第2章一元二次方程单元测试 2024—2025学年北师大版数学九年级上册

北师大版九年级上 第2章 一元二次方程 单元测试 一．选择题（共12小题） 1．下列关于x的方程中，是一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c=0 B． C．3x2+2xy=1 D．x2=6 2．若一元二次方程x2-4x-3=0的两个不相等的实数根为x1，x2，则x1+x2的值是（　　） A．-4 B．4 C．2 D．-2 3．一元二次方程x2-2x+1=0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A．1，2，1 B．1，-2，1 C．0，-2，-1 D．0，-2，1 4．如果关于x的一元二次方程x2-2x-m=0无实数根，则一次函数y=mx-m+1的图象不经过第（　　）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 5．关于x的一元二次方程（a+1）x2+3x+a2-1=0有一个根是0，则a的值为（　　） A．0 B．1或-1 C．-1 D．1 6．关于x的一元二次方程kx2+6x-2=0有两个实数根，则k的取值范围是（　　） A． B． C．且k≠0 D．且k≠0 7．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由168元降为108元，设平均每次降价的百分率是x,则根据题意，下列方程正确的是（　　） A．168（1-x）2=108 B．168（1-x2）=108 C．108（1-x）2=168 D．108（1+x2）=168 8．用配方法解方程x2-2x=1时，配方后所得的方程（　　） A．（x+1）2=0 B．（x-1）2=0 C．（x+1）2=2 D．（x-1）2=2 9．小颖在学习“花边有多宽”时，对一元二次方程（8-2x）（5-2x）=18的根做了如下估计：由她所列表格的数据可知，此方程的一个根为（　　） x 0 1 2 3 （8-2x）（5-2x） 40 18 4 4 A．0 B．1 C．2 D．3 10．“一题多解”是培养数学思维的重要方式，有三位同学对下面的问题给出了三种不同解法．如图，某小区在一块长为16m,宽为9m的矩形空地上新修三条宽度相同的小路，其中一条和矩形的一边平行，另外两条和矩形的另一边平行，空地剩下的部分种植花草，使得小路占地面积为40m2，求小路的宽度．这三位同学都用了方程来解决．设小路的宽度为x m,得出方程： ①（16-2x）（9-x）=16×9-40； ②9×2x+（16-2x）x=40； ③9×2x+16x-x2=40． 其中正确的是（　　） A．① B．② C．①② D．①②③ 11．如图，△ABC中，∠C=90，AB=10cm,AC=8cm,点P从点A开始出发向点C以2cm/s的速度移动，点Q从B点出发向点C以1cm/s的速度移动，若P、Q分别同时从A，B出发，（　　）秒后四边形APQB是△ABC面积的． A．2 B．4.5 C．8 D．7 12．定义：已知x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实数根，若x1＜x2＜0，且，则称这个方程为“友好方程”．如：一元二次方程x2+8x+15=0的两根为x1=-5，x2=-3，且，所以一元二次方程x2+8x+15=0为“友好方程”．关于x的一元二次方程x2+（1-p）x-p=0，有下列两个结论：①当时，该方程是“友好方程”；②若该方程是“友好方程”，则有且仅有3个整数p满足要求，对于这两个结论判断正确的是（　　） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 二．填空题（共5小题） 13．多项式a2+4a-10的值等于11，则a的值为 ______． 14．已知a,b是方程x2+6x+3=0的两个实数根，则a2-6b+ab=______． 15．若关于x的一元二次方程（k-3）x2+5x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ______． 16．如图，在一块长为36米，宽为25米的矩形空地上修建三条宽均为x米的笔直小道，其余部分（即图中阴影部分）改造为草坪进行绿化，若草坪的面积为840平方米，根据题意可列方程 ______． 17．当x,y为整数时，多项式6x2-2xy2-4y-8的最小正值是______． 三．解答题（共6小题） 18．解方程： （1）x2-9=2（x+3）； （2）5x2+2x-1=0． 19．已知关于x的一元二次方程为x2-2（m+1）x+m2=0． （1）当m为何值时，该方程有实数根； （2）当m=1时，求出这个方程的两个根． 20．已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2-2=0． （1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根x1，x2满足（x1-x2）2=9，求k的值． 21．某商店对最新款台灯的销量进行统计，经统计7月份台灯的销售量为300个，9月份台灯的销售量为507个． （1）求该款台灯7月份到9月份销售量的月平均增长率； （2）若该台灯的进价为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为600个，在此基础上售价每上涨1元，月销售量就会减少10个，为了实现每月10000元的销售利润，而且尽可能让顾客得到实惠，则每个台灯的售价应定多少元？ 22．已知关于x的方程x2+（2m-1）x+m2=0有实数根． （1）求m的取值范围； （2）设α，β是方程的两个实数根，是否存在实数m使得α2+β2-αβ=6成立？如果存在，请求出来；若不存在，请说明理由． 23．如图所示，在直角梯形OABC中，CB∥OA，CB=8，OC=8，OA=16． （1）求点B的坐标，并且求出直角梯形OABC的面积； （2）当P点沿OA方向以每秒2个单位的速度从O点出发，经过多少时间后△OCP的面积等于△OAB的面积的一半？ （3）在（2）的条件下，若现在P、Q点同时出发，当Q点从A点出发，沿AO方向每秒3个单位的速度移动，问经过多少时间后△BPQ的面积等于直角梯形OABC的面积的？ 北师大版九年级上第2章一元二次方程单元测试 (参考答案) 一．选择题（共12小题） 1、D 2、B 3、B 4、C 5、D 6、C 7、A 8、D 9、B 10、C 11、A 12、C  二．填空题（共5小题） 13、-7或3； 14、36； 15、且k≠3； 16、（36-x）（25-x）=840； 17、4；  三．解答题（共6小题） 18、解：（1）（x+3）（x-3）-2（x+3）=0， （x+3）（x-3-2）=0， x+3=0或x-3-2=0， ∴x1=-3，x2=5； （2）∵Δ=22-4×5×（-1）=4+20=24＞0， ∴， ，． 19、解：（1）由题意知，Δ=[-2（m+1）]2-4×1×m2≥0， 解得：， ∴当时，该方程有实数根； （2）将m=1代入原方程得x2-2（1+1）x+12=0，即（x-2）2=3， ∴， 即，． 20、（1）证明：Δ=[-（2k+1）]2-4×1×（k2-2）=2k2+4k+9=2（k+1）2+7． ∵（k+1）2≥0， ∴2（k+1）2+7＞0，即Δ＞0， ∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根． （2）解：∵x1，x2是方程x2-（2k+1）x+k2-2=0的两个实数根， ∴x1+x2=2k+1，x1x2=k2-2． ∵（x1-x2）2=9， ∴x12+x22-2x1x2=（x1+x2）2-4x1x2=9，即（2k+1）2-4（k2-2）=9， ∴2k2+4k=0， 解得：k1=0，k2=-2， ∴k的值为0或-2． 21、解：（1）设该款台灯7月份到9月份销售量的月平均增长率为x, 根据题意得：300（1+x）2=507， 解得：x1=0.3=30%，x2=-2.3（不符合题意，舍去）． 答：该款台灯7月份到9月份销售量的月平均增长率为30%； （2）设每个台灯的售价应定为y元，则每个台灯的销售利润为（y-30）元，月销售量为600-10（y-40）=（1000-10y）个， 根据题意得：（y-30）（1000-10y）=10000， 整理得：y2-130y+4000=0， 解得：y1=50，y2=80， 又∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴y=50． 答：每个台灯的售价应定为50元． 22、解：（1）根据题意得Δ=（2m-1）2-4m2≥0， 解得m≤； （2）存在． 根据题意得α+β=-（2m-1），αβ=m2， ∵α2+β2-αβ=6， ∴（α+β）2-3αβ=6， 即（2m-1）2-3m2=6， 整理得m2-4m-5=0，解得m1=5，m2=-1， ∵m≤； ∴m的值为-1． 23、解：（1）∵在直角梯形OABC中，CB∥OA，CB=8，OC=8，OA=16， ∴A的坐标是（16，0），B的坐标是（8，8），C的坐标是（0，8）， 直角梯形OABC的面积是：（OA+BC）×OC=（16+8）×8=96； （2）如图（1）所示：设经过t秒后△OCP的面积等于△OAB的面积的一半， ∵S△AOB=×16×8=64， ∴S△COP=×8•OP=32， 解得：OP=8， ∵P点沿OA方向以每秒2个单位的速度从O点出发， ∴经过8÷2=4秒后△OCP的面积等于△OAB的面积的一半； （3）由（1）得直角梯形OABC的面积为96， 则△BPQ的面积为：24， 当P，Q相遇前如图（2），则PQ=16-2t-3t, 则×8（16-5t）=24， 解得：t=2， 当P，Q相遇后如图（3），则PQ=2t+3t-16， 则×8（5t-16）=24， 解得：t=， 综上所述：经过2秒或秒后△BPQ的面积等于直角梯形OABC的面积的． 学科网（北京）股份有限公司 $$