2.1.2 多边形的外角和课件 2024—2025学年湘教版数学八年级下册

多边形的外角和 湘教·八年级下册 内角 ？ 多边形的内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫作这个多边形的一个_____. 外角 ∠EDF是五边形 ABCDE 的一个外角. 在多边形的每个顶点处取一个外角，它们的和叫作这个多边形的_______. 外角和 探索新知 我们已经知道三角形的外角和为 360°，那么四边形的外角和为多少度呢？ 如图，在四边形ABCD的每一个顶点处取一个外角，如∠1，∠2，∠3，∠4. ∴ ∠1 +∠2 +∠3 +∠4 = 4 × 180° - 360° = 360°. ∵ ∠1 +∠DAB = 180°，∠2 +∠ABC = 180°， ∠3 +∠BCD = 180°， ∠4 +∠ADC = 180°， 又 ∠DAB +∠ABC +∠BCD +∠ADC = 360°， ∴ 四边形的外角和为360°. 三角形的外角和是 360°，四边形的外角和是360°，n 边形（ n 为不小于 3 的任意整数）的外角和都是 360°吗？n 边形的外角和与边数有关系吗？ 五边形 1 2 3 4 5 5 个外角与跟它相邻的内角之和加起来是__________. 5×180° 五边形的内角和是____________. (5-2)×180° 五边形的外角和是 ___________________________. 5×180°-(5-2)×180°= 360° 探究 六边形 1 2 3 4 5 6 6 个外角与跟它相邻的内角之和加起来是__________. 6×180° 六边形的内角和是____________. (6-2)×180° 六边形的外角和是 ___________________________. 6×180°-(6-2)×180°= 360° 探究 n 边形 1 2 3 4 5 n n 个外角与跟它相邻的内角之和加起来是__________. n×180° n 边形的内角和是____________. (n-2)×180° n 边形的外角和是 ___________________________. n×180°-(n-2)×180°= 360° 外角和为定值，与边数n没有关系 探究 图形 边数 多边形的外角和 三边形 3 四边形 4 五边形 5 六边形 6 … … n边形 n 3×180°-(3-2)×180°= 360° 4×180°-(4-2)×180°= 360° 5×180°-(5-2)×180°= 360° 6×180°-(6-2)×180°= 360° n×180°-(n-2)×180°= 360° 归纳小结 一个多边形的内角和等于它外角和 的 5 倍，它是几边形？ 解 设多边形的边数为 n， 则它的内角和等于 (n-2)· 180°. 由题意得 (n-2)· 180°= 5×360°， 解得 n = 12. 因此这个多边形是十二边形. 为什么自行车的三角架要做成三角形，做成四边形行吗？ 三角形具有稳定性， 那么四边形呢？用 4 根木条钉成如图的木框，随意扭转四边形的边，它的形状会发生变化吗？ 我们发现，四边形的边长不变，但它的形状改变了，这说明四边形具有不稳定性. 在实际生活中，我们经常利用四边形的不稳定性. 有时又要克服四边形的不稳定性. 解 360°÷45° = 8 内角和为 (8-2)×180°= 1080° 1080°÷8 = 135° 答：这个多边形是8边形，每一个内角是135°. 一个多边形的每一个外角都等于 45°，这个多边形 是几边形？它的每一个内角是多少度？ 随堂练习 2. 如图，求图中 x 的值. 解 3x°+ 90°+90°= 360° x = 60° 随堂练习 3. 举出日常生活中利用四边形不稳定性的一些例子. 伸缩晾衣杆 衣架 随堂练习 如图,在五边形 ABCDE 中, AB ∥CD ,∠1,∠2,∠3 分别是与∠BAE,∠AED ,∠EDC 相邻的外角, 则 ∠1＋∠2＋∠3等于（ ） A. 90° B. 180° C. 210° D. 270° B 随堂练习 一个正多边形的一个外角比一个内角大60°，求这个多边形的每个内角的度数及边数． 随堂练习 2.已知一个多边形的每个内角与外角的比都是 7∶2，求这个多边形的边数. 3. 如图,工人师傅做了一个长方形窗框ABCD ,E,F,G,H 分别是四条边上的中点,为了使它稳固,需要在窗框上 钉一根木条,这根木条不应钉在（ ） A. A,C两点之间 B. E,G两点之间 C. B,F两点之间 D. G,H两点之间 B 随堂练习 4. 多边形的所有内角与某一外角的度数总和为 1350°, 那么这个多边形的边数是多少？ 解: 设边数为 n, 外角为 x°, 则 x°＋ (n－2)×180°＝1350°, ∴ x°＝1350°－180°(n－2)． ∵ 0°＜ x°＜180°, ∴ 0＜1350°－(n－2)×180°＜180° 解得 ． ∵ n 为整数 , ∴n ＝ 9． ∴ 这个多边形的边数是 9． 随堂练习 随堂练习 5. 如图,小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°……照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了多少米？ … A 30° 30° 30° $$