18.2.1　矩形 同步练 2024-2025学年人教版数学八年级下册

18.2特殊的平行四边形 18.2.1　矩形 第1课时　矩形的性质 矩形的四个角都相等,对边平行且相等 1.(2024南通中考)如图,直线a∥b,矩形ABCD的顶点A在直线b上.若∠2=41°,则∠1的度数为(　　) A.41° B.51° C.49° D.59° 2.如图,在矩形ABCD中,点E在AD上,且EC平分∠BED. (1)判断△BEC的形状,并说明理由. (2)若AB=1,∠ABE=45°,求DE的长. 矩形的对角线相等 3.(2024甘肃中考)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠ABD=60°,AB=2,则AC的长为 (　　) A.6 B.5 C.4 D.3 4.如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,BE∥AC交DC的延长线于点E. (1)求证:CD=CE. (2)若∠E=60°,求∠DOC的度数. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 5.(2024邯郸邯山区期末)如图,嘉嘉利用刻度直尺(单位:cm)测量三角形纸片的尺寸,点B,C分别对应刻度尺上的刻度2和8,D为BC的中点.若∠BAC=90°,则AD的长为(　　) A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm 6.如图,∠ACB=90°,∠A=20°,D是AB的中点,则∠DCB的度数是　　　　.  1.(2024成都中考)如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确的是(　　) A.AB=AD B.AC⊥BD C.AC=BD D.∠ACB=∠ACD 2.(2024唐山丰润区期末)如图,在矩形OABC中,点B的坐标是(2,4),则AC的长是 (　　) A.2 B.4 C.2 D.2 3.如图,O是矩形ABCD的对角线AC的中点,E是AD的中点.若AB=6,BC=8,则△BOE的周长为(　　) A.10 B.8+2 C.8+2 D.14 4.如图,在矩形ABCD中,AE⊥BD于点E,BE∶DE=1∶3,则∠EAD=　　　　.  5.如图,矩形ABCD的对角线相交于点O,过点O的直线分别交AD、BC于点E、F,若两阴影三角形的面积分别是3,4,则矩形ABCD的面积是　　　　.  6.如图,在矩形ABCD中,AB=8,AD=10,E是边BC上一点,∠DAE的平分线交BC的延长线于点F,交CD于点G. (1)求证:EF=AE. (2)连接EG,当EG⊥AE时,求CF的长. 7.(推理能力)如图,在矩形ABCD中,AD=4,AB=6,对角线AC,BD交于点O,E,F分别是CD,DA延长线上的点,且DE=3,AF=2,连接EF,G是EF的中点.连接OE,交AD于点H,连接GH. (1)猜想:H是OE的中点吗?并加以证明. (2)求GH的长. 【详解答案】 课堂达标 1.C 2.解:(1)△BEC是等腰三角形.理由如下: ∵四边形ABCD是矩形, ∴AD∥BC. ∴∠BCE=∠DEC. ∵EC平分∠BED, ∴∠BEC=∠DEC. ∴∠BEC=∠BCE. ∴BE=BC. ∴△BEC是等腰三角形. (2)∵四边形ABCD是矩形, ∴∠A=∠D=90°,AB=CD=1,BC=AD. ∵∠ABE=45°, ∴∠AEB=45°. ∴AE=AB=1. ∴BE==. 由(1)知,BE=BC=, ∴AD=BC=. ∴DE=AD-AE=-1. 3.C 4.解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴AB=CD,AB∥CD. ∵BE∥AC, ∴四边形ABEC是平行四边形. ∴AB=CE. ∴CD=CE. (2)∵四边形ABCD是矩形, ∴AC=BD. ∵四边形ABEC是平行四边形, ∴BE=AC. ∴BD=BE. ∵∠E=60°, ∴△BDE是等边三角形. ∴∠DBE=60°. ∵AC∥BE, ∴∠DOC=∠DBE=60°. 5.A　6.70° 课后提升 1.C　解析:∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD,∠ADC=90°,AD=BC,AD∥BC,OA=AC.∴AC⊥BD,∠ACB= ∠ACD不一定成立,AC=BD一定成立,AB=AD一定不成立.故选C. 2.D　解析:如图,连接OB,过点B作BM⊥x轴于点M. ∵点B的坐标是(2,4), ∴OM=2,BM=4. 由勾股定理,得 OB==2. ∵四边形OABC是矩形, ∴AC=OB=2.故选D. 3.C　解析:∵四边形ABCD是矩形,AB=6,BC=8,∴∠BAD=∠ABC=90°,AB=CD=6,AD=BC=8.∵O是AC的中点,E是AD的中点,∴OE=CD=3,AE=AD=4.在Rt△ABE中,AE=4,AB=6,根据勾股定理,得BE===2.在Rt△ABC中,根据勾股定理,得AC===10.∵O是AC的中点,∴BO=AC=5.∴△BOE周长为BO+OE+BE=5+3+2=8+2.故选C. 4.60°　解析:∵四边形ABCD为矩形,∴OA=OB=OC=OD.∵BE∶DE=1∶3,∴BO=AO=2OE.∵AE⊥BD, ∴∠EAO=30°.∴∠AOE=60°.∴∠OAD=∠ODA=∠AOE=30°.∴∠EAD=∠EAO+∠OAD=30°+30°=60°. 5.28　解析:∵四边形ABCD是矩形, ∴OD=OB,OA=OC,AD=BC,AD∥BC. ∴S△ABD=2×S△AOD.∵S矩形ABCD=BC·AB,S△ABD =AD·AB=BC·AB,∴S矩形ABCD=2×S△ABD. ∴S矩形ABCD=4×S△AOD.∵AD∥BC, ∴∠OAE=∠OCF,∠OEA=∠OFC. 在△OAE和△OCF中, ∴△OAE≌△OCF(AAS).∴S△OAE=S△OCF. ∴S△OAD=S阴影=3+4=7. ∴S矩形ABCD=4×7=28. 6.解:(1)证明:∵在矩形ABCD中,AD∥BC, ∴∠DAF=∠F. ∵AF平分∠DAE, ∴∠DAF=∠EAF. ∴∠F=∠EAF. ∴EF=AE. (2)∵EG⊥AE, ∴∠AEG=90°. ∵在矩形ABCD中,∠B=∠D=90°, ∴∠AEG=∠D. ∵∠EAG=∠DAG,AG=AG, ∴△AEG≌△ADG(AAS). ∴AE=AD=10. ∵在Rt△ABE中,AB=8,AE=10, ∴BE===6. ∵EF=AE=AD=BC, ∴EC+CF=EC+BE. ∴CF=BE=6. 7.解:(1)H是OE的中点. 证明:如图,取AD的中点N,连接ON. ∵在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O, ∴BO=DO,∠DAB=90°,AB∥CD. 又∵N是AD的中点, ∴AN=DN=AD=2,ON∥AB,ON=AB=3. ∴ON∥CD,ON=DE=3, ∠ANO=∠DAB=90°. ∴∠NOH=∠DEH. 在△NHO和△DHE中, ∴△NHO≌△DHE(AAS). ∴EH=OH. ∴H是OE的中点. (2)如图,连接OF. ∵四边形ABCD是矩形, ∴∠ADC=90°. ∵ON∥DC, ∴∠FNO=∠ADC=90°. ∵AD=4,N是AD的中点, ∴AN=AD=2. ∵AF=2, ∴FN=AN+AF=4. 在△FON中,∠FNO=90°,ON=3,FN=4, 由勾股定理,得OF==5. ∵G是EF的中点,H是OE的中点, ∴GH=OF=. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2课时　矩形的判定 有一个角是直角的平行四边形是矩形 1.如图,在▱ABCD中,在不添加任何辅助线的情况下,添加以下条件,能使▱ABCD是矩形的是(　　) A.AD⊥AB B.AB=BC C.AB∥CD D.∠A=∠C 2.如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC中点,四边形ABDE是平行四边形. 求证:四边形ADCE是矩形. 对角线相等的平行四边形是矩形 3.已知四边形ABCD中,AC=BD,再补充一个条件使得四边形ABCD是矩形,这个条件可以是(　　) A.AC⊥BD B.∠ABC=90° C.AC与BD互相平分 D.AB=BC 4.如图,在▱ABCD中,E是AD的中点,连接BE,BE,CD的延长线相交于点F,连接AF,BD. (1)求证:四边形ABDF是平行四边形. (2)若∠BEA+2∠C=180°,求证:四边形ABDF是矩形. 有三个角是直角的四边形是矩形 5.(2024高碑店期末)下列各图中,是矩形的是 (　　) A 　　 B C 　　 D 6.如图,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC交BC于点D,AE平分∠BAC的外角,且∠AEB=90°. 求证:四边形ADBE是矩形. 1.依据所标数据,下列四边形不一定为矩形的是 (　　) A B C D 2.(2024泰安期末)如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O.对于下列条件:①∠1+∠3=90°;②BC2+CD2=AC2;③∠1=∠2;④AC⊥BD.其中能判定四边形ABCD是矩形的有 (　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.如图,在四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,垂足为O,E,F,G,H分别为边AD,AB,BC,CD的中点,连接EF,FG,GH,HE.若AC=8,BD=6,则四边形EFGH的面积为　　　　.  4.如图,线段AB的端点B在直线MN上,过线段AB上的一点O作MN的平行线,分别交∠ABM和∠ABN的平分线于点C,D,连接AC,AD.添加一个适当的条件:当　　　　　　　时,四边形ACBD是矩形.  5.(2024兰州中考)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,CE∥AD,AE⊥AD,EF⊥AC. (1)求证:四边形ADCE是矩形. (2)若BC=4,CE=3,求EF的长. 6.(推理能力)如图,在△ABC中,O是AC上一个动点,过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F. (1)求证:OE=OF. (2)若CE=4,CF=3,则EF的长为　 .  (3)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形,并证明你的结论. 【详解答案】 课堂达标 1.A 2.证明:∵四边形ABDE是平行四边形, ∴AE∥BC,AE=BD. ∵D为BC的中点, ∴CD=BD. ∴CD∥AE,CD=AE. ∴四边形ADCE是平行四边形. ∵AB=AC,D为BC的中点, ∴AD⊥BC.∴∠ADC=90°. ∴四边形ADCE是矩形. 3.C 4.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD. ∴∠BAE=∠FDE. ∵E是AD的中点, ∴AE=DE. 在△BEA和△FED中, ∴△BEA≌△FED(ASA). ∴AB=DF. 又∵AB∥DF, ∴四边形ABDF是平行四边形. (2)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴∠BAE=∠C. ∵∠BEA+∠BAE+∠ABE=180°, ∠BEA+2∠C=180°, ∴∠BAE+∠ABE=2∠C. ∴∠BAE=∠ABE. ∴AE=BE. 由(1)知,四边形ABDF是平行四边形, ∴BE=BF. ∵AE=AD, ∴BF=AD. ∴四边形ABDF是矩形. 5.D 6.证明:如图. ∵AD是∠BAC的平分线, ∴∠1=∠2. ∵AE是∠BAF的平分线, ∴∠3=∠4. ∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°, ∴∠2+∠3=90°,即∠DAE=90°. ∵AB=AC,∠1=∠2, ∴AD⊥BC,即∠ADB=90°. ∵∠AEB=90°, ∴∠DAE=∠ADB=∠AEB=90°. ∴四边形ADBE是矩形. 课后提升 1.A　解析:A.∵AD=BC=4,AB=CD=3, ∴四边形ABCD是平行四边形.不能判定为矩形,故选项A符合题意;B.∵∠A=∠B=∠D=90°,∴四边形ABCD是矩形.故选项B不符合题意;C.∵∠A=∠B=90°,∴∠A+∠B=180°.∴AD∥BC.∵AD=BC=4,∴四边形ABCD是平行四边形.又∵∠A=90°,∴平行四边形ABCD是矩形.故选项C不符合题意;D.∵AB=CD=3,AD=BC=4,∴四边形ABCD是平行四边形.∵AC=5,∴AB2+BC2=AC2.∴△ABC是直角三角形,且∠ABC=90°.∴平行四边形ABCD是矩形.故选项D不符合题意.故选A. 2.C　解析:①∵∠1+∠3=90°,∴∠ABC=90°.∴▱ABCD是矩形.故①正确;②∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD.∵BC2+CD2=AC2,∴BC2+AB2=AC2.∴∠ABC=90°.∴▱ABCD是矩形.故②正确;③∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC=AC,OB=OD=BD.∵∠1=∠2,∴OA=OB.∴AC=BD.∴▱ABCD是矩形.故③正确; ④∵四边形ABCD是平行四边形,AC⊥BD,∴不能判定四边形ABCD是矩形.故④错误.综上所述,能判定四边形ABCD是矩形的条件有3个.故选C. 3.12　解析:在△DAC中,∵H,E分别为DC,DA的中点,∴HE是△DAC的中位线.∴HE∥AC,HE=AC=×8=4.同理可知,GF∥AC,GF=AC=4;HG∥BD∥EF,HG=EF=BD=×6=3.∴四边形EFGH是平行四边形.∵HE∥AC,EF∥BD,且BD⊥AC,∴HE⊥EF.∴四边形EFGH是矩形.∴四边形EFGH的面积为HE·EF=4×3=12. 4.O是AB的中点(答案不唯一)　解析:添加条件:O是AB的中点.∵CD∥MN, ∴∠OCB=∠CBM.∵BC平分∠ABM,∴∠OBC=∠CBM.∴∠OCB=∠OBC. ∴OC=OB.同理可证OB=OD,∴OB=OC=OD.∵O是AB的中点,∴OA=OB.∴四边形ACBD是平行四边形. ∵CD=OC+OD,AB=OA+OB, ∴AB=CD.∴平行四边形ACBD是矩形. 5.解:(1)证明:∵在△ABC中,AB=AC,D是BC 的中点, ∴AD⊥BC,即∠ADC=∠ADB=90°. ∵CE∥AD,∴∠ECD=∠ADB=90°. ∵AE⊥AD,∴∠EAD=90°. ∴∠ADC=∠ECD=∠EAD=90°. ∴四边形ADCE是矩形. (2)∵在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,BC=4, ∴BD=CD=BC=2. 由(1)知,四边形ADCE是矩形, ∴AE=CD=2,∠AEC=90°. ∴在Rt△AEC中,由勾股定理,得 AC==. ∵EF⊥AC, ∴由三角形的面积公式,得 S△AEC=AC·EF=AE·CE. ∴EF===. 6.解:(1)证明:∵MN∥BC,CE平分∠ACB,CF平分∠ACD, ∴∠BCE=∠ACE=∠OEC,∠OCF=∠FCD=∠OFC. ∴OE=OC,OC=OF. ∴OE=OF. (2)5 (3)当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形. 证明:∵AO=CO,OE=OF, ∴四边形AECF是平行四边形. ∵∠ECA+∠ACF=∠ACB+ACD=∠BCD=90°, ∴四边形AECF是矩形. 学科网（北京）股份有限公司 $$