抽象函数性质综合（期末专题训练）-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

高一数学微专题七 （抽象函数性质综合） 一、单选题 1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数的定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．若定义在上的函数满足是奇函数，，则（    ） A．0 B．1 C．2024 D．2025 4．已知函数满足：，，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（    ） A．2023 B． C．3 D． 6．已知是定义在R上的奇函数，且满足，当时，，则（   ） A． B． C． D．0 7．已知定义域为的偶函数满足，当时，则（    ） A． B． C． D． 8．已知定义在上的偶函数满足：，当时，则当时（   ） A．单调递减，且 B．单调递增，且 C．单调递减，且 D．单调递增，且 9．已知定义域为的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 10．已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 11．已知函数是定义在上的奇函数，当时，有恒成立，若，则满足的的取值范围为（   ） A． B． C． D． 12．定义在上的奇函数满足：且，都有，，则满足不等式的实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 13．已知是定义域为的偶函数，为奇函数，当时，，则（    ） A．当时， B．当时， C．在上单调递增，在上单调递减 D． 三、填空题 14．若的定义域为，值域，则的定义域为 ，值域为 ． 四、解答题 15．是定义在R上的函数，对都有，且当时，，且. (1)求的值； (2)求在上的最值． 16．定义在上的函数满足，当时，. (1)求的值； (2)判断的奇偶性，并说明理由； (3)证明：在上单调递减. 17．已知函数的定义域为，对任意的都有，且 时, , 时, . (1)求的值并判断函数的奇偶性； (2)讨论的单调性并证明； (3)若对任意的成立，求实数的取值范围. 18．定义在上的函数满足． (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性并证明. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A A B C B C A B D 题号 11 12 13 答案 A D ABD 1．B 【分析】由题意可得的范围为，求解的范围，再结合分母不为0即可得解． 【详解】由题意得，解得， 由，解得， 故函数的定义域是， 故选：B． 2．A 【分析】根据具体函数和抽象函数的定义域列不等式组即可求解. 【详解】因为函数的定义域是，所以， 所以的定义域为，又因为，即，所以， 所以函数的定义域为. 故选：A. 3．A 【分析】根据已知得函数的周期为4，再结合函数是奇函数得出，进而计算一个周期函数值和为0，最后计算求值. 【详解】由得，函数的周期为4， 又是奇函数，所以函数的图象关于对称，即， 因为，令可得 令得：，所以， 故. 故选：A. 4．B 【分析】根据题意，得函数的一个周期为12，利用周期性求值. 【详解】根据题意，，显然，所以， 所以，所以函数的一个周期为12， 所以. 故选：B. 5．C 【分析】根据已知求出的周期、可得答案. 【详解】因为是定义域为的奇函数，所以，， 因为，所以， 可得，所以的周期为4， 故，，又，所以， ，所以， 则. 故选：C. 6．B 【分析】推导出函数是周期为8的周期函数，再结合函数的周期性求解即可. 【详解】因为是定义在R上的奇函数，且满足， 则， 所以，即， 所以，函数是周期为8的周期函数， 且当时，， 则. 故选：B. 7．C 【分析】根据偶函数的性质，结合题目中的等式，可得函数的周期，利用题目中给的函数解析式，可得答案. 【详解】是偶函数，， ，， 故的周期，故， ，令，则， 又当时，， ，即，即， 故选：C. 8．A 【分析】利用抽象函数的对称性与周期性计算即可. 【详解】由可知的图象关于轴对称， 且为偶函数，即，即， 所以是的一个周期， 因为当时，此时函数单调递减，故当时，函数仍递减； 又，所以A正确. 故选：A 9．B 【分析】由题可得不等式等价于，根据单调性即可解出. 【详解】因为为偶函数，且， 所以不等式等价于， 又在上单调递增， ，即或 解得或. 所以不等式的解集为. 故选：B. 10．D 【分析】根据偶函数性质及区间单调性可得，两边平方求解集. 【详解】依题意，得在上为增函数，且为偶函数， 所以，即， 所以，两边平方得，解得． 故选：D 11．A 【分析】构造，根据题意得在上单调递增，再由题意转化为即可. 【详解】当时，有恒成立， 即有，即，即， 令，不妨设，可得 则可得，即， 所以是上单调递增函数， 又函数是定义在上的奇函数，且，所以， 不等式， 即，所以， 所以满足的的取值范围为. 故选：A. 12．D 【分析】依题意可得在上单调递减，根据奇函数的性质得到在上单调递减，即可得到的取值情况，从而求出不等式的解集. 【详解】因为且，都有， 所以在上单调递减，又是定义在上的奇函数， 所以在上单调递减，又，所以， 所以当或时，，当或时，， 不等式，即或， 解得或， 所以满足不等式的实数的取值范围为. 故选：D 13．ABD 【分析】利用函数的奇偶性求解析式即可判断A；利用函数的对称性求解析式即可判断B；由选项AB知在上单调递减，结合函数的奇偶性和对称性求出的周期即可判断C；结合选项C可得，即可判断D. 【详解】A：当时，则，因为是定义域为的偶函数， 所以，故A正确； B：令，由题意，即， 所以的图象关于点对称.当时，则， 所以，故B正确； C：由选项AB知，当时，当时， 又因为函数在R上单调递减，所以在上单调递减. 又为偶函数，所以在上单调递增. 由，，得，即， 所以，所以4为的一个周期. 从而在上单调递增，故C错误； D：由选项C知，，故D正确. 故选：ABD 14． 【分析】由抽象函数定义域的求法列不等式组即可求解新函数定义域，由函数平移变换法则可得新函数值域. 【详解】因为的定义域为， 所以要使有意义，则，所以， 所以的定义域为， 的图象是的图象向左平移所得，所以值域不变，即的值域为． 故答案为：，. 15．(1)， (2)，. 【分析】（1）令，即可求出，通过，可求出； （2）任取，即可证明函数单调递增，进而可求最大最小值. 【详解】（1）令，则，∴， ∵，∴. （2）令，则，∴， ∴，∴是奇函数， ∴，∴， 任取，， ∵，∴，∴，即， ∴在上为减函数， ∵在上为减函数，∴，. 16．(1) (2)偶函数，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用赋值法即可求得； （2）利用赋值构造或代换得到与关系，进而判断函数奇偶性； （3）赋值构造出得表达式，再运用定义证明函数单调性. 【详解】（1）∵， ∴令，则，解得. （2）为偶函数. 理由如下： 令，则. 又∵，∴. 令，则，即， ∴是偶函数. （3）且，则，， 则， ∴， ∴，即. 故在上单调递减. 17．(1)，奇函数 (2)增函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）对已知式中的依次赋值，求得，，利用奇偶性定义证明即得； （2）先证明 时, ，由是上的奇函数，可得，再由函数的单调性定义证明在 在上单调递增，再由奇函数即得为上的增函数； （3）通过赋值法，将题设不等式化成，再利用在上是增函数将其化成对任意的 成立问题，结合一次函数的图象即可求得. 【详解】（1）因对任意的都有. 当时,令 ,则，因，则 ； 再令 ,则，即，因，则. 令 ,则,故是奇函数. （2） 在上是增函数.以下提供证明: 当 时, 则，由，可得， 又 ，且时, ，故 时, . 又因是定义在上的奇函数,所以. 任取 ,则 ,从而 在 上单调递增, 又因是上的奇函数,则 在 上单调递增,且， 故在上是增函数; （3）在中，令 ，可得 ，因，则， 由可得， 即 因在上是增函数，即得对任意的 成立， 设， 则解得或 即实数的取值范围为. 18．(1)； (2)是偶函数；证明见解析. 【分析】（1）分别令和，即可得结果； （2）令结合偶函数的定义即可得结果. 【详解】（1）令，则． 再令，可得， ∴． （2）是偶函数； 证明：令可得， ∴是偶函数． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$