精品解析：黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷

哈师大附中2024-2025学年度上学期高一期末考试 数学试卷 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 设集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 3. 函数为定义在上的奇函数，当时，，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的部分图象如图所示，（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 是第二象限角的必要不充分条件是且 C. 函数的零点是 D. 的单调递增区间为， 6. 化简（ ） A. 1 B. C. D. 2 7. 随着冬天的到来，越来越多的旅客从全国各地来到“尔滨”赏冰乐雪，今年冰雪大世界以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题，一睹冰雕雪雕风采的同时还能体验各中冰上项目，如抽尜，大滑梯，摩天轮等.如图所示，某地摩天轮最高点离地面高度128m，最低点离地面高度8m，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转，转一周的时间约为24min，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面高度为hm，下列说法正确的是（ ） A. 摩天轮的轮盘直径为60m B. h关于t的函数解析式为 C. h关于t的函数解析式为 D. 在游客乘坐一周的过程中，游客有16min时间距地面高度超过38m 8. 设函数在上恰有两个零点，且的图象在上恰有两个最高点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各式比较大小，正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列有关最值的结论中，正确的是（ ） A. 当时，函数的最小值为 B. 若、均为正数，且，则的最小值为 C. 若、均为正数，且，则的最小值为 D. 若、、均为正数，且，则的最小值为 11. 已知函数的定义域为，，且当时，，则（ ） A. 是奇函数 B. 是以1为周期的周期函数 C. 当时， D. 对恒成立 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为__________. 13. 《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧AB和弦AB所围成的图中阴影部分.若弧田所在扇形的圆心角为，扇形的弧长为，则此弧田的面积为__________. 14. 设函数，若关于x的函数恰好有五个零点，则实数a的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步㯃. 15. （1）已知角终边所在直线经过点，求的值； （2）已知，，，，求的值. 16. 已知定义在上的函数. （1）判断函数的单调性，并用定义证明； （2）解不等式. 17. 已知函数是偶函数. （1）求实数的值； （2）若，求的集合； 18. 已知函数. （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）若，求函数的值域； （3）若方程在上有两个不相等的实数根，，求的值. 19. 已知函数，. （1）若，求函数的单调增区间； （2）若方程有3个不同的实根，，，且求实数的取值范围； （3）在（2）的条件下，若存在，，，使不等式成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈师大附中2024-2025学年度上学期高一期末考试 数学试卷 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由诱导公式求解即可. 【详解】 故选：C. 2. 设集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解指数不等式化简集合，再根据交集的定义计算可得. 【详解】因为，又，即，解得， 所以， 所以. 故选：C 3. 函数为定义在上的奇函数，当时，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出的值，利用奇函数的性质可求得的值. 【详解】因为函数为定义在上的奇函数，当时，， 则，故. 故选：A. 4. 已知函数的部分图象如图所示，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最值可确定；由图象可确定最小正周期，由此可得；代入可求得，由此可得. 【详解】，，，； 最小正周期，，即， ，，， 又，，. 故选：B. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 是第二象限角的必要不充分条件是且 C. 函数的零点是 D. 的单调递增区间为， 【答案】D 【解析】 【分析】根据含有一个量词的否定，判断A；根据三角函数在各象限的正负，以及充分条件和必要条件的定义，判断B；根据零点的定义判断C；结合对勾函数的性质，判断D. 【详解】对于A，根据含有一个量词的否定，命题“，”的否定是“，”，故A错误； 对于B，当且时，能推出是第二象限角， 反过来当是第二象限角，也能推出且， 所以是第二象限角的充要条件是且，故B错误； 对于C，函数的零点满足，即，所以零点是1，不是，故C错误； 对于D，函数结合对勾函数的图象，可知单调递增区间为，，故D正确， 故选：D. 6. 化简（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简即得. 【详解】 . 故选：C. 7. 随着冬天的到来，越来越多的旅客从全国各地来到“尔滨”赏冰乐雪，今年冰雪大世界以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题，一睹冰雕雪雕风采的同时还能体验各中冰上项目，如抽尜，大滑梯，摩天轮等.如图所示，某地摩天轮最高点离地面高度128m，最低点离地面高度8m，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转，转一周的时间约为24min，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面高度为hm，下列说法正确的是（ ） A. 摩天轮的轮盘直径为60m B. h关于t的函数解析式为 C. h关于t的函数解析式为 D. 在游客乘坐一周的过程中，游客有16min时间距地面高度超过38m 【答案】D 【解析】 【分析】根据摩天轮离地最高距离和最低距离的差值，求出直径判断A；依题意，分别求出得解析式，判断B，C；根据提议，令，求出的取值范围，判断D. 【详解】对于A，因为摩天轮最高点离地面高度128m，最低点离地面高度8m，所以摩天轮的轮盘直径为，故A错误； 对于B，设，则， 令时，则，， 又，解得， 所以，故B，C错误 ； 对于D，， 当距地面高度超过38m时，即，即， 即，解得， 又因为，所以，所以游客有16min时间距地面高度超过38m，故D正确， 故选：D. 8. 设函数在上恰有两个零点，且的图象在上恰有两个最高点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合三角函数的图象，可找到满足条件的所在的区间，解不等式组，可求得结果. 【详解】， 在上恰有两个零点，恰有两个最高点， ， 即， 当时，不符合题意， 当时，不等式组为，不等式无解， 当时, 不等式组为，不等式无解， 当时，，解得， 当时，，不等式无解， 当时，不等式无解. . 故选：A 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据在上恰有两个零点、两个最高点建立不等式组. 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各式比较大小，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据幂函数及对数函数的单调性判断即可. 【详解】对于A、B：，， 又在上单调递增，所以，即，故A错误，B正确； 对于C、D：，又在上单调递增， 所以，即，故C错误，D正确. 故选：BD 10. 下列有关最值的结论中，正确的是（ ） A. 当时，函数的最小值为 B. 若、均为正数，且，则的最小值为 C. 若、均为正数，且，则的最小值为 D. 若、、均为正数，且，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式求出各选项中代数的最值，注意等号成立的条件，即可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，当时，则， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当时，函数无最小值，A错； 对于B选项，若、均为正数，且， 由基本不等式可得，可得， 即，可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为，B对； 对于C选项， 若、均为正数，且， 则，可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为，C对； 对于D选项，因为、、均为正数，且， 则 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为，D对. 故选：BCD. 11. 已知函数的定义域为，，且当时，，则（ ） A. 是奇函数 B. 是以1为周期的周期函数 C. 当时， D. 对恒成立 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，令，得，令， 将变换为，得到判定；对于B，先证明 是增函数，可得不是周期函数判断；对于C，D运用单调性可判断. 【详解】对于A，令，则，得， 令，得， 由整理可得①. 将变换为，则②， 由①②得，， 所以，故是奇函数，故A正确. 对于B，设，则，， 由时，，得， 又， 故.又是奇函数，根据奇函数性质，故是上的增函数， 所以不是周期函数，故B错误. 对于C，当时，，由B知是增函数，所以，故C正确. 对于D，因为，都有，即， 由是增函数，故对恒成立，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的真数大于零可得出，结合正弦函数的基本性质求解即可. 【详解】对于函数，有，可得， 解得， 因此，函数的定义域为. 故答案为：. 13. 《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧AB和弦AB所围成的图中阴影部分.若弧田所在扇形的圆心角为，扇形的弧长为，则此弧田的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设扇形的半径为，利用弧长公式求出的值，然后利用扇形的面积减去三角形的面积可得出弧田的面积. 【详解】设扇形的半径为，则扇形的弧长为，解得，扇形面积为， 取的中点，连接，如下图所示：     因为，则， 又因为，则， 所以，，，则， 所以，， 因此，弧田的面积为. 故答案为：. 14. 设函数，若关于x的函数恰好有五个零点，则实数a的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】画出的图象，换元后数形结合分析可得方程两根的范围，再利用二次函数根的分布列出不等式组即可得解. 【详解】作出函数的图像如下： 令，关于x的函数恰好有五个零点， 则有两个不同的实根，设两根分别为，有五个零点，即与共有五个交点. 则由图像可知， ，或者， 当3是方程的一个根时，,方程的另一个根，不合题意； 当1是方程的一个根时，,方程的另一个根，不合题意； 令，据二次函数根分布的关系，可得或 解不等式组得. 故答案为： 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步㯃. 15. （1）已知角终边所在直线经过点，求的值； （2）已知，，，，求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义求出，再由诱导公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得； （2）首先求出，，再由两角和的余弦公式计算可得. 【详解】（1）角终边所在直线经过点，， . （2），，，， ，， . 16. 已知定义在上的函数. （1）判断函数的单调性，并用定义证明； （2）解不等式. 【答案】（1）函数在上是增函数，证明如下： 设，则 ， ，，且，则， 则，即，所以函数在上是增函数. （2） 【解析】 【分析】（1）利用函数单调性的定义，即可作出判断与证明； （2）利用函数为奇函数，把不等式转化为，再利用的单调性，得出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，，故是奇函数， ，， 是定义在上的增函数， ，解得， 所以不等式的解集为. 17. 已知函数是偶函数. （1）求实数的值； （2）若，求的集合； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用偶函数的定义可得出关于的等式，解之即可； （2）由对数函数的单调性结合不等式可得出，设，可得出关于的二次不等式，解出的取值范围，结合指数函数的单调性可得出的取值范围. 【小问1详解】 对任意的，， 所以，函数的定义域为， 因为函数为偶函数，则， 即， 所以， 对任意的恒成立， 所以，，解得. 【小问2详解】 因为， 由即，即. 设，则，所以，，即， 解得，即，解得， 因此，满足不等式的的取值集合为. 18. 已知函数. （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）若，求函数的值域； （3）若方程在上有两个不相等的实数根，，求的值. 【答案】（1）最小正周期为， （2） （3） 【解析】 【分析】(1)根据二倍角公式和辅助角公式，把函数整理为正弦型函数，利用周期公式，求周期，利用正弦函数的单调区间，求出函数的单调增区间； (2)根据题中所给，求得的取值范围，利用正弦函数的图像，求出函数值域； (3)根据题中所给范围，求得的取值范围，转化为解方程，借助正弦函数的对称性，求得，的关系，代入求解. 【小问1详解】 即， 最小正周期为，令，解得， 故单调递增区间为. 【小问2详解】 由，，， 所以在区间上的值域为. 【小问3详解】 由，， 令的两个解为， 则，，，， 所以. 19. 已知函数，. （1）若，求函数的单调增区间； （2）若方程有3个不同的实根，，，且求实数的取值范围； （3）在（2）的条件下，若存在，，，使不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）单调增区间为， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数解析式判断单调性即可； （2）根据和两种情况分别讨论函数零点的个数即可求参； （3）先根据韦达定理得出，，再根据构造函数可解. 【小问1详解】 时，， 则单调增区间为，. 【小问2详解】 设， 方程有3个不同的实根，，， 即为函数有3个不同的零点，，， 当时，在上单调递增，只有1个零点，不符合题意； 当时，因为函数有3个不同的零点，，， 且在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以时，有1个根， 时，有2个根， 故，解得； 当时，当时，方程判别式， 可知无解，所以函数不可能有3个不同的零点，，， 所以不符合题意. 综上：的取值范围是. 【小问3详解】 由（1）知，，是方程的两个不等实根， 则，， 是方程的大根，即， 由，得， 记，则， 即等价于存在，使，即， 因为， 显然在上单调递增， 所以，所以的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是构造函数结合函数的单调性得出参数范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $