　10　解析:经过平移,对应点所连的线段平行且相等,则连结对应点得到的图形是平行四边形,它的周长为2+2+3+3=10(cm). 4.3　▱AFCE,▱AGCH,▱ABCD 解析:∵四边形ABCD为平行四边形,∴∠BAD=∠BCD,AD∥BC,AB∥CD,AD=BC,AB=CD.∵∠BAD、∠BCD的平分线AF、CE分别交DC、BA的延长线于点F、E,∴∠BAG=∠DAG=∠BCH=∠DCH.∵AD∥BC,∴∠DAG=∠AGB,∴∠BAG=∠BGA,∴AB=BG,同理可得出CD=HD,∴HD=BG,∴AH=CG.又∵AH∥CG,∴四边形AGCH是平行四边形,∴AG∥CH.∵AE∥CF,∴四边形AFCE是平行四边形,∴图中共有3个平行四边形,它们是▱AFCE,▱AGCH,▱ABCD. 5.4.8 s或8 s或9.6 s　解析:设t s时,以点P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形,由题意可知,0<t≤12,PD=(12-t)cm,∵四边形ABCD为平行四边形,∴PD∥QC,∴当PD=BQ时,以点P、D、Q、B为顶点的四边形为平行四边形.可分为以下几种情况:①当0<t≤3时, BQ=(12-4t)cm,∴12-4t=12-t,解得t=0,不符合题意;②当3<t≤6时,BQ=(4t-12)cm,∴4t-12=12-t,解得t=4.8,符合题意;③当6<t≤9时,BQ=[12-(4t-24)]cm,∴12-(4t-24)=12-t,解得t=8,符合题意;④当9<t≤12时,BQ=(4t-36)cm,∴4t-36=12-t,解得t=9.6,符合题意.综上所述,运动的时间为4.8 s或8 s或9.6 s时,以点P、D、Q、B为顶点的四边形为平行四边形. 6.证明:(1)∵△ABC和△AGF都是等边三角形, ∴∠FAG=∠BAC=60°,∠ABC=∠ACB=60°,AC=AB,AF=AG, ∴∠FAG-∠BAG=∠BAC-∠BAG, ∴∠FAB=∠GAC, 在△AFB和△AGC中, ∴△AFB≌△AGC(S.A.S.), ∴∠FBA=∠ACB=60°, ∴∠FBC+∠ACB=180°,∴FB∥EC. ∵FE∥BC, ∴四边形BCEF是平行四边形. (2)∵△AFB≌△AGC,∴FB=CG. ∵DF∥CB,∴∠ABC=∠FDB=60°. ∵∠ABF=60°,∴△FDB是等边三角形,∴FB=FD,∴FD=CG,∴四边形CDFG是平行四边形. 7.证明:∵△ABD,△BCE,△ACF是等边三角形, ∴BA=BD=AD,BC=BE=EC,CA=CF=AF,∠DBA=∠EBC=∠BCE=∠ACF=60°. ∴∠DBE=∠ABC,∠ACB=∠FCE. 在△ABC和△DBE中, ∴△ABC≌△DBE(S.A.S.), ∴AC=DE. 在△ABC和△FEC中, ∴△ABC≌△FEC(S.A.S.). ∴AB=FE. ∴DE=AC=AF,FE=AB=AD. ∴四边形ADEF是平行四边形. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3课时　平行四边形性质与判定的综合运用 平行四边形性质与判定的综合运用 1.如图,在▱ABCD 中,点E、F分别在BC、AD上,要使四边形 AFCE 为平行四边形,需添加一个条件,这个条件不可以是 (　　) A.AF=CE B.AE=CF C.∠BAE=∠FCD D.∠BEA=∠FCE 2.如图,剪两张对边平行的纸条,随意交叉叠放在一起,转动其中一张纸条,重合的部分构成了一个四边形ABCD,对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定成立的是 (　　) A.AD=AB B.AD=BC C.∠DAC=∠ACD D.AO=AB 3.如图,在四边形ABCD 中,对角线AC、BD相交于点O,将△BOC平移至△AED的位置,则四边形AEDO是 (　　) A.任意四边形 B.对角线相等的四边形 C.对角线垂直的四边形 D.平行四边形 4.已知在四边形 ABCD 中,AB∥CD,AB=CD,周长为40 cm,两邻边的长度比是3∶2,则较长边的长度是　　　　.  5.在四边形ABCD中,AC、BD交于点O,且OA=OC,OB=OD,∠ABC=80°,则∠ADC=　　　　°.  6.如图,已知D是△ABC的边AB上一点,CE∥AB,DE交AC于点O,且OA=OC,猜想线段CD与线段AE的数量关系和位置关系,并说明理由. 7.如图,平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,点E、F在对角线BD上,且BE=EF=FD,连结AE、EC、CF、FA. (1)求证:四边形AECF是平行四边形. (2)若△ABE的面积等于2,求△CFO的面积. 1.(2024辽宁中考)如图,▱ABCD的对角线AC、BD 相交于点O,DE∥AC,CE∥BD,若AC=3,BD=5,则四边形OCED的周长为 (　　) A.4 B.6 C.8 D.16 2.如图,等边三角形ABC是一块周长为12的草坪,点P是草坪内的任意一点,过点P有三条小路PD、PE、PF,且满足PD∥AC,PE∥AB,PF∥BC,则三条小路的总长度为 (　　) A.12 B.8 C.4 D.3 3.如图,在▱ABCD中,BC的垂直平分线EO交AD于点E,交BC于点O,连结BE、CE,过点C作CF∥BE,交EO的延长线于点F,连结BF.若AD=8,CE=5,则四边形BFCE的面积为　　　　.  4.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=4,AC=6,点D、E分别是BC、AD的中点,AF∥BC 交CE的延长线于点F,则四边形AFBD的面积为　　　　.  5.如图,延长▱ABCD的边AD到点F,使DF=DC,延长 CB 到点E,使BE=BA,连结AE、CF. 求证:AE=CF. 6.(推理能力)如图,△ABC为等边三角形,D、F分别为BC、AB上的点,且CD=BF,以AD为边作等边三角形ADE. (1)求证:△ACD≌△CBF. (2)点D在线段BC上何处时,四边形CDEF是平行四边形且∠DEF=30°,请说明理由. 【详解答案】 课堂达标 1.B　2.B　3.D　4.12 cm　5.80 6.解:CDAE. 理由:∵CE∥AB, ∴∠DAO=∠ECO. 在△AOD和△COE中, ∴△AOD≌△COE, ∴OD=OE, ∴四边形ADCE是平行四边形. ∴CDAE. 7.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OA=OC,OB=OD. ∵BE=FD, ∴OB-BE=OD-FD. ∴OE=OF. 又∵OA=OC, ∴四边形AECF是平行四边形. (2)∵S△ABE=2,BE=EF, ∴S△AEF=S△ABE=2. ∵四边形AECF是平行四边形, ∴S△CFO=S△CEF=S△AEF=×2=1. 课后提升 1.C　解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OC=AC=,OD=BD=.∵DE∥AC,CE∥BD,∴四边形OCED是平行四边形,∴四边形OCED的周长=2(OC+OD)=2×=8.故选C. 2.C　解析:如图,延长FP交AB于点G, ∵△ABC是等边三角形, ∴AB=AC=BC=4,∠A=∠B=∠C=60°. ∵PF∥BC,∴∠AFG=∠C=60°,∠AGF=∠B=60°. ∵PD∥AC,∴∠PDB=∠A=60°,∠DPG=∠AFG=60°. ∴∠PDG=∠DGP=∠DPG=60°. ∴△DGP是等边三角形. ∴DP=PG. ∴PD+PF=PG+PF=FG. ∵∠A=∠AFG=∠AGF=60°, ∴△AFG是等边三角形.∴FG=AG. ∵FG∥BC,PE∥AB, ∴四边形BGPE是平行四边形. ∴PE=BG, ∴PD+PF+PE=AG+BG=AB=4.故选C. 3.24　解析:∵四边形ABCD是平行四边形,AD=8, ∴BC=AD=8. ∵EF是线段BC的垂直平分线, ∴EF⊥BC,OB=OC=BC=4. ∵CE=5,∴OE===3. ∵CF∥BE,∴∠OCF=∠OBE, 在△OCF与△OBE中, ∴△OCF≌△OBE, ∴OF=OE=3, ∴S四边形BFCE=S△BCE+S△BFC=BC·OE+BC·OF=×8×3+×8×3=12+12=24. 4.12　解析:∵AF∥BC,∴∠AFC=∠FCD. ∵E为AD的中点, ∴AE=DE. 在△AEF与△DEC中, ∴△AEF≌△DEC(A.A.S.), ∴AF=DC. ∵D是BC的中点, ∴BD=DC,∴AF=BD,∴四边形AFBD是平行四边形, ∴S四边形AFBD=2S△ABD. 又BD=DC,∴S△ABC=2S△ABD, ∴S四边形AFBD=S△ABC. ∵∠BAC=90°,AB=4,AC=6, ∴S△ABC=AB·AC=×4×6=12, ∴S四边形AFBD=12. 5.证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD=BC,AB=CD,AD∥BC. ∴AF∥EC. ∵DF=DC,BE=BA. ∴DF=BE, ∴AD+DF=BC+BE,即AF=EC. ∴四边形AECF是平行四边形, ∴AE=CF. 6.解:(1)证明:∵△ABC是等边三角形, ∴AC=BC,∠FBC=∠DCA=60°. 在△ACD和△CBF中, ∴△ACD≌△CBF(S.A.S.). (2)当点D是线段BC的中点时,四边形CDEF是平行四边形且∠DEF=30°. 理由:连结BE,如图,由题易知AB=AC,AE=AD,∠ABC=∠BAC=∠EAD=60°. ∴∠EAB+∠BAD=∠DAC+∠BAD=60°, ∴∠EAB=∠DAC, ∴△AEB≌△ADC. 又∵△ACD≌△CBF, ∴△AEB≌△ADC≌△CFB. ∴EB=DC=FB,∠EBA=∠ABC=60°, ∴△EFB为等边三角形, ∴EF=FB=CD,∠EFB=60°. ∵∠EFB=∠ABC=60°, ∴EF∥BC, ∴四边形CDEF为平行四边形, ∴∠DEF=∠FCD. 由D是线段BC的中点,易知F是线段AB的中点, ∴∠FCD=×60°=30°, ∴∠DEF=∠FCD=30°. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2课时　利用对角线判定平行四边形 利用对角线判定平行四边形 1.如图,在▱ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,点E、F是对角线AC上的两点.给出下列4个条件:①OE=OF;②DE=BF;③∠ADE=∠CBF;④∠ABE=∠CDF,其中不能判定四边形DEBF 是平行四边形的有 (　　) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 2.(2024济宁中考)如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,OA=OC,请补充一个条件　　　　,使四边形ABCD是平行四边形.  3.如图,在△ABC中,DE∥BC,AE=EC,延长DE到点F,使EF=DE,连结AF、FC、CD,则图中四边形ADCF的形状是　　　　.  4.如图,在▱ABCD中,点E、F在对角线AC上,且AE=CF. 求证:四边形BEDF为平行四边形. 5.如图,在四边形ABCD中,AC、BD相交于点O,O是AC的中点,AD∥BC. (1)求证:四边形ABCD是平行四边形. (2)若AC⊥BD,AC=8,BD=6,则▱ABCD的面积为　　　　.  1.(2024河北中考)下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程: 已知:如图,△ABC中,AB=AC,AE平分△ABC的外角∠CAN,点M是AC的中点,连结BM并延长交AE于点D,连结CD. 求证:四边形ABCD是平行四边形. 证明:∵AB=AC, ∴∠ABC=∠3. ∵∠CAN=∠ABC+∠3,∠CAN=∠1+∠2,∠1=∠2, ∴　①　.  又∵∠4=∠5,MA=MC, ∴△MAD≌△MCB(　②　).  ∴MD=MB,∴四边形ABCD是平行四边形. 以上解答过程正确,①②应分别为 (　　) A.∠1=∠3,A.A.S. B.∠1=∠3,A.S.A. C.∠2=∠3,A.A.S. D.∠2=∠3,A.S.A. 2.如图,在▱ABCD中,两对角线交于点O,点E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点,那么以图中的点为顶点的平行四边形共有　　　　个.  3.如图,▱ABCD的对角线交于点O,点M、N、P、Q分别是▱ABCD四条边上不重合的点.下列条件能判定四边形MNPQ是平行四边形的有　　　　(填序号).  ①AQ=CN,AM=CP; ②MP、NQ均经过点O; ③NQ经过点O,AQ=CN. 4.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=CD.点E、F是四边形ABCD对角线AC上的两点,且AF=CE.连结BE、DE、BF、DF. 求证:四边形BEDF是平行四边形. 5.如图,▱ABCD的对角线AC、BD交于点O,E、F在AC上,G、H在BD上,且AF=CE,BH=DG. 求证:四边形EGFH是平行四边形. 6.(推理能力)如图,在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,点E、F分别在OA、OC上. (1)给出以下条件:①OB=OD;②∠1=∠2;③OE=OF,请你从中选取两个条件证明△BEO≌△DFO. (2)在(1)的条件中你所选条件的前提下,添加AE=CF,求证:四边形ABCD是平行四边形. 【详解答案】 课堂达标 1.B 2.OB=OD(答案不唯一) 3.平行四边形 4.证明:如图,连结BD交AC于点O. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴BO=DO,AO=CO. ∵AE=CF, ∴EO=FO. ∴四边形BEDF是平行四边形. 5.解:(1)证明:∵O是AC的中点, ∴OA=OC. ∵AD∥BC, ∴∠ADO=∠CBO. ∵在△AOD和△COB中, ∴△AOD≌△COB. ∴OD=OB. ∴四边形ABCD是平行四边形. (2)24 课后提升 1.D　解析: ∵AB=AC,∴∠ABC=∠3.∵∠CAN=∠ABC+∠3, ∠CAN=∠1+∠2,∠1=∠2,∴∠2=∠3.又∵∠4=∠5,MA=MC, ∴△MAD≌△MCB(A.S.A.),∴MD=MB,∴四边形ABCD是平行四边形,∴①②分别为∠2=∠3,A.S.A..故选D. 2.4　解析:根据对角线互相平分的四边形是平行四边形,可判定四边形EFGH是平行四边形;根据边角边可分别证明△AHD≌△CFB,△AFB≌△CHD,可得AH=CF,AF=CH,∴四边形AHCF是平行四边形;同理可得四边形BGDE是平行四边形,则以图中的点为顶点的平行四边形是▱EFGH、▱ABCD、▱AHCF、▱BGDE,共有4个. 3.①②　解析:四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,AD∥BC,AD=BC,OB=OD,OA=OC,∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC.①∵AQ=CN,AM=CP,∴DQ=BN,BM=DP,∴△AMQ≌△CPN,△BMN≌△DPQ,∴MQ=NP,MN=PQ,∴四边形MNPQ是平行四边形,故①能判定四边形MNPQ是平行四边形;②∵▱ABCD的对角线交于点O,MP、NQ均经过点O,易证OQ=ON,OP=OM,∴四边形MNPQ是平行四边形,故②能判定四边形MNPQ是平行四边形;③NQ经过点O,AQ=CN,易证OQ=ON.∵M、P的位置未知,∴OM不一定等于OP,故③不能判定四边形MNPQ是平行四边形.综上,能判定四边形MNPQ是平行四边形的有①②. 4.证明:如图,连结BD,交AC于点O. ∵AB∥CD,AB=CD, ∴四边形ABCD是平行四边形, ∴OA=OC,OB=OD. ∵AF=CE, ∴AF-EF=CE-EF,即AE=CF, ∴OA-AE=OC-CF,即OE=OF. 又∵OB=OD, ∴四边形BEDF是平行四边形. 5.证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OA=OC,OB=OD. 又∵AF=CE,BH=DG, ∴AF-OA=CE-OC,BH-OB=DG-OD, 即OF=OE,OH=OG. ∴四边形EGFH是平行四边形. 6.解:(1)选取①②,证明:在△BEO和△DFO中, ∴△BEO≌△DFO(A.S.A.).(答案不唯一) (2)证明:由(1)得△BEO≌△DFO. ∴EO=FO,BO=DO. ∵AE=CF, ∴AE+EO=FC+OF,即AO=CO.∴四边形ABCD是平行四边形. 学科网（北京）股份有限公司 $$