甘肃省兰州第一中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

兰州一中高二年级期末数学答案 第 1 页 共 16 页 兰州一中 2024-2025-1学期期末考试答案 高二数学 第Ⅰ卷(选择题) 1 2 3 4 5 6 7 8 A D B B C D B A 9 10 11 AD CD AD 注：多选题——正确选项 3 个时，每个选项占 2 分；正确选项 2 个时，每个选项占 3 分；选错不得分。 一、 单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每个小题给出的四个选项 中，只有一项符合题目要求. 1. 若抛物线 21y a x= 的准线方程是 1y = ，则实数a的值是（ ） A． 4− B．4 C． 1 4 − D． 1 4 【答案】A 【详解】因为抛物线 21y a x= ，即 2x ay= ，则其准线方程为 4 a y = − ， 因为抛物线 21y a x= 的准线方程是 1y = ，所以 1 4 a − = ，解得 4a = − .故选：A. 2. 从 7 人中选派 5 人到 10 个不同岗位中的 5 个参加工作，则不同的选派方法有（ ） A． 5 5 5 7 10 5C A A 种 B． 5 5 5 7 10 5A C A 种 C． 5 5 10 7C C 种 D． 5 5 7 10C A 种 【答案】D 【详解】第一步，选出 5 人，共有 5 7C 种不同选法； 第二步，选出 5 个岗位，共有 5 10C 种不同选法； 第三步，将 5 人分配到 5 个岗位，共有 5 5A 种不同选法. 由分步乘法计数原理，知不同的选派方法有 5 5 5 5 5 7 10 5 7 10C C A C A= （种）.故选：D. 3. 已知直线 y x= 是双曲线 ( ) 2 2 2 1 0 4 x y C b b − = ： 的一条渐近线，则C 的离心率等于（ ） A． 5 B．√2 C． 5 2 D． 2 2 【答案】B 兰州一中高二年级期末数学答案 第 2 页 共 16 页 【详解】 2 2 2 1 4 x y b − = 的渐近线方程为 2 b y x=  ，故 1 2 b = ，故 2b = ， 故离心率为 4 4 2 2 e + = = ，故选：B 4. 同学4人各写一张新年贺卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺卡,则 4张贺 年卡不同的分配方式有（ ） A．6 种 B．9种 C．11种 D．23种 【答案】B 【详解】设四人分别为a b c d, ,, ,写的卡片分别为 , , ,A B C D ,由于每个人都要拿别人写的卡 片,即不能拿自己写的卡片, 故 a有3种拿法,不妨设a拿了 B ,则b 可以拿剩下3张中的任一张,也有 3 种拿法,c和d 只能 有一种拿法,所以共有3 3 1 1 9   = 种分配方式. 5. 在平面直角坐标系中，若点 ( 2,0)A − 到直线 l的距离为 1，点 (2,0)B 到直线 l的距离为 3，则这样的直线 l有（ ） A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．4 条 【答案】C 【详解】与原点距离为1的点的集合是以 ( 2,0)A − 为圆心， 1 1r = 为半径的圆A ，即 ( ) 2 2: 2 1A x y+ + = ； 与点 ( )2,0B 距离为2的点的集合是以 ( )2,0B 为圆心， 2 3r = 为半径的圆 B ，即 𝐵: (𝑥 − 2)2 + 𝑦2 = 9； 因为圆心距 1 24AB r r= = + ，所以圆O与圆A 外切，这两圆共有3条公切线， 所以适合条件的直线 l 共有3条，故选：C. 6. 已知椭圆 C： ( ) 2 2 2 2 1 0 x y a b a b + =   的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，若 C上存在一点 P， 使得 1 2 3 2 PF PF= ，则椭圆 C的离心率的取值范围是（ ） A．(0, 1 5 ] B. (0, 1 2 ] C．[ 1 2 ,  1) D．[ 1 5 ,  1) 【答案】D 【详解】根据椭圆定义可得 1 2 2PF PF a+ = ，又 1 2 3 2 PF PF= ，故 2 4 5 a PF = ， 兰州一中高二年级期末数学答案 第 3 页 共 16 页 因此  2 4 , 5 a PF a c a c=  − + ，故 4 1 5 5 a c a c a c e a −   +   = ，故 1 1 5 e  ，故选：D 7. 方程 1 2 3 4 8x x x x+ + + = 的正整数解的个数为（ ） A．56 B．35 C．70 D．66 【答案】B 【详解】原问题相当于将 8 个相同的小球装入 4 个不同的盒子中，每个盒子中至少有 1 个小球，采用隔板法，将 8 个小球排成一排，在其中的 7 个空位上插入 3 个隔板即可， 故共有 3 7 7 6 5 C 35 3 2 1   = =   种．故选：B. 8. 已知椭圆 ( ) 2 2 2 : 1 0 2 4 x y C b b + =   的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，过 2F 的直线与C 交于 点 P ，Q，若 1 2 22PF QF PF+ = ，且 ( )1 1 2 2 0F P F F PF+  = ，则 1 1 QF PF =（ ） A． 19 41 10 − B． 9 21 6 − C． 6 21 5 − D． 77 7 4 − 【答案】A 【详解】如图，由 ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 0F P F F PF F P F F F F F P+  = +  − = ，得 1 1 2PF F F= ． 设 ( )1 2 2 0 2F F c c=   ，则 1 2PF c= ， 2 4 2PF c= − ，由 1 2 22PF QF PF+ = ， 得 2 8 6QF c= − ， ( )1 4 8 6 6 4QF c c= − − = − ． 解法一， 2 2 1 1 2 1 22cos 2 PF c PF F F F c −  = = ，由 2 1 2 1cos cos 0QF F PF F +  = ，得 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 8 6 2 6 4 2 2 8 6 2 2 c c c c c c c − + − − − = − −  ， 兰州一中高二年级期末数学答案 第 4 页 共 16 页 整理得 22 11 10 0c c− + = ，得 11 41 4 c − = ，（ 11 41 2 4 c + =  ，舍去） 所以 1 1 6 4 2 19 41 3 2 10 QF c PF c c − − = = − = ； 解法二，根据椭圆的焦半径倒数和公式得 2 2 2 1 1 2 2 PF QF b  + = ， 即 2 1 1 4 4 2 8 6 4c c c + = − − − ， 整理得 22 11 10 0c c− + = ，得 11 41 4 c − = ，（ 11 41 2 4 c + =  ，舍去） 所以 1 1 6 4 2 19 41 3 2 10 QF c PF c c − − = = − = . 故选：A． 二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项 中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分. 9．已知平面内点 ( )1,0A − ， ( )1 0B , ，点 P 为该平面内一动点，则（ ） A． 4PA PB+ = ，点 P 的轨迹为椭圆 B． 1PA PB− = ，点 P 的轨迹为双曲线 C． 1PA PB = ，点 P 的轨迹为抛物线 D． 2 PA PB = ，点 P 的轨迹为圆 【答案】AD 【分析】利用椭圆的定义判断 A；利用双曲线的定义判断 B；求得轨迹与 x 轴的交点判断 C；求得轨迹方程判断 D. 【详解】因为平面内点 ( )1,0A − ， ( )1 0B , ，所以 2AB = ， 又 4 | |PA PB AB+ =  ，所以由椭圆的定义知点 P 的轨迹为椭圆，故 A 正确； 线段PA的长度与线段 PB的长度的差为1 2AB = ，则点 P 的轨迹应为双曲线靠近 B 点的 一支，故 B 错误； 设点 ( ),P x y ，由 1PA PB = 得 ( ) ( ) 2 22 21 1 1x y x y+ +  − + = ， 整理得 ( )( )2 2 2 22 1 2 1 1x x y x x y+ + + − + + = ，即 4 4 2 2 2 22 2 2 0x y x y x y+ + − + = ， 当 0y = 时， 4 22 0x x− = ，得 0x = 或 2x =  ， 故曲线与 x 轴有三个交点，轨迹不为抛物线，故 C 错误； 兰州一中高二年级期末数学答案 第 5 页 共 16 页 由 2 PA PB = ，得 ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 x y x y + + = − + ， 整理得 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 25 162 1 4 2 1 3 10 3 3 0 3 9 x x y x x y x x y x y   + + + = − + +  − + + =  − + =    ， 即轨迹是以 5 ,0 3       为圆心， 4 3 为半径的圆，故 D 正确. 故选：AD. 10. 某中学周年校庆期间，有甲、乙、丙、丁 4 名同学参加A ， B ，C 三项工作，则下列 说法正确的是（ ） A．不同的安排方法共有 34 种 B．若恰有一项工作无人参加，则不同的安排方法共有 ( )1 43C 2 1− 种 C．若甲，乙两人都不能去参加A 项工作，且每项工作都有人去，则不同的安排方法 共有 14 种 D．学校为了表扬先进，现将 25 名三好学生名额分配给高二年级 22 个班，每个班至 少一个名额，则不同的分配方法共有 2024 种 【答案】CD 【详解】不同的安排方法共有 43 种，故选项 A 错误； 若恰有一项工作无人去参加，则先选出无人参加的工作，然后计算出剩余两项工作都有 人参加的方法数， 则不同的安排方法共有 ( )1 43C 2 2 − 种，故选项 B 错误； 若甲，乙两人都不能去参加 A项工作，且每项工作都有人去， 此时先从丙、丁两人中，选1人或2人安排到A 项工作，然后再安排剩余的人到 ,B C 项工 作， 则不同的安排方法共有 1 2 2 2 2 2 3 2 2 2C C A C A 14  +  = 种，故选项 C 正确； 学校为了表扬先进，现将 25 个三好学生名额分配给高二年级 22 个班， 每个班至少一个名额，采用挡板法，有 21 3 24 24C C 2024= = 种方法；故选项 D 正确． 故选：CD 11. 已知椭圆 2 2 : 1 25 9 x y C + = ， 1F ， 2F 分别为它的左右焦点，点 ,A B分别为它的左右顶 兰州一中高二年级期末数学答案 第 6 页 共 16 页 点，已知定点 (4,4)N ，点M 是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ） A．存在 4 个点M ，使得 1 2 90F MF =  B．直线MA与直线MB斜率乘积为定值 9 25 − C． 1 2 1 1 | | | |MF MF + 有最小值 18 5 D． 1| | | |MN MF+ 的取值范围为[4 5,14] 【答案】AD 【详解】对于 A 中，由椭圆 2 2 : 1 25 9 x y C + = ，可得 5a = ， 3b = ， 4c = ，设C 为椭圆的上 顶点， 且 1 4 1 tan 3 3 c FCO b   = =  ，可得 145 60FCO    ，所以 1 290 120F PF    ，故在 第一象限有点M ，使得 1 2 90F MF = ， 根据对称性四个象限各有一个点符合题意，故存在 4 个点M ，使得 1 2 90F MF = ，所以 A 正确； 对于 B 中，设𝑀(𝑥, 𝑦)，则 2 2 1 25 9 x y + = ，且 ( 5,0), (5,0)A B− ，可得 2 22525 9 x y− = − ， 则 2 2 2 2 9 255 5 25 25 9 MA MB y y y y k k x x x y  =  = = = − + − − − 为定值，所以 B 错误． 对于 C 中，由椭圆的定义，可得 1 2| | | | 10MF MF+ = ， 则 ( ) 2 11 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 10 10 MF MF MF MF MF MF MF MF MF MF     + = + + = + +           2 1 1 2 1 4 2 2 2 10 10 5 MF MF MF MF     +  = =     ， 当且仅当 2 1 1 2 | | | | | | | | MF MF MF MF = 时，即 2 1| | | | 5MF MF= = 时等号成立，所以 C 错误． 对于 D 中，由点 N 在椭圆外，设直线 1NF ， 2NF 与椭圆相交于 1N ， 2N ， 如图所示，则 ( ) ( ) 2 2 1 1 1 1 1min 4 4 4 4 5MN MF N F N N NF+ = + = = + + = ， 兰州一中高二年级期末数学答案 第 7 页 共 16 页 因为 2| | 4NF = ，且 1 2 2| | | | 2 | | | | 10 | | | |MN MF a MN NF MN NF+ = + − = + − ， 可得 2 2| | | | | |MN MF NF− ≤ ，即 2| | | | 4MN MF− ≤ ， 所以 ( )1 2 2 2 2max 10 10 14MN MF N N N F NF+ = + − = + = ， 所以 1| | | | [4 5,14]MN MF+  ，所以 D 正确． 故选：AD． 第Ⅱ卷(非选择题) 三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分. 12. 方程 1 5 5 12 12C C x x− −= 的解为 . 【答案】1或3（只写一个不得分） 【详解】根据组合数的性质，由 1 5 5 12 12C C x x− −= 可知： 1 5 5 0 1 12 0 5 5 12 Z x x x x x − = −   −    −    或 ( ) ( )1 5 5 12 0 1 12 0 5 5 12 Z x x x x x  − + − =   −    −    ，即 1 1 13 17 1 5 Z x x x x =          或 3 1 13 17 1 5 Z x x x x =          ，所以 1x = 和 3x = 均满足题意，所以该方程的解为：1或3 . 故答案为：1或3 13. 已知O为坐标原点，F 是抛物线C ： 2 4y x= 的焦点，A ，B 是C 上位于 x 轴异侧的两 点，且 3AF = ， 3 2 BF = ，则 OAB△ 的面积为 . 【答案】 3 2 2 【详解】由题意即可知： 1OF = ，不妨设点𝐴(𝑥1, 𝑦1), 𝐵(𝑥2, 𝑦2)，且点A 在第一象限， 兰州一中高二年级期末数学答案 第 8 页 共 16 页 则 1 1 11 3 2 2 2AF x x y= + =  =  = ， 2 2 2 3 1 1 2 2 2 BF x x y= + =  =  = − ， 故 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 AB y y k x x − − − = = = − − ， 所以直线 AB 的方程为： ( )2 2 2 2 2y x− = − ， 令 0y = 得 1x = ，即 , ,A B F 三点共线， 所以 ( ) ( )1 2 1 1 3 2 1 2 2 2 2 2 2 OAB OAF OBFS S S OF y y= + = − =   + = . 故答案为： 3 2 2 14. 设 ,A B为双曲线𝑥2 − 𝑦2 9 = 1上两点，如下三个点：𝑃1(1,1)，𝑃2(−1,2)，𝑃3(−1, −4)中， 可作为线段 AB 中点的是 ．（请将所有满足条件的点填入） 【答案】𝑃3/(−1, −4)（两种表述均可） 【详解】设 ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y ，则可得 AB 的中点坐标为 1 2 1 2, 2 2 x x y y M + +      ， 因此 1 2 1 2 AB y y k x x − = − ， 因为 ,A B在双曲线上，所以 2 2 1 1 2 2 2 2 1 9 1 9 y x y x  − =   − =  ，两式相减可得 2 2 2 2 1 2 1 2 0 9 y y x x − − − = ， 因此 ( )1 21 2 1 2 1 2 9 AB x xy y k x x y y +− = = − + ， 对于 ( )1 1,1P ，可得 1 2 1 22, 2x x y y+ = + = ，此时 ( )1 2 1 2 9 9AB x x k y y + = = + ， 兰州一中高二年级期末数学答案 第 9 页 共 16 页 此时直线 AB 的方程为 ( )1 9 1y x− = − ，即 9 8y x= − ， 联立 2 2 1 9 9 8 y x y x  − =   = − ，消去 y 可得 272 2 72 73 0x x−  + = ， 此时 ( ) 2 2 72 4 72 73 288 0 = −  −   = −  ，所以直线 AB 与双曲线没有交点， 故 ( )1 1,1P 不符合题意； 对于 ( )2 1,2P − ，可得 1 2 1 22, 4x x y y+ = − + = ，此时 ( )1 2 1 2 9 9 2 AB x x k y y + = = − + ， 此时直线 AB 的方程为 ( ) 9 2 1 2 y x− = − + ，即 9 5 2 2 y x= − − ， 联立 2 2 1 9 9 5 2 2 y x y x  − =   = − −  ，消去 y 可得 245 2 45 61 0x x+  + = ， 此时 ( ) 2 2 45 4 45 61 4 45 16 2880 0 =  −   = −   = −  ，所以直线 AB 与双曲线没有交点， 故 ( )2 1,2P − 不符合题意； 对于𝑃3(−1, −4)，可得 1 2 1 22, 8x x y y+ = − + = − ，此时 ( )1 2 1 2 9 9 4 AB x x k y y + = = + ， 此时直线 AB 的方程为 ( ) 9 4 1 4 y x+ = + ，即 9 7 4 4 y x= − ， 联立 2 2 1 9 9 7 4 4 y x y x  − =   = −  ，消去 y 可得 263 126 193 0x x+ − = ， 此时 2126 4 63 193 0 = +    ，所以直线 AB 与双曲线有两个交点， 故𝑃3(−1, −4)符合题意；故答案为： ( )1, 4− − 四、解答题：解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13 分）已知直线 : 2 ( 1) 3 1 0( )l mx m y m m+ + + − = R ，椭圆 2 2 : 1 4 2 x y C + = . (1)求证：对于任意实数m ，直线 l 过定点 P ，并求出点 P 坐标； (2)当 1m = 时，求直线 l 被椭圆C 截得的弦长. 【详解】（1）因为2 ( 1) 3 1 0mx m y m+ + + − = ，整理可得 ( )2 3 1 0x y m y+ + + − = ， 兰州一中高二年级期末数学答案 第 10 页 共 16 页 由 2 3 0 1 0 x y y + + =  − = ，解得 2 1 x y = −  = ， 此时，不管m 取何值，2 ( 1) 3 1 0mx m y m+ + + − = 必成立. 所以直线 l必过定点 ( 2,1)P − ………………………………………………………………6 分 （2）当 1m = 时，直线 l的方程为 1 0x y+ + = ， 设直线 l与椭圆C 的交点为 ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y ， 由 2 2 1 0 1 4 2 x y x y + + =   + =  ，消去 y 得： 23 4 2 0x x+ − = ， 24 4 3 ( 2) 40 0 = −   − =  ， 1 2 1 2 4 2 , 3 3 x x x x+ = − = − ， ( ) 22 1 2 1 2| | 1 4AB k x x x x = + + − 2 4 2 4 5 2 4 3 3 3     = − −  − =        （设而不求、两点距离公式均对）.……………………………………………………13 分 16.（15 分）甲､乙､丙等 6 名同学利用周末到社区进行志愿服务. (1)6 名同学站成一排，若甲､乙､丙自左向右从高到矮排列，则不同的排列方案有多少 种？ (2)6 名同学站成一排，甲､乙两名同学之间恰有 2 人的不同排列方案有多少种？ (3)6 名同学分成三组（每组至少有一人），进行三项不同的社区服务，则不同的分配方案 有多少种？ 【详解】（1）先将 6 人全排列有 6 6A 种，考虑到甲、乙、丙三人排列有 3 3A 种， 所以甲､乙､丙自左向右从高到矮排列时，不同的排法有 6 6 3 3 A 120 A = 种；……………….4 分 （2）从除甲、乙以外的 4 人中任取 2 人排在甲、乙之间，与甲、乙组成一个整体，再与 余下 2 个人全排列， 则有 2 2 2 3 4 2 2 3C A A A 144   = 种排列方案；…………………………………………...8 分 （3）由题可得学生的分配方案可以有：①1 2 3，，；②1,1,4；③ 2,2,2； ① 6 名学生按1 2 3，，分为三个组有 1 2 3 6 5 3C C C 种方法， 则6 人分配到三所学校共有 1 2 3 3 6 5 3 3C C C A 360= 种分配方法； 兰州一中高二年级期末数学答案 第 11 页 共 16 页 ② 6 名学生按11 4，，分为三个组有 4 2 6 6C C= 种分法， 则6 人分配到三项不同的社区一社区1人、一社区1人、一社区4人共有 2 3 6 3C A 90= 分配方 法； ③ 6 名学生平均分配到三项不同的社区有 2 2 2 6 4 2C C C 90= 种方法； 综上：360 90 90 540+ + = 种方法. （每点 2 分，综上 1 分）……………………………………………………………...15 分 17.（15 分）已知双曲线 ( ) 2 2 2 2 : 1 0, 0 x y C a b a b − =   的实轴长为 2，右焦点F 到双曲线C 的 渐近线距离为 3 . (1)求双曲线C 的方程； (2)过点 ( )2,0E 作直线 l 交双曲线的右支于 ,A B两点，连接 AO 并延长交双曲线左支于点 P （O为坐标原点），求 PAB 的面积的最小值. 【详解】（1）因为双曲线𝐶: 𝑥2 𝑎2 − 𝑦2 𝑏2 = 1(𝑎 > 0, 𝑏 > 0)的实轴长为 2，故 1a = ， 而双曲线的渐近线为 0bx ay = ， 故右焦点𝐹(𝑐, 0)到渐近线的距离为 2 2 3 bc b a b = = + ， 故双曲线的方程为： 2 2 1 3 y x − = .……………………………………………………6 分 （2）显然直线 l与 y 轴不垂直，设 l ： 2x my= + ，𝐴(𝑥1, 𝑦1)，𝐵(𝑥2, 𝑦2)， 由双曲线的对称性知 AP 的中点为O，故 2PAB OABS S=△ △ ， 联立 2 2 2 3 3 x my x y = +  − = ( )2 23 1 12 9 0m y my − + + = 故 ( )2Δ 36 1 0m= +  ， 兰州一中高二年级期末数学答案 第 12 页 共 16 页 1 2 2 1 2 2 12 3 1 9 3 1 m y y m y y m − + = −    =  − ，.……………………………………………………………….10 分 由于 A， B 均在双曲线右支，故 1 2 2 9 0 3 1 y y m  =  − ，故 2 10 3 m  ， 而 ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 4 2 PAB OABS S OE y y y y y y= =    − = + − ， 代入韦达定理得 2 2 2 12 1 1 0 1 3 3 PAB m S m m +   =    −   ， 令 2 2 31 1 3 m t t   + =       ，则 2 12 12 2 3 1 44 3 3 3 PAB t S t t t t   = =    −  − ， 易知 4 3y t t = − 在 2 3 1, 3       上为减函数，则当 1t = 时， ( ) min 12PABS = ， 综上： PAB 的面积的最小值为 12. .……………………………………………………15 分 18.（17 分）为庆祝新年，兰州一中举行了教职工套圈比赛，赛制要求每个年级派出十名 成员分为两支队伍，每支队伍 5 人，并要求每支队伍至少有 2 名女老师，现高二年级共 有 4 名男老师，6 名女老师报名参加比赛. (1)一共有多少不同的分组方案？ (2)在进入决赛后，每个年级只派出一支队伍参加决赛，在比赛时须按照 1、2、3、4、5 号位站好，为争取最好成绩，高二年级选择了A 、 B 、C 、D、E 、F 六名女老师进行 训练，经训练发现E 不能站在 5号位，若A 、 B 同时上场，必须站在相邻的位置，则一 共有多少种排列方式？ 【详解】（1）队伍分配方案可分为：①两组都是 3 女 2 男；②一组是 1 男 4 女，另一组 是 3 男 2 女， ①若两组都是 3 女 2 男， 则先将 6 女平均分成两组共 3 3 6 3 2 2 C C A  种方式， 再将 4 男平均分成两组共 2 2 4 2 2 2 C C A  种方式， 所以两组都是 3 女 2 男的情况有 3 3 2 2 6 3 4 2 2 2 2 2 C C C C 2 60 A A     = 种； 兰州一中高二年级期末数学答案 第 13 页 共 16 页 ②一组是 1 男 4 女，另一组是 3 男 2 女的情况有 1 1 4 3 16 4 3C C C C 60   = 种， 所以总情况数为60 60 120+ = 种. 故一共有120种不同的分组方案；………………………………………………………7 分 （2）总共可分为三种情况，如下： ①若 AB 上场且E 不上场： 先将 AB 全排列，共有 2 2A 种方式， 再把 AB 捆绑后和CDF 全排列共有 4 4A 种方式， 所以 AB 上场且E 不上场共有 2 4 2 4A A 48 = 种不同的排列方式； ②若 AB 上场且E 也上场： （i）若E 在 1号位，先将 AB 全排列，共有 2 2A 种方式， 再从CDF 中选两人，有 2 3C 种方式， 则 AB 捆绑后和CDF 中的两人全排列，有 3 3A 种方式， 所以E 在 1 号位共有 2 2 3 2 3 3A C A 36  = 种不同的方式； （ii）若E 在 2号位， 再将 AB 全排列，且 AB 可位于 3，4 号位或 4，5 号位，共有 2 2A 2 种方式， 再从CDF 中选两人进行排列，有 2 3A 种方式， 所以E 在 2 号位或 3 号位共有 22 2 3A 24A 2 = 种不同的方式； （iii）若E 在 3号位， 再将 AB 全排列，且 AB 可位于 1，2 号位或 4，5 号位，共有 2 2A 2 种方式， 再从CDF 中选两人进行排列，有 2 3A 种方式， 所以E 在 2 号位或 3 号位共有 22 2 3A 24A 2 = 种不同的方式； （iiii）若E 在 4号位， 将 AB 全排列，且 AB 可位于 1，2 号位或 2，3 号位，共有 2 2A 2 种方式， 再从CDF 中选两人进行排列，有 2 3A 种方式， 所以E 在 4 号位共有 22 2 3A 24A 2 = 种不同的方式. 所以 AB 上场且E 也上场共有36 24 24 24 108+ + + = 种不同的方式； ③若 AB 中有一人上场且E 上场： E 上场且不在 5 号位，则E 可位于 1，2，3，4 号位，有 1 4C 种方式， 兰州一中高二年级期末数学答案 第 14 页 共 16 页 再从 AB 中选一人，有 1 2C 种方式， AB 中的一人和CDF 共 4 人全排列，共 4 4A 种方式， 所以 AB 中有一人上场且E 上场共有 1 1 4 4 2 4C C A 192  = 种不同的排列方式. 综上所述，共有48 108 192 348+ + = 种排列方式. ………………………………………17 分 19．（17 分）已知点 ( )1 1, 2P − 在抛物线 ( ) 2: 2 0C y px p=  上，过点 1P 作斜率为1的直线交 C 于另一个点 1Q ，设 2P 与 1Q 关于 x 轴对称，再过 2P 作斜率为1的直线交C 与另一个点 2Q ，设 3P 与 2Q 关于 x 轴对称，以此类推一直做下去，设 ( )( ),n n nP x y n N ． (1)求抛物线的方程； (2)求证：数列 ny 是等差数列，并求 nx 、 ny ； (3)求 1 2n n nP P P+ + 的面积． 【详解】（1）将点 1P 的坐标代入抛物线的方程可得 ( ) 2 2 2 4p = − = ，可得 2p = ， 因此，抛物线的方程为 2 4y x= ……………………………….…………….…………4 分 （2）方法一： ( ),n n nP x y 在抛物线上，则 2 4 n n y x = ， ( )1 ,n n nQ x y− − ， 过 2 1 1 1, 4 n n n y P y−− −       ，且斜率为1的直线 1 1n nP Q− − 的方程为 2 1 1 4 n n y y y x −−− = − ， 2 1 1 2 4 4 n n y y y x y x − −  − = −   = 可得 ( )2 21 14 4 0n ny y y y− −− + − = ， 解得 1ny y −= 或 1 4ny y −= − + ，所以 1 4n ny y −− = − + ，可得 1 4n ny y −− = − ， 所以数列 ny 是以首项为 2− ，公差为 4− 的等差数列， 所以 ( )2 4 1 4 2ny n n= − − − = − + ， ( ) ( ) 22 22 4 2 1 4 4 n n ny x n − = = = − ；…….………………10 分 方法二：因为点 ( )1 1 1,n n nP x y− − − 、 ( ),n n nP x y 、 ( )1 ,n n nQ x y− − 在抛物线 2: 4C y x= 上， 兰州一中高二年级期末数学答案 第 15 页 共 16 页 所以 2 1 1 2 4 4 n n n n y x y x − −  =  = ，两式相减得： ( )( ) ( )1 1 14n n n n n ny y y y x x− − −− + = − ． 所以： 1 1 1 1 1 4 1 n n n n P Q n n n n y y k x x y y− − − − − + = = = − − 可得 1 4n ny y −− = − ， 所以数列 ny 是以首项为 2− ，公差为 4− 的等差数列， 所以 ( )2 4 1 4 2ny n n= − − − = − + ， ( ) ( ) 22 22 4 2 1 4 4 n n ny x n − = = = − （3）方法一： 2 2 2 2 1 4 2 n n n n P P n n n n n y y k x x y y y+ + + + + − = = = − + ，则直线 2n nP P + 的方程为 ( ) 1 2 n n n y y x x y + − = − ， 则 ( ) 2 21 2 2 11 4 4 2 n n n n n n y P P y y y++ + +   = + − = +    ， 点 1nP + 到直线 2n nP P + 的距离 ( ) ( )( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 4 42 1 n n n n n n n n n n n x x y y y y y y y d y y + + + + + + + + − + − − + + = = +  +     ( )( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 4 8 4 4 n n n n n y y y y y + + + + − + + = = + + ， 故 ( ) ( ) 1 2 2 2 1 2 1 1 1 8 4 4 16 2 2 4 n n nP P P n n n n S P P d y y + + + + + =   =  +  = + ；…….………………17 分 方法二： 2 2 2 2 1 4 2 n n n n P P n n n n n y y k x x y y y+ + + + + − = = = − + 则直线 2n nP P + 的方程为 ( ) 1 2 n n n y y x x y + − = − ，设直线 2n nP P + 与 1n nQ P + 相交于 1nM + 令 1nx x += ，可得 ( ) ( ) 1 1 1 1 1 2 2 n n n n n M n n n n x x y y y y y y y+ + + + + − − + = + = + ， 则 11 1 1 1 1 2 8 2 n n n n M n n n y P M y y y y+ + + + + + − = − = − = 兰州一中高二年级期末数学答案 第 16 页 共 16 页 则 ( ) 1 2 2 1 1 1 2 1 1 8 161 1 8 1 8 16 2 2 4 2 4n n n n n n P P P n n n n n n y y y S P M x x y y+ + + + + + + + + − + −− − =   − =   =   = 方法三：由（2）知： ( )( )22 1 ,2 4nP n n− − 、 ( )( )21 2 1 , 2 4nP n n+ + − − 、 ( )( )22 2 3 , 6 4nP n n+ + − − ， 设 ( )( )22 1 ,0nT n− ，则 ( )( )21 2 1 ,0nT n+ + 、 ( )( )22 2 3 ,0nT n+ + ， 则梯形 1 1n n n nT P P T+ + 的面积为 ( ) 1 1 1 1 1 1 2n n n n T P P T n n n n n nS T T T P P T+ + + + += + ( ) ( ) ( ) 2 2 21 2 1 2 1 4 2 4 2 32 2 n n n n n = + − − − + + =   ， 即 1 1 232 n n n nT P P T S n + + = ，同理可得 ( ) 1 1 2 2 2 32 1 n n n nT P P T S n + + + + = + ， 又梯形 2 2n n n nT P P T+ + 的面积为 ( ) 2 2 2 2 2 1 2n n n n T P P T n n n n n nS T T T P P T+ + + + += + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 21 2 3 2 1 4 2 4 6 16 2 1 2 n n n n n = + − − − + + = +   ， 即 ( ) 2 2 2 16 2 1 n n n nT P P T S n + + = + ，则 ( )1 2n n nP P P n + + N 的面积为： ( ) ( ) 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2232 32 1 16 2 1 16 n n n n n n n n n n n n n n nP P P T P P T T P P T T P P T S S S S n n n + + + + + + + + + + = + − = + + − + = . 数 学 第 1页（共 6页） 数 学 第 2页（共 6页） 数 学 第 3页（共 6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 姓名 数 学· 兰州一中2024-2025-1高二期末考试 答题卡 ： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选 择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域 内作答，超出区域书写的答案无 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、单项选择题（每小题 5分，共 40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、多项选择题（每小题 6分，共 18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5分，共 15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 三、解答题（共 77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数 学 第 4页（共 6页） 数 学 第 5页（共 6页） 数 学 第 6页（共 6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 兰州一中2024-2025-1 学期期末考试试题 高二数学 说明：本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间 120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡. 第I卷(选择题) 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1.若抛物线 的准线方程是y=1，则实数a的值是 ( ) A. - 4 B. 4 D. 2.从7人中选派5人到10个不同岗位中的5个参加工作，则不同的选派方法有( ) A. A 种 种 C. 种 D. 种 3.已知直线y=x是双曲线 的一条渐近线，则C的离心率等于 ( ) A. B. 4.同学4人各写一张新年贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则4张贺年卡不同的分配方式有 ( ) A. 6种 B. 9种 C. 11种 D. 23种 5.在平面直角坐标系中，若点A(-2，0)到直线l的距离为l，点B(2，0)到直线l的距离为3，则这样的直线l有( ) A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 6.已知椭圆 的左、右焦点分别为F₁，F₂，若C上存在一点 P，使得 则椭圆C的离心率的取值范围是 ( ) A. (0, B. (0, C. ,1) D. , 1) 7. 方程. 的正整数解的个数为( ) A. 56 B. 35 C. 70 D. 66 8.已知椭圆 的左、右焦点分别为，过F₂的直线与C交于点P, Q, 若 且 则 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知平面内点, 点P为该平面内一动点, 则 ( ) A. |PA|+|PB|=4, 点P的轨迹为椭圆 B. |PA|-|PB|=1, 点P的轨迹为双曲线 C. |PA|·|PB|=1, 点P的轨迹为抛物线 点P的轨迹为圆 10.某中学周年校庆期间，有甲、乙、丙、丁4名同学参加A， B， C三项工作，则下列说法正确的是 ( ) A.不同的安排方法共有种 B.若恰有一项工作无人参加，则不同的安排方法共有 种 C.若甲，乙两人都不能去参加A项工作，且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有14种 D.学校为了表扬先进，现将25名三好学生名额分配给高二年级22个班，每个班至少一个名额，则不同的分配方法共有2024种 11.已知椭圆 分别为它的左右焦点，点A，B分别为它的左右顶点，已知定点，点M 是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有 ( ) A.存在4个点M ，使得 B.直线MA与直线MB斜率乘积为定值 有最小值 D. 的取值范围为 第II卷(非选择题) 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 方程 的解为 . 13.已知O为坐标原点，F 是抛物线C： 的焦点， A， B是C上位于x轴异侧的两点，且 则△OAB的面积为 . 14. 设A,B为双曲线 上两点，如下三个点： 中，可作为线段AB中点的是 .(请将所有满足条件的点填入) 四、解答题：解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (13分) 已知直线l:,椭圆 (1)求证：对于任意实数m，直线l过定点P，并求出点P坐标； (2)当m=1时，求直线l被椭圆C截得的弦长. 16.(15分)甲、乙、丙等6名同学利用周末到社区进行志愿服务. (1)6名同学站成一排，若甲、乙、丙自左向右从高到矮排列，则不同的排列方案有多少种? (2)6名同学站成一排，甲、乙两名同学之间恰有2人的不同排列方案有多少种? (3)6名同学分成三组 (每组至少有一人)，进行三项不同的社区服务，则不同的分配方案有多少种? 17.(15分)已知双曲线 的实轴长为2，右焦点F到双曲线C的渐近线距离为 (1)求双曲线C的方程； (2)过点E(2，0)作直线l交双曲线的右支于A，B两点，连接AO并延长交双曲线左支于点P(O为坐标原点)，求△PAB的面积的最小值. 18.(17分)为庆祝新年，兰州一中举行了教职工套圈比赛，赛制要求每个年级派出十名成员分为两支队伍，每支队伍5人，并要求每支队伍至少有2名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛. (1)一共有多少不同的分组方案? (2)在进入决赛后，每个年级只派出一支队伍参加决赛，在比赛时须按照1、2、3、4、5号位站好，为争取最好成绩，高二年级选择了A、B、C、D、E、F六名女老师进行训练，经训练发现E不能站在5号位，若A、B同时上场，必须站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式? 19. (17分) 已知点 在抛物线 上，过点 作斜率为1的直线交C于另一个点Q₁，设 与 关于x轴对称，再过 作斜率为1的直线交C与另一个点 设 与 关于x轴对称，以此类推一直做下去， 设 (1)求抛物线的方程； (2)求证：数列{ 是等差数列，并求 (3)求 的面积. 兰州一中高二年级期末数学试卷 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$