精品解析：吉林省松原市五校2024-2025学年高二上学期期末联考数学试题

2024—2025学年度上学期期末五校联考 高二数学试题 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 不存在 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线与轴平行，求出倾斜角. 【详解】因为直线方程为：，与轴平行，所以直线的倾斜角为. 故选：A. 2. 已知等差数列中，，则（ ） A. 13 B. 16 C. 15 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件，结合等差数列的通项公式，可求得公差，再代入通项公式，即可求得. 【详解】由，得，故， 所以. 故选：D. 3. 若两条直线与垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据两条直线垂直列式求解即可得到答案. 【详解】直线与直线垂直， 则，解得. 故选：B 4. 三棱锥中，点分别是的中点，点为线段上靠近的三等分点，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算，可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 由为上靠近的三等分点，则， . 故选：C. 5. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过左焦点作直线交于两点，则三角形的周长为（ ） A. 14 B. 12 C. 10 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的定义即可求解. 【详解】由椭圆的定义得， 则的周长为. 故选：D. 6. 圆与圆的公切线条数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】将化为标准方程后求出其圆心和半径，再判断两个圆的位置关系，最后得到公切线条数即可. 【详解】因为，所以， 化简得圆的标准方程为，圆心，半径， 由题意得圆的圆心为，半径， 由两点间距离公式得， 而 因为，所以两圆外切， 所以圆与圆的公切线有3条，故B正确. 故选：B. 7. 正三棱柱的所有棱长都为2，则到平面的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，将线面距离转化为点面距离，利用空间距离的向量求法，即得答案. 【详解】设分别是的中点，连接， 根据正三棱柱的几何性质可知，两两相互垂直， 建立如图所示空间直角坐标系， 则， . 设平面的法向量为，则， 令，则，故可得. 由于平面平面，所以平面. 所以到平面的距离即到平面的距离，即. 故选：C. 8. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右顶点分别为、，若该双曲线上存在点，使得的斜率之和为1，则该双曲线离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设0），由题意可得，即直线与双曲线有公共点，联立与双曲线方程，可知即可. 【详解】易知，设0），则， 所以，又，所以，即， 所以，即直线与双曲线有公共点. 联立与双曲线方程，有， 消去得：， 则要使方程有根，需使. 故选：A. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用空间向量坐标的减法运算判断A，利用空间向量模的公式判断B，利用线线角的向量求法判断C，利用向量数量积的坐标运算判断D即可. 【详解】对于A，因为， 所以，故A正确； 对于B，由向量模的公式得，故B错误； 对于C，因为， 所以，， 由向量夹角公式得， ，故C正确，D错误. 故选：AC. 10. 设公比为的等比数列的前项和为，若数列满足，且，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由可求得，结合可排除，知B正确；由等比数列通项公式知A错误；利用作差法可知C正确；根据等比数列求和公式可判断D错误. 【详解】对于B，当时，，，又，， 或； 当时，，，与矛盾，，B正确； 对于A，，A错误； 对于C，，，，，即，C正确； 对于D，，又，，D错误. 故选：BC. 11. 已知，分别为双曲线的左、右顶点，离心率为，为双曲线上位于第一象限内任意一点，设，，的面积为，则下列说法正确的是（ ） A. 的值随着的增大而减小 B. 是定值 C. D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由正弦定理可得，即可判断A；根据即可判断B；推导出，又，即可判断C；由，，即可得到，从而得到，即可求出离心率的取值范围，从而判断D. 【详解】双曲线的左顶点为，右顶点为，渐近线为， 在中，由正弦定理可知， 显然均为锐角且随着的增大分别减小与增大，即随着的增大分别减小与增大且均为正数， ∴的值随着的增大而减小，故A正确； 因为， 由于，∴，∴为定值，故B正确； 因为，而， ∴，故C错误； 因为， ， ∴， 又，∴，解得，则， 又，∴，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】方法点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出，，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于，，的齐次式，结合转化为，的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围)． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若抛物线上一点与焦点的距离等于2，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先求抛物线的准线方程，再根据抛物线的定义得到关于的方程，求解即可. 【详解】由得，所以准线方程为， 因为点与焦点的距离等于2，所以点与准线的距离等于2， 即，解得， 故答案为：. 13. 已知定点，动点满足.设点的轨迹为，则轨迹的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设动点，分别求出的坐标，根据向量的数量积公式以及模长公式，化简即可得点的轨迹方程. 【详解】设动点，因为点， 则. 又. 化简得，即， 故动点的轨迹的方程为1. 故答案为：. 14. 棱长为的正四面体中，点为平面内的动点，且满足，则直线与直线所成的角的余弦值的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用给定条件判断的轨迹，再建立空间直角坐标系，利用线线角的向量求法将所求夹角余弦值表示为三角函数，结合三角函数的有界性求出取值范围即可. 【详解】首先，记在底面内的投影为，则底面， 因为平面，所以， 因为正四面体，所以是等边三角形， 由题意得，是的中心， 则， 由题意得，则， 所以的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 建立如下图所示的空间直角坐标系： 设与轴正半轴所成的角为，则，， 所以， 设直线与直线所成的角为， 所以， 因为，所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何，解题关键是利用给定条件判断动点轨迹，然后建立空间直角坐标系并利用线线角的向量求法将目标式进行表示，结合三角函数有界性得到所要求的取值范围即可． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知圆心为的圆经过和，且圆心在直线上. （1）求圆C的方程： （2）若直线与圆的交点为两点，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由点坐标求出弦的垂直平分线的方程，联立直线求出圆心，即可写出圆的方程； （2）由垂径定理即可得到结果. 【小问1详解】 因为，所以， 所以弦的垂直平分线的斜率为，又弦的中点坐标为， 所以弦的垂直平分线的方程为，即， 与直线联立解得：，所以圆心坐标为所以圆的半径，则圆的方程为：； 【小问2详解】 由（1）知，圆心到直线的距离为 圆的半径. 16. 记为正项数列的前项和，已知. （1）证明：数列为等比数列，并求其通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1）证明：由，得， 解得或，又， 所以，所以， 当时，，两式作差得， 即时，， 所以是以2为首项，2为公比的等比数列， 故. （2） 【解析】 【分析】（1）求出首项，根据等比数列的定义即可证明结论，进而求得通项公式； （2）结合（1）可得的表达式，进而利用错位相减法，即可求得答案 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知， 所以， 则， 两式相减得. 所以. 17. 如图，四棱锥中，底面是正方形，是的中点，. （1）证明：平面平面； （2）若是棱上靠近点的三等分点，求直线与平面所成角的大小. 【答案】（1）证明：因为四边形为正方形，为的中点，，所以. 在中，由余弦定理得， 因为，所以，即. 因为，所以，所以. 又因为平面，所以平面. 又因为平面，所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据及正方形的性质可求，在中利用余弦定理求得，即可证明.再证明，可得，利用线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，平面的法向量为和，利用向量法即可求解直线与平面所成角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得两两垂直，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则， 于是. 设平面的法向量为， 则，即， 令，可得. 设直线与平面所成的角为， 则， 解得， 故直线与平面所成的角为. 18. 已知是抛物线上三点，直线和均与抛物线相切. （1）若，求； （2）试判断直线与的位置关系，并给出证明. 【答案】（1） （2）直线与相切，证明如下： 设，由点在上， 得，所以，， 于是切线的方程为， 即， 即， 由， 得， 因为与相切， 所以， 即，同理，， 又因为，所以， 且， 故直线的方程为， 由得 则， 所以直线与抛物线相切. 【解析】 【分析】（1）设经过点与相切的直线方程为，联立得，，根据，其斜率是方程的两根，求解即可. （2）设，三个点都在抛物线上，则易得到直线和的解析式从而得到直线AB的斜率，由直线AB的斜率利用点斜式确定直线AB的方程，与抛物线联立，消去y得到关于x的一元二次方程，结合判别式的值即可确定直线AB与抛物线的位置关系. 【小问1详解】 设经过点与相切的直线方程为， 由得， 由，得， 因为直线都与抛物线相切， 所以它们的斜率是方程的两根. 由已知得，因此. 【小问2详解】 略 19. 已知无穷数列中，，记. （1）若为，是一个周期为4的数列（即），直接写出的值； （2）若为周期数列，证明：，使得当时，是常数； （3）设是非负整数，证明：的充分必要条件为为公差为的等差数列. 【答案】（1），，， （2） 不妨设的周期为（）， 记，， 则当时，是常数. 记，使得当时，是常数，结论正确. （3） 先证充分性：因为是公差为（为非负整数）的等差数列，则. 所以，， 所以（）. 再证必要性：因为，所以， 因为，，所以， 于是有：，，因此. 故数列是公差为的等差数列. 【解析】 【分析】（1）根据定义可直接求出的值. （2）令（周期），结合新定义，即可证明结论. （3）根据定义分别证明充分性和必要性，为非负整数，是公差为的等差数列，，，易证出充分性，证明必要性先结合反证法证明数列不是递减，再证明是等差数列. 【小问1详解】 因为，，所以； ，，所以； ，，所以； ，，所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】思路点睛：此题考查数列相关的新定义问题，涉及求值和证明，证明一个条件是另一个条件的充要条件时一定要考虑完充分性和必要性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度上学期期末五校联考 高二数学试题 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 不存在 2. 已知等差数列中，，则（ ） A. 13 B. 16 C. 15 D. 14 3. 若两条直线与垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 三棱锥中，点分别是的中点，点为线段上靠近的三等分点，记，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过左焦点作直线交于两点，则三角形的周长为（ ） A. 14 B. 12 C. 10 D. 8 6. 圆与圆的公切线条数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 7. 正三棱柱的所有棱长都为2，则到平面的距离是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右顶点分别为、，若该双曲线上存在点，使得的斜率之和为1，则该双曲线离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间向量，则（ ） A. B. C. D. 10. 设公比为的等比数列的前项和为，若数列满足，且，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知，分别为双曲线的左、右顶点，离心率为，为双曲线上位于第一象限内任意一点，设，，的面积为，则下列说法正确的是（ ） A. 的值随着的增大而减小 B. 是定值 C. D. 若，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若抛物线上一点与焦点的距离等于2，则______. 13. 已知定点，动点满足.设点的轨迹为，则轨迹的方程为__________. 14. 棱长为的正四面体中，点为平面内的动点，且满足，则直线与直线所成的角的余弦值的取值范围为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知圆心为的圆经过和，且圆心在直线上. （1）求圆C的方程： （2）若直线与圆的交点为两点，求. 16. 记为正项数列的前项和，已知. （1）证明：数列为等比数列，并求其通项公式； （2）若，求数列的前项和. 17. 如图，四棱锥中，底面是正方形，是的中点，. （1）证明：平面平面； （2）若是棱上靠近点的三等分点，求直线与平面所成角的大小. 18. 已知是抛物线上三点，直线和均与抛物线相切. （1）若，求； （2）试判断直线与的位置关系，并给出证明. 19. 已知无穷数列中，，记. （1）若为，是一个周期为4的数列（即），直接写出的值； （2）若为周期数列，证明：，使得当时，是常数； （3）设是非负整数，证明：的充分必要条件为为公差为的等差数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $