第14讲 反比例函数的有关面积问题（一）2024--2025学年苏科版八年级数学下册寒假讲义

第14讲 反比例函数的有关面积问题（一） 【学习目标】 1．理解并掌握反比例函数中的比例系数k的几何意义； 2．会灵活运用k的几何意义求图形面积或由图形面积求k的值． 【教学重难点】 k的几何意义和面积的转化． 知识点与方法技巧梳理：k的几何意义 ( x y M P O ) ( x y M P N O )1．过反比例函数y＝ 图像上任意一点P（x，y）作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P点组成一个矩形，则矩形的面积S＝| x|·| y|＝| xy|＝|k|． 2．反比例函数y＝ 图像上任意一点P（x，y）作x轴或y轴的垂线，垂足、原点、P点组成一个直角三角形，则三角形的面积S＝ | x|·| y|＝ | xy|＝ |k|． ( A B C O y x )【例1】若直线y＝kx（k＞0）与函数y＝ 的图像交于A、C两点，AB⊥x轴于B，则△ABC的面积为（ ） A．1 B．2 C．k D．k 2 ( A C B O y x )【变式】如图，A、B是函数y＝ 的图像上关于原点O对称的任意两点，AC∥y轴，BC∥x轴，则△ABC的面积为____________． 【例2】如图，在x轴的正半轴上依次间隔相等的距离取点A1，A2，A3，A4，A5，分别过这些点作x轴的垂线与反比例函数y＝ 的图像相交于点P1，P2，P3，P4，P5，连接OP1，A1P2，A2P3，A3P4，A4P5，得到Rt△OP1A1，Rt△A1P2A2，Rt△A2P3A3，Rt△A3P4A4，Rt△A4P5A5，设它们的面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，则S1＋S2＋S3＋S4＋S5＝_____________． ( x y P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 O A 5 A 4 A 3 A 2 A 1 ) 【变式】如图，在x轴的正半轴上依次间隔相等的距离取点A1，A2，A3，A4，…，An，分别过这些点作x轴的垂线与反比例函数y＝ 的图像相交于点P1，P2，P3，P4，…，Pn，再分别过P2，P3，P4，…，Pn＋1作P2B1⊥A1P1，P3B2⊥A2P2，P4B3⊥A3P3，…，Pn＋1Bn⊥AnPn，垂足分别为B1，B2，B3，B4，…，Bn，连接P1P2，P2P3，P3P4，…，Pn－1Pn，得到Rt△P1B1P2，Rt△P2B2P3，Rt△P3B3P4，…，Rt△PnBnPn＋1，设它们的面积分别为S1，S2，S3，…，Sn，则S1＋S2＋S3＋…＋Sn＝_____________．（用含n的式子表示） ( O x y P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 A 5 A 4 A 3 A 2 A 1 B 1 B 2 B 3 B 4 B 5 ) 【例3】如图，正方形OABC的面积为9，点B在反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图像上． （1）求反比例函数的解析式； ( x y A B C O )（2）点P是反比例函数图像上异于点B的一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为E、F．设矩形OEPF和正方形OABC不重合的两部分的面积和为S，当S＝ 时，求点P的坐标． 【变式】如图，正方形OABC的面积是4，点B在反比例函数y＝ （k＞0，x＜0）的图像上，若点R是该反比例函数图像上异于点B的任意一点，过点R分别作x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，从矩形OMRN的面积中减去其与正方形OABC重合部分的面积，记剩余部分的面积为S，则当S＝m（m为常数，且0＜m＜4）时，求点R的坐标（用含m的代数式表示）． ( x y O A B C ) ( x y O B A C )【例4】如图，在△OAB中，C是AB的中点，反比例函数y＝ （k ＞0）在第一象限的图像经过A、C两点，若△OAB的面积为9，则k的值为__________． 【变式】 ( B A O x C y )1．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在双曲线y＝ （x＞0）和y＝－ （x＜0）上，点B在y轴上，则点B的坐标为__________． ( x O B C A y D )2．如图，反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图像经过Rt△AOB的斜边OA上的点C，且 ＝ ，与AB边交于点D，连接OD，若△AOD的面积为8，则k的值为__________． 【能力提升】 1．如图，菱形ABCD的四个顶点分别在双曲线y＝ 和y＝ 上，且对角线相交于原点O，BD＝AC，平行于x轴的直线与两双曲线分别交于点E、F，则△OEF的面积为__________． ( y O A B C D E F x ) ( x O y E B C A D )2．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的面积为34，顶点A在y轴上，顶点C在x轴上，顶点D在双曲线y＝ （x＞0）的图像上，边CD交y轴于点E，若 ＝ ，则k的值为__________． 3． ( x O A C B y )如图，点A是反比例函数y＝ （x＞0）图像上一点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA、OB，tan∠OAB＝ ，点C是反比例函数y＝ （x＞0）图像上一点，连接AC、OC，若△AOC的面积为 ，则点C的坐标为__________． 【思维拓展】 一次函数y＝ax＋b的图像分别与x轴、y轴交于点A、B，与反比例函数y＝ 的图像相交于点C、D，作CE⊥x轴于E，DF⊥y轴于F，连接EF． （1）如图1，若点C、D在反比例函数图像的同一分支上，试证明：①EF∥AB；②AC＝BD； ( x y O E C D A B F 图2 ) ( x y O E C D A B F 图1 )（2）如图2，若点C、D在分别在反比例函数图像的不同分支上，（1）中的结论是否还成立，请证明． 【课后作业】 ( A B C O y x D )1．如图，函数y＝kx（k＞0）与函数y＝ 的图像交于A、C两点，AB⊥x轴于B，CD⊥x轴于D，则四边形ABCD的面积为（ ） A．2 B．3 C．4.5 D．6 2． ( x y O A B C D )如图，直线y＝－3x＋4与双曲线y＝ 相交于A、B两点，过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥y轴于D，连接CD，若四边形ACDB的面积为10，则k的值为__________． ( C y x B O A S 1 S 2 )3．如图，在平面直角坐标系中，□OABC的顶点A在x轴上，顶点B的坐标为（2，2），反比例函数y＝ 在第一象限的图像将□OABC分成上、下两部分，面积分别为S1、S2，比较S1、S2的大小关系． ( y O x B A S 1 S 2 C )4．如图，A、B两点均在反比例函数y＝ （x＞0）的图像上，分别过A、B两点作x轴、y轴的垂线交于点C，若S1＋S2＝9，求阴影部分的面积及△ABC的面积． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$