第三单元长方体和正方体（讲义）-2024-2025学年五年级下册数学人教版

第3单元复习讲义 板块一：知识精讲 1．长方体的特征 【知识点归纳】 长方体的特征： 1．长方体有6个面．有三组相对的面完全相同．一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同． 2．长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等．按长度可分为三组，每一组有4条棱． 3．长方体有8个顶点．每个顶点连接三条棱．三条棱分别叫做长方体的长，宽，高． 4．长方体相邻的两条棱互相垂直． 2．长度的单位换算 【知识点归纳】 1千米＝1000米， 1米＝10分米＝100厘米＝1000毫米； 1分米＝10厘米＝100毫米； 1厘米＝10毫米． 单位之间的换算，大单位换算成小单位要乘它们之间的进率；小单位换算成大单位要除以它们之间的进率． 3．体积、容积及其单位 【知识点归纳】 体积，或称容量、容积，几何学专业术语，是物件占有多少空间的量． 体积的国际单位制是立方米． 常用的单位：立方米、立方分米、立方厘米、立方毫米． 4．体积、容积进率及单位换算 【知识点归纳】 体积单位： 1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米 1立方分米＝1000立方厘米， 容积单位： 1升＝1000毫升 1升＝1立方分米＝1000立方厘米 1毫升＝1立方厘米 单位之间的换算，大单位换算成小单位要乘它们之间的进率；小单位换算成大单位要除以它们之间的进率． 5．长方体和正方体的表面积 【知识点归纳】 长方体表面积：六个面积之和． 公式：S＝2ab+2ah+2bh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高） 正方体表面积：六个正方形面积之和． 公式：S＝6a2．（a表示棱长） 6．长方体和正方体的体积 【知识点归纳】 长方体体积公式：V＝abh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高） 正方体体积公式：V＝a3．（a表示棱长） 7．长方体、正方体表面积与体积计算的应用 【知识点归纳】 （1）长方体： 底面是矩形的直平行六面体，叫做长方体． 长方体的性质：六个面都是长方形，（有时有两个面是正方形）；相对的面面积相等；12条棱相对的4条棱长相等；8个顶点；相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫长、宽、高；两个面相交的边叫做棱；三条棱相交的点叫做顶点． 长方体的表面积：等于它的六个面的面积之和． 如果长方体的长、宽、高、表面积分别用a、b、h、S表示，那么：S表＝2（ab+ah+bh） 长方体的体积：等于长乘以宽再乘以高． 如果把长方体的长、宽、高、体积分别用a、b、h、V表示，那么：V＝abh （2）正方体： 长宽高都相等的长方体，叫做正方体． 正方体的性质：六个面都是正方形；六个面的面积相等；有12条棱，棱长都相等；有8个顶点；正方体可以看做特殊的长方体． 正方体的表面积：六个面积之和． 如果正方体的棱长、表面积分别用a、S表示，那么：S表＝6a2 正方体的体积：棱长乘以棱长再乘以棱长． 如果把正方体的棱长、体积分别用a、V表示，那么：V＝a3 板块二：典题精练 一、选择题 1．一个长方体，底面是一个周长为12分米的正方形，侧面展开后是一个正方形，这个长方体的体积是（　　）立方分米 ． A．144 B．108 C．36 D．216 2．下列不是长方体侧面展开图的是（    ）。 A． B． C． D． 3．一根长（    ）cm的铁丝，刚好可以围成一个棱长为4cm的正方体框架。 A．16 B．48 C．64 D．96 4．如图，小明身高1米，他旁边有个立方体水塔，试估计该水塔的体积是（    ）。 A．64立方米 B．27立方米 C．16立方米 D．8立方米 5．用铁丝做一个长5cm、宽4cm、高3cm的长方体框架，至少需要（    ）cm长的铁丝。 A．24 B．48 C．60 D．94 6．下面形状的纸片中，不能折成正方体的是（    ）。 A． B． C． D． 7．丽丽在下面的各容器中（容器原度忽略不计），分别倒入同样多的水，容器中水位最高的是（    ）。 A． B． C． D． 8．如图，与2号面相对的面是（    ）号面，与5号面相对的面是（    ）号面。 A．6；1 B．3；1 C．1；6 D．4；6 二、填空题 9．用3个棱长4分米的正方体粘合成一个长方体，长方体的表面积比3个正方体的表面积少( )平方分米。体积是( )立方厘米。 10．一个长方体的纸质包装箱，长30cm，宽和高都是20cm．做10个这样的包装箱，至少需要纸板( )cm²，合( )dm²． 11．一个正方体的底面周长是28dm，它的表面积是（ ）cm2． 12．一个正方体铁块的棱长是5厘米，它的棱长之和是（ ）厘米，表面积是（ ）平方厘米；这个正方体铁块可以熔铸成一个长（ ）厘米，宽5厘米，高2厘米的长方体。（损耗忽略不计） 13．在括号里填上合适的单位名称。 一瓶啤酒约500( )；“神十”宇宙飞船返回舱容积为6( )。 14．一个长方体的体积是80dm3，长是4cm，宽是5cm，高是（ ）cm，它的表面积是（ ）． 15．汽车油箱从里面量，长6厘米、宽34厘米、高22厘米，这个油箱可以装( )升汽油。 三、判断题 16．在一个长方体中,最多有8条棱完全相等、6个面完全相同． ( ) 17．若一个长方体的长、宽、高各增加2cm，则它的体积增加8cm3。( ) 18．一个纯净水桶的容积大约是20升。( ) 19．一个长方体包装箱，相交于一个顶点的三条棱的长度分别是8dm、6dm、5dm，这个包装箱的占地面积最大是48dm2。( ) 20．一个长方体的长、宽、高的数值都是质数，并且长＋宽＋高＝10cm，这个长方体的体积是30cm3。( ) 21．用相同的小正方体拼成一个大正方体，至少要4个小正方体，才能拼成一个比较大的正方体。( ) 22．体积都是24立方米的两个长方体的形状也一定相同。( ) 23．把一个表面积是160平方厘米的正方体平均分成两个相等的长方体，每个长方体的表面积是80平方厘米。( ) 四、解答题 24．一个长9分米，宽6分米，高10分米的长方体鱼缸里面盛有6分米的水，放入一个珊瑚石后，水深为8分米，这块珊瑚石的体积是多少立方分米？ 25．一个长方体无盖玻璃鱼缸，长50厘米、宽40厘米、高30厘米。 （1）做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方厘米？ （2）在鱼缸里注入40升水，水深大约多少厘米？ （3）再往水里放入鹅卵石、水草和鱼，测得水面上升了2.5厘米，求放入物体的体积一共是多少立方厘米？ 26．一块正方体钢坯，棱长为6分米，工人师傅想把它锻造成高3分米、宽4分米的长方体钢坯的长是多少分米？ 27．把5个棱长为25cm的正方体纸箱放在墙角处（如下图），这些正方体纸箱露在外面的面积是多少平方厘米？ 28．如图所示用绳子捆扎一种礼品盒，如果结头处的绳长为12厘米，一根10米长的绳子最多可以捆几盒？还剩多少厘米？ 29．要在平地上挖一个长50米、宽30米、深50厘米的长方体土坑，一共要挖出多少方的土？          30．一个长方体无盖玻璃水槽，长50厘米、宽40厘米、高30厘米。做这个水槽至少需要玻璃多少平方厘米？在水槽中注入40升水，水深大约多少厘米？ 31．一辆汽车的油箱，从里面量长50厘米，宽40厘米，高15厘米。 （1）这个油箱最多能装多少升汽油？ （2）某市汽油价格已经涨到每升9.1元，这辆汽车加满整箱油需要多少钱？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第三单元长方体和正方体（讲义）-2024-2025学年五年级下册数学（人教版）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B B B B C A A 1．B 【详解】已知长方体底面是一个周长为12分米的正方形，侧面展开后是一个正方形，这说明长方体的高与底面周长相等，（如下图）也是12分米；这样先求出底面边长，再根据体积公式v=sh，代入数据计算出长方体的体积：12÷4=3（分米）、3×3×12=9×12=108（立方分米）． 2．B 【分析】把一个长方体的盒子沿棱剪开，可以归纳为以下几种常见情况： 1、“1－4－1”型 2、“2－3－1”型 3、“2－3－1”型 【详解】 A．，1－4－1型长方体展开图； B．，不是长方体展开图； C． ，1－4－1型长方体展开图； D．，2－3－1型长方体展开图。 不是长方体侧面展开图的是。 故答案为：B 3．B 【分析】根据“正方体棱长和＝棱长×12”，代入数据计算，即可求出这根铁丝的长度。 【详解】4×12＝48（cm） 所以，一根长48cm的铁丝，刚好可以围成一个棱长为4cm的正方体框架。 故答案为：B 【点睛】明确正方体的12条棱长是相等的，是解答此题的关键。 4．B 【分析】从图中可以看出，水塔的高约是小明身高的3倍，即水塔高约3米；水塔是正方体，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出水塔的体积。 【详解】3×3×3 ＝9×3 ＝27（立方米） 故答案为：B 【点睛】掌握正方体的体积计算公式是解题的关键。 5．B 【分析】根据长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，列式计算即可。 【详解】（5＋4＋3）×4 ＝12×4 ＝48（cm） 故答案为：B 【点睛】关键是掌握并灵活运用长方体棱长总和公式。 6．C 【分析】根据正方体展开图的特点，“1—4—1”型、“2—3—1”型、“2—2—2”型、“3—3”型可以折成正方体；据此解答。 【详解】 A．，属于“1—4—1”型，是正方体的展开图，能折成正方体； B．，属于“1—4—1”型，是正方体的展开图，能折成正方体； C．，不是正方体的展开图，不能折成正方体； D．，属于“1—4—1”型，是正方体的展开图，能折成正方体。 故答案为：C 7．A 【分析】分别倒入同样多的水，根据长方体的体积＝底面积×高，底面积越小，容器中水位越高，先算出各个选项容器的底面积，再进行大小比较，据此解答。 【详解】A．容器底面积：4×3＝12（平方厘米）； B．容器底面积：5×3＝15（平方厘米）； C．容器底面积：4×4＝16（平方厘米）； D．容器底面积：5×4＝20（平方厘米）； 20＞16＞15＞12，A选项的容器底面积最小，所以A选项容器中水位最高。 故答案为：A 8．A 【分析】根据正方体展开图的11种特征，此图属于正方体展开图的“2—3—1”型，折成正方体后，6和2相对，5和1相对，4和3相对。据此解答。 【详解】与2号面相对的面是6号面，与5号面相对的面是1号面。 故答案为：A 【点睛】本题主要考查了正方体的展开图。 9． 64 192 【分析】粘合成的长方体如图：，共减少了2×2个面，体积不变，据此解答。 【详解】4×4×4=64（平方分米），4×4×4×3=192（立方厘米） 【点睛】本题考查了立体图形的拼组及长方体的体积，要有一定的空间想象能力。 10． 32000 320 11．29400平方厘米 【详解】试题分析：根据正方体的特征：6个面是完全相同的正方形，根据正方形的周长公式：c=4a，用底面周长除以4即可求出正方体的棱长，再根据正方体的表面积公式：s=6a2，把数据代入公式解答即可． 解：1平方分米=100平方厘米， 正方体的棱长：28÷4=7（分米）， 表面积：7×7×6=294（平方分米）， 294平方分米=29400平方厘米， 答：它的表面积是29400平方厘米． 故答案为29400平方厘米． 点评：此题考查的目的是掌握正方体的特征及正方体的表面积公式． 12． 60 150 12.5 【分析】正方体的棱长之和＝棱长×12，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，把题中数据代入公式计算，长方体的体积等于正方体的体积，最后利用长＝长方体的体积÷宽÷高求出长方体铁块的长，据此解答。 【详解】棱长之和：5×12＝60（厘米） 正方体的表面积：5×5×6 ＝25×6 ＝150（平方厘米） 正方体的体积：5×5×5 ＝25×5 ＝125（立方厘米） 长方体的长：125÷5÷2 ＝25÷2 ＝12.5（厘米） 【点睛】掌握正方体的棱长之和与表面积计算公式，以及正方体和长方体的体积计算公式是解答题目的关键。 13． 毫升 立方米 【分析】常见的容积单位有：升、毫升，1升＝1立方分米，1毫升＝1立方厘米，1升＝1000毫升，一瓶啤酒约500毫升； 常见的体积单位有：立方厘米、立方分米、立方米，1立方厘米相当于一个手指尖的体积，一个粉笔盒的体积接近1立方分米，棱长为1米的正方体的体积是1立方米；宇宙飞船返回舱容积比较大，用6立方米更合适，据此解答。 【详解】一瓶啤酒约500（   毫升   ）；“神十”宇宙飞船返回舱容积为6（   立方米   ）。 【点睛】根据题中数据联系生活实际选择合适的体积或容积单位是解答题目的关键。 14．4，112平方厘米 【详解】试题分析：首先用长方体的体积除以底面积即得高，再根据长方体的表面积公式，即可求出表面积． 解：高：80÷（4×5）， =80÷20， =4（厘米）； 表面积：（4×5+4×4+5×4）×2， =56×2， =112（平方厘米）； 答：长方体的高是4厘米，表面积是112平方厘米． 故答案为4，112平方厘米． 点评：此题考查了已知长方体的体积求长方体的高以及表面积的计算． 15．4.488 【分析】长方体的体积（容积）＝长×宽×高，把题中数据代入公式计算，1立方厘米＝1毫升，1升＝1000毫升，最后把单位转化为“升”，据此解答。 【详解】6×34×22 ＝204×22 ＝4488（立方厘米） 4488立方厘米＝4488毫升＝4.488升 所以，这个油箱可以装4.488升汽油。 【点睛】本题主要考查长方体体积（容积）公式的应用，熟记公式是解答题目的关键。 16．× 17．× 【分析】假设长方体的长、宽、高分别是3cm、2cm、1cm，各增加2cm后的长为3＋2＝5cm，宽为2＋2＝4cm，高为1＋2＝3cm，然后根据长方体的体积公式：V＝abh，据此分别求出增加前后长方体的体积，再相减即可。 【详解】假设长方体的长、宽、高分别是3cm、2cm、1cm，则增加2cm后的长为3＋2＝5cm，宽为2＋2＝4cm，高为1＋2＝3cm 3×2×1 ＝6×1 ＝6（cm3） （3＋2）×（2＋2）×（1＋2） ＝5×4×3 ＝20×3 ＝60（cm3） 60－6＝54（cm3） 则若一个长方体的长、宽、高各增加2cm，则它的体积增加54cm3。原题干说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题考查长方体的体积，熟记公式是解题的关键。 18．√ 【分析】1升液体的体积就是1立方分米，结合单位前的数据，所以计量一个纯净水桶的容积用“升”作单位比较合适。 【详解】一个纯净水桶的容积大约是20升。 故答案为：√ 19．√ 【分析】相交于一个顶点的三条棱的长度分别是长方体的长、宽和高，求包装箱的占地面积，根据正方形的面积＝长×宽，据此解答即可。 【详解】8×6＝48（dm2） 原题干说法正确。 故答案为：√ 【点睛】本题考查长方体的特征，明确它的特征是解题的关键。 20．√ 【分析】根据题意，长方体的长、宽、高的数值都是质数，并且长＋宽＋高＝10cm，那么在10以内的质数（2、3、5、7）中符合的长、宽、高是：2cm、3cm、5cm；再根据长方体的体积＝长×宽×高，将数据代入计算出体积即可；据此解答。 【详解】根据分析，长方体的体积： 2×3×5 ＝6×5 ＝30（cm3） 所以，这个长方体的体积是30 cm3，原题说法正确； 故答案为：√ 【点睛】此题考查了质数的认识以及长方体的体积计算，关键熟记公式。 21．× 【分析】要拼成一个大正方体，每条棱上至少需要2个小正方体。假设小正方体的棱长是1个单位长度。那么大正方体的棱长至少是2个单位长度。大正方体的体积＝2×2×2＝8，小正方体的体积＝1×1×1＝1，所以拼成一个大正方体至少需要小正方体的个数＝大正方体的体积÷小正方体的体积＝8÷1＝8（个） 【详解】综上所述，至少要8个小正方体，才能拼成一个比较大的正方体。 故答案为：× 22．× 【分析】长方体的体积＝长×宽×高，长方体的体积相等时，它们的长、宽、高不一定相同，长、宽、高不相等的两个长方体它们的形状也不相同，据此解答。 【详解】 8×3×1＝24（立方米） 4×3×2＝24（立方米） 由上可知，体积都是24立方米的两个长方体的形状不相同。 故答案为：× 【点睛】掌握长方体的体积计算公式，体积相等的两个长方体它们的形状不一定相同。 23．× 【分析】将正方体平均分成两个相等的长方体，所得的两个长方体的表面积比原正方体的表面积增加了两个截面的面积；据此解答。 【详解】由分析可得，将正方体截成两个长方体时，表面积比原正方体的表面积增加了，原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题考查了立体图形的切割，关键是要理解将正方体截成两个长方体时，表面积比原正方体的表面积增加了。 24．108立方分米 【详解】试题分析：放入一个珊瑚石后，水面升高了，升高的水的体积就是这个珊瑚石的体积，升高的部分是一个长是9分米，宽6分米，高（8﹣6）分米的长方体，根据长方体的体积计算公式计算即可解答． 解：9×6×（8﹣6）， =54×2， =108（立方分米）， 答：这块珊瑚石的体积是108立方分米． 点评：本题主要考查特殊物体体积的计算方法，将物体放入或取出，水面上升或下降的体积就是物体的体积．长方体的体积=长×宽×高． 25．（1）7400平方厘米；（2）20厘米；（3）5000立方厘米 【详解】（1）50×40＋2×30×40＋2×50×30 ＝2000＋2400＋3000 ＝7400（平方厘米） 答：做这个鱼缸至少需要玻璃7400平方厘米。 （2）40L＝40000立方厘米 40000÷（50×40） ＝40000÷2000 ＝20（厘米） 答：水深大约20厘米。 （3）2.5×50×40＝5000（立方厘米） 答：放入物体的体积一共是5000立方厘米。 26．18分米 【分析】根据题意可知，正方体钢坯和长方体钢坯的体积相等，根据“正方体的体积＝棱长×棱长×棱长”求出它们的体积，再除以长方体高与宽的积，即可求出长方体的长。 【详解】 ＝216÷12 ＝18（分米）； 答：长方体钢坯的长是18分米。 【点睛】明确正方体钢坯和长方体钢坯的体积相等是解答本题的关键。 27．6250平方厘米 【分析】从前面可以看到3个正方形的面，从上面可以看到4个正方形的面，从右面可以看到3个正方形的面，总共可以看到10个正方形的面，再乘每个正方形的面积即可。 【详解】25×25×（3＋3＋6） ＝25×25×10 ＝6250（平方厘米） 答：这些正方体纸箱露在外面的面积是6250平方厘米。 【点睛】解答本题本题的关键是先求出总共可以看到多少个正方形的面。 28．6盒，88厘米 【详解】试题分析：根据题意和图形可知，捆扎一个礼品盒所需绳子的长度等于2条长棱，2条宽棱，4条高棱，再加打结处用的12厘米．据此求出捆扎一个礼品盒所需绳子的长度，再用除法解答即可． 解：10米=1000厘米， 30×2+20×2+10×4+12， =60+40+40+12， =152（厘米）， 1000÷152=6（盒）…88（厘米）； 答：一根10米长的绳子最多可以捆6盒，还剩88厘米． 点评：此题属于长方体的棱长总和的实际应用，解答关键是弄清是如何捆扎的，也就是弄清是求哪些棱的长度和． 29．750方 【分析】先根据进率“1米＝100厘米”把50厘米换算成0.5米；然后根据长方体的体积＝长×宽×高，以及进率“1立方米＝1米”，即可求出要挖出土的体积。 【详解】50厘米＝0.5米 50×30×0.5 ＝1500×0.5 ＝750（立方米） 750立方米＝750方 答：一共要挖出750方的土。 30．7400平方厘米；20厘米 【分析】根据长方体的表面积的计算方法，由于鱼缸无盖，缺少上面，所以求它大5个面的面积即可；根据长方体的容积（体积）公式：V＝Sh，用40升水的体积除以鱼缸的底面积即可解答。 【详解】50×40＋（50×30＋40×30）×2 ＝2000＋（1500＋1200）×2 ＝2000＋2700×2 ＝2000＋5400 ＝7400（平方厘米） 40升＝40000毫升 40000毫升＝40000立方厘米 40000÷（50×40） ＝40000÷2000 ＝20（厘米） 答：做这个水槽至少需要玻璃7400平方厘米，在水槽中注入40升水，水深大约20厘米。 31．（1）30升（2）372元 【分析】（1）根据长方体的容积公式：V＝abh，求出长方体油箱可装汽油多少升； （2）用油箱的容积乘每升汽油的价格，即可求出加满一箱汽油要多少钱，由此列式解答即可。 【详解】（1）50×40×15 ＝2000×15 ＝30000（立方厘米） 30000立方厘米＝30升 答：这个油箱最多能装30升汽油。 （2）30×9.1＝273（元） 答：这辆汽车加满整箱油需要273元。 【点睛】本题属于长方体容积的实际应用，首先根据长方体的容积公式求出油桶的容积，进而根据题意，用乘法解答。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$