精品解析：湖北省黄石市新港园区2024--2025学年上学期期末七年级数学试卷

黄石新港园区2024——2025学年度上学期期末七年级试卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数.如果收入100元记作+100元.那么﹣80元表示（　　） A. 支出20元 B. 收入20元 C. 支出80元 D. 收入80元 2. 单项式的系数与次数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其从左面看到的形状图是（ ） A. B. C. D. 4. 已知是关于x的一元一次方程的解，则m的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 5. 将一副三角板摆放（直角顶点重合）如图所示，若，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 实数、在数轴上的位置如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 定义一种新运算“※”，观察下列各式 1※3＝1×5+3＝8 3※（﹣1）＝3×5﹣1＝14 5※4＝5×5+4＝29 4※（﹣3）＝4×5﹣3＝17 若a※（﹣b）＝﹣6，则（a﹣b）※（5a+3b）的值为（　　） A. 12 B. 6 C. ﹣6 D. ﹣12 8. 如图，数轴上的三点A，B，C分别表示有理数a，b，c，则化简|a-b|-|c-a|+|b-c|的结果是（ ） A. 2a-2c B. 0 C. 2a-2b D. 2b-2c 9. 把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①），分两种不同形式不重叠的放在一个底面长为，宽为的长方形盒子底部（如图②、图③），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，设图②中阴影部分图形的周长为，图③中两个阴影部分图形的周长和为，若，则，满足（ ） A. B. C. D. 10. 观察下面三行数： ，，，① ，，，② ，，，③ 设，，分别为第①②③行的第个数，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 2024年10月30日，神舟十九号载人飞船取得圆满成功，3名航天员蔡旭哲、宋令东、王浩泽顺利进驻中国空间站，与神舟十八号3名航天员顺利会师．载人航天飞船的发射场受到我国超过120000000人的关注，120000000这个数字用科学记数法表示为______． 12. 在数轴上，点，分别表示的数是和，则线段的中点表示的有理数是__________． 13. 如图，甲、乙、丙三个容器，甲为正方体，内壁的各条棱长为厘米；乙为圆柱体，内壁高厘米，内部底面半径为厘米；丙是长方体，长厘米，宽厘米，高厘米．现将甲容器盛满水，乙、丙均为空容器，若把甲容器内的水倒入与乙相同的个容器，均倒满后，把剩下的水倒入丙容器，则丙容器内水的高度为_______厘米（取，结果保留小数点后一位）． 14. 已知，则的值为______． 15. 如图，数轴上有，，，，五个点，点为原点，点在数轴上表示的数是，线段的长度为个单位，线段的长度为个单位，且，两点之间的距离为个单位．若线段、同时从原来的位置出发，线段以每秒个单位的速度向右匀速运动，线段以每秒个单位的速度向左匀速运动，把线段的中点记作，则______秒时，点与线段的一个端点的距离为个单位． 三、解答题：本题共9小题，共75分． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 化简： （1）； （2）． 19. 先化简，再求值：已知，，求的值． 20. 如图，已知点为线段上一点，，，点、分别是、的中点． （1）求的长度； （2）若点在直线上，且，求的长度． 21. 国博首个虚拟数字人“艾雯雯”是一款以为技术基础的文博工作者，她搭建了交换技术，能根据当日实际访问人数的变化与国博知识库进行数据交换，更新并丰富自己的知识储备与互动技能，完成多场景应用落地． 为了更好地了解“艾雯雯”的受欢迎程度，技术工作组在2024年国庆7天假期里，对“艾雯雯”的访问量进行了跟踪统计，数据如下表（正号表示访问量比前一天增加，负号表示访问量比前一天减少），9月30日的实际访问量是10万人， 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 变化/万人 （1）国庆7天，________日的实际访问量最大； （2）若“艾雯雯”的设置日标准访问量为30万量，请完成下表（差值当日实际访问量日标准访问量）； 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 差值/万人 ________ ________ （3）国庆7天，艾雯雯的平均日访问量是多少万人？（最终结果精确到小数点后一位） （4）当日实际访问量与日标准访问量30万量相比，每相差1人时，“艾雯雯”就会进行2次信息交换．请问国庆7天，“艾雯雯”一共进行了多少万次信息交换？ 22. 综合与实践：砂糖桔是广西某县传统特产，具有皮薄，汁多，化渣，味清甜，吃后沁心润喉，是老少皆宜的美味佳品．请阅读以下材料，完成学习任务：请同学们根据材料一、材料二提供的信息完成3个任务： 材料一：某县批发市场计划运输一批砂糖橘到甲地出售，为保证砂糖桔新鲜需用带冷柜的货车运输．现有，两种型号的冷柜车，若型车的平均速度为60千米小时，型车的平均速度为75千米小时，从某县到甲地型车比型车少用2小时． 材料二：已知型车每辆可运8吨，型车每辆可运7吨，若单独租用型车，则恰好装完：若单独租用相同数量的型车，则还剩4吨砂糖桔没有装上车． 材料三：在材料一与材料二的条件下，冷柜车运完砂糖桔从某县到甲地时，运输的相关数据如下表所示： 路费单价 冷柜使用单价 1.5元（千米辆） 型冷柜车 型冷柜车 10元（小时辆） 8元（小时辆） （参考公式：冷柜使用费冷柜使用单价使用时间车辆数目；总费用路费冷柜使用费） （1）请求出A型车从某县到甲地的时间； （2）问这批砂糖桔共有多少吨？ （3）本次砂糖桔从某县到甲地的运输单独安排A型车或B型车，应该选用哪种车型使得总费用较少？较少的总费用是多少元？ 23. 一副三角尺（分别含45°，45°，90°和30°，60°，90°）按如图所示摆放在量角器上，边PD与量角器0°刻度线重合，边AP与量角器180°刻度线重合（∠APB=45°，∠DPC=60°），将三角尺ABP绕量角器中心点P以每秒10°的速度顺时针旋转，当边PB与0°刻度线重合时停止运动，设三角尺ABP的运动时间为t． （1）当t＝5时，边PB经过的量角器刻度线对应的度数是 度； （2）若在三角尺ABP开始旋转的同时，三角尺PCD也绕点P以每秒2°的速度逆时针旋转，当三角尺ABP停止旋转时，三角尺PCD也停止旋转．当三角尺ABP与三角尺PCD重叠时，∠MPN=180°，如图1． ①用含t的代数式表示：∠APM= ；∠NPD= ； ②当t为何值时，边PB平分∠CPD； （3）在旋转过程中，是否存在某一时刻使∠BPD＝2∠APC，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 24. 如图，在数轴上有一点，在的左边距点个单位长度处有一点，原点为． （1）点表示的数为______，线段的中点对应的数为______； （2）点、同时出发，点以个单位长度秒的速度向右运动、点以个单位长度秒的速度向左运动，当运动多少秒时，、两点能相遇； （3）现有动点、和一定点，点在数轴上所表示的数为，、分别从点、同时出发，分别以个单位长度秒、个单位长度秒的速度先向点运动，到达点后再向其相反方向运动，在运动过程中，当时，求时间． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黄石新港园区2024——2025学年度上学期期末七年级试卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数.如果收入100元记作+100元.那么﹣80元表示（　　） A. 支出20元 B. 收入20元 C. 支出80元 D. 收入80元 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵根据题意可得：“+”表示收入，“-”表示支出， ∴-80元表示支出80元． 故选C． 2. 单项式的系数与次数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了单项式的系数和次数，单项式中的数字因数是单项式的系数，单项式中所有字母指数的和是单项式的次数，据此解答即可求解，掌握单项式的系数和次数的定义是解题的关键． 【详解】解：单项式的系数为，次数为， 故选：． 3. 五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其从左面看到的形状图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体，根据所给几何体的形状，先确定从左面看，看到的图形分为几层几列，然后确定每层每列的小正方形个数即可得到答案． 【详解】解：从左边看，看到的图形分为上下两层共两列，从左边数，上下两层各有一个小正方形，第二列下面一层有一个小正方形，即看到的图形如下： 故选：D． 4. 已知是关于x的一元一次方程的解，则m的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，由题意可得，解方程即可得解． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程的解， ∴， 解得：， 故选：A． 5. 将一副三角板摆放（直角顶点重合）如图所示，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由图易得的度数正好是两直角相加减去的度数，从而问题可解． 【详解】解：∵， ， ∴． 故选：C． 【点睛】此题主要考查学生对角的计算的理解和掌握，解答此题的关键是让学生通过观察图示，发现几个角之间的关系． 6. 实数、在数轴上的位置如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根据数轴上点的位置判断式子的正负．正确得出、的取值范围是解题关键．根据数轴可知、的取值范围，即可进行判断． 【详解】解：由数轴可知：，， A、，故A 错误； B、，故B正确； C、，故C错误； D、，故D错误； 故选：B． 7. 定义一种新运算“※”，观察下列各式 1※3＝1×5+3＝8 3※（﹣1）＝3×5﹣1＝14 5※4＝5×5+4＝29 4※（﹣3）＝4×5﹣3＝17 若a※（﹣b）＝﹣6，则（a﹣b）※（5a+3b）的值为（　　） A. 12 B. 6 C. ﹣6 D. ﹣12 【答案】D 【解析】 【分析】根据题中等式，归纳出新定义运算的法则，从而对式子进行化简得到5a﹣b＝﹣6， 再将原式化简后得到式子10a﹣2b＝2（5a﹣b），整体代入计算即可求出值． 【详解】解：根据题中的新定义得：a※（﹣b）＝5a﹣b＝﹣6， 则原式＝5（a﹣b）+5a+3b＝10a﹣2b＝2（5a﹣b）＝﹣12， 故选D． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 8. 如图，数轴上的三点A，B，C分别表示有理数a，b，c，则化简|a-b|-|c-a|+|b-c|的结果是（ ） A. 2a-2c B. 0 C. 2a-2b D. 2b-2c 【答案】B 【解析】 【分析】根据数轴，得到信息为a＜b＜0＜c，化简绝对值即可． 【详解】∵a＜b＜0＜c， ∴a-b＜0，b-c＜0，c-a＞0， ∴|a-b|-|c-a|+|b-c| =b-a-c+a+c-b =0， 故选B． 【点睛】本题考查了数轴，有理数的大小比较，绝对值的化简，正确读取数轴信息，准确进行绝对值的化简是解题的关键． 9. 把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①），分两种不同形式不重叠的放在一个底面长为，宽为的长方形盒子底部（如图②、图③），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，设图②中阴影部分图形的周长为，图③中两个阴影部分图形的周长和为，若，则，满足（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式加减的应用，根据图②可得，设小长形卡片的宽为，长为，由图③得，进而得，再根据解答即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由图可得，图②中阴影部分图形的周长， 图③中，设小长形卡片的宽为，长为，则， 所求两个长方形的周长之和， ∵， ∴， ∴， 故选：． 10. 观察下面三行数： ，，，① ，，，② ，，，③ 设，，分别为第①②③行的第个数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律变化，代数式的值，由数列可得，第①行的数的规律为，第②行的数的规律为，第③行的数的规律为，据此分别求出的值，再代入到代数式计算即可求解，由数列找到变化规律是解题的关键． 【详解】解：由数列可得，第①行的数的规律为，第②行的数的规律为，第③行的数的规律为， ∴第①②③行的第个数分别为，，， 即，，， ∴ ， 故选：． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 2024年10月30日，神舟十九号载人飞船取得圆满成功，3名航天员蔡旭哲、宋令东、王浩泽顺利进驻中国空间站，与神舟十八号3名航天员顺利会师．载人航天飞船的发射场受到我国超过120000000人的关注，120000000这个数字用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 在数轴上，点，分别表示的数是和，则线段的中点表示的有理数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，根据数轴上两点间的距离公式求解即可． 【详解】解：点，分别表示的数是和， 线段的中点表示的有理数是， 故答案为：． 13. 如图，甲、乙、丙三个容器，甲为正方体，内壁的各条棱长为厘米；乙为圆柱体，内壁高厘米，内部底面半径为厘米；丙是长方体，长厘米，宽厘米，高厘米．现将甲容器盛满水，乙、丙均为空容器，若把甲容器内的水倒入与乙相同的个容器，均倒满后，把剩下的水倒入丙容器，则丙容器内水的高度为_______厘米（取，结果保留小数点后一位）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．正方体，圆柱，长方体的体积公式，设丙容器内水的高度大约为，根据水的体积不变列出方程，求解即可． 【详解】解：设丙容器内水的高度大约为，根据题意，得 ， 解得：， 答：丙容器内水的高度大约为． 故答案为：． 14. 已知，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，由已知得，再整体代入代数式计算即可，掌握整体代入法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，数轴上有，，，，五个点，点为原点，点在数轴上表示的数是，线段的长度为个单位，线段的长度为个单位，且，两点之间的距离为个单位．若线段、同时从原来的位置出发，线段以每秒个单位的速度向右匀速运动，线段以每秒个单位的速度向左匀速运动，把线段的中点记作，则______秒时，点与线段的一个端点的距离为个单位． 【答案】或或或 【解析】 【分析】本题考查了有理数与数轴，两点间距离，一元一次方程的应用，先根据题意求出点在数轴上表示的数，进而表示出运动秒时点在数轴上表示的数，然后分点到点的距离为个单位和点到点的距离为个单位两种情况，列出方程解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵点在数轴上表示的数是，线段的长度为个单位， ∴点在数轴上表示的数是， ∵，两点之间的距离为个单位， ∴点在数轴上表示的数是， ∵线段的长度为个单位， ∴点在数轴上表示的数是， ∵点是线段的中点， ∴点在数轴上表示的数是， 设运动秒，点与线段的一个端点的距离为个单位， 则此时点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是， 当点到点的距离为个单位时，则， 整理得，， ∴或， 解得或； 当点到点的距离为个单位时，则， 整理得，， ∴或， 解得或； 综上，当运动或或或秒时，点与线段的一个端点的距离为个单位， 故答案为：或或或． 三、解答题：本题共9小题，共75分． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算乘方、绝对值，再计算乘法，最后计算加法即可； （2）先计算乘方，再计算括号里面的，然后计算除法，最后计算加减即可得解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）按照解一元一次方程的步骤解答即可； （）按照解一元一次方程的步骤解答即可； 本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【小问1详解】 解：去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，； 【小问2详解】 解：去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，． 18. 化简： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）合并同类项即可； （）先去括号，再合并同类项即可； 本题考查了整式的加减，掌握去括号和合并同类项法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 19. 先化简，再求值：已知，，求的值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减化简求值，非负数的性质，先化简整式，再根据非负数的性质求出的值，最后代入化简后的结果中计算即可，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ∵，， ∴，， ∴原式 ． 20. 如图，已知点为线段上一点，，，点、分别是、的中点． （1）求的长度； （2）若点在直线上，且，求的长度． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了线段的中点性质和线段的和差计算，分类讨论点的位置是解题的关键． （1）根据线段的和差得到的长度，根据线段中点的性质得到、的长度，最后根据线段的和差得到的长度； （2）分点在点的右侧和左侧两种情况讨论，根据线段的和差即可得到的长度． 【小问1详解】 解：∵，， ∴ ∵点、分别是、的中点， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：分两种情况： ①如图，当点在点的右侧时，； ②当点在点的左侧时，； 综上，的长度为或． 21. 国博首个虚拟数字人“艾雯雯”是一款以为技术基础的文博工作者，她搭建了交换技术，能根据当日实际访问人数的变化与国博知识库进行数据交换，更新并丰富自己的知识储备与互动技能，完成多场景应用落地． 为了更好地了解“艾雯雯”的受欢迎程度，技术工作组在2024年国庆7天假期里，对“艾雯雯”的访问量进行了跟踪统计，数据如下表（正号表示访问量比前一天增加，负号表示访问量比前一天减少），9月30日的实际访问量是10万人， 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 变化/万人 （1）国庆7天，________日的实际访问量最大； （2）若“艾雯雯”的设置日标准访问量为30万量，请完成下表（差值当日实际访问量日标准访问量）； 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 差值/万人 ________ ________ （3）国庆7天，艾雯雯的平均日访问量是多少万人？（最终结果精确到小数点后一位） （4）当日实际访问量与日标准访问量30万量相比，每相差1人时，“艾雯雯”就会进行2次信息交换．请问国庆7天，“艾雯雯”一共进行了多少万次信息交换？ 【答案】（1）3 （2）0， （3）30.3万人 （4）60万次 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数加法运算，减法运算，乘法运算以及混合运算的实际应用等知识． （1）可分别求出每一天的访问人数，再比较得出访问量最高的一天即可． （2）根据差值当日实际访问量日标准访问量计算出2日和7日的差值即可． （3）将7日的总访问量相加然后乘以即可得出答案． （4）根据第二问可以求出国庆七天的差值，再根据差值计算交换次数． 【小问1详解】 解：1号访问量人数为(万)， 2日访问人数为(万)， 3日访问人数为(万)， 4日访问人数为(万)， 5日访问人数为(万)， 6日访问人数为(万)， 7日访问人数为(万)． ∵， ∴3日访问人数最多， 故答案为∶3． 【小问2详解】 解：2日的差值为：，7日的差值为：， 故答案为：0， 【小问3详解】 解：国庆7天艾雯雯的平均日访问量是：(万)． 【小问4详解】 解：7天总差值为：（万人） ∵每相差1人时，“艾雯雯”就会进行2次信息交换． ∴总交换次数为：（万次） 22. 综合与实践：砂糖桔是广西某县传统特产，具有皮薄，汁多，化渣，味清甜，吃后沁心润喉，是老少皆宜的美味佳品．请阅读以下材料，完成学习任务：请同学们根据材料一、材料二提供的信息完成3个任务： 材料一：某县批发市场计划运输一批砂糖橘到甲地出售，为保证砂糖桔新鲜需用带冷柜的货车运输．现有，两种型号的冷柜车，若型车的平均速度为60千米小时，型车的平均速度为75千米小时，从某县到甲地型车比型车少用2小时． 材料二：已知型车每辆可运8吨，型车每辆可运7吨，若单独租用型车，则恰好装完：若单独租用相同数量的型车，则还剩4吨砂糖桔没有装上车． 材料三：在材料一与材料二的条件下，冷柜车运完砂糖桔从某县到甲地时，运输的相关数据如下表所示： 路费单价 冷柜使用单价 1.5元（千米辆） 型冷柜车 型冷柜车 10元（小时辆） 8元（小时辆） （参考公式：冷柜使用费冷柜使用单价使用时间车辆数目；总费用路费冷柜使用费） （1）请求出A型车从某县到甲地的时间； （2）问这批砂糖桔共有多少吨？ （3）本次砂糖桔从某县到甲地的运输单独安排A型车或B型车，应该选用哪种车型使得总费用较少？较少的总费用是多少元？ 【答案】（1）A型车从某县到甲地的时间为10小时 （2）这批砂糖橘共有32吨 （3）单独安排A型车运输才能使得本次总费用较少，较少的总费用是4000元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）设型车从某县到甲地的时间为小时，则型车从某县到甲地的时间为小时，根据从某县到甲地的路程相等列方程求解即可； （2）设这批砂糖橘共有吨，根据单独租用相同数量的型车，则还剩4吨砂糖桔没有装上车列方程求解； （3）按照计费方式分别算出两种型号的车所需费用即可求解． 【小问1详解】 解：设型车从某县到甲地的时间为小时，则型车从某县到甲地的时间为小时， 由题意得，， 解得：． 答：A型车从某县到甲地的时间为10小时； 【小问2详解】 解：设这批砂糖橘共有吨， 由题意得，， 解得：． 答：这批砂糖桔共有32吨； 【小问3详解】 解：∵型车为（辆）； 型车为（辆）4（吨），即：（辆）； ∴运输32吨砂糖橘，型车需要4辆，型车需要5辆， 某县到甲地的距离为：（千米）． 安排型车的总费用：（元）， 安排型车的总费用：（元）， 因为，所以单独安排运输能使总费用较少，是4000元． 23. 一副三角尺（分别含45°，45°，90°和30°，60°，90°）按如图所示摆放在量角器上，边PD与量角器0°刻度线重合，边AP与量角器180°刻度线重合（∠APB=45°，∠DPC=60°），将三角尺ABP绕量角器中心点P以每秒10°的速度顺时针旋转，当边PB与0°刻度线重合时停止运动，设三角尺ABP的运动时间为t． （1）当t＝5时，边PB经过的量角器刻度线对应的度数是 度； （2）若在三角尺ABP开始旋转的同时，三角尺PCD也绕点P以每秒2°的速度逆时针旋转，当三角尺ABP停止旋转时，三角尺PCD也停止旋转．当三角尺ABP与三角尺PCD重叠时，∠MPN=180°，如图1． ①用含t的代数式表示：∠APM= ；∠NPD= ； ②当t为何值时，边PB平分∠CPD； （3）在旋转过程中，是否存在某一时刻使∠BPD＝2∠APC，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）85；（2）①10t，2t；②；（3）存在，t＝秒或秒． 【解析】 【分析】（1）当t=5时，PB旋转了50︒，由此可得出结论； （2）①根据两三角尺旋转速度即可得结论； ②根据∠MPA+∠APC+∠CPD+∠NPD=180︒建立方程，即可求得时间t的值； （3）分PA在PC的左侧和右侧两种情况讨论，无论哪种情况，把∠BPD、∠APC用t的代数式表示，根据∠BPD＝2∠APC列出方程，即可求得t的值． 【详解】（1）180°﹣45°﹣5×10°＝85° 故答案为：85． （2）如图1所示：①∠APM=10t；∠NPD=2t； ②∵PB平分∠CPD； ∴∠CPB＝∠BPD＝∠CPD＝30°， ∴∠APC＝∠APB﹣∠CPB＝45°﹣30°＝15°， 由∠MPN＝180°得，10°t+15°+60°+2°t＝180°， （或者10°t＝180°﹣45°﹣30°﹣2°t），解得，t＝， ∴当t＝秒时，边PB平分∠CPD； （3）设时间为t秒，则∠APM＝10°t，∠DPN＝2°t， Ⅰ）当PA在PC左侧时， 如图2所示：此时，∠APC＝180°﹣10°t﹣60°﹣2°t＝120°﹣12°t， ∠BPD＝180°﹣45°﹣10°t﹣2°t＝135°﹣12°t， 若∠BPD＝2∠APC，则135°﹣12°t＝2（120°﹣12°t），解得，t＝， Ⅱ）当PA在PC右侧时，如图3所示： 此时，∠APC＝10°t+2°t+60°﹣180°＝12°t﹣120°，∠BPD＝180°﹣45°﹣10°t﹣2°t＝135°﹣12°t， 若∠BPD＝2∠APC，则135°﹣12°t＝2（12°t﹣120°），解得，t＝． 当PB在PD的右侧时，∠APC＝12°t﹣120°，∠BPD＝12°t﹣135°， 则12°t﹣135°＝2（12°t﹣120°），解得，t＝． 综上所述，当t＝秒或秒时，∠BPD＝2∠APC． 【点睛】本题考查了动角问题，关键是找到相关动角与时间的关系，根据题意完成解答，同时（3）要进行分类讨论，这也是解决本问的关键和难点． 24. 如图，在数轴上有一点，在的左边距点个单位长度处有一点，原点为． （1）点表示的数为______，线段的中点对应的数为______； （2）点、同时出发，点以个单位长度秒的速度向右运动、点以个单位长度秒的速度向左运动，当运动多少秒时，、两点能相遇； （3）现有动点、和一定点，点在数轴上所表示的数为，、分别从点、同时出发，分别以个单位长度秒、个单位长度秒的速度先向点运动，到达点后再向其相反方向运动，在运动过程中，当时，求时间． 【答案】（1）， （2）运动秒时，、两点能相遇 （3）或 【解析】 【分析】(1)由图可知：表示的数是，根据点在的左边距点个单位长度，即得点表示的数是，由中点公式可得线段的中点对应的数为； （2）分别表示出运动秒后，A表示的数是表示的数是，根据题意建立方程，解方程即可求解； （3）分两种情况：当未到时，当到达后返回时，由，建立一元一次方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：由图可知：表示的数是， 点在的左边距点个单位长度， 点表示的数是， 线段的中点对应的数为 故答案为：，； 【小问2详解】 解：运动秒后，A表示的数是表示的数是 根据题意得， 解得：； 即运动秒时，、两点能相遇； 【小问3详解】 当未到时，表示的数是 ， 由可得 解得， 当到达后返回时，表示的数是 ， 由可得， 解得， 综上所述，或． 【点睛】本题考查一次方程的应用，解题的关键是用含t的代数式表示点运动后表示的数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $