精品解析：江西省吉安市遂川泉江中学2024-2025学年上学期 九年级数学期末模拟卷

二0二四下期末考试九年级数学模拟卷 说明：本卷共有六个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）每小题只有一个正确选项． 1. 某斜坡的坡度，则它的坡角是（ ） A. B. C. D. 2. 巴黎2024年奥运会的领奖台如图所示，是由三个长方形组合而成的几何体，则这个几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 已知是方程的一个解，则m的值为（　　） A. B. 2 C. 3 D. 4. 同时抛掷两枚面值相同的硬币，则至少有一枚硬币正面朝上的概率是（　　） A. B. C. D. 5. 下列命题中正确的是（　　） A. 正方形的面积等于对角线平方的一半 B. 邻边相等的平行四边形是正方形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 矩形的对角线相等且互相垂直 6. 如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，，两点，若，则下列四个结论：；；；．正确结论的个数为（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知，则的值为_________． 8. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值为_____ 9. 如图，点A在反比例函数的图象上，点C在x轴正半轴上，线段交y轴于点B，若，则的面积为________． 10. 如图，与是以点O为位似中心的位似图形，面积比为，，，，则点C坐标为____________． 11. 若关于x的二次函数的图像经过原点，则m的值为_________． 12. 如图，在菱形中，，，点P在边上运动，当时，则的长为_______． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程或计算： （1）； （2）． 14. 如图，在中，，点D，B，C，E在同一条直线上，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 15. 一个不透明袋子中装有标注1，1，2，3，四个小球，这些小球除标有的数字外都相同． （1）从袋中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率为 ； （2）先从袋中随机摸出一个小球，记下数字后，放回摇匀，再从袋中随机摸出一个小球，记下数字，请画树状图或列表法，求摸出的这两个小球上标有的数字之积是奇数的概率． 16. 已知关于一元二次方程，其中为常数． （1）当时，求该方程的根； （2）若方程有实数根，且为正整数，求的值及此时方程的根． 17. 已知矩形中，，点为的中点，请仅用无刻度的直尺画图． （1）如图（），在上取一点，使； （2）如图（），画一个以为腰的等腰直角． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同. （1）求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 19. 如图，直线的与曲线交于点A，B两点． （1）求不等式的解集； （2）直线分别与l，双曲线交于C，D两点，若，求a的值． 20. 如图，某地计划为学校添置新式课桌椅，椅子可供学生午休的躺椅．图（1）是上课期间椅子摆放样式，已知座面宽，座面高，背垫为，点G到地面的垂直距离为，．图（2）是水平摆放时的形状，脚垫长，，． （结果保留1位小数，参考数据：，，，） （1）求背垫的长； （2）如图（2），求午休躺睡时课椅点G与点H之间的水平距离． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在矩形中，已知，，点E为对角线上一动点，连接，过点C作，且，连接交于点G． （1）求证：； （2）点E运动至的中点时，求的长； （3）点E从点B运动至点D，直接写出点F运动的距离． 22. 定义：如果两个二次函数的图像的开口大小相同，方向相反且顶点的横、纵坐标都互为相反数，则称其中一个二次函数为另一个二次函数的伴随函数．如与互为伴随函数． （1）的伴随函数的表达式为 ； （2）若图像的顶点为，且过它的伴随函数的图像顶点． 求证：这两个函数图像的交点为； 如图，点是在之间图像的动点，轴交的图像于点，求长度的最大值． 六、（本大题共12分） 23. 综合与实践 【问题情境】 在中（），点P是射线上一点．将沿直线折叠，点D对应点为E． 【数学思考】 如图1，若点P与点A重合，过点E作，与交于点F，连接，则四边形的形状一定是 （选填“菱形”“矩形”或“正方形”）； 【拓展探究】 如图2，当点P为的中点时，延长交于点F，连接．试判断与的位置关系，并说明理由； 【问题解决】 如图3，当点E恰好落在边所在直线上时，，，，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 二0二四下期末考试九年级数学模拟卷 说明：本卷共有六个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）每小题只有一个正确选项． 1. 某斜坡的坡度，则它的坡角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了坡度坡角问题，以及特殊角的三角函数值，是基础知识要熟练掌握．根据坡角和坡度的概念，得，再有特殊角的三角函数值求得即可． 【详解】解：设直角为， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 2. 巴黎2024年奥运会的领奖台如图所示，是由三个长方形组合而成的几何体，则这个几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三视图的画法；左视图是从物体的左边观察得到的图形，结合选项进行判断即可．注意实际存在又没有被其他棱所挡，在所在方向看不到的棱应用虚线表示． 【详解】解：从左边看，可得如下图形， 故选：B． 3. 已知是方程的一个解，则m的值为（　　） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键． 把代入方程，求解即可． 【详解】解：∵是方程的解， ， 解得：， 故选：D． 4. 同时抛掷两枚面值相同的硬币，则至少有一枚硬币正面朝上的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式，掌握运用列举法求概率成为解题的关键． 先列举出所有的情况，然后运用概率求得至少有一枚硬币正面朝上的概率即可． 【详解】解：同时抛掷两枚硬币得结果有：正正、正反、反正、反反四种情况， 则至少有一枚硬币正面朝上的概率为． 故选：C． 5. 下列命题中正确的是（　　） A. 正方形的面积等于对角线平方的一半 B. 邻边相等的平行四边形是正方形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 矩形的对角线相等且互相垂直 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了特殊平行四边形的判定与性质，命题与定理，利用菱形、正方形的判定方法、矩形的性质及正方形的性质分别判断后即可确定正确的选项，掌握相关知识的应用是解题的关键． 【详解】、正方形的面积等于对角线平方的一半，故该选项正确，符合题意；   、邻边相等的平行四边形是菱形，故该选项不正确，不符合题意； 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故该选项不正确，不符合题意； 、矩形的对角线相等且互相平分，故该选项不正确，不符合题意； 故选：． 6. 如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，，两点，若，则下列四个结论：；；；．正确结论的个数为（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，二次函数的对称性，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的对称性．根据二次函数的对称性，即可判断①；由开口方向和对称轴即可判断②；由题意可知当时，即可判断③；根据抛物线与x轴有两个交点，即可判断④． 【详解】解：①∵对称轴为直线， ， ， ， 故①正确， ∵对称轴为直线， ， ， ， ， ， 故不正确； 由题意知，当时，， ， 故不正确， ∵抛物线与x轴有两个交点， ， 故正确， 故选：． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知，则的值为_________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，由得到，代入式子求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：3 8. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值为_____ 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．由，是一元二次方程的两个实数根，可得，，然后代入求值即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． 9. 如图，点A在反比例函数的图象上，点C在x轴正半轴上，线段交y轴于点B，若，则的面积为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上的点的坐标与系数k的关系，过点A作轴于点D，由，得，设点A坐标为，得，再由可得答案． 【详解】解：如图，过点A作轴于点D， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点A坐标为，则，， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴，即， ∴， 故答案为：2． 10. 如图，与是以点O为位似中心的位似图形，面积比为，，，，则点C坐标为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是位似的性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，等腰直角三角形的性质，根据位似的性质求出D点坐标，利用直角三角形斜边的中线性质求出，在中，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半，等腰直角三角形的性质即可求出结果． 【详解】解：∵与是以点O为位似，，面积比为， ， ， ． 过点C作于点E，连接， ， ，， ， ， ，， ， 则点C坐标为， 故答案为：． 11. 若关于x的二次函数的图像经过原点，则m的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点坐标特征以及二次函数的定义，掌握图象经过原点时，，是本题的关键． 根据函数图象经过原点，把代入函数表达式，即可求出m的值，再根据二次函数的定义，排除不符合题意的m的值即可． 【详解】解：∵关于x的二次函数的图像经过原点， ∴把代入得：， ∴ 解得：， ∵为二次函数， ∴，即， ∴， 故答案为：． 12. 如图，在菱形中，，，点P在边上运动，当时，则的长为_______． 【答案】2或或 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，含角直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键． 分为（1）当在上时，过点作交延长线于点，连接，则，设，由勾股定理得，，在中，由勾股定理得，即可得出结果；（2）当在上时，设，由，即可得出结果；（3）当在上时，过点作交于点，设，证两点重合，在中，由勾股定理得，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为菱形，其边长为6，， ∴，， （1）当在上时，过点作交延长线于点，连接，如图所示： 则， ， 设， ， 由勾股定理得：， ，， 在中，由勾股定理得：， 即：， 解得：（不合题意舍去），， ； （2）当在上时，如图所示： 设， ， ， ∴，即， 解得：， ； （3）当在上时，过点作交于点，如图所示： 设， ， ∵四边形为菱形且， ， ， ∴两点重合， 在中，由勾股定理得：， 即：， 解得：， ， 综上所述，长度为：或2或， 故答案为：或2或． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程或计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）利用因式分解法解答即可； （）把特殊角的三角函数值代入计算即可； 本题考查了解一元二次方程，特殊角的三角函数值混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵ ， ∴或 ， ∴； 【小问2详解】 解：原式 = ． 14. 如图，在中，，点D，B，C，E在同一条直线上，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理与性质是解题的关键． （1）利用等边对等角的性质得到，再根据等角的补角相等得到，即可证得； （2）根据（1）中，得到，又由，从而得到，进而得到的长． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴． ∵，，， ∴． ∴．(负值舍去) 15. 一个不透明的袋子中装有标注1，1，2，3，四个小球，这些小球除标有的数字外都相同． （1）从袋中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率为 ； （2）先从袋中随机摸出一个小球，记下数字后，放回摇匀，再从袋中随机摸出一个小球，记下数字，请画树状图或列表法，求摸出的这两个小球上标有的数字之积是奇数的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查简单概率计算，画树状图或列表法求概率，掌握概率公式是解题关键． （1）直接根据概率公式计算即可； （2）根据题意列出表格表示出所有等可能的情况，再找出标有的数字之积是奇数的情况，最后根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：从袋中随机摸出一个小球共有4种等可能的情况，其中摸出的小球上标有数字是1的有2种， ∴； 【小问2详解】 解：根据题意可列表格如下， 一 二 1 1 2 3 1 1 1 2 3 1 1 1 2 3 2 2 2 4 6 3 3 3 6 9 由表格可知共有16种等可能的情况，其中摸出的这两个小球上标有的数字之积是奇数的有9种， ∴． 16. 已知关于的一元二次方程，其中为常数． （1）当时，求该方程的根； （2）若方程有实数根，且为正整数，求的值及此时方程的根． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，解一元二次方程． （1）将代入原方程得出，进而根据因式分解法解一元二次方程，即可求解； （2）先根据根的判别式求解，再根据因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：当时，原方程为 ， ∴ 【小问2详解】 ∵方程有实数根， ∴ 解得：， ∵为正整数， ∴， 原方程， ∴， ∴ 17. 已知矩形中，，点为的中点，请仅用无刻度的直尺画图． （1）如图（），在上取一点，使； （2）如图（），画一个以为腰的等腰直角． 【答案】（1）见解析； （2）见解析 【解析】 【分析】（）连接，交于点，连接并延长交于点，则点即为所求； （）连接，交于点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，则即为所求； 本题考查了无刻度直尺画图，矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图（），连接，交于点，连接并延长交于点，则点即为所求； ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴为中点， ∴点即为所求； 【小问2详解】 解：如图，连接，交于点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，则即为所求； 由（）得四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同. （1）求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】（1）每次下降的百分率为 （2）该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程应用，根据题意找准等量关系、列出方程是解答本题的关键． （1）设每次下降的百分率为a，为两次降价的百分率，再根据题意列一元二次方程求解即可； （2）设每千克应涨价x元，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：设每次下降的百分率为a， 根据题意可得：，解得：（舍）或， 答：每次下降的百分率为； 【小问2详解】 解：设每千克应涨价x元，由题意，得 ， 整理，得，解得：， 因为要尽快减少库存，所以符合题意． 答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元． 19. 如图，直线的与曲线交于点A，B两点． （1）求不等式的解集； （2）直线分别与l，双曲线交于C，D两点，若，求a的值． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数交点问题，等腰三角形的性质，中点坐标，利用数形结合，用图象法求解是解题的关键． （1）先把代入，求解得，再把代入，求解得，联立解析式，解方程组求得点的坐标，然后观察图象即可求得不等式的解集； （2）过点作于，根据等腰三角形的性质得点是，利用中点坐标公式即可求解． 【小问1详解】 解：把代入，得 ， 把代入，得，解得：， 联立，解得：，， 由图象可得：不等式的解集或； 【小问2详解】 解：如图，过点作于， ， ，， 当时，则， 当时，则 ， 解得：，， ， ． 20. 如图，某地计划为学校添置新式课桌椅，椅子可供学生午休的躺椅．图（1）是上课期间椅子摆放样式，已知座面宽，座面高，背垫为，点G到地面的垂直距离为，．图（2）是水平摆放时的形状，脚垫长，，． （结果保留1位小数，参考数据：，，，） （1）求背垫的长； （2）如图（2），求午休躺睡时课椅点G与点H之间的水平距离． 【答案】（1）的长为 （2）午休躺睡时课椅点G与点H之间的水平距离为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用． （1）过点G作垂直的延长线于点M，先求出，再根据得到的长即可； （2）过点H作，过点A作，，分别垂直于，垂足分别为M，N，O，过作于，则四边形和都是矩形，由（1）可知，先求出，再分别在和中求出，再根据矩形的性质求即可． 【小问1详解】 解：过点G作垂直的延长线于点M， ∵， ∴， ∵点G到地面的垂直距离为，则，， ∴， 在中，，， ∴， 答：的长为； 【小问2详解】 解：过点H作，过点A作，，分别垂直于，垂足分别为M，N，O，过作于，则四边形和都是矩形， ∴， 由（1）可知， ∵，， ∴，， 在中， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴． 答：午休躺睡时课椅点G与点H之间的水平距离为． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在矩形中，已知，，点E为对角线上一动点，连接，过点C作，且，连接交于点G． （1）求证：； （2）点E运动至的中点时，求的长； （3）点E从点B运动至点D，直接写出点F运动的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由矩形和可得，再结合即可得出结论； （2）先求出，再由点E运动至的中点时，得到，进而得到，再证明，于是可得，据此即可求出的长； （3）在线段上取一点，使，在延长线上取一点，使，连接，，，先证明，得到，再证明，得到，进而得到，则点在直线上移动，再根据当点在点时，点在点处，当点在点时，点在点处，即可求出点E从点B运动至点D，点F运动的距离． 【小问1详解】 证明：∵是矩形，，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵在矩形中，，， ∴，， ∴在中，， ∵点E运动至的中点时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴， 即：， ∴； 【小问3详解】 解：如图，在线段上取一点，使，在延长线上取一点，使，连接，，， ∵，， ∴， ， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点在直线上移动， ∵当点在点时，，此时点在点处， 当点在点时，，此时点在点处， ∴点E从点B运动至点D，点F运动的距离． 22. 定义：如果两个二次函数的图像的开口大小相同，方向相反且顶点的横、纵坐标都互为相反数，则称其中一个二次函数为另一个二次函数的伴随函数．如与互为伴随函数． （1）的伴随函数的表达式为 ； （2）若的图像的顶点为，且过它的伴随函数的图像顶点． 求证：这两个函数图像的交点为； 如图，点是在之间的图像的动点，轴交的图像于点，求长度的最大值． 【答案】（1）； （2）详见解析；最大值为． 【解析】 【分析】（）根据“伴随函数”的定义和二次函数的定义即可求解； （）由，则顶点，求出它的伴随抛物线解析式为，然后当时，，则点在图象上，当时，，从而求证； 设，则， 故有，然后根据二次函数的性质即可求解； 本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：， ∴顶点为， ∴伴随抛物线的顶点为， ∴伴随抛物线的解析式为； 【小问2详解】 证明：∵， ∴顶点， ∴它的伴随抛物线的顶点为， ∴， 当时，， ∴点在图象上， 当时，， ∴点在图象上， ∴这两个函数图像的交点为，； 解：由可知：，，，， 设， ∵轴交的图像于点， ∴， ∴， ∵点在，之间， ∴， 当时，值最大，最大值为． 六、（本大题共12分） 23. 综合与实践 【问题情境】 在中（），点P是射线上一点．将沿直线折叠，点D对应点为E． 【数学思考】 如图1，若点P与点A重合，过点E作，与交于点F，连接，则四边形的形状一定是 （选填“菱形”“矩形”或“正方形”）； 【拓展探究】 如图2，当点P为的中点时，延长交于点F，连接．试判断与的位置关系，并说明理由； 【问题解决】 如图3，当点E恰好落在的边所在直线上时，，，，直接写出的长． 【答案】数学思考：菱形 拓展探究：，理由见解析 问题解决：3或7.5 【解析】 【分析】数学思考：由折叠的性质可知，，，，再根据平行线的性质推出，则，进而推出，即可证明； 拓展探究：连接．由折叠的性质可知，，，，由，，得到；由点P是的中点，得到，则，进一步证明，得到，证明，得到，再根据平角的定义得到，则； 问题解决：由题意可分①当点P在的延长线上时，②当点P在间时，点E在间时，然后根据相似三角形的性质与判定可进行求解 【详解】解：数学思考：由折叠的性质可知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴四边形是菱形 故答案为：菱形； 拓展探究：结论：， 理由如下：连接，如图2： 由折叠的性质可知，，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵点P是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 问题解决：分两种情况： ①当点P在的延长线上时，点E在的延长线上时，如图3， 由折叠的性质可知，，， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∴， ②当点P在间时，点E在上时，如图4： 延长交的延长线于点T，设， 由折叠的性质可知，，， ∵， ∴， ∴． ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述：长为3或7.5 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，菱形的判定，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$