精品解析：黑龙江省新时代高中教育联合体2024-2025学年高三上学期期末联合考试数学试卷

黑龙江省新时代高中教育联合体 2024-2025学年度上学期期末联合考试 高三数学试卷 本试卷共4页，19题。全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的定义即可求解. 【详解】由题意可得，，故. 故选：A. 2. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 0.46 B. 0.73 C. 0.23 D. 0.27 【答案】B 【解析】 【分析】由正态分布的对称性，可得答案. 【详解】易得，由正态分布的对称性可得， 故. 故选：B. 3. 伊丽莎白塔，俗称“大本钟”是英国伦敦的标志性建筑，其上面镶嵌着世界上最大的“钟”，且其分针长约为4米，则经过25分钟，其分针的端点所转过的长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】先算出经过25分钟，分针的端点所转过的弧度数，再用弧长公式计算即可. 【详解】分针每60分钟转一周，故每分钟转过的弧度数是， 故经过25分钟，分针的端点所转过的弧度数为：， 故弧长为米. 故选：C. 4. 圆：与圆：的公切线条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】判断两圆的位置关系，即可判断出答案. 【详解】易得圆：的圆心，半径， 圆：的圆心，半径， 且，即圆与圆相交， 故其公切线条数为2. 故选：B. 5. 设函数，则曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出导函数，再得出切线的斜率进而得出点斜式方程即可. 【详解】由题意得， 于是当时，曲线在点处的切线斜率为， 此时切线方程为，即. 故选:D. 6. 已知，则在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】先设复数，再根据模长公式或到两个点距离相等得出，再应用除法计算即可得出复数即可得点. 【详解】解法一：设，则， 解得，则， 则在复平面内所对应的点为，位于第三象限. 解法二：设，由题意可知其在复平面内对应的点到，的距离相等， 故点位于直线上，则， 则在复平面内所对应的点为，位于第三象限. 故选：C. 7. 数列中，，对任意 ，若，则 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】取，可得出数列是等比数列，求得数列的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于的等式，由可求得的值. 【详解】在等式中，令，可得，， 所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则， ， ，则，解得. 故选：C. 【点睛】本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能力，属于中等题. 8. 已知三棱锥的四个顶点满足：，分别是圆柱的上，下底面的两条直径，且该三棱锥体积的最大值为6，则圆柱的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先应用到平面的距离相等，再应用三棱锥体积公式计算结合不等关系计算圆柱体积即可. 【详解】设圆柱的底面圆半径为，圆柱的高为， 设点到平面的距离为，因为是的中点，所以到平面的距离也为， 故， 所以圆柱的体积为. 故选:C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 平面直角坐标系中，为第一象限内且位于直线上的一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，得到，，然后结合基本不等式，重要不等式，函数的单调性逐个计算判定即可. 【详解】由题意可得，， 对于A，即，当且仅当时等号成立，故A正确； 对于B，，故，当且仅当时等号成立，故B错误； 对于C，因为，所以，可知，故，故C错误； 对于D，易得，当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：AD. 10. 现有5个按照从小到大排成的数据：，，，，，下列关于这组数据的样本数字特征的描述，一定可以使这组数据均小于10的有（ ） A. 中位数为7，众数为9 B. 平均数为3，极差为2 C. 众数为5，极差为6 D. 平均数为4，方差为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A:根据中位数的性质，易得第3个数是7，第4，5个数为9，从而判断出来，选项B：分析出与平均数3矛盾判断即可.选项C：举出反例5，5，9，10，11判断即可，选项D:得到，则，，得出矛盾. 【详解】对于A，中位数是7，众数是9，易得第3个数是7，第4，5个数为9，所以5个数据都小于10，故A正确； 对于B，易得，，，若，则，与平均数为3矛盾，故B正确； 对于C，如5，5，9，10，11满足选项，此时第4、5个数据均不小于10，故C错误； 对于D，易得，，若，则，，矛盾，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，，则（ ） A. 曲线是中心对称图形 B. 有极小值为 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，由于，故，A正确；B选项，，显然，推出当时，恒成立，得到的单调性，求出的极小值为，也是最小值，B选项正确；C选项，由A知，，关于直线对称，故，由B选项可得，成立，所以C正确；D选项，由于无法判断，的大小关系，故D错误. 【详解】对于A，由于，故， 所以曲线是轴对称图形，且对称轴为直线，故A错误； B选项，，， 其中，显然， ， 当时，，， 若，则，故， 所以， 若，则，故， 所以， 综上，当时，恒成立， 故在上单调递增， 又是轴对称图形，且对称轴为直线， 故在上单调递减， 故为的极小值点，的极小值为，也是最小值，B选项正确； C选项，由A知，是轴对称图形，且对称轴为直线， 若，则，关于直线对称，故， 由B选项，有最小值为，即， 故成立，所以C正确； D选项，若，则， 是轴对称图形，且对称轴为直线， 在上单调递减，在上单调递增， 但无法判断，的大小关系， 故无法得到的大小，故D错误. 故选：BC. 【点睛】函数的对称性： 若，则函数关于中心对称， 若，则函数关于对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先计算向量的坐标，再根据模长公式计算即可. 【详解】，故. 故答案为：. 13. 的展开式中的系数为______.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】分析题意，结合二项展开式的通项公式运算求解. 【详解】易得展开式中含的项为， 所以的展开式中的系数为. 故答案为：. 14. 已知椭圆和双曲线的对称中心均为坐标原点，左、右焦点均为，，与在第一象限有交点，若，则与的离心率之差的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】不妨设椭圆：，双曲线：，由椭圆的定义、双曲线的定义可得，，再由，可得，设，利用函数的单调性可得答案. 【详解】不妨设椭圆：，双曲线：， 与的离心率分别为，， 由椭圆的定义，有：，由，故， 由双曲线的定义，有：，故， 因此，两边同时除以，有，故， 由于，故， 所以， 不妨令，， 所以原式等于，在时，单调递减，故. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求； （2）若，，求和的值. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）运用两角和的正弦公式，结合诱导公式以及特殊角化简计算即可； （2）运用余弦定理和正弦定理计算即可. 【小问1详解】 因为， 则， 因为在中，， 所以， 则有， 因为， 所以，， 故. 【小问2详解】 由（1）可知：， 在中，因为，， 由余弦定理可得：， 则， 由正弦定理可得：，即， 所以. 16. 如图，多面体中，是以为顶角的等腰直角三角形，，是等边三角形，是空间中一点，满足，平面平面. （1）求异面直线与所成的角的余弦值； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点为，因为是等边三角形，得到，运用面面垂直性质得到平面，运用等腰直角三角形性质得到，进而建立空间直角坐标系，写出关键点坐标和直线方向向量坐标，借助向量夹角公式计算即可； （2）运用坐标法，结合向量夹角公式计算即可. 【小问1详解】 因为平面平面，取的中点为， 因为是等边三角形，所以， 因为平面平面，平面，所以平面， 因为是以为顶角的等腰直角三角形，所以， 以点为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 因为，所以， 故，， 故， 即异面直线与所成的角的余弦值为. 【小问2详解】 易知平面的一个法向量为， ，， 设平面的法向量为， 则， 令，可得平面的一个法向量为， 故， 故平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知函数. （1）若，求的单调区间； （2）若既有极大值，又有极小值，求的取值范围. 【答案】（1）的单调递减区间为，单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数分析函数单调性. （2）求导，根据函数既有极大值又有极小值可转化为二次方程有两个不等的正根，结合二次方程解的情况列不等式，解不等式即可. 【小问1详解】 由已知，则，， ，， 令，解得或（舍）， 当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增； 综上所述的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 由，， 则， 由既有极大值，又有极小值，即有两个不等的正根， 即有两个不等的正根，分别设为，， 则 解得，故的取值范围为. 18. 设抛物线：，过其焦点作两条相互垂直的直线、，与交于、两点，与交于、两点，记中点为、中点为，设与轴交于点. （1）证明：； （2）时，设直线：与交于点（异于原点），设中点为，记的面积为，求的最小值. 【答案】（1） 由题意设：，：， 联立，得， ， 设、，故有， 故， 故点， 同理用替换得点， 设、， 则：， 令，得，得证. （2） 【解析】 【分析】（1）设：，：，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系求得点，同理求得点，进而求得直线的方程，进而求得点，可得结论； （2）联立方程求得，进而求得点的轨迹方程，设直线：与抛物线相切，利用法求得的方程，进而求得面积的最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意，联立得，. 由（1）可得， 设，则有， 即点的轨迹是抛物线， 设直线：与抛物线相切. 联立得， 令得. 故与之间的距离， 此时， 当且仅当点为时，取得最小值. 19. 定义：若正项数列满足，则称数列为“对数中值数列”. （1）已知，证明：数列为“对数中值数列”； （2）已知正项数列的前项和为，且，，当，，互不相等时，存在唯一实数，使得成立. （i）求数列的通项公式； （ii）探究数列是否为“对数中值数列”. 【答案】（1） 易知，， 要证数列为“对数中值数列”， 即证， 即证， 即证，显然成立， 故数列为“对数中值数列”. （2）（i）；（ii）是 【解析】 【分析】（1）根据“对数中值数列”的定义进行证明即可. （2）（i）将，互换可得，再用“赋值法”，可得为等差数列，利用等差数列的求和公式，可得，进而得. （ii）结合基本不等式和“对数中值数列”的定义进行证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）将，互换可得，， 所以， 令，，得， 所以，故数列是等差数列， ， 所以， 故. （ii）记，又 故， 故， 故是单调递增的等差数列， 故，， 故 ，故. 故数列为“对数中值数列”. 【点睛】方法点睛：在中，将，互换，结合的唯一性，可确定的值，这是该问题的突破口. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黑龙江省新时代高中教育联合体 2024-2025学年度上学期期末联合考试 高三数学试卷 本试卷共4页，19题。全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 0.46 B. 0.73 C. 0.23 D. 0.27 3. 伊丽莎白塔，俗称“大本钟”是英国伦敦的标志性建筑，其上面镶嵌着世界上最大的“钟”，且其分针长约为4米，则经过25分钟，其分针的端点所转过的长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 4. 圆：与圆：的公切线条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 设函数，则曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 数列中，，对任意 ，若，则 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 已知三棱锥的四个顶点满足：，分别是圆柱的上，下底面的两条直径，且该三棱锥体积的最大值为6，则圆柱的体积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 平面直角坐标系中，为第一象限内且位于直线上的一点，则（ ） A. B. C. D. 10. 现有5个按照从小到大排成的数据：，，，，，下列关于这组数据的样本数字特征的描述，一定可以使这组数据均小于10的有（ ） A. 中位数为7，众数为9 B. 平均数为3，极差为2 C. 众数为5，极差为6 D. 平均数为4，方差为2 11. 已知函数，，则（ ） A. 曲线是中心对称图形 B. 有极小值为 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，则______. 13. 的展开式中的系数为______.（用数字作答） 14. 已知椭圆和双曲线的对称中心均为坐标原点，左、右焦点均为，，与在第一象限有交点，若，则与的离心率之差的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求； （2）若，，求和的值. 16. 如图，多面体中，是以为顶角的等腰直角三角形，，是等边三角形，是空间中一点，满足，平面平面. （1）求异面直线与所成的角的余弦值； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知函数. （1）若，求的单调区间； （2）若既有极大值，又有极小值，求的取值范围. 18. 设抛物线：，过其焦点作两条相互垂直的直线、，与交于、两点，与交于、两点，记中点为、中点为，设与轴交于点. （1）证明：； （2）时，设直线：与交于点（异于原点），设中点为，记的面积为，求的最小值. 19. 定义：若正项数列满足，则称数列为“对数中值数列”. （1）已知，证明：数列为“对数中值数列”； （2）已知正项数列的前项和为，且，，当，，互不相等时，存在唯一实数，使得成立. （i）求数列的通项公式； （ii）探究数列是否为“对数中值数列”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $