22.2 平行四边形的判定同步练习2024-2025学年 冀教版数学八年级下册

22.2平行四边形的判定 第1课时　利用一组对边判定平行四边形 利用平行四边形的定义判定 1.在四边形ABCD中,AD∥BC,若四边形ABCD是平行四边形,则还需要满足 (　　) A.∠A+∠B=180° B.∠A+∠C=180° C.∠B+∠C=180° D.∠B+∠D=180° 2.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠B=∠D,BC=6,AB=3,求四边形ABCD的周长. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 3.依据所标数据,下列一定为平行四边形的是 (　　) 4.如图,若再增加“某条线段的长度为5”这个条件后,可证明四边形ABCD为平行四边形,则这条线段为 (　　) A.a B.b C.c D.d 5.如图,在平行四边形ABCD中,点M,N分别在边AB,CD上,且AM=CN. 求证:DM=BN. 6.(2024浙江中考)尺规作图问题: 如图1,E是▱ABCD边AD上一点(不包含A,D),连接CE.用尺规作AF∥CE,F是边BC上一点. 小明:如图2,以C为圆心,AE长为半径作弧,交BC于点F,连接AF,则AF∥CE. 小丽:以点A为圆心,CE长为半径作弧,交BC于点F,连接AF,则AF∥CE. 小明:小丽,你的作法有问题. 小丽:哦……我明白了! (1)求证:AF∥CE. (2)指出小丽作法中存在的问题. 1.小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块,他带了两块碎玻璃到商店配成了一块与原来相同的平行四边形玻璃,他带的碎玻璃编号是 (　　) A.①② B.③④ C.②③ D.①④ 2.(2024辽宁中考)如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,ED∥AC,CE∥BD.若AC=3,BD=5,则四边形OCED的周长为 (　　) A.4 B.6 C.8 D.16 3.如图,已知在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=CD,E为AB上一点,过点E作EF∥BC,交CD于点F,G为AD上一点,H为BC上一点,连接AH,CG,分别交EF于点M,N.若GD=BH,则图中的平行四边形有 (　　) A.2个 B.3个 C.4个 D.6个 4.如图,在△ABC中,M,N分别是边AB,AC上的点,延长MN至点P,连接PC,∠P+∠BCP=180°,要使四边形MBCP为平行四边形,甲、乙、丙三位同学给出三种不同的方案: 甲:添加BM=PC; 乙:添加BM∥PC; 丙:添加MP=BC. 其中正确的方案有 (　　) A.甲、乙 B.乙、丙 C.甲、丙 D.甲、乙、丙 5.(2024武汉中考)如图,在▱ABCD中,点E,F分别在边BC,AD上,AF=CE. (1)求证:△ABE≌△CDF. (2)连接EF.请添加一个与线段相关的条件,使四边形ABEF是平行四边形.(不需要说明理由) 6.(推理能力)如图,分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边三角形ACD、等边三角形ABE.已知∠BAC=30°,EF⊥AB,垂足为点F,连接DF. 求证:(1)AC=EF. (2)四边形ADFE是平行四边形. 【详解答案】 课堂达标 1.C 2.解:∵AB∥CD,∴∠B+∠C=180°. 又∵∠B=∠D,∴∠C+∠D=180°. ∴AD∥BC.∴四边形ABCD是平行四边形. ∴AB=CD=3,BC=AD=6. ∴四边形ABCD的周长=2×6+2×3=18. 3.D　4.A 5.证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD,AB=CD. ∵AM=CN, ∴AB-AM=CD-CN, 即BM=DN. 又∵BM∥DN, ∴四边形MBND是平行四边形. ∴DM=BN. 6.(1)证明:根据小明的作法知, CF=AE. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC. 又∵CF=AE, ∴四边形AFCE是平行四边形. ∴AF∥CE. (2)解:以A为圆心,CE长为半径画弧,交BC于点F,此时可能会有两个交点,只有其中之一符合题意. 故小丽的作法有问题. 课后提升 1.B　解析:∵只有③④两块角的两边互相平行,且中间部分相连,角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点,∴带③④两块碎玻璃,就可以确定平行四边形的大小.故选B. 2.C　解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OC=AC=,OD=BD=.∵DE∥AC,CE∥BD,∴四边形OCED是平行四边形.∴四边形OCED的周长=2(OC+OD)=2×=8.故选C. 3.D　解析:∵AB∥CD,AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边形.∴AD=BC,AD∥BC.又∵EF∥BC,∴EF∥BC∥AD.∴四边形AEFD、四边形BCFE均为平行四边形.∵GD=BH,AD=BC,∴AG=CH.又∵AG∥CH,∴四边形AHCG是平行四边形.又∵EF∥BC∥AD,∴四边形AMNG、四边形MNCH均为平行四边形,∴共有6个平行四边形.故选D. 4.B　解析:∵∠P+∠BCP=180°,∴MP∥BC.甲:添加BM=PC后,一组对边平行,另一组对边相等,不能证明四边形MBCP为平行四边形;乙:添加BM∥PC后,满足两组对边平行,能证明四边形MBCP为平行四边形;丙:添加MP=BC后,满足一组对边平行且相等,能证明四边形MBCP为平行四边形.综上可知,只有乙、丙方案才正确.故选B. 5.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD,AD=BC,∠B=∠D. ∵AF=CE, ∴AD-AF=BC-CE. ∴DF=BE. 在△ABE与△CDF中, ∴△ABE≌△CDF(SAS). (2)解:BE=CE.(答案不唯一) 6.证明:(1)∵在Rt△ABC中,∠BAC=30°,∴AB=2BC. ∵△ABE是等边三角形,EF⊥AB, ∴AE=AB,AB=2AF,∴AF=BC. 在Rt△AFE和Rt△BCA中, ∴Rt△AFE≌Rt△BCA(HL). ∴AC=EF. (2)∵△ACD是等边三角形, ∴∠DAC=60°,AC=AD, ∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°=∠AFE. ∴EF∥AD. ∵AC=EF,AC=AD, ∴EF=AD. ∴四边形ADFE是平行四边形. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.2平行四边形的判定 第2课时　利用两组对边、对角线判定平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 1.如图,已知△ABD,用尺规进行如下操作:①以点B为圆心,AD长为半径画弧;②以点D为圆心,AB长为半径画弧;③两弧在BD上方交于点C,连接BC,DC.可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是 (　　) A.两组对边分别平行 B.两组对边分别相等 C.对角线互相平分 D.一组对边平行且相等 2.如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点O的线段EF与AD,BC分别交于点E,F.若AB=CD=4,AD=BC=5,OE=1.5,那么四边形EFCD的周长为　　　　.  3.如图,四边形AECF是平行四边形,D,B分别在AF,CE的延长线上,连接AB,CD,∠B=∠D. 求证:(1)△ABE≌△CDF. (2)四边形ABCD是平行四边形. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 4.(2024济宁中考)如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,OA=OC,请补充一个条件:　　　　,使四边形ABCD是平行四边形.  5.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,E是BC的中点,直线AE交DC的延长线于点F.试判断四边形ABFC的形状,并证明你的结论. 6.如图,AB,CD相交于点E且互相平分,F是BD延长线上一点,∠FAC=2∠BAC.求证:AC+DF=AF. 1.(2024河北中考)下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程: 已知:如图,△ABC中,AB=AC,AE平分△ABC的外角∠CAN,M是AC的中点,连接BM并延长交AE于点D,连接CD. 求证:四边形ABCD是平行四边形. 证明:∵AB=AC, ∴∠ABC=∠3. ∵∠CAN=∠ABC+∠3,∠CAN=∠1+∠2,∠1=∠2, ∴　　①　　.  又∵∠4=∠5,MA=MC, ∴△MAD≌△MCB(　　②　　).  ∴MD=MB. ∴四边形ABCD是平行四边形. 以上解答过程正确,①②应分别为 (　　) A.∠1=∠3,AAS B.∠1=∠3,ASA C.∠2=∠3,AAS D.∠2=∠3,ASA 2.(2024乐山中考)如图,下列条件中不能判定四边形ABCD为平行四边形的是 (　　) A.AB∥DC,AD∥BC B.AB=DC,AD=BC C.AO=CO,BO=DO D.AB∥DC,AD=BC 3.如图1,平行四边形ABCD中,AD>AB,∠ABC为锐角.要在对角线BD上找点N,M,使四边形ANCM为平行四边形,现有图2中的甲、乙两种方案,则正确的方案是 (　　) A.甲 B.乙 C.甲、乙 D.甲、乙都不是 4.如图所示,四边形ABCD是平行四边形,∠BAD的平分线AE交CD于点F,交BC的延长线于 点E. (1)请写出BE与CD的数量关系:　　　　.  (2)若BF恰好平分∠ABE,连接AC,DE,求证:四边形ACED是平行四边形. (3)若BF⊥AE,∠BEA=60°,AB=4,则BF的长是　　　　.  5.(推理能力)如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F为直线BD上的两个动点(点E,F始终在▱ABCD的外面,点E在点F的右边),连接AE,CE,CF,AF. (1)若DE=OD,BF=OB,求证:四边形AFCE为平行四边形. (2)若DE=OD,BF=OB,四边形AFCE还是平行四边形吗?请写出结论并说明理由. (3)若DE= OD,BF= OB,四边形AFCE还是平行四边形吗?请写出结论并证明. 【详解答案】 课堂达标 1.B　2.12 3.证明:(1)∵四边形AECF是平行四边形, ∴∠AEC=∠AFC,AE=CF,AF=CE. ∵∠AEC+∠AEB=180°, ∠AFC+∠CFD=180°, ∴∠AEB=∠CFD. 在△ABE和△CDF中, ∴△ABE≌△CDF(AAS). (2)由(1),知△ABE≌△CDF, ∴AB=CD,BE=DF. 又∵AF=CE, ∴AF+DF=CE+BE, 即AD=BC. ∴四边形ABCD是平行四边形. 4.OB=OD(答案不唯一) 5.解:四边形ABFC是平行四边形. 证明:∵AB∥CD, ∴∠BAE=∠CFE. ∵E是BC的中点, ∴BE=CE. 在△ABE和△FCE中, ∴△ABE≌△FCE(AAS). ∴AE=FE. 又∵BE=CE, ∴四边形ABFC是平行四边形. 6.证明:如图,连接AD,BC. ∵AB,CD相交于点E且互相平分, ∴四边形ACBD是平行四边形. ∴AC=BD,AC∥BD. ∴∠BAC=∠ABF. ∵∠FAC=2∠BAC, ∴∠FAB=∠BAC. ∴∠ABF=∠FAB. ∴AF=BF. ∵AC+DF=BD+DF=BF, ∴AC+DF=AF. 课后提升 1.D　2.D 3.C　解析:方案甲:连接AC,如图所示.∵四边形ABCD是平行四边形,O为BD的中点,∴OB=OD,OA=OC. ∵BN=NO,OM=MD,∴NO=OM.∴四边形ANCM为平行四边形.故方案甲正确.方案乙:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD.∴∠ABN=∠CDM.∵AN⊥BD,CM⊥BD,∴AN∥CM,∠ANB=∠CMD.在△ABN和 △CDM中,∴△ABN≌△CDM(AAS),∴AN=CM. 又∵AN∥CM,∴四边形ANCM为平行四边形,故方案乙正确.故选C. 4.(1)BE=CD 解析:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,AB=CD. ∴∠DAE=∠AEB. ∵AE平分∠BAD, ∴∠BAE=∠DAE. ∴∠BAE=∠AEB. ∴BE=AB. ∴BE=CD. (2)证明:由(1),知BE=AB. ∵BF平分∠ABE, ∴AF=EF. 在△ADF和△ECF中, ∴△ADF≌△ECF(ASA). ∴DF=CF. 又∵AF=EF, ∴四边形ACED是平行四边形. (3)2 解析:由(1)知BE=AB, 又∵∠BEA=60°, ∴△ABE是等边三角形. ∴AB=AE=4. ∵BF⊥AE, ∴AF=EF=AE=2. 在Rt△ABF中,由勾股定理,得BF==2. 5.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD. ∵DE=OD,BF=OB, ∴DE=BF, ∴OE=OF,∴四边形AFCE为平行四边形. (2)解:若DE=OD,BF=OB,四边形AFCE是平行四边形. 理由如下: ∵DE=OD,BF=OB,OD=OB, ∴DE=BF,∴OB+BF=OD+DE, 即OF=OE. 又∵OA=OC, ∴四边形AFCE为平行四边形. (3)解:若DE=OD,BF=OB,四边形AFCE为平行四边形. 证明如下: ∵DE= OD,BF= OB,OD=OB, ∴DE=BF, ∴OB+BF=OD+DE,即OF=OE. 又∵OA=OC, ∴四边形AFCE为平行四边形. 学科网（北京）股份有限公司 $$